第13讲 二次函数（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2026年中考数学一轮复习《知识解读・题型训练》（全国通用）

该初中数学讲义聚焦二次函数中考核心考点，系统覆盖概念、解析式三种形式、图象性质、平移规律及与一元二次方程关系，构建“知识点梳理-题型突破-综合应用”复习框架，通过考点精讲、典例解析、变式训练帮助学生突破对称轴、顶点坐标等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于以题型为载体培养数学思维与应用意识，如通过“确定二次函数解析式”“图象变换”等题型训练，结合真题变式引导学生抽象数量关系、推理函数性质。设置基础题、综合题分层练习，配合即时反馈机制，助力学生高效掌握解题方法，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第13讲 二次函数 知识点1：二次函数的概念 知识点2：二次函数解析式的三种形式 知识点3：二次函数的图象及性质 知识点4：抛物线的平移 知识点5：二次函数与一元二次方程的关系程的关系 知识点1:二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 知识点2：二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 知识点3：二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 知识点4：抛物线的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 知识点5：二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． （1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 【题型1：确定二次函数解析式】 【典例1】抛物线如图所示，则它的解析式是 ． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，根据图象确定抛物线过点，将其代入解析式求出b，c的值即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线过点， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：． 【变式1】某二次函数图象开口向下，顶点在y轴上，且经过点，请写出一个符合上述条件的函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，求解二次函数的解析式，根据题意设抛物线解析式为，再代入即可得到答案. 【详解】解：根据题意设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的解析式可以是：， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：，． 故答案为：，． 【变式3】抛物线与x轴交于和两点，则抛物线的解析式为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查用待定系数法求二次函数的解析式，把A、B的坐标代入抛物线的解析式得到方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式是：， 故答案为：． 【题型2：二次函数的图像和性质】 【典例2】对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式 的顶点坐标为 是解题关键． 根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 ，直接读取函数中的 和 值． 【详解】∵ 抛物线为 ，与顶点式 对比， 得 , ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选： A． 【变式2】已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 【变式3】已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与x轴的交点问题，与y轴的交点问题，顶点坐标，根据当时，的值随值的增大而减小，得出，对称轴为直线，故，即，再分析函数图象的顶点，得出，又因为，故该函数图象的顶点位于第二象限或轴上，则该函数的最大值不小于，再分析，得出，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，当时，的值随值的增大而减小， ∴，对称轴为直线， 则， ∵， 即， ∴， 故A选项不符合题意； 该函数图象的顶点为，即， ∵， ∵ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴该函数图象的顶点位于第二象限或轴上， 故B选项不符合题意； 当该函数图象的顶点位于轴上， 令，则， ∵ ∴该函数的最大值为， 当该函数图象的顶点位于第二象限， 此时该函数的最大值大于， 综上该函数的最大值不小于， 故D选项符合题意； 依题意，中的， ∵， ∴， 即 ∴方程有两个不相等的实数根 故C选项不符合题意； 故选：D 【题型3：二次函数的图像变换】 【典例3】将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 【变式1】将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．向右平移3个单位，向上平移2个单位 B．向左平移3个单位，向下平移2个单位 C．向右平移3个单位，向下平移2个单位 D．向左平移3个单位，向上平移2个单位 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象平移的规律．根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”进行分析即可． 【详解】解：∵原抛物线为，平移后为， ∴表示向左平移3个单位， 表示向下平移2个单位， ∴平移方式是向左平移3个单位，向下平移2个单位． 故选：B． 【变式2】将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为 . 【答案】 【分析】本题考查函数图象的平移，根据平移规律“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】解：的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到 ， 即． 故答案为： 【变式3】把函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后图象的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则，上加下减，左加右减，进行求解即可． 【详解】解：函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后图象的函数解析式为，即； 故答案为：． 【题型4：二次函数与方程、不等式】 【典例4】如图，抛物线经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点，正确得出抛物线与轴的交点坐标是解题关键．先通过对称轴得出的对称点，即为抛物线与轴的交点，再求出一元二次方程的根即可． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点是，对称轴为直线， 设另一个交点的坐标为， ∴，解得， ∴抛物线与轴的另一个交点是， ∴一元二次方程的解是：，． 故答案为：，． 【变式1】如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据函数图象确定不等式解集，掌握数形结合思想是解题的关键． 利用函数图象，写出二次函数的图象在一次函数的图象下方部分所对应的自变量范围即可． 【详解】解：如图：∵二次函数的图象与一次函数的图象交于点，， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 【变式2】如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是 ； 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，观察图像可知二次函数有两个根，抛物线的两个根关于对称轴对称，正确利用数形结合分析是解题关键．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与轴的另一个交点，进而得出答案． 【详解】解：二次函数的抛物线与轴交于，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点为：， 故当函数值时，自变量的取值范围是：． 故答案为：． 【变式3】若关于的两个函数与的图象有且只有一个交点，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，根据一元二次方程根的情况求参数，解题的关键是联立两个函数解析式，得到一个一元二次方程，结合一元二次方程的根的判别是进行求解．联立两个函数解析式，得到一个一元二次方程，根据，列出方程，解方程求出的值，即可求解． 【详解】解：由，得：， 整理得：， ∵两个函数与的图象有且只有一个交点， ∴， 即， 解得：，． 故答案为：或． 【题型5：二次函数的图像与系数的关系】 【典例5】如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是 （写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴交点的个数确定．根据对称轴、开口方向、可判断①②；根据图象与轴的交点位置可判断③，根据图象与轴的交点个数可判断④；根据时函数的值可判断⑤． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴，符合题意； ②∵抛物线的对称轴是直线，且， ∴， ∴， 符合题意； ③∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴，不符合题意； ④∵图象与x轴有2个交点， ∴，不符合题意； ⑤∵时，， ∴，符合题意； 故答案为：①②⑤． 【变式1】已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 【变式2】如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方， ∴抛物线与直线两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A ． 【变式3】如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程 的两根，且，则，；⑤关于的不等式 的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出 ，化简不等式为，求得解集，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵二次函数的图象过， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于两点，，且． ∴对称轴，即， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴ ， ∴，故③错误； ④如图， 关于的一元二次方程 的两个根，即函数与的交点的横坐标， ∵， ∴若和是关于的一元二次方程 的两根，且，则，；故④正确； ⑤∵二次函数的图象与轴交于两点，， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴可化为， 即， ∵， ∴， 解得：或， ∴关于的不等式 的解集为或不是故⑤错误 故正确的有①②④，共3个， 故选：B 1．关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上B．对称轴是直线C．与轴的交点坐标是D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 2．二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点坐标为． 根据二次函数顶点式的性质作答即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：C． 3．对于抛物线，下列说法正确的是() A．可由抛物线向左平移个单位长度得到 B．顶点坐标是 C．与轴无交点 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线顶点式性质，分析顶点坐标、开口方向、平移关系及与x轴交点情况． 【详解】解：∵抛物线为， ∴顶点坐标为，，开口向上． 对于A：向左平移个单位得，与给定抛物线不符，∴A错误． 对于B：顶点为，不是，∴B错误． 对于C：令，得，，方程有两个实数根，∴与x轴有交点，C错误． 对于D：∵开口向上，对称轴，∴当时，随的增大而增大，∴D正确． 故选：D． 4．抛物线经过平移得到抛物线，平移方法是（    ） A．向左平移个单位，再向上平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向右平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向下平移个单位 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，通过比较平移前后抛物线的顶点坐标，确定平移方向和平移单位，解题的关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，然后根据坐标变化判断平移方向． 【详解】解：∵原抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线 的顶点坐标为 ， ∴水平方向：从到，增加了，即向右平移个单位；垂直方向：从到，增加了，即向上平移个单位， ∴平移方法是向右平移个单位，再向上平移个单位， 故选：． 5．如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论正确的有（   ） ①；②；③函数的最大值为；④若关于的方程无实数根，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，根的判别式，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据二次函数的性质得出，，，即可判断①；根据对称轴即可判断②；根据交点，设抛物线的解析式为： ，代入即可判断③；根据一元二次方程的性质即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∵抛物线交轴于正半轴， ，故①正确， ∵抛物线的对称轴是直线 ，故②符合题意， ∵抛物线交轴于点, ， ∴可以设抛物线的解析式为： ， 当时，的值最大，最大值为，故③符合题意， 无实数根， 无实数根， ， ，故④符合题意， 综上，符合题意的4个， 故选：D． 6．写出一个顶点坐标为的二次函数解析式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数的顶点式为 的顶点坐标为是解题的关键， 利用二次函数的顶点式写出解析式即可． 【详解】解：由二次函数的顶点式为，其中 为顶点坐标． ∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴二次函数的解析式可以为． 故答案为 （答案不唯一）． 7．如图，小明在一次高尔夫球训练中，球的飞行路线是抛物线的一部分，若不考虑空气阻力，球的飞行高度与飞行距离之间的关系式为，则球能达到的最大高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用二次函数的性质求出y的最大值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴时，y有最大值，最大值为， ∴球能达到的最大高度为， 故答案为：． 8．已知二次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图像与性质，灵活运用函数图像经过的点确定参数并结合顶点坐标求取值范围是解题的关键．根据函数过点求出，进而得到，得到函数最大值为，从而确定时的取值范围． 【详解】解：由二次函数的图象过： ， ， ， 顶点坐标为：， 所以当时，的取值范围是：． 故答案为：． 9．如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象法求不等式的解集，利用数形结合的思想求解是解题的关键．先求出点B的坐标，根据图象可直接进行求解． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 解得：或， 根据题意：， 二次函数的图象与一次函数的图象交于点，， 由图象可得：当时，则有； 故答案为． 10．如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 【答案】该抛物线的表达式为 【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式，先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到、，设该抛物线的顶点式为，将代入解方程即可得到答案．根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表达式是解决问题的关键． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线顶点坐标为，，即， 设该抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， 该抛物线的表达式为． 11.已知函数，请按要求填空或解答问题： (1)函数图象的对称轴是直线__________，顶点坐标是__________． (2)画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当取何值时，函数值； (3)利用第（2）小题得到的图象，直接写出方程的解． 【答案】(1)， (2)图象见解析，当时，函数值 (3) 【分析】根据二次函数的图象与性质，画二次函数图象，利用函数图象求函数值． （1）直接根据二次函数的性质求解即可； （2）用五点法画图，再根据图象作答即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是． 故答案为：，； （2）解：列表， x 0 1 y 0 0 如图， 由图象可知，当时，函数值； （3）解：方程的解即为与的交点横坐标， 由图象可知，． 12．已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入，解关于m的方程即可； （2）通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况； （3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， 故答案为：2； （2）解：， ， ， ， 该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）解：的对称轴为直线， 二次项系数， 二次函数图像开口向上， ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 即， 或． 13．已知二次函数（a是常数且） (1)求二次函数的对称轴； (2)当时，y有最小值，求该二次函数的表达式； (3)已知点为二次函数图象上的两点，设，当，恒有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求解，还考查了函数性质的综合应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）利用二次函数对称轴公式求解即可； （2）由最小值条件解出a的值，得到函数表达式； （3）根据二次函数性质推导出的解集，求出t的范围即可． 【详解】（1）解：∵二次函数 ∴抛物线顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； （2）解：∵二次函数，，对称轴， ∴在内离对称轴越远的点，函数值越小： ∵， ∴当时，取值最小值， ∴ 解得：， 此时函数为． （3）解：∵二次函数，，对称轴， ∴ 当时，函数y随x的增大而减小，的最大值为：当时，最大值为． 恒有，则有， ∴， ∵， ， 解得， ∵， ∴且， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 二次函数 知识点1：二次函数的概念 知识点2：二次函数解析式的三种形式 知识点3：二次函数的图象及性质 知识点4：抛物线的平移 知识点5：二次函数与一元二次方程的关系程的关系 知识点1:二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 知识点2：二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 知识点3：二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 知识点4：抛物线的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 知识点5：二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． （1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 【题型1：确定二次函数解析式】 【典例1】抛物线如图所示，则它的解析式是 ． 【变式1】某二次函数图象开口向下，顶点在y轴上，且经过点，请写出一个符合上述条件的函数表达式： ． 【变式2】已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 【变式3】抛物线与x轴交于和两点，则抛物线的解析式为： ． 【题型2：二次函数的图像和性质】 【典例2】对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 【变式1】抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于 【题型3：二次函数的图像变换】 【典例3】将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ． 【变式1】将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．向右平移3个单位，向上平移2个单位 B．向左平移3个单位，向下平移2个单位 C．向右平移3个单位，向下平移2个单位 D．向左平移3个单位，向上平移2个单位 【变式2】将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为 . 【变式3】把函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后图象的函数解析式为 ． 【题型4：二次函数与方程、不等式】 【典例4】如图，抛物线经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是 ． 【变式1】如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ． 【变式2】如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是 ； 【变式3】若关于的两个函数与的图象有且只有一个交点，则的值为 ． 【题型5：二次函数的图像与系数的关系】 【典例5】如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是 （写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 【变式1】已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程 的两根，且，则，；⑤关于的不等式 的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上B．对称轴是直线C．与轴的交点坐标是D．顶点坐标是 2．二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 3．对于抛物线，下列说法正确的是() A．可由抛物线向左平移个单位长度得到 B．顶点坐标是 C．与轴无交点 D．当时，随的增大而增大 4．抛物线经过平移得到抛物线，平移方法是（    ） A．向左平移个单位，再向上平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向右平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向下平移个单位 5．如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论正确的有（   ） ①；②；③函数的最大值为；④若关于的方程无实数根，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．写出一个顶点坐标为的二次函数解析式： ． 7．如图，小明在一次高尔夫球训练中，球的飞行路线是抛物线的一部分，若不考虑空气阻力，球的飞行高度与飞行距离之间的关系式为，则球能达到的最大高度为 ． 8．已知二次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是 ． 9．如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ．    10．如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 11.已知函数，请按要求填空或解答问题： (1)函数图象的对称轴是直线__________，顶点坐标是__________． (2)画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当取何值时，函数值； (3)利用第（2）小题得到的图象，直接写出方程的解． 12．已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 13．已知二次函数（a是常数且） (1)求二次函数的对称轴； (2)当时，y有最小值，求该二次函数的表达式； (3)已知点为二次函数图象上的两点，设，当，恒有，求t的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $