第18讲 等腰三角形（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2026年中考数学一轮复习《知识解读・题型训练》（全国通用）

该初中数学中考复习讲义聚焦等腰三角形专题，系统梳理等腰三角形与等边三角形的性质、判定及综合应用三大核心考点，通过“知识点清单-典例精析-变式训练-综合应用”四阶教学流程，帮助学生构建知识网络，突破中考高频难点。 亮点在于“真题溯源+方法迁移”教学创新，如结合江苏、江西等地中考真题，提炼“三线合一”“等角对等边”等解题模型，培养学生几何直观与推理意识。设置分层练习与限时真题演练，助力学生高效掌握解题技巧，教师可据此精准把控复习节奏，提升备考效率。

第18讲 等腰三角形 知识点1：等腰三角形的性质与判定 知识点2：等边三角形的性质与判定 知识点1：等腰三角形的性质与判定 性质 1. 等腰三角形的两个底角度数相等 2. 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”） 3. 等腰三角形是轴对称图形，有2条对称轴 判定 1. 有两条边相等的三角形的等腰三角形 2. 有两个角相等的三角形是等腰三角形 面积公式 ，其中a是底边常，hs是底边上的高 知识点2：等边三角形的性质与判定 性质 1. 三条边相等 2. 三个内角相等，且每个内角都等于60° 3. 等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴 判定 1. 三条边都相等的三角形是等边三角形 2. 三个角相等的三角形是等边三角形 3. 有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形 面积公式 是等边三角形的边长，h是任意边上的高 【题型1：等腰三角形的定义及性质】 【典例1】（2025·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角的度数也为， ∴它的顶角的度数是； 故答案为：． 【变式1】（2025·青海西宁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分3为腰长和7为腰长，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当3为腰长时，第三边长为3，，不能构成三角形，不符合题意； 当7为腰长时，第三边长为7，，能构成三角形，符合题意； 故第三边长为7； 故答案为：7． 【变式2】（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形，分情况讨论，先利用三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为时，三条边长为，，，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，三条边长为，，，，能构成三角形， 周长为：， 故答案为：10． 【变式3】（2025·四川成都·二模）如图，将绕点A顺时针旋转，得到，且点B的对应点M恰好落在上，则的度数为 度． 【答案】108 【分析】本题考查旋转的性质，等角对等边，三角形的内角和定理，由旋转得，，根据等角对等边以及三角形的内角和定理，可得，进而根据邻补角的定义即可求解． 【详解】解：由旋转得， ∴， ∴， 故答案为：108． 【题型2：等腰三角形的性质与判定综合】 【典例2】（2024·江西·中考真题）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 【答案】（1）是等腰三角形；理由见解析；（2）①B；②． 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键； （1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，推出，再等角对等边即可证明是等腰三角形； （2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形； ②由①得，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：（1）是等腰三角形；理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①∵中， ∴，， 同（1）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，，， 即、、、是等腰三角形；共有四个， 故选：B． ②∵中，，， ∴，， 由①得， ∴． 【变式1】（2025·福建·模拟预测）如图，在中，P是的中点，于点D，于点E，且，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意得到，再证明，得到即可求证． 【详解】解：∵， ∴， ∵P是的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式2】在中，，平分交于D，E，F在上，且． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质以及三角形全等是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，由角平分线定义得出，由三角形的外角性质即可解答； （2）由（1）得得出，证出得出，证明得出，再根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）证明：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型3：等边三角形的性质】 【典例3】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，坐标系中图形的平移，根据等边三角形的性质求出点坐标是解题关键． 过点B作的垂线，通过点A，C的坐标确定与坐标轴的位置关系，再利用等边三角形的性质求出点B的坐标，利用坐标系中图形的平移规律求解即可． 【详解】解：如图，过点B作，垂足为D， ∵，， ∴轴， ∴轴， ∵是等边三角形，， ∴， 又， ∴，， ∴， ， ∴， ∴在向左平移1个单位长度后，点B的坐标为， 故选：A． 【变式1】（2025·广西·中考真题）如图，点在同侧，，则 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定以及勾股定理，过点作垂线交于点，先证明，得到，证明在同一线上，根据勾股定理得到，最后通过线段和和差即可求． 【详解】解：过点作垂线交于点，即 ，即是的垂直平分线， ∵， 在同一线上， ， 故答案为：．    【变式2】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形的性质，得到为含30度角的直角三角形，，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形，为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 【变式3】（2024·江苏南京·中考真题）如图，在边长为4的等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，则 ． 【答案】 【分析】过点E作交延长线于点H，由等边三角形的性质得到，继而由三线合一得到，，由勾股定理得到，旋转得到，，则，继而，即可求解面积． 【详解】解：过点E作交延长线于点H， ∵为等边三角形 ∴， ∵是中线， ∴，， ∴由勾股定理得：， 由旋转得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，旋转的性质，正确构造辅助线是解题的关键． 【题型4：等边三角形的性质与判定综合】 【典例4】（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 【变式1】（2025·浙江·中考真题）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，长为半径的半圆，交于点D，与相切于点E，连接 (1)求证：． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据等边对等角导角得到，再结合圆的切线性质得到，即可证明垂直； （2）先得到是等边三角形，则，解求出，根据，求出，再由梯形面积公式求解． 【详解】（1）证明：由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵以点O为圆心，长为半径的半圆与相切于点E， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 【变式2】（2025·江西赣州·一模）【课本再现】分别以，为边作等边和等边，连接和，则与之间具有一定的数量关系． (1)如图1，当B，C，E三点在同一直线上时，与的数量关系是_________； (2)如图2，当B，C，E三点不在同一直线上时，与还具有上述数量关系吗？请说明理由； (3)如图3，四边形中，，，，，，连接，求的长． 【答案】(1) (2)仍然具有的数量关系，理由见详解 (3)的长为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，利用 “”证明即可； （2）根据等边三角形的性质，利用 “”证明即可； （3）根据等边三角形的性质，利用 “”证明，得到，然后证明是直角三角形，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解： 和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． （2）解： 和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． （3）解：以为边作等边，连接， ，， ，， 是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ． ，， ， 是直角三角形， 在中，根据勾股定理， ， ． 【变式3】（2025·河南郑州·模拟预测）综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2） ，理由见解析；（3）或 【分析】由旋转的性质可得，，可得是等边三角形，可求，由可证≌，可得； 由全等三角形的性质可得，即可求解； 分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，通过证明∽，可得，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：，； ，理由如下： ， ， ； 如图，当点在线段上时，过点作，交于， ，， ， ， ， ∽， ， 设， ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ； 如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于， 同理可求：， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，平分，若，则（   ） A．5 B．6 C．10 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了三线合一定理，根据三线合一定理可得，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，，将绕着点顺时针方向旋转得到；，相交于点． 若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和平行线的性质，求出的度数是解题的关键．由旋转的性质可得，，再由平行线的性质得，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得的度数，即可求解． 【详解】解：将绕着点顺时针方向旋转得到， ，， 在中，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．（2024·河南信阳·三模）中国的风筝已有多年的历史．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．如图是一个风筝骨架的示意图，已知，且，，与的夹角为，则该骨架中的长度应为（    ）        A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的余弦值解直角三角形可求得的长度，再根据等腰三角形的性质可求的长度． 本题考查解直角三角形的应用和等腰三角形的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键． 【详解】且， ， ， 且， ． 故选C． 4．（2025·陕西·模拟预测）如图，在等边中，点是其内部一点，连接、，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．根据将绕点顺时针旋转得到，可得，进而判定是等边三角形，由此得出结论． 【详解】解：∵等边， ∴，， 将绕点顺时针旋转，得到， ，， 是等边三角形， ， 故选：C． 5．（2025·湖北·模拟预测）分别以的两边、向形外作等边和等边，、分别交、于点、，、相交于点，连接并延长交于点，则下列结论中正确的是（   ） ① ② ③ ④平分 ⑤平分． A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解本题的关键． 由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出符合题意；利用全等三角形的对应边相等即可得到，符合题意；利用全等三角形的对应角相等得到，再由对顶角相等和三角形内角和定理得出符合题意；运用全等三角形的判定与性质，角平分线的判定得出符合题意，运用外角性质以及全等三角形的对应角相等进行分析，得出④不符合题意，即可得出结论． 【详解】解：和都为等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， 故符合题意； ∵， ， 故符合题意； ∵， ， 又， ∴ ， 故符合题意， 作于P，于，如图所示； 则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴平分， 故符合题意； 则， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 只有时，即，则， ∵， ∴， 分析题干，不一定相等，不一定相等， ∵，， 故不一定等于． 故不符合题意 故选：C． 6.（2025·浙江·模拟预测）如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，两圆的位置关系，掌握这些知识是关键； 连接三个圆心，构造了一个等边三角形，其边长是，则它的高是，则雕塑的最高点到地面的距离为三角形高与1的和． 【详解】解：连接三个圆心，如图， ∴是等边三角形，且， ∴它一边上的高是：， ∴雕塑的最高点到地面的距离为：． 故选：A． 7.（2025·福建福州·模拟预测）如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为，小臂到地面的距离约，则适合小明的绳长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．如图，过A作于D，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于D， ∵， ∴ ， 在中，， ∴， ∴绳长为； 故答案为：． 8．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为 ． 【答案】15 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，，再根据三角形面积公式求解即可． 本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：在中，，平分交于点， ，， ， ， 即的面积为， 故答案为：． 9．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，已知，点，， ，，在射线上，点、、， ，在射线上，、、、…均为等边三角形，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，首先根据等边三角形的性质得，进而得，再根据等腰三角形的性质得，故得的边长为，同理得的边长为， 的边长为，以此规律可得，的边长，再根据等边三角形边长求出面积.熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴的边长为， 同理：的边长为， 的边长为，以此规律可得，的边长为， ∴的边长为， ∴的面积， 故答案为：． 10.（2025·重庆·模拟预测）如图，是等边三角形，点B的坐标是，若反比例函数图象的一支经过点A，则k的值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作轴于点，根据等边三角形可得，，再由勾股定理求解，即可得到的坐标，再由待定系数法求解． 【详解】解：过点作轴于点，    ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵反比例函数图象的一支经过点A， ∴， 故答案为：． 11．（2025·浙江台州·一模）如图，在中，，点O为中点，点D在边上，连接． (1)如图1，若，于点E，求证：； (2)如图2，已知．若点F在边上，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)1或3 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证明，即可得出结论； （2）连接，过点O作于点G，于点H，由等腰直角三角形的性质得，平分，，则，，，得，，再分两种情况，①点F在线段上时，证明，得，则；②点F在线段上时，同理可证，得，则；即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接，过点O作于点G，于点H， 则， ∵，点O为中点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 分两种情况： ①点F在线段上时， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②点F在线段上时， 同理可证：， ∴， ∴； 综上所述，的长为1或3． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 12．（2025·湖北·模拟预测）如图，已知和都是等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，于点． (1)求证：； (2)直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，，据此判断出，然后根据全等三角形的判定方法，判断出； 根据，即可判断出，，进而判断出的度数为即可；最后根据，，，得到，于是得到结论． 此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 【详解】（1）证明：和均为等腰直角三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， （2）解：，理由如下： ， ，， 点B，，在同一直线上， ， ， ； ，，， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 等腰三角形 知识点1：等腰三角形的性质与判定 知识点2：等边三角形的性质与判定 知识点1：等腰三角形的性质与判定 性质 1. 等腰三角形的两个底角度数相等 2. 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”） 3. 等腰三角形是轴对称图形，有2条对称轴 判定 1. 有两条边相等的三角形的等腰三角形 2. 有两个角相等的三角形是等腰三角形 面积公式 ，其中a是底边常，hs是底边上的高 知识点2：等边三角形的性质与判定 性质 1. 三条边相等 2. 三个内角相等，且每个内角都等于60° 3. 等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴 判定 1. 三条边都相等的三角形是等边三角形 2. 三个角相等的三角形是等边三角形 3. 有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形 面积公式 是等边三角形的边长，h是任意边上的高 【题型1：等腰三角形的定义及性质】 【典例1】（2025·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 【变式1】（2025·青海西宁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为 ． 【变式2】（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为 ． 【变式3】（2025·四川成都·二模）如图，将绕点A顺时针旋转，得到，且点B的对应点M恰好落在上，则的度数为 度． 【题型2：等腰三角形的性质与判定综合】 【典例2】（2024·江西·中考真题）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 【变式1】（2025·福建·模拟预测）如图，在中，P是的中点，于点D，于点E，且，求证：是等腰三角形． 【变式2】在中，，平分交于D，E，F在上，且． (1)求的度数； (2)求证：． 【题型3：等边三角形的性质】 【典例3】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广西·中考真题）如图，点在同侧，，则 ．    【变式2】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则 ． 【变式3】（2024·江苏南京·中考真题）如图，在边长为4的等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，则 ． 【题型4：等边三角形的性质与判定综合】 【典例4】（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【变式1】（2025·浙江·中考真题）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，长为半径的半圆，交于点D，与相切于点E，连接 (1)求证：． (2)若，求四边形的面积． 【变式2】（2025·江西赣州·一模）【课本再现】分别以，为边作等边和等边，连接和，则与之间具有一定的数量关系． (1)如图1，当B，C，E三点在同一直线上时，与的数量关系是_________； (2)如图2，当B，C，E三点不在同一直线上时，与还具有上述数量关系吗？请说明理由； (3)如图3，四边形中，，，，，，连接，求的长． 【变式3】（2025·河南郑州·模拟预测）综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，平分，若，则（   ） A．5 B．6 C．10 D．13 2．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，，将绕着点顺时针方向旋转得到；，相交于点． 若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河南信阳·三模）中国的风筝已有多年的历史．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．如图是一个风筝骨架的示意图，已知，且，，与的夹角为，则该骨架中的长度应为（    ）        A． B． C． D． 4．（2025·陕西·模拟预测）如图，在等边中，点是其内部一点，连接、，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖北·模拟预测）分别以的两边、向形外作等边和等边，、分别交、于点、，、相交于点，连接并延长交于点，则下列结论中正确的是（   ） ① ② ③ ④平分 ⑤平分． A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 6.（2025·浙江·模拟预测）如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为（　　）． A． B． C． D． 7.（2025·福建福州·模拟预测）如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为，小臂到地面的距离约，则适合小明的绳长为 ． 8．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为 ． 9．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，已知，点，， ，，在射线上，点、、， ，在射线上，、、、…均为等边三角形，若，则的面积为 ． 10.（2025·重庆·模拟预测）如图，是等边三角形，点B的坐标是，若反比例函数图象的一支经过点A，则k的值是 ．    11．（2025·浙江台州·一模）如图，在中，，点O为中点，点D在边上，连接． (1)如图1，若，于点E，求证：； (2)如图2，已知．若点F在边上，，求的长． 12．（2025·湖北·模拟预测）如图，已知和都是等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，于点． (1)求证：； (2)直接写出，，之间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $