第01讲 二元一次方程和二元一次方程组（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年浙教版七年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦二元一次方程和二元一次方程组核心知识点，先系统讲解二元一次方程的定义（含两个未知数、项次数为1）及解的概念，再延伸至二元一次方程组的定义（含两个未知数、项次数为1、两个方程）及公共解，构建从单一方程到方程组的知识支架。 资料通过典例与变式题结合，如《九章算术》实例融入，培养学生抽象能力（判断方程/组）、推理意识（求参数）和应用意识。课中助力教师系统授课，课后学生可通过练习巩固，有效查漏补缺，提升知识掌握度。

第01讲 二元一次方程和二元一次方程组 考点1：二元一次方程及它的解 考点2：二元一次方程组及它的解 重点： （1）判断是不是二元一次方程/组 （2）二元一次方程（组）解的理解 难点★： （1）二元一次方程（组）解的理解 （2）根据二元一次方程的定义求参数 知识点1：二元一次方程及它的解 1.概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 【题型1 二元一次方程的定义】 【典例1】下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】下列四个方程中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】若是关于x，y的二元一次方程，则满足（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知二元一次方程，用含的代数式表示，下列正确的是（） A． B． C． D． 【题型2 二元一次方程的解】 【典例2】已知是关于、的方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列各组数中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为（   ） A．11 B．1 C．2 D． 【变式3】《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，下列选项中，不是方程的正整数解的是（   ） A． B． C． D． 知识点2：二元一次方程组及它的解 1.方程组：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ，就组成了一个方程组 2.概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 3.二元一次方程的解：二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解． 【题型3 判断是否是二元一次方程组】 【典例3】下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】下列方程组中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【题型4 判断是否是二元一次方程组的解】 【典例4】下列二元一次方程组中，以为解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若关于x，y的二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是 ． 【题型5 已知二元一次方程组的解求参数】 【典例5】方程组的解为则被遮盖的■表示的数为 ． 【变式1】已知是方程组的解，那么的值为 ． 【变式2】若关于，的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，但还是可以求出的值，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式3】小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（   ） A．3、 B．1、5 C．、3 D．5、1 1．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．已知x，y满足，若要用含x的代数式表示y，则应为（   ） A． B． C． D． 3．若关于，的二元一次方程有一个解是，．则的值为（） A．5 B．4 C．3 D．2 4．在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．已知是的一组解，则的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 6．若方程组的解为则被遮盖的两个数和分别是（   ） A．5，2 B．4，4 C．2，4 D．2，5 7．写出一个解为的二元一次方程组 ． 8．若是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 9．若方程组的解是，则方程组的解是 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 二元一次方程和二元一次方程组 考点1：二元一次方程及它的解 考点2：二元一次方程组及它的解 重点： （1）判断是不是二元一次方程/组 （2）二元一次方程（组）解的理解 难点★： （1）二元一次方程（组）解的理解 （2）根据二元一次方程的定义求参数 知识点1：二元一次方程及它的解 1.概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 【题型1 二元一次方程的定义】 【典例1】下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个未知数；②每个未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(即分母不含未知数)．解题时需依据这三个条件对每个选项逐一判断． 【详解】解：中，未知数项的次数为，不满足“未知数的项的次数都是1”的要求，不是二元一次方程； 是一个多项式，不是等式，不满足方程的定义，不是二元一次方程； 的分析含未知数，方程不属于整式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程； 含有两个未知数、，每个未知数的项的次数都是1，且是整式等式，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； 故选：D． 【变式1】下列四个方程中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项只含一个未知数，是一元一次方程，不符合题意； B选项中的次数为2，是二元二次方程，不符合题意； C选项含有两个未知数、，且含未知数的项的次数都是1，是整式方程，符合题意； D选项中是分式，不是整式方程，不符合题意； 故选C． 【变式2】若是关于x，y的二元一次方程，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程，熟练掌握二元一次方程的定义：只含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，运用二元一次方程满足的条件是解题的关键． 根据二元一次方程的定义，要求未知数的系数不能为零，因此需满足． 【详解】解：∵方程是关于,的二元一次方程， ∴的系数， ∴， 故选A． 【变式3】已知二元一次方程，用含的代数式表示，下列正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的变形，需通过移项、系数化为1的步骤，将方程转化为用含y的代数式表示x的形式即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得． 故选：A． 【题型2 二元一次方程的解】 【典例2】已知是关于、的方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程解答即可求解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故选：． 【变式1】下列各组数中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解． 将各选项的x、y值代入方程，若左边等于右边，则该组值是方程的解． 【详解】解：∵把代入方程左边，得， ∴选项A不是方程的解； ∵把代入方程左边，得， ∴选项B是方程的解； ∵把代入方程左边，得， ∴选项C不是方程的解； ∵把代入方程左边，得， ∴选项D不是方程的解； 故选：B． 【变式2】已知是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为（   ） A．11 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知二元一次方程的解求参数，根据二元一次方程的解的定义，将已知的x、y的值代入方程，即可求出m的值， 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的解， ∴将，代入方程得， ∴， 故选：A． 【变式3】《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，下列选项中，不是方程的正整数解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解的验证，解题的关键是掌握二元一次方程的解的意义． 通过将各选项的x、y值代入方程，判断等式是否成立即可确定不是解的选项． 【详解】解：∵把选项A的代入方程，左边，右边，左边右边， ∴A是方程的正整数解； ∵把选项B的代入方程，左边，右边，左边右边， ∴B是方程的正整数解； ∵把选项C的代入方程，左边，右边，左边右边， ∴C不是方程的正整数解； ∵把选项D的代入方程，左边，右边，左边右边， ∴D是方程的正整数解． 故选：C． 知识点2：二元一次方程组及它的解 1.方程组：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ，就组成了一个方程组 2.概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 3.二元一次方程的解：二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解． 【题型3 判断是否是二元一次方程组】 【典例3】下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组需满足：两个整式一次方程，且只含两个未知数是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义，需满足两个条件：①方程组由两个一次方程组成；②共含有两个未知数，且每个方程均为整式方程，逐项判断即可． 【详解】解：A、第二个方程是二次方程，不符合一次方程要求，不符合题意； B、两个方程均为一次方程，且共含两个未知数和，符合定义，符合题意； C、第二个方程含有分式，不是整式方程，不符合题意； D、方程组涉及三个未知数，不是二元方程组，不符合题意． 故选：B． 【变式1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组． 根据二元一次方程组的定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A：中为二次项，不符合二元一次方程组的定义； 选项B：含分式，不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义； 选项C：符合二元一次方程组的定义； 选项D：含x、y、z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义； 故选：C． 【变式2】在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第二个方程中的次数为2，不是一次方程，故不是二元一次方程组； 方程组 中，含有3个未知数，故不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有2个． 故选：B． 【变式3】下列方程组中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，理解掌握二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 二元一次方程组需满足两个条件：含有两个未知数，且每个方程均为一次整式方程，据此求解即可． 【详解】解：选项A：第二个方程含，次数为2，不是二元一次方程组； 选项B：第二个方程，次数为2，不是二元一次方程组； 选项C：两个方程均为一次方程，是二元一次方程组． 选项D：第二个方程含，不是整式方程，不是二元一次方程组； 故选：C． 【题型4 判断是否是二元一次方程组的解】 【典例4】下列二元一次方程组中，以为解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解的性质：所有选项的第一个方程均为，且满足该方程，因此只需验证第二个方程的值是否匹配． 【详解】解：所有选项的第一个方程均为，且满足该方程， 将代入各选项的第二个方程： ∵对于选项A：，不满足； 对于选项B：，不满足； 对于选项C：，满足； 对于选项D：，不满足． ∴只有选项C以为解． 故选：C． 【变式1】在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，熟知一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解是解答此题的关键． 将代入各选项的方程组中，验证两个方程是否同时成立． 【详解】对于选项A：当时， ，成立； ，不成立． 故A不符合题意． 对于选项B：当时， ，成立； ，成立． 故B符合题意． 对于选项C：当时， ，不成立． 故C不符合题意． 对于选项D：当时， ，成立； ，不成立． 故D不符合题意． 因此，以为解的方程组是B． 故选B． 【变式2】若关于x，y的二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了以解为条件构造方程组，熟练掌握方程组的意义是解题的关键． 以x，y为主元素，任意构造即可． 【详解】解：二元一次方程组的解为的方程组有无数个， 如： 故答案为：（答案不唯一）． 【题型5 已知二元一次方程组的解求参数】 【典例5】方程组的解为则被遮盖的■表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，关键是利用方程组的解满足每个方程的性质，通过设未知数建立等式求解．观察题目结构，假设第二个方程右边的被遮盖数与解中的被遮盖数为同一个数，先代入第二个方程求出的值，再将和代入第一个方程即可求出■表示的数． 【详解】解：设第二个方程右边的数和解中的值均为， ∵方程组的解为， ∴将，代入第二个方程， 得，解得； 将，代入第一个方程， 得； 故答案为：． 【变式1】已知是方程组的解，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的步骤是解题的关键． 将方程组的解代入原方程，求出和 的值，再计算． 【详解】解：是方程组的解， 化简得： 解得： ． 故答案为：． 【变式2】若关于，的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，但还是可以求出的值，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先根据和方程求出的值，再将和的值代入方程求出 【详解】解：， 且， .． 将代入， 得， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”． 【变式3】小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（   ） A．3、 B．1、5 C．、3 D．5、1 【答案】D 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，将代入第一个方程求出y，再代入第二个方程求． 【详解】解：将代入，得：， 解得，即 将，代入，得：， 故和代表的数分别是5和1， 故选：D． 1．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程是含有两个未知数且未知数的最高次数为1是解题的关键． 根据二元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．方程含有两个未知数x和y，且未知数的次数均为1，是二元一次方程，符合题意； B．方程只含一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； C．方程中项次数为2，不是二元一次方程，不符合题意； D．方程只含一个未知数且最高次数为2，不是二元一次方程，不符合题意． 故选：A． 2．已知x，y满足，若要用含x的代数式表示y，则应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的知识点是解二元一次方程，关键是解题时可以参照一元一次方程的解法，利用等式的性质解题，可以把一个未知数看成已知数来处理．将x看成已知数，先移项，再将y系数化为1即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得． 故选：D． 3．若关于，的二元一次方程有一个解是，．则的值为（） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握将方程的解代入方程可得到关于未知参数的方程是解题的关键． 将方程的解代入原二元一次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：是方程的解， ， 解得， 故选：A． 4．在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第一个方程是二次方程，不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有5个， 故选：D． 5．已知是的一组解，则的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解 将给定的解代入方程组，分别求出m和n的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵，是方程组的解， ∴代入得：， ∴． 代入得：， ∴． ∴． 故选：D． 6．若方程组的解为则被遮盖的两个数和分别是（   ） A．5，2 B．4，4 C．2，4 D．2，5 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把解代入是解题关键． 将已知解代入方程求出y，再代入求出即可． 【详解】解：∵方程组的解为， 将代入得， 解得， ∴， 将代入得，， ∴， 故和分别为5和2． 故选A． 7．写出一个解为的二元一次方程组 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，根据x、y的值，求出和的值，以此构造方程组即可． 【详解】解：由和，可列出等式和， 因此方程组为， 故答案为：（答案不唯一）． 8．若是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是把方程的解代入原方程得到代数式的值，再进行求解． 把代入方程，可得，再代入代数式，即可求出答案． 【详解】将代入，得：， 整理得；， ∴． 故答案为：． 9．若方程组的解是，则方程组的解是 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解．方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，仿照已知方程组的解确定出所求方程组x，y的关系，再联立解出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解满足， 解得． 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $