第19讲 直角三角形（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2026年中考数学一轮复习《知识解读・题型训练》（全国通用）

该初中数学讲义聚焦直角三角形性质与判定、勾股定理及逆定理等中考核心考点，按“性质-判定-应用”逻辑架构知识点，通过考点梳理、典例精析、变式训练、真题演练四环节，帮助学生系统构建知识网络，突破斜边上中线、30°角性质等难点。 亮点在于融合“数学思维”与“几何直观”，如通过赵爽弦图拼图题型培养推理能力，设计“基础巩固-能力提升-综合应用”分层练习。典例2折叠问题结合坐标系考查勾股定理应用，强化数学语言表达。资料可帮助学生高效掌握解题策略，教师可依此把控复习节奏，提升学生中考应试能力。

第19讲 直角三角形 知识点1：直角三角形的性质与判定 知识点2：勾股定理及逆定理 知识点1：直角三角形的性质与判定 直 角 三 角 形 性质 1.两锐角之和等于90° 2.斜边上的中线等于斜边的一半 3.30°角所对的直角边等于斜边的一半 1. 若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明） 2. 勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b,斜边为c,则 判定 1.有一个角为90°的三角形时直角三角形 2.有两个角的和时90°的三角形是直角三角形 1. 一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c若满足 ，那么这个三角形为直角三角形。 面积公式 ，其中a是底边常，hs是底边上的高 知识点2： 勾股定理及逆定理 （1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. （2） 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. （3）勾股数：像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【题型1：直角三角形的性质与判定】 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则______． 【变式1】如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则______． 【变式2】如图，菱形的对角线相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则菱形的面积是______． 【变式3】南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为_____________． 【题型2：勾股定理及逆定理】 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为______． 【变式1】如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则________． 【题型3：勾股定理与弦图、拼图】 【典例3】如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形和四边形都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形．若，则的长为__________．    【变式2】如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，，若与的面积相等，则的值为__________． 1．下列各组数中，不能组成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，9，13 2．如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，D为中点，若，则的长是（    ） A．3 B．1 C．4 D．2 4．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．如图，四边形为正方形，若的斜边，则图中线段的长为（   ） A．6 B． C．8 D． 5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A． B． C． D． 6．如图：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出，吸管长（    ）    A． B． C． D． 7．在中，斜边上的中线长度为5，直角边的长度为6，则直角边的长度为_______ ． 8．如图，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由降至．已知滑梯的长为，点，，在同一水平地面上，那么加长后的滑梯的长是________m． 9．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，则的长为___． 10．如图，在中，是边上的中线，是边上的高，，垂足为，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 11．如图，在，． (1)使用直尺和圆规，作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的长． 12．三角铁（如图1）是一种金属乐器，用三角铁棒击打三角铁，可以发出美妙的声响．已知有一个三角铁，如图2，经测量，，的面积为30平方寸． (1)求的周长． (2)如图3，将三角铁的边水平悬挂，在点B处固定三角铁棒，棒头为小球D，取一根和棒同样型号的三角铁棒，摘下棒头，使棒杆刚好卡在A处和小球D间，且棒自然下垂．求棒的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 直角三角形 知识点1：直角三角形的性质与判定 知识点2：勾股定理及逆定理 知识点1：直角三角形的性质与判定 直 角 三 角 形 性质 1.两锐角之和等于90° 2.斜边上的中线等于斜边的一半 3.30°角所对的直角边等于斜边的一半 1. 若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明） 2. 勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b,斜边为c,则 判定 1.有一个角为90°的三角形时直角三角形 2.有两个角的和时90°的三角形是直角三角形 1. 一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c若满足 ，那么这个三角形为直角三角形。 面积公式 ，其中a是底边常，hs是底边上的高 知识点2： 勾股定理及逆定理 （1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. （2） 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. （3）勾股数：像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【题型1：直角三角形的性质与判定】 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则______． 【答案】12 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线，勾股定理，中点坐标，求反比例函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．在中，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，利用勾股定理得到，则，再结合中点坐标公式，得到，根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出值． 【详解】解：在中，点C为的中点，， ， 点B的坐标为， ， ， ， 点C的坐标为，即， 反比例函数的图象经过点C， ， 故答案为：12． 【变式1】如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则______． 【答案】4 【分析】本题考查平行四边形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到，根据平行四边形的性质，推出是的中位线，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵点F为的中点， ∴； 故答案为：4． 【变式2】如图，菱形的对角线相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则菱形的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据菱形的性质，得到，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据菱形的面积公式对角线乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O，， ∴， ∴， ∵， ∴菱形的面积； 故答案为：． 【变式3】南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为_____________． 【答案】1.2 【分析】本题考查了含角的直角三角形，根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵E是斜梁的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1.2． 【题型2：勾股定理及逆定理】 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形变化-对称，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键．设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为， 故答案为： 【变式1】如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质和面积公式，平行四边形的性质和面积公式，勾股定理等知识点，掌握这些是解题的关键． 根据题意可得D点的纵坐标是C点纵坐标的一半，，过D点作轴，交轴于点，用勾股定理求出长即可． 【详解】解：过D点作轴，交轴于点，如图： 与矩形周长相等，， ， 的面积是矩形面积的一半，， ， 由勾股定理得：， 点D的坐标为． 故选：A． 【变式2】如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则________． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，翻折的性质，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，由，设，则，结合，求出，，由翻折得，设，则，，在中，利用，求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∴， 设，则， ∴， 得， 则，， 由翻折得， 设， 则，， 在中，， 即， 解得：， 即， 故答案为：． 【题型3：勾股定理与弦图、拼图】 【典例3】如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的正切值，相似三角形的判定和性质，三线合一，全等三角形的性质，根据题意，设，，则：，三线合一，得到，进而得到，证明，得到，进而求出的数量关系，再根据正切的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴设，，则：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得或（不合题意，舍去）； 在中，； 故选A． 【变式1】如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形和四边形都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形．若，则的长为__________．    【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理，根据正方形，全等三角形的性质得到，，在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为：5 ． 【变式2】如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，，若与的面积相等，则的值为__________． 【答案】1 【分析】本题考查了全等三角形的性质、分式的求值，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先分别求出与的面积，再根据与的面积相等可得，然后计算分式的减法，代入计算即可得． 【详解】解：由题意得：，，，，， ∴， ∴的面积为， 的面积为， ∵与的面积相等， ∴，即， ∴， 故答案为：1． 1．下列各组数中，不能组成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，9，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握判定一个三角形是直角三角形的方法：①先确定最长边，算出最长边的平方；②计算另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，选项错误； B、，能构成直角三角形，选项错误； C、，能构成直角三角形，选项错误； D、，不能构成直角三角形，选项正确； 故选：D． 2．如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，正确利用勾股定理求出是解题的关键．先利用勾股定理求出，再根据题意得到，则点所表示的数为． 【详解】解：由题意得， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 3．如图，在中，，D为中点，若，则的长是（    ） A．3 B．1 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：． 【详解】∵，D为中点， ∴． 故选：D． 4．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．如图，四边形为正方形，若的斜边，则图中线段的长为（   ） A．6 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，勾股定理，由勾股定理可求的长，由全等三角形的性质可求，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，标注顶点， 在中，， ， ，， ， ． 故选：D． 5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理及正切的定义，求出相关线段的长度并能根据定义准确计算是正确解答此题的关键． 由折叠可得，设，则，根据勾股定理建立方程求出的长度，进而根据正切即可求解． 【详解】解： 根据题意得，，设，则． 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得， 故， 故选C． 6．如图：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出，吸管长（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱体的性质，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据圆柱体的性质，结合勾股定理解答即可． 【详解】解：根据题意，得圆柱底面半径为，    故底面直径为，高为， 则， 故圆柱内部吸管长， 又露出的部分至少为， 故吸管长． 故选：A． 7．在中，斜边上的中线长度为5，直角边的长度为6，则直角边的长度为_______ ． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理，直角三角形斜边上的中线即可得出结论． 【详解】解：∵斜边上的中线长度为5， ∴， ∵， ∴， 故答案为：8． 8．如图，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由降至．已知滑梯的长为，点，，在同一水平地面上，那么加长后的滑梯的长是________m． 【答案】 【分析】先在含角的直角三角形中求出的长度，再在含角的直角三角形中利用角的性质求出的长度．本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义及角的直角三角形性质是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ，， （）． 在中，， （）． 故答案为： ． 9．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，则的长为___． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出的长度，再根据线段垂直平分线的性质得到，设，用含的式子表示和，最后在中利用勾股定理列方程求解． 本题主要考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理的内容以及线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题的关键． 【详解】解：连接． ∵在中，，，， ∴根据勾股定理． ∵是的垂直平分线， ∴． 设，则，． 在中，， 即， 解得， 所以． 故答案为： ． 10．如图，在中，是边上的中线，是边上的高，，垂足为，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，解题关键在于掌握性质． （1）连接，根据直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定即可证明结论； （2）根据题意可得，，利用勾股定理即可求得的值，利用三角形面积公式即可求得答案． 【详解】（1）证明：连接， 是边上的中线，是边上的高， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：由（1）得， ，， 在直角中， ， ． 11．如图，在，． (1)使用直尺和圆规，作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查了作图—中线的作法，勾股定理，含的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，理解相关知识是解答关键． （1）分别以点、为圆心，大于一半长为半径画弧，两条弧分别相交于点和，连接交于点，连接即可求解； （2）利用含的直角三角形的性质得到，利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上的中线性质求解． 【详解】（1）解：分别以点、为圆心，大于一半长为半径画弧，两条弧分别相交于点和，连接交于点，连接，即为所求作的边上的中线． （2）解： ，， ． 在，， ， ， ． 是中边上的中线， ． 12．三角铁（如图1）是一种金属乐器，用三角铁棒击打三角铁，可以发出美妙的声响．已知有一个三角铁，如图2，经测量，，的面积为30平方寸． (1)求的周长． (2)如图3，将三角铁的边水平悬挂，在点B处固定三角铁棒，棒头为小球D，取一根和棒同样型号的三角铁棒，摘下棒头，使棒杆刚好卡在A处和小球D间，且棒自然下垂．求棒的长． 【答案】(1) (2)寸 【分析】（1）如图所示，作于H，由得到，，然后推出，由的面积为30平方寸求出，进而求解即可； （2）如图所示，记交于点P，由得到，利用勾股定理求出，，设，则，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，作于H ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵的面积为30平方寸 ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴的周长（寸）； （2）如图所示，记交于点P， 根据题意得，，， ∴，即 ∴，即 ，， 设，则 ∵ ∴ 解得 答：棒的长为寸． 【点睛】此题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $