第17讲 全等三角形（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2026年中考数学一轮复习《知识解读・题型训练》（全国通用）

该初中数学中考复习讲义聚焦“全等三角形”专题，覆盖概念性质、判定（含平移等四种模型）、角平分线及垂直平分线性质判定等中考核心考点。通过知识点表格化梳理、模型分类解读、真题典例与变式训练的教学流程，帮助学生构建知识体系，突破判定与性质综合应用难点。 亮点在于模型化教学与分层训练结合，如提炼旋转型、一线三垂直等模型培养几何直观与空间观念，通过2024-2025中考真题变式训练发展推理意识。特设性质应用、判定证明等分层题型，配合即时反馈设计，助力学生高效掌握全等应用，教师可据此精准把控复习节奏，提升应考能力。

第17讲 全等三角形 知识点1：全等三角形的概念及性质 知识点2：全等三角形的判定 知识点3：角平分线的性质与判定 知识点4：垂直平分线的性质与判定 知识点1：全等三角形的概念及性质 概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形． 性质 1.两全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2.全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等． 3.全等三角形的周长、面积相等． 知识点2：全等三角形的判定 模型一：平移型 模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等. 模型示例 模型二：轴对称模型 模型分析:所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等. 模型三：旋转型 模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况： ①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角 ②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角. 模型四：一线三垂直型 模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角 知识点3：角的平分线的性质与判定 （一）作已知角的平分线 （已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 （三）角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 知识点4：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.作图 （1）分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； （2）作直线 CD，CD 为所求直线 3.性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 4.判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 【题型1：全等三角形的性质】 【典例1】（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【变式1】（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选C． 【变式2】（2024·浙江·中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（    ） A．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质，求得的长度，利用勾股定理即可解答，利用全等三角形的性质得到是解题的关键． 【详解】解：是四个全等的直角三角形， ，， ， 四边形为正方形， ， ， 故选：C． 【变式3】（2025·河北·一模）如图，，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质分别求出、，计算即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：4． 【题型2：全等三角形的判定】 【典例2】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质可得，再结合题意得到，根据即可证明． 【详解】解：， ， ， ，即， 在和中， ， ． 【变式1】（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（2025·陕西·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，运用全等转化思想．解题关键是利用正方形的边和角的性质证明三角形全等，进而通过线段的和差关系推导结论；易错点是对正方形性质理解不全面，或全等三角形的对应关系判断错误． 先根据正方形性质得出，，结合已知，证明，得到．再由正方形中，通过，推出． 【详解】证明：四边形是正方形， ． ， ， ， ，即． 【变式3】（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据，得到，利用，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即：， 在和中， ， ∴． 【题型3：全等三角形的性质与判定综合】 【典例3】（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形的中位线，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质； （1）证明是的中位线，即可得到，进而得到，然后利用证明三角形全等； （2）根据全等三角形的对应角相等得到，即可得到，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等得到结论即可． 【详解】（1）证明：∵，分别为边，的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【变式1】（2025·吉林·中考真题）如图，在矩形中，点E，F在边上，连接，． (1)求证：． (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据矩形得到，再结合已知条件由即可证明全等； （2）根据全等三角形得到，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式2】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，C是线段的中点，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)8 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键： （1）中点得到，平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据，得到，进而得到四边形为平行四边形，进而得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：是线段的中点， ． ， ． 在和中， ． （2），是线段的中点， ． ， ． 又， ∴四边形是平行四边形， ． 【变式3】（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质与折叠可得，与都是直角三角形，根据 “”即可证明； （2）由中点的定义得到，由折叠得到，设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形 ∴，， 由折叠可得，， ∴，， ∴在和中 ∴； （2）解：∵，点E是的中点， ∴， 由折叠得到， ∵ ， ∴ 设，则， ∵在中，， ∴ 解得 ∴． 【题型4：角平分线性质与判定综合】 【典例4】（2025·山东滨州·中考真题）如图，的两个外角的平分线，相交于点O．若点O到的距离为，，则的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质，得到点到的距离等于点O到的距离，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵的两个外角的平分线，相交于点O， ∴点到的距离等于点O到的距离，且点到的距离等于点O到的距离， ∴点到的距离等于点O到的距离， ∵点O到的距离为， ∴点到的距离为， ∵， ∴的面积为； 故答案为：7． 【变式1】（2025·海南·中考真题）如图，在菱形中，对角线、相交于点．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，尺规作图作角平分线，角平分线的性质定理． 作交于I，根据菱形的性质可知，由作图可知平分，即，进而根据三角形面积公式计算即可． 【详解】如图，作交于I， ∵菱形， ∴，即， 由作图可知平分， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 【详解】解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 【变式3】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图及角的计算，角平分线的性质定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. （1）由题意先作的垂直平分线，再根据点到的两边距离相等可知点在的角平分线上，据此作图即可. （2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得，然后由和，得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线，点即为所求. （2）解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵平分， ∴， ∵直线，即， ∴， ∴． 【题型5：垂直平分线性质与判定综合】 【典例5】（2025·山东·中考真题）在中，，，的平分线交于点．如图1． (1)求的度数； (2)已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F．如图2，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了三角形的外角性质，垂直平分线的作法和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）由角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求解即可； （2）由作图知是线段的垂直平分线，求得，求得，，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）解：由作图知是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】（2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了尺规作线段的垂线、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质以及勾股定理等知识，读懂作图信息、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 易得，连接，如图，据题意可得：，垂直平分，可得，，证明，再利用勾股定理即可求出答案. 【详解】解：∵，， ∴, 连接，如图，据题意可得：，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得； 故答案为：12. 【变式2】（2025·新疆·中考真题）如图，在四边形中，，是对角线． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别以B、D为圆心，以大于长的一半画弧，二者交于M、N，连接分别与与边分别交于点E，F，则点E和点F即为所求； （2）由线段垂直平分线的定义打得到，，，再由等边对等角和平行线的性质可推出，则可证明，得到，据此可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：如图所示， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【变式3】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明得到，根据得到，那么可得四边形是平行四边形，再由线段垂直平分线的性质得到，即可证明其为菱形； （2）根据菱形的性质结合已知条件证明，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵对角线的垂直平分线是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：如图， ∵平分， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形对应角相等，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题关键．根据全等三角形对应角相等可得，，然后利用三角形内角和定理计算出的度数可得答案． 【详解】解：, ，， , 故选：C． 2．（2025·广东东莞·三模）如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质的应用，能够熟练运用角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是， ∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是． 故选：C． 3．（2025·广东茂名·模拟预测）如图为个边长相等的正方形的组合图形，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形，准确识图并判断出全等的三角形是解题的关键，标注字母，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，从而求出． 【详解】解：如图，在和中， ， ， ， ， ， 故选：B．    4．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质． 根据垂直平分线的性质可得，则的周长为． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ，， ． 故选：． 5．（2024·山东潍坊·一模）如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于（    ） A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 【答案】A 【分析】此题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键． 延长交于点F，通过证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理得出，即可得出结果． 【详解】解：延长交于点F， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵D是中点， ∴， ∴是的中位线， ∴ ∴， 故选：A． 6．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．连接，，若，，则大正方形的边长为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题以“赵爽弦图”为背景考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据题意及全等三角形的判定得出，确定，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．（2025·甘肃·一模）如图，的边的垂直平分线交于点D，连接．若，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是掌握线段垂直平分线的性质并能运用求解． 根据题意得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵的边的垂直平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的长为8， 故答案为：8． 8．（2021·宁夏银川·一模）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G，点P为线段上的一个动点，连接．若，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质定理、垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先根据垂线段最短可得当时，线段的值最小，再根据角平分线的性质定理求解即可得． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，线段的值最小， 由作图可知，平分， ∵，，即，且， ∴， ∴线段长度的最小值是1， 故答案为：1． 9．（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，平分，D是的中点， ，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是通过延长线段构造全等三角形，将已知边的长度关系转化为新线段的长度，再利用中点条件确定中位线，进而求出目标线段长度． 延长、相交于点F，利用平分得到，结合得出，再根据公共边，通过判定定理证明；由全等三角形的性质可得、，结合已知、，计算出；因为D是的中点且，所以符合三角形中位线的定义，即是的中位线，最后根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”，求出． 【详解】解：延长，相交于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点，， ∴是的中位线， ， 故答案为：． 10．（2025·湖南长沙·一模）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的长 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）先证明，然后根据，再结合已知条件可得结论； （2）根据，得出，根据得出，最后根据线段和差间的关系，得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】(1)证明见解析 (2)条件①，四边形为矩形；条件②，四边形为菱形，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形和矩形的判定，熟练掌握各四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行得到，，再由，即可由证明全等； （2）先证明四边形为平行四边形，再根据选择的条件结合菱形和矩形判定证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴ （2）解：选择条件①，四边形为矩形，理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 选择条件②，四边形为菱形，理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 12．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）利用正方形的性质求得，证明，推出，根据即可求解； （2）在上截取，证明，推出，，证明是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得； （3）在上截取，证明，得到，，同理，得到是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得． 【详解】解：（1），理由如下， 如图，当点G，H重合时， ∵正方形与正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， 由（1）得， ∴， 在上截取， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下， 由（1）得， ∴，， 在上截取， ∵，， ∴， ∴，， 同理，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，作出辅助线，证明三角形全等是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 全等三角形 知识点1：全等三角形的概念及性质 知识点2：全等三角形的判定 知识点3：角平分线的性质与判定 知识点4：垂直平分线的性质与判定 知识点1：全等三角形的概念及性质 概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形． 性质 1.两全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2.全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等． 3.全等三角形的周长、面积相等． 知识点2：全等三角形的判定 模型一：平移型 模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等. 模型示例 模型二：轴对称模型 模型分析:所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等. 模型三：旋转型 模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况： ①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角 ②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角. 模型四：一线三垂直型 模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角 知识点3：角的平分线的性质与判定 （一）作已知角的平分线 （已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 （三）角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 知识点4：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.作图 （1）分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； （2）作直线 CD，CD 为所求直线 3.性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 4.判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 【题型1：全等三角形的性质】 【典例1】（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ． 【变式1】（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（2024·浙江·中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（    ） A．5 B． C． D．4 【变式3】（2025·河北·一模）如图，，若，，则的长为 ． 【题型2：全等三角形的判定】 【典例2】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 【变式1】（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·陕西·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【变式3】（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 【题型3：全等三角形的性质与判定综合】 【典例3】（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证： (1)； (2)． 【变式1】（2025·吉林·中考真题）如图，在矩形中，点E，F在边上，连接，． (1)求证：． (2)当，时，求的长． 【变式2】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，C是线段的中点，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【变式3】（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型4：角平分线性质与判定综合】 【典例4】（2025·山东滨州·中考真题）如图，的两个外角的平分线，相交于点O．若点O到的距离为，，则的面积为 ． 【变式1】（2025·海南·中考真题）如图，在菱形中，对角线、相交于点．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则 ． 【变式2】（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【变式3】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 【题型5：垂直平分线性质与判定综合】 【典例5】（2025·山东·中考真题）在中，，，的平分线交于点．如图1． (1)求的度数； (2)已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F．如图2，求的长． 【变式1】（2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ． 【变式2】（2025·新疆·中考真题）如图，在四边形中，，是对角线． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形为菱形． 【变式3】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，平分，求的长． 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东东莞·三模）如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东茂名·模拟预测）如图为个边长相等的正方形的组合图形，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为（   ） A． B． C．1 D． 5．（2024·山东潍坊·一模）如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于（    ） A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 6．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．连接，，若，，则大正方形的边长为（    ）    A．2 B． C． D． 7．（2025·甘肃·一模）如图，的边的垂直平分线交于点D，连接．若，，则 ． 8．（2021·宁夏银川·一模）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G，点P为线段上的一个动点，连接．若，则线段长度的最小值是 ． 9．（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，平分，D是的中点， ，则的长度为 ． 10．（2025·湖南长沙·一模）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的长 11．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 12．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $