第二十一章 四边形 单元综合能力提升卷-2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形 单元综合能力提升卷（人教版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列图形中，具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 3．如图，点O是正六边形对角线上的一点， 若，则阴影部分的面积为 （    ） A．10 B．15 C．20 D．随点O位置而变化 4．从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成2026个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 5．下列条件：①；②；③；④．其中能够判定为矩形的有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 6．如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平行四边形中，，，平分，对角线、相交于点，连接，下列结论中正确的有（ ） ①；②；③；④． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．20 9．如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 10．如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．顺次连接四边形的各边中点得到中点四边形，若且，则中点四边形的形状是______（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）． 12．已知菱形的周长是，一条较短的对角线的长是，则该菱形较小的内角是__________度 13．如图，地板砖的一部分是由若干四边形和各边相等且各角也相等的六边形镶嵌而成的，那么四边形中的度数是________度． 14．如图，P是正方形内的一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数是______． 15．如图，Rt中，的垂直平分线分别交于点交DF的延长线于点，若，则四边形的面积是_____________． 16．在中，，D在内，且，E，F，G，H分别是的中点，则四边形的面积为________． 3、 解答题（每小题9分，共72分） 17．四边形是平行四边形，是上一点，连接，，已知，． (1)利用直尺和圆规作的角平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)小王在（1）所作的图形中，去证明四边形为菱形．下面是小王的证明过程，请完善步骤． 证明：四边形是平行四边形， ① ，． ． 是的角平分线， ② ． ． ． 又， ． 又， ③ ． 又， 四边形为平行四边形． ， ． ④ ． 平行四边形为菱形． 18．如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 19．如图，在中，，分别以它的三边为边长，在边的同侧作三个等边三角形，即、、，连接、、． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 20．如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接． (1)若点恰好落在上，求的长； (2)若，判断的形状，并说明理由． 21．在四边形中，，，，，，点从点以的速度向点运动，点从点以的速度同时向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求为何值时，四边形是平行四边形？ (2)求为何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中，_________（答“存在”或“不存在”）t值，使得四边形是菱形； (4)若只改变线段的长度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，请你求出的值和线段的长度． 22．点分别是长方形纸片边上的点，沿翻折，点A落在点处，点B落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，求的度数． 23．如图，在中，，，是边的中线，点在上．连接，过点作，分别交、于点、． (1)求证：； (2)若，，则的长为 ． 24．已知，中，是边的中线． 阅读：学习全等三角形知识后，我们知道，当出现三角形的中线时，通常用倍长中线构造“X”型全等的方法来解决问题． 如图1，延长到点E，使，连接，则有以下两个常见结论：①； ②．利用这两个结论解决下列问题． (1)如图1，若，直接写出的取值范围为：__________； (2)如图2，在中，．求证：． (3)如图3，点G在的上方，点F在的延长线上，连接，若．求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形 单元综合能力提升卷（人教版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列图形中，具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，对四个图形逐一分析，再作判断． 【详解】 解：具有稳定性，故A符合； 是四边形，不具有稳定性，故B不符合； 是四边形，不具有稳定性，故C不符合； 是四边形，不具有稳定性，故D不符合， 故选：A． 2．下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 【答案】B 【详解】解：在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作四边形，A说法错误； 四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角，B说法正确； 四边形的对角线是连接不相邻两个顶点的线段，C说法错误； 四边形每个顶点处有2个外角，共8个外角，D说法错误． 3．如图，点O是正六边形对角线上的一点， 若，则阴影部分的面积为 （    ） A．10 B．15 C．20 D．随点O位置而变化 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质．把正多边形分成两个全等的三角形和一个矩形求解即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故选：B． 4．从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成2026个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 【答案】B 【分析】本题考查多边形的对角线与三角形个数的关系，解题关键是记住“从边形一个顶点引对角线，可将其分成个三角形”这一核心结论． 1． 利用结论：三角形个数=边数； 2． 代入已知三角形个数2026，列方程：边数； 3． 解得边数． 【详解】解：从边形的一个顶点出发，可引出条对角线，把多边形分成个三角形． 已知分成2026个三角形，则： 解得： 所以这个多边形的边数是2028． 故选：B． 5．下列条件：①；②；③；④．其中能够判定为矩形的有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质与矩形的判定定理，结合矩形的判定条件逐一分析每个条件是否能判定平行四边形为矩形即可． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴，无法判定其为矩形； ②∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴为矩形； ③∵，四边形是平行四边形， ∴为矩形； ④∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴为矩形； 综上，能够判定为矩形的有个． 故选：C． 6．如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用矩形对角线相等且互相平分的性质，结合求出和的度数；再根据得到，在直角三角形中求出的度数． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵ ∴． 在 中，， ∴ 为等腰三角形． ∵ ∴． ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是利用矩形对角线的性质得到等腰三角形，再结合直角三角形的两个锐角互余求出角度． 7．如图，在平行四边形中，，，平分，对角线、相交于点，连接，下列结论中正确的有（ ） ①；②；③；④． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，，，，进而推出是等边三角形，再证明，得出，即可判断①正确；根据，，可判断②正确；根据，，可判断③正确；根据，，，可判断④不正确． 【详解】解：在平行四边形中，， ，，，， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ，故①正确； ，， ，即，故②正确； ，， ，故③正确； ，，， ，故④不正确； 正确的有3个， 故选：B． 8．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 过点，作于M，交于N．则有四边形，四边形，四边形都是矩形，根据矩形的性质得到，，，，，从而得出，即可求解． 【详解】解：过点，作于M，交于N． 则有四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 9．如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定． 由平行四边形的性质推出，，， 由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，因此，推出，证明，可得 ，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作交射线于点F， 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：C． 10．如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握折叠的性质，根据垂直模型证明是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．顺次连接四边形的各边中点得到中点四边形，若且，则中点四边形的形状是______（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）． 【答案】矩形 【分析】本题考查了中点四边形，首先利用三角形的中位线定理证得四边形为平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可． 【详解】解：中点四边形的形状是矩形，理由如下： 如图， ∵点E、F、G、H分别是边的中点， ∴，， ∴， 同理可得， ∴四边形是平行四边形； 又∵对角线互相垂直， ∴与垂直． ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形． 12．已知菱形的周长是，一条较短的对角线的长是，则该菱形较小的内角是__________度 【答案】60 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 先根据菱形的周长求出边长，再根据较短对角线与边长相等，得出由对角线和两边组成的三角形是等边三角形，进而求解． 【详解】解：由题意知，菱形的边长为， 又∵较短的对角线也为， 如图，， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：60． 13．如图，地板砖的一部分是由若干四边形和各边相等且各角也相等的六边形镶嵌而成的，那么四边形中的度数是________度． 【答案】60 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），根据正六边形内角和定理．求出每个内角度数，然后根据周角求出答案． 【详解】解：∵正六边形内角和：， ∴每个内角度数：， ∴， ∴的度数为． 故答案为：60． 14．如图，P是正方形内的一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数是______． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据正方形的性质，等边三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴． 故答案为： 15．如图，Rt中，的垂直平分线分别交于点交DF的延长线于点，若，则四边形的面积是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，线段垂直平分线的性质等．因为是的垂直的平分线，，，所以四边形是矩形，因为，，能求出，，进而可求出的长，从而求出面积． 【详解】解：∵是的垂直的平分线，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为：． 故答案为：． 16．在中，，D在内，且，E，F，G，H分别是的中点，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定定理和性质定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质，勾股定理，连接并延长交于点P，根据线段垂直平分线的定义得到，，根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质求出，得到的长，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形为矩形，根据矩形的面积公式计算，得到答案． 【详解】如图，连接并延长交于点P． ， 是线段的垂直平分线， ， 在中，， ， 在中，， ， 分别是的中点， 是的中位线， ，， 同理，，，，， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为矩形， 四边形的面积为． 故答案为：． 3、 解答题（每小题9分，共72分） 17．四边形是平行四边形，是上一点，连接，，已知，． (1)利用直尺和圆规作的角平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)小王在（1）所作的图形中，去证明四边形为菱形．下面是小王的证明过程，请完善步骤． 证明：四边形是平行四边形， ① ，． ． 是的角平分线， ② ． ． ． 又， ． 又， ③ ． 又， 四边形为平行四边形． ， ． ④ ． 平行四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④ 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，等角对等边，角平分线的尺规作图，熟知平行四边形的性质及其判定定理和菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质得到，，根据角平分线的定义和平行线的性质推出，则可证明；再证明，进而证明四边形为平行四边形．进一步证明，得到，则可证明平行四边形为菱形． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：四边形是平行四边形， ，． ． 是的角平分线， ． ． ． 又， ． 又， ． 又， 四边形为平行四边形． ， ． ． 平行四边形为菱形． 18．如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)边形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握对称性，正方形的判定和性质，勾股定理，是解题的关键． （1）对称性得到，，，，，进而推出，得到四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）设，推出，在中，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形．理由如下： ∵于点D， ∴． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 又∵， ∴矩形是正方形． （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，． 设，则． ∴． ∵， ∴，． ∴． 在中，，即． 解得． ∴． ∵， ∴． 19．如图，在中，，分别以它的三边为边长，在边的同侧作三个等边三角形，即、、，连接、、． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）分别用证明，得到四边形的两组对边分别相等即可． （2）由是等边三角形可得，在中，，可得，由是等边三角形可得，由，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵、都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由（1）得，， ∵， ∴， 在中，． 20．如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接． (1)若点恰好落在上，求的长； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠问题： （1）先根据勾股定理得出，由折叠得： ，根据折叠的性质得出，，，设，则 ，，在 中，由勾股定理得：，求解即可得出答案； （2）先求出，，由折叠得： ，，根据，得出在上，得出四边形是正方形，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解： 如下图， 在矩形中， ，，， ， 由折叠得： ， ，，， ，， 设，则 ，， 在 中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）是直角三角形，理由如下： ，， ，， 由折叠得： ，， ， 在上，如图所示， 四边形是正方形， ， 是直角三角形． 21．在四边形中，，，，，，点从点以的速度向点运动，点从点以的速度同时向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求为何值时，四边形是平行四边形？ (2)求为何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中，_________（答“存在”或“不存在”）t值，使得四边形是菱形； (4)若只改变线段的长度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，请你求出的值和线段的长度． 【答案】(1) (2) (3)不存在 (4)， 【分析】（1）根据时，四边形是平行四边形，列出方程进行求解即可； （2）根据，，得到当时四边形是矩形，列出方程进行求解即可； （3）根据菱形的性质可得，结合（1）的结论，分别求得的长，即可得出结论； （4）当四边形是正方形时，，进而求得，，根据，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得：，，秒， ∴，， ∵，则 当时，四边形是平行四边形； ∴ 解得： （2）解：∵，， ∴当时，四边形是矩形； ∵，， ∴ 解得： （3）解：不存在，理由如下， 由（1）可得，当时，四边形是平行四边形； ∴若此时，则四边形是菱形， 如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 而， ∴， ∴四边形不是菱形， 故答案为：不存在． （4）解：当四边形是正方形时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当四边形是正方形时，，． 【点睛】本题考查四边形中的动点问题．解题的关键是掌握矩形的判定和性质，正方形，平行四边形，矩形，菱形的性质与判定，及勾股定理解三角形，熟练掌握特殊四边形的性质是解题的关键． 22．点分别是长方形纸片边上的点，沿翻折，点A落在点处，点B落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质、几何图形中角度的计算，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． （1）由折叠的性质，得到，，然后根据即可求解； （2）先求出，由折叠的性质，得到，，求出，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：由折叠的性质，得到，， 因为， 所以， 即． （2）解：因为， 所以， 由折叠的性质，得， 所以， 所以． 23．如图，在中，，，是边的中线，点在上．连接，过点作，分别交、于点、． (1)求证：； (2)若，，则的长为 ． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质即可求证； （）利用三角形相似的判定与性质即可求解； 此题考查了全等三角形的性质与判定，三角形相似的判定与性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵是边的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， （2）∵是边的中线，，， ∴， 由（）可知， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 24．已知，中，是边的中线． 阅读：学习全等三角形知识后，我们知道，当出现三角形的中线时，通常用倍长中线构造“X”型全等的方法来解决问题． 如图1，延长到点E，使，连接，则有以下两个常见结论：①； ②．利用这两个结论解决下列问题． (1)如图1，若，直接写出的取值范围为：__________； (2)如图2，在中，．求证：． (3)如图3，点G在的上方，点F在的延长线上，连接，若．求证：． 【答案】(1)1，5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质． （1）先证明，推出，，根据三角形的三边关系得到，进而推出； （2）延长至点F，使，连接，可得，推出，求出，同理，得到四边形是矩形，即可证得； （3）连接，延长至点E，使，则，，由此得到，,再证明，得到，推出，由，得到，求出即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）延长至点F，使，连接， 可得， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （3）如图，连接，延长至点E，使， 则，． ∴，, ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $