第23讲 特殊平行四边形-矩形（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2026年中考数学一轮复习《知识解读・题型训练》（全国通用）

该初中数学讲义聚焦“特殊平行四边形-矩形”中考核心考点，系统梳理矩形的性质（边、角、对角线、对称性及直角三角形性质）与判定（3个判定定理），通过“知识点梳理-题型分类-典例精析-变式训练”流程，帮助学生构建知识体系，突破角度计算、线段求解等8类高频题型。 亮点在于融合数学眼光（几何直观分析图形）、数学思维（逻辑推理证明），如通过“矩形对角线性质求线段长”典例，结合直角三角形斜边上中线性质培养推理能力。设置分层练习（基础变式到中考真题），配合即时反馈，助力学生高效掌握考点，教师可依此精准把控复习节奏，提升应考能力。

第23讲 特殊平行四边形-矩形 知识点1：矩形的性质 知识点2：矩形的判定 知识点1：矩形的性质 （1）性质：矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，�还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：对角线互相平分且相等． ④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半． 点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 知识点2：矩形的判定 判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形． 【题型01 利用矩形的性质求角度】 【典例1】（2025·江苏无锡·二模）如图，矩形的对角线、交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，四边形是矩形，对角线相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·辽宁辽阳·一模）如图，在矩形的边上方作等边三角形，连接，，若是以为底边的等腰三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24九年级上·重庆沙坪坝·月考）在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A． B． C． D． 【题型02 利用矩形的性质求线段长】 【典例2】（2025·陕西西安·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点，点为边的中点，连接，交于点，连接，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A．1 B．5 C．2 D． 【变式2】（2025·四川·中考真题）如图，在矩形中，对角线相交于点O，则的长为 ． 【变式3】（2025·江苏徐州·中考真题）如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的周长为 ． 【题型03 利用矩形的性质求面积】 【典例3】（2025·湖北·中考真题）一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是 ． 【变式1】（2025·陕西咸阳·三模）如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．1.5 D．2 【变式2】（2025·浙江宁波·一模）已知矩形的顶点在半径为5的半圆上，顶点在直径上．若，则矩形的面积等于（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 【变式3】（2024·山东聊城·二模）如图，在矩形中、，垂足为，，若，则矩形的面积为 ． 【题型04 求矩形在坐标系中的坐标】 【典例4】（2025·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴，轴上，点在边上，将该矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ． 【变式1】（2023·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【变式2】（2024·河南驻马店·一模）如图所示，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点的对应坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2022·辽宁铁岭·一模）如图，点是矩形的对称中心，点，，经过点的反比例函数的图象交于点，则点的坐标为 ． 【题型05 根据矩形的性质证明】 【典例5】（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在矩形中，延长至点，使得，连接交于点．求证：点是的中点． 【变式1】（2026·广东中山·模拟预测）如图，是矩形的对角线，，． (1)请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，分别交于点、；（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求四边形的周长． 【变式2】（2025·贵州黔东南·二模）如图，在矩形中，点E在边上，，，垂足为F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式3】（2025·海南海口·模拟预测）如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【题型06 添加一个条件使四边形是矩形】 【典例6】（2025·上海虹口·二模）已知四边形是平行四边形，对角线相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·河南周口·三模）如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·福建福州·三模）如图，已知在四边形中，对角线交于点O，且，要使四边形是矩形，添加一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·广东佛山·三模）如图，在中，，是两条对角线，如果添如一个条件，可推出是矩形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【题型07 证明四边形是矩形】 【典例7】（23-24八年级下·内蒙古通辽·月考）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求证：平分． 【变式1】（2025·湖北·一模）如图，在四边形中，，点是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【变式2】（2025·甘肃酒泉·二模）如图，点，，，在同一条直线上，，，连接，，． (1)求证：； (2)当时，求证四边形是矩形． 【题型08 矩形的性质与判定综合】 【典例8】（2025·浙江·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，P是边上一点（不与A，B重合），，过点P作交边于点Q，连结，． (1)求证：四边形是矩形． (2)当，时，求的长． 【变式1】（23-24八年级下·重庆南川·期中）如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【变式2】（2023·广东梅州·一模）如图，四边形中，对角线，相交于点，，，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的度数． 【变式3】（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）如图，四边形的对角线与相交于点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 1．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D．5 2．（2024·西藏那曲·一模）如图所示，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，点在上，已知矩形的长为，宽为，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，对角线和相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北·模拟预测）在学习了《平行四边形》这一章节后，小侯针对几种特殊的平行四边形的关系画出了如图草图，他让同桌小润在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写正确的是（    ） A．：中心对称 B．：对边相等 C．：有一组邻边相等 D．：对角线互相平分 6．如图，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（    ）． A． B． C． D． 7．（2025·云南昭通·模拟预测）如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，且，则的周长是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·陕西延安·三模）在矩形中，对角线、相交于点，若，则的度数为 ． 9．（2025·广西南宁·一模）如图，的对角线，相交于点，若，则 ． 10．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，已知中，，，，M为边上的一个动点，，，则的最小值为 ． 11．（2025·广东广州·三模）如图，，过点作，垂足为，在边上，， ．求证：． 12．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，在中，交的延长线于点E，． (1)求证：四边形是矩形； (2)F为的中点，连接，．已知，，求的长． 13．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在中，，分别延长，至点E，D，且，，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积为，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23讲 特殊平行四边形-矩形 知识点1：矩形的性质 知识点2：矩形的判定 知识点1：矩形的性质 （1）性质：矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，�还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：对角线互相平分且相等． ④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半． 点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 知识点2：矩形的判定 判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形． 【题型01 利用矩形的性质求角度】 【典例1】（2025·江苏无锡·二模）如图，矩形的对角线、交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、等边对等角，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：矩形， ， ， ． 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，四边形是矩形，对角线相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和性质，先由矩形的性质得，则，再结合过点作的垂线交于点，得出，最后进行角的运算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ∵过点作的垂线交于点， ， ， 故选：C． 【变式2】（2025·辽宁辽阳·一模）如图，在矩形的边上方作等边三角形，连接，，若是以为底边的等腰三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由矩形的性质以及等边三角形的性质得，结合是以为底边的等腰三角形，得，运用三角形内角和性质得，即可作答． 【详解】解：∵在矩形的边上方作等边三角形， ∴，， 则， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， 则， ∴， 故选：C． 【变式3】（23-24九年级上·重庆沙坪坝·月考）在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查矩形的性质．根据矩形的性质得出，进而利用角平分线的定义和等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵的角平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【题型02 利用矩形的性质求线段长】 【典例2】（2025·陕西西安·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点，点为边的中点，连接，交于点，连接，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，先根据矩形的性质得到是的中位线，即可得到，，即可得到，根据对应边成比例求出的长解答即可． 【详解】解：∵是矩形， ∴，， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】（2025·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A．1 B．5 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的关键，勾股定理求出的长，进而得到的长，推出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D. 【变式2】（2025·四川·中考真题）如图，在矩形中，对角线相交于点O，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断是等边三角形是解题的关键． 根据矩形的对角线互相平分且相等，可知，然后由可得为等边三角形，然后可求得，进而即可求解 【详解】∵四边形为矩形， ∴，且， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴ 故答案为： 【变式3】（2025·江苏徐州·中考真题）如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，先证明，，，再进一步利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵矩形，，， ∴，，， ∵E，F，G，H分别是矩形各边的中点， ，． ∴， 同理可得：， ∴四边形的周长为； 故答案为： 【题型03 利用矩形的性质求面积】 【典例3】（2025·湖北·中考真题）一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】该题考查了列代数式，根据矩形的性质求面积，根据矩形的面积是长宽即可解答． 【详解】解：根据题意可得矩形的面积是， 故答案为：． 【变式1】（2025·陕西咸阳·三模）如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中线的性质，首先求出矩形的面积为，得到，进而求解即可． 【详解】∵矩形，， ∴矩形的面积为， ∴， ∵点为的中点， ∴． 故选：A． 【变式2】（2025·浙江宁波·一模）已知矩形的顶点在半径为5的半圆上，顶点在直径上．若，则矩形的面积等于（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆的有关概念，掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 连接，可由勾股定理求得，再证明，则，那么，即可求解矩形面积． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：C． 【变式3】（2024·山东聊城·二模）如图，在矩形中、，垂足为，，若，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，锐角三角函数，根据矩形的性质和，得，继而得到，然后在中，得，在中，得，即可得解．掌握矩形的性质及锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：． 【题型04 求矩形在坐标系中的坐标】 【典例4】（2025·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴，轴上，点在边上，将该矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质和勾股定理，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 根据题意，由勾股定理可以得到，进而证明得的长度，即可求得点坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得： ∴ ∵折叠， ∴ ∴ 又 ∴ ∴即 ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 【变式1】（2023·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形．根据点的坐标得出，根据勾股定理求得，设，则．在中，由勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意，， 由折叠的性质，可知，， ． 设，则．在中，由勾股定理， 得， 解得． 点的坐标为， 故选B． 【变式2】（2024·河南驻马店·一模）如图所示，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点的对应坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转变换，矩形的性质等知识，解题的关键是明确题意，发现点的变化特点，利用数形结合的思想解答，每秒旋转，则8次一个循环，，第2025秒时，点的对应点落在轴正半轴上，由此可得到点的坐标． 【详解】解：四边形是矩形， ， 每秒旋转，8次一个循环，， 第2025秒时，点的对应点落在轴正半轴上， 点的坐标为． 故选：B． 【变式3】（2022·辽宁铁岭·一模）如图，点是矩形的对称中心，点，，经过点的反比例函数的图象交于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】先求得点的坐标，然后根据待定系数法求得反比例函数的解析式，把代入解析式即可求得点的坐标． 【详解】解：点是矩形的对称中心， 点是矩形的对角线的中点， 又，， 点的坐标为． 反比例函数的图象经过点， ， ， 把代入得，， 点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键． 【题型05 根据矩形的性质证明】 【典例5】（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在矩形中，延长至点，使得，连接交于点．求证：点是的中点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，根据矩形的性质得出，结合已知条件得出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ，即点是的中点． 【变式1】（2026·广东中山·模拟预测）如图，是矩形的对角线，，． (1)请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，分别交于点、；（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)四边形的周长:． 【分析】本题考查作垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）作线段的垂直平分线即可解决问题； （2）先根据垂直平分线的性质得到，，设，，再结合矩形的性质和勾股定理求出，即可求出四边形的周长． 【详解】（1）如图所示，为所求作的直线， （2）如图，连接，， ∵垂直平分于点，交于点、， ∴，， ∵矩形，，， ∴，，． ∵设，， ∴，． ∵在中，， ∴，即， 解得：， ∴． ∵在中，， ∴，即， 解得：， ∴， ∴菱形的周长为． 【变式2】（2025·贵州黔东南·二模）如图，在矩形中，点E在边上，，，垂足为F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质．解题的关键是熟练运用矩形的性质推导角的关系，结合全等三角形的判定定理证明三角形全等，再利用特殊角度的直角三角形性质求解边长． （1）利用矩形对边平行和四个角为直角的性质，得到角相等的条件，结合垂直的定义和已知边相等，通过证明三角形全等，进而得出线段相等； （2）根据全等三角形的性质得到对应边相等，结合已知角度求出相关角的度数，再利用含角的直角三角形中斜边是直角边两倍的性质计算的长． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，． ． 又， ． ， ． ∴． （2）解：由（1）可得， ． 又， ． ． ． 【变式3】（2025·海南海口·模拟预测）如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的相关性质．直角三角形30度角的性质，熟记掌握矩形的性质是解答本题的关键． （1）由矩形的性质得，证明四边形是平行四边形得，等量代换可得结论成立； （2）由矩形的性质可得，，证明为等边三角形得，求得，再利用直角三角形30度角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ． ， 四边形是平行四边形， ， ． （2）解：四边形是矩形， ， 为等边三角形，则． ， ． 在中，， ． 【题型06 添加一个条件使四边形是矩形】 【典例6】（2025·上海虹口·二模）已知四边形是平行四边形，对角线相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了添加一个条件是矩形，添加一个条件是菱形，平行四边形的性质，解题关键是掌握上述判定与性质． 根据添加一个条件是矩形，添加一个条件是菱形，平行四边形的性质，对四个条件逐一分析，再作判断． 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形， 可判定四边形是矩形，故A不符合； 添加，可得， 根据对角线相等的平行四边形是矩形， 可判定四边形是矩形，故B不符合； 添加，可得出四边形是菱形， 不能判定四边形是矩形，故C符合； ∵四边形是平行四边形， ∴， 添加，可得出， 根据一个角是直角的平行四边形是矩形， 可判定四边形是矩形，故D不符合， 故选：C． 【变式1】（2025·河南周口·三模）如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的判定；根据矩形的判定条件进行解答即可． 【详解】解：添加条件为：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 故选：A． 【变式2】（2025·福建福州·三模）如图，已知在四边形中，对角线交于点O，且，要使四边形是矩形，添加一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定，根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是矩形， 故选：B． 【变式2】（2024·广东佛山·三模）如图，在中，，是两条对角线，如果添如一个条件，可推出是矩形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查矩形的判定．根据矩形的判定方法“对角线相等的平行四边形是矩形”解答即可． 【详解】解；四边形是平行四边形， 添加， 是矩形， 故选：B． 【题型07 证明四边形是矩形】 【典例7】（23-24八年级下·内蒙古通辽·月考）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，即，根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，根据矩形的判定得出即可； （2）根据矩形的性质求出，根据勾股定理求出，求出，推出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）∵四边形为平行四边形， ∴，，即， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）∵四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【变式1】（2025·湖北·一模）如图，在四边形中，，点是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判断方法是解题的关键． 先根据条件证明，再证明四边形是平行四边形，最后根据平行四边形与矩形的关系进行证明即可． 【详解】证明：∵点是边的中点， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形． 【变式2】（2025·甘肃酒泉·二模）如图，点，，，在同一条直线上，，，连接，，． (1)求证：； (2)当时，求证四边形是矩形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行四边形的判定、矩形的判定，掌握这些性质定理是解题关键． （1）利用全等三角形的性质得到对应边和对应角相等，进而证明 ，从而得出； （2）先根据全等和角的关系证明四边形是平行四边形，再证明有一个角是直角，进而判定为矩形． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， ； （2）解：， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， 四边形是矩形 【题型08 矩形的性质与判定综合】 【典例8】（2025·浙江·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，P是边上一点（不与A，B重合），，过点P作交边于点Q，连结，． (1)求证：四边形是矩形． (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，勾股定理，矩形的判定，相似三角形的判定和性质，综合应用上述知识点是解题的关键． （1）根据，，通过导角证明，进而得出，结合四边形为平行四边形，可得四边形是矩形． （2）先证得．设，则，在中，由得到，由，得，在中得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ． 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． ，， ， ，即， ． 在中，． 【变式1】（23-24八年级下·重庆南川·期中）如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键． （1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 【变式2】（2023·广东梅州·一模）如图，四边形中，对角线，相交于点，，，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先判断四边形是平行四边形，继而根据已知条件推导出，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证； （2）由矩形的性质得到，再由平行线的性质得到，然后由三角形的内角和求出，再根据直角三角形的两锐角互余，即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，证明是解题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）如图，四边形的对角线与相交于点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长是3 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质，掌握相关图形的判定方法是解决问题的关键； （1）先判定四边形是平行四边形，由平行四边形对角线互相平分得出, ，再由两边及夹角对应相等的两个三角形全等得出结论； （2）由可得平行四边形是矩形．由此得出，进而得出，由此求出三角形周长. 【详解】（1）证明：在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形． ∴, ． 又∵， ∴． （2）解：∵，四边形是平行四边形． ∴平行四边形是矩形． ∴．即． ∴， 即的周长是3． 1．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，解题的关键是利用矩形对角线相等且互相平分的性质，结合勾股定理求出对角线长度，进而得到线段的长． 先在中，由勾股定理求出对角线的长度；再根据矩形对角线互相平分的性质，得到，从而计算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． 在中， ， ∴． 故选：B． 2．（2024·西藏那曲·一模）如图所示，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件易得，由此可得，结合折叠的性质可得，则由可得，再由折叠的性质即可得到． 【详解】解：∵ ， ， ∵点沿折叠后与点重合， ， ∵在矩形中，， ∴由折叠的性质可得． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形折叠的问题，熟悉“矩形的四个内角都是直角”和“折叠的性质”是正确解答本题的关键． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，点在上，已知矩形的长为，宽为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等，由全等图形的性质可证，即得到，，进而可得是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵矩形和矩形全等， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，对角线和相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的对角线相等． 根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，故C符合题意， 而A、B、D根据矩形的性质均不能证明，故不符合题意 故选：C． 5．（2026·湖北·模拟预测）在学习了《平行四边形》这一章节后，小侯针对几种特殊的平行四边形的关系画出了如图草图，他让同桌小润在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写正确的是（    ） A．：中心对称 B．：对边相等 C．：有一组邻边相等 D．：对角线互相平分 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法． 根据矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：A．：中心对称是平行四边形的固有性质，无法判断其为矩形； B．：对边相等是矩形的固有性质，无法判断其为正方形； C．：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，填写正确； D．：对角线互相平分是菱形的固有性质，无法判断其为正方形； 故选：C． 6．如图，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中点四边形，涉及三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟记三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识是解决问题的关键． 先由中点四边形相关条件，由三角形中位线的判定与性质得到，且；，且；，且；，且，进而判定四边形为平行四边形，再由矩形的判定定理即可确定答案． 【详解】解： 是四边形的两条对角线，是四边形各边的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， 则，且；，且；，且；，且， ，且， 四边形为平行四边形， 当时，， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 综上所述，要使四边形为矩形，应添加的条件是， 故选：B． 7．（2025·云南昭通·模拟预测）如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，且，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，由等边三角形的性质得，，由四边形是平行四边形，则，，从而得，证明四边形是矩形，然后通过勾股定理求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形的周长， 故选：． 8．（2025·陕西延安·三模）在矩形中，对角线、相交于点，若，则的度数为 ． 【答案】70 【分析】本题考查矩形的性质以及等腰三角形的性质，解题关键是熟练掌握矩形性质和等腰三角形性质是解题的关键． 依据矩形对角线相等且互相平分的性质，得出，确定为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角，得到，根据三角形内角和，结合已知，通过计算出的度数． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形， ∴． 在中，， 则是等腰三角形， ∴ ． ∵， ∴． ∴． 故答案为：70． 9．（2025·广西南宁·一模）如图，的对角线，相交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，证明是矩形是解题的关键．先证明是矩形，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解： 的对角线，相交于点，若， ， 是矩形， ， ， 故答案为：． 10．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，已知中，，，，M为边上的一个动点，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题利用了矩形的性质和判定、解直角三角形、垂线段最短的应用．根据已知得出四边形是矩形，得出，要使最小，只要最小即可，根据垂线段最短得出即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 要使最小，只要最小即可， ∴当时，此时最小， 在中，，，， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 11．（2025·广东广州·三模）如图，，过点作，垂足为，在边上，， ．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先证明四边形是矩形得，进而可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：， ∴， 又， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ． 12．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，在中，交的延长线于点E，． (1)求证：四边形是矩形； (2)F为的中点，连接，．已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由四边形是平行四边形，得，，因为，故，，得证四边形是平行四边形，再结合有一个角是的平行四边形是矩形，即可作答． （2）因为四边形是矩形，则，因为为CD的中点，所以，因为，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）得四边形是矩形，， ， 为的中点， ， ∵ ， 由勾股定理得． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，矩形的判定与性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 13．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在中，，分别延长，至点E，D，且，，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、菱形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用矩形的判定证明是矩形，得到，再利用菱形的判定即可证明； （2）利用直角三角形的性质得到，利用勾股定理得出，设，表示出、的长，利用菱形的面积公式列出方程，求出的值，再利用矩形的性质即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，， ∴是矩形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形的面积为， ∴，即， 解得（负值已舍去）， ∴， ∵矩形， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $