26.1.2（第2课时）反比例函数的图象和性质的综合运用（培优教学课件）数学人教版九年级下册

该初中数学课件聚焦反比例函数图象和性质的综合运用，通过复习双曲线特征、象限分布及增减性等旧知搭建学习支架，衔接点与双曲线关系、取值范围确定等新知，形成完整知识脉络。 其亮点在于以典例精析为核心，通过待定系数法推理函数解析式培养数学思维，结合图象分析取值范围发展几何直观，知识清单系统梳理方法强化模型意识。如例2利用增减性求y范围，变式结合图象确定x取值，助力学生提升综合运用能力，也为教师提供结构化教学资源。

第26章 反比例函数 人教版 数学 九年级 下册 BY YUSHEN BY YUSHEN 26.1.2 （第2课时） 反比例函数的图象 和性质的综合运用 BY YUSHEN BY YUSHEN 复习引入 解析式 图象 所在象限 渐进性 k>0， 一、三象限 双曲线 k﹤0， 二、四象限 当k>0时,在每一象限内, y随x的增大而减小 当k< 0时,在每一象限内, y随x的增大而增大 增减性 双曲线的两支无限靠近坐标轴，但无交点 对称性 既是轴对称图形也是中心对称图形 或 或 x y o x y o 与 的图象关于x轴对称,也关于y轴对称 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考： 下列四个点中，与( 2,3 )在同一条双曲线上的是哪个点？ ① ( -6,1 ) ②( 1,6 ) ③ ( 2,-3 ) ④ ( 3,-2 ) 解：设这个双曲线解析式为 ，因为点 (2，3)在其图象上，所有 ， 解得 k = 6. 对于①：-6×1=-6 (不符合k的要求)，所以点①与( 2,3 )不在同一条双曲线上. 对于②：1×6= 6 (符合k的要求)，所以点②与( 2,3 )在同一条双曲线上. 对于③：2×-3=-6 (不符合k的要求)，所以点③与( 2,3 )不在同一条双曲线上. 对于④：3×-2=-6 (不符合k的要求)，所以点④与( 2,3 )不在同一条双曲线上. 综上所述，只有(1,6)与( 2,3 )在同一条双曲线上. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ 解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 已知某一点在函数图象上，先设出函数的解析式，将点的坐标带入求出参数，从而得出函数解析式，这就是待定系数法. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 (2) 点B(3，4)，C( -3，4)，D(2，5)是否在这个 函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12. 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足， 所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 所以反比例函数的解析式为 . BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 已知反比例函数 ，当 1<x<2 时，y 的取值范围是( ) A. 0<y<5 B. 1<y<2 C. 5<y<10 D. y>10 C 10 1 5 2 反比例函数 (1<x<2)的 大致图象如右图所示 在第一象限内，y 随 x 的增大而减小 BY YUSHEN BY YUSHEN 知识清单 已知一次函数和反比例函数值的大小关系， 根据图象确定自变量取值范围的方法 (1)定点：确定两个函数图象的交点坐标； (2)选段：当横坐标一致时，函数图象在上方的函数值大于函数图象在下方的函数值； (3)确定范围：根据选段确定自变量的取值范围，要特别注意反比例函数中自变量不能为0. BY YUSHEN BY YUSHEN 3 典例精析 变式 如图，反比例函数 的图象经过点A(3,1)，若y≤1，求x的取值范围. 解：由图得： 位于直线y=1及以下的部分， 对应的x的取值范围为x ＜ 0或 x ≥ 3 千万别忘记第三象限的图象也是直线y=1以下的部分 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 函数 y=k2x2－k 与 的图象大致是 ( ) C A. B. C. D. 当k>0时，函数 y=k2x2－k开口向上，顶点在y轴负半轴，函数 当k<0时，函数 y=k2x2－k开口向上，顶点在y轴正半轴，函数 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 已知反比例函数 的图象的一支如图所示，求△AOB的面积. 解：∵A点在反比例函数 的图象上， ∴设A(),(>0) 则AB=，OB=， ∴S△AOB=· ∴△AOB的面积为3. 你能得到更一般的结论吗？ BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 如图，正方形ABCD的边BC在x轴上，点E是对角线BD的中点，函数 (x>0)的图象经过A,E两点，求点E的横坐标. 解：∵函数 (x>0)的图象经过A,E两点， ∴设A(),(>0)，则E( 将E的坐标代入解析式，得，=3, 解得， (舍)， ∴点E的横坐标为 . BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 已知反比例函数 的图象如图所示. (1)求这个函数的表达式； (2)你认为点B(-1,6)是否在这个函数的图象上，请说明理由. 解：(1)∵反比例函数 的图象经过A(2,3), ∴k=2×3=6， ∴函数的表达式为. (2)点B(-1,6)不在这个函数的图象上，理由如下： 当x=-1时，. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例7 已知反比例函数 的图象的一支如图所示. (1)求这个函数的表达式，并画出该函数图象的另外一支； 解：(1) ∵反比例函数 的图象经过(3,-2), ∴k=-2×3=-6， ∴函数的表达式为 反比例函数图象的另外一支如图所示. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例7 已知反比例函数 的图象的一支如图所示. (2)求当y≤3且y≠0时自变量x的取值范围. 解：(2) 当y=3时，3=， ∴x=-2， 由图像可知，当y≤3且y≠0时， 自变量x的取值范围为 x≤-2或x>0. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例8 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例8 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例8 BY YUSHEN BY YUSHEN 反比例函数的 图象和性质的综合应用 归纳总结 判断点的位置 代入坐标，计算是否满足函数解析式 求点的坐标 代入点的横/纵坐标，求另一个坐标 求函数解析式 待定系数法 画函数图象 计算，描点，连线 比较大小 数形结合或利用函数的增减性 求取值范围 数形结合 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 2.已知反比例函数y=的图象经过点（2，-4），下列说法正确的是（　　） A. 点（-4，1）在它的图象上 B. 它的图象分布在一、三象限 C. 当x>0时，y随x的增大而增大 D. 当x<0时，y随x的增大而减小 C C BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 A 3.在反比例函数 (k<0)的图象上有三点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，若 x1<x2<0<x3，则下列结论正确的是( ) A.y1<y2<y3 B.y3<y1<y2 C.y3<y2<y1 D.y1<y3<y2 B BY YUSHEN BY YUSHEN 5.函数 y=kx－k 与 的图象大致是 ( ) D. x y O C. y A. y x B. x y O D O O x 当堂检测 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 B BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 7. 已知反比例函数 ，若A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)都在此函数上，且x1<0<x2<x3，则y1，y2，y3由小到大的顺序是_________. O x y 解：画出此函数的大致图象，如右图： 我们已知x1<0<x2<x3， 所以y1>0，y2<0，y3<0. 又因为由图可以看出在第四象限，y随着 x的增大而增大， 因为x2<x3， 所以y2<y3， 所以y2<y3<y1. y2<y3<y1 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 8.已知反比例函数 y随的x增大而增大. (1)求m的值； 解：(1)∵反比例函数 ， ∴=-1≠0， 解得 ∵y随的x增大而增大， ∴<0， ∴ BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 8.(2)试判断A(-1,2),B()是否在此函数图像上； (3)当-4≤x≤-1时，求y的取值范围. 解：(2)由(1)可知，k=-2+1=-1, 由A(-1,2)得，k=-1×2=-2≠-1，故点A不在该函数图象上； 由B()得，k=)=-1，故点B在该函数图象上； (3)∵反比例函数 . BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 9.正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点的纵坐标为4.求当x=-2时，反比例函数y=的对应函数值. 解：由题意可知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象均过点（4，4）， 所以4=，所以k=16， 所以反比例函数为y=. 当x=-2时，反比例函数y== -8. BY YUSHEN BY YUSHEN 已知反比例函数y＝ (k为常数，k≠1)． (1)其图象与正比例函数y＝x的图象的一个交点为点P，若点P的纵坐标是2，求k的值； 解：由题意，设点P的坐标为(m，2)． ∵点P在正比例函数y＝x的图象上， ∴2＝m，即m＝2. ∴点P的坐标为(2，2)． ∵点P在反比例函数y＝(k为常数，k≠1)的图象上， ∴2＝，解得k＝5. 已知反比例函数y＝ (k为常数，k≠1)． (2)若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围； 解：（2）∵在反比例函数y＝(k为常数，k≠1)图象的每一支上，y随x的增大而减小， ∴k－1＞0，解得k＞1. 已知反比例函数y＝ (k为常数，k≠1)． (3)若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小． 解：（3）∵反比例函数y＝(k为常数，k≠1)图象的一支位于第二象限， ∴在该函数图象的每一支上y随x的增大而增大． ∵点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2， ∴x1＞x2. 1．对于函数y＝，下列说法错误的是(　　) A．这个函数的图象位于第一、三象限 B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C．当x>0时，y随x的增大而增大 D．当x<0时，y随x的增大而减小 4．已知反比例函数y＝，当1＜x＜3时，y的最小整数值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 6.如图，正比例函数y1＝k1x(k1≠0)的图象与反比例函数y2＝(k2≠0)的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为－2，当y1＜y2时，x的取值范围是(　　) A．x＜－2或x＞2 B．x＜－2或0＜x＜2 C．－2＜x＜0或0＜x＜2 D．－2＜x＜0或x＞2 $