7.5 商不变的规律-【小学学霸作业本】2025-2026学年三年级下册数学教案（青岛版五四制·新教材）

该教案聚焦“商不变的规律”核心知识点，通过口算练习（如12÷6、80÷40）和笔算板演（如96÷8）回顾旧知，引导学生观察算式中被除数、除数的变化特点，创设“商是否随被除数和除数变化”的问题情境，搭建新旧知识衔接的学习支架。 该资料以“计算观察—猜想验证—总结应用”为主线，通过分组计算三组算式（如除数不变的12÷6、120÷6，被除数和除数同时变化的8÷4、80÷40），让学生主动归纳规律，培养推理意识和运算能力。针对“0除外”通过0做除数无意义的算式（如8×0÷(4×0)）具象化解释，结合310÷20余数还原（简化后余数1需乘10得10）的案例强化模型意识，帮助学生掌握规律应用，提升教师教学效率，夯实除法计算基础。

7.5 商不变的规律 课题 商不变的规律 课型 新授课 教学内容 教科书第124-125页的内容 教学目标 1. 掌握商不变的核心规律：除数不变时，被除数乘几（0除外）商也乘几；被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，理解 “0除外” 的算理； 2. 能运用商不变规律简化末尾有0的除法计算（如600÷40、310÷20），正确判断有余数除法的余数，经历“计算观察—猜想验证—总结应用” 的探究过程，提升观察分析、归纳推理和运算能力； 3. 感受数学规律的逻辑性和实用性，通过解决实际计算问题，体验规律在简化运算中的价值，增强学习数学的兴趣和自信心。 教学重点 1. 理解并总结商不变的两条核心规律（除数不变的变化规律、被除数和除数同时变化的规律）； 2. 运用商不变规律简化末尾有0的除法计算，掌握“去尾0”的方法； 3. 正确判断有余数除法中余数的实际大小（如310÷20的余数是10而非1）。 教学难点 1. 理解商不变规律中“0除外”的必要性（除数不能为0，避免规律失效）； 2. 运用规律计算时，明确余数的变化规律（被除数和除数同时除以10，余数也除以10，需还原得到实际余数）； 3. 区分“除数不变”与“被除数和除数同时变化”两种场景下的规律应用差异。 教学准备 多媒体课件、竖式演算纸、口算卡片 教 学 过 程 备 注 一、回顾复习，导入新课 1. 回顾旧知： （1）口算练习：出示“12÷6=、24÷6=、8÷4=、80÷40=、120÷60=”，学生快速口答，教师记录答案，引导学生观察算式特点（除数相同或被除数、除数同时变化）； （2）笔算板演：指名学生板演 “96÷8=、54÷9=”，追问：计算时遵循什么规则？商的大小与被除数、除数的关系是什么？ 预设学生回答：从高位除起，除到哪一位商写在哪一位；被除数变大，商可能变大。 教师小结：除法运算中，被除数和除数的变化会影响商的大小，今天我们就专门探究这种变化规律——商不变的规律（板书课题）。 2. 创设情境，提出问题： 课件出示计算任务情境：计算一组特殊的除法算式，观察商的变化，发现其中的规律，并用规律解决复杂的除法计算（如末尾有0的除法）。 引导提问：当被除数和除数发生变化时，商会不会一直变？有没有不变的情况？ 学生交流预设： 学生1：被除数变大，除数不变，商应该变大； 学生2：被除数和除数都变大，商可能不变？ 教师板书核心探究方向，导入新知探究：这就是我们今天要验证的问题，通过计算和对比，找出商不变的秘密。 二、自主活动，探索新知 （一）探究商不变的规律 1. 分组计算，收集数据： 课件出示三组探究算式，学生分成 3 组，每组计算一组算式，记录商的结果： 第一组（除数不变）：12÷6=、120÷6=、240÷6=； 第二组（被除数和除数同时变化）：8÷4=、80÷40=、800÷400=、8000÷4000=； 第三组（验证反向变化）：300÷3=、300÷30=、300÷300=。 学生计算后汇报结果，教师板书： 12÷6=2、120÷6=20、240÷6=40；8÷4=2、80÷40=2、800÷400=2、8000÷4000=2；300÷3=100、300÷30=10、300÷300=1。 2. 小组讨论，分析规律：引导每组围绕算式展开讨论： （1）第一组：除数不变（都是6），被除数从12到120、240，发生了什么变化？商从2到20、40，又发生了什么变化？ （2）第二组：被除数从8到80、800、8000，除数从4到40、400、4000，都发生了什么变化？商有什么特点？ （3）第三组：被除数不变（都是300），除数从3到30、300，发生了什么变化？商从100到10、1，又发生了什么变化？ （4）结合第二组算式，若被除数和除数同时乘0或除以0，会出现什么问题？ 3. 全班交流，总结规律： （1）第一组规律：教师引导学生发现“除数不变，被除数乘10，商也乘10；被除数乘20，商也乘20”，归纳：除数不变，被除数乘几（0除外），商也乘几； （2）第三组规律：引导学生发现 “被除数不变，除数乘10，商反而除以10；除数乘100，商反而除以 100”，归纳：被除数不变，除数乘几（0 除外），商反而除以几； （3）第二组规律：强调“被除数和除数同时乘10、100、1000，商始终是2”，反向观察（从 8000÷4000到8÷4），“被除数和除数同时除以10、100、1000，商不变”，归纳：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变； （4）“0除外”说明：展示 “8×0÷（4×0）=0÷0”，指出 0 不能做除数，所以乘或除以的数必须排除 0，否则规律不成立；教师板书完整规律，课件出示规律图示，强化记忆。 （二）应用规律解决计算问题 1. 探究 600÷40 的计算： （1）问题分析：这个算式末尾都有 0，能否用商不变规律简化计算？如何简化？ （2）自主尝试：学生独立列竖式计算，教师巡视，收集典型案例（正确简化、去尾0错误、余数错误）； （3）小组讨论：被除数和除数同时去掉末尾 1 个 0，依据是什么？简化后计算的是哪个算式？结果和原算式有什么关系？ （4）全班交流： ①展示正确做法：600÷40=（600÷10）÷（40÷10）=60÷4=15，强调 “同时除以 10，商不变”，竖式中可直接划去末尾相同个数的 0； ②追问：为什么只去掉1个0？（因为末尾只有1个共同的 0，若去掉2个0，除数变成4，被除数变成6，6÷4商1余2，会导致计算错误）； ③验算巩固：用15×40=600 验证结果正确。 2. 探究 310÷20的计算（重点解决余数问题）： （1）问题分析：这个算式同样末尾有0，简化计算后余数是多少？实际余数和简化后余数有什么关系？ （2）自主尝试：学生独立计算，预设两种结果：余数1或余数10； （3）小组讨论：简化后计算的是 31÷2=15……1，这个余数 1 是原算式的余数吗？为什么？ （4）全班交流： ①展示错误案例（余数写1）：引导学生验算，15×20+1=301≠310，说明余数错误； ②分析原因：310÷20=（310÷10）÷（20÷10）=31÷2，这里的31是原被除数除以10得到的，余数1也是除以 10 后的余数，所以原算式的余数应乘10，即1×10=10； ③展示正确竖式：划去末尾1个0后计算31÷2=15余1，竖式中余数1对应的是原被除数的十位，所以实际余数是 10； ④验算巩固：15×20+10=300+10=310，验证结果正确。 2. 方法总结： （1）末尾有0的除法简化规则：被除数和除数同时去掉末尾相同个数的0（0除外），再计算； （2）余数注意事项：简化后计算的余数需乘去掉的倍数（如同时除以10，余数乘10；同时除以100，余数乘100），才是原算式的实际余数； （3）验算规则：无余数除法用“商×除数=被除数”验算；有余数除法用“商×除数+实际余数=被除数”验算。 三、当堂训练 课件出示教科书P125-126“练习应用”第1-6题。 四、课堂总结 通过本节课的学习，我们学习了商不变的规律，你有什么收获呢？、 学生谈收获，教是根据学生谈话归纳整理成板书。 教师小结：1. 两条核心规律：除数不变看被除数，乘几商乘几；被除数和除数同乘除（0除外），商不变；2. 应用要点：末尾有0的除法可简化，同去相同个数0；有余数要还原，乘回去掉的倍数；3. 关键提醒：0除外要牢记，验算环节不可少。 五、布置作业 课本第127页“练习应用”7-11题。 情境聚焦“算式探究+规律应用”，直接指向本节课核心内容，避免无关干扰，同时激发学生的探究欲。 “0除外” 的理解通过具体算式（0做除数无意义）突破，避免抽象讲解。 强调验算的重要性，帮助学生验证结果正确性，强化规律应用的准确性。 板书 设计 商不变的规律 一、核心规律 1. 除数不变，被除数乘几（0 除外）→ 商也乘几； 被除数不变，除数乘几（0 除外）→ 商反而除以几； 2. 被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外）→ 商不变。 二、应用要点 1. 简化计算：末尾同去相同个数0（0除外）； 2. 余数还原：余数×去掉的倍数（如÷10→×10）； 3. 验算规则：无余数→商×除数=被除数； 有余数→商×除数 +实际余数 = 被除数。 三、易错提醒：0除外、余数还原、验算必做 教后 反思 本节课以探究商不变规律为核心，按照“规律探究—应用拓展”的流程展开，有效落实了教学目标。 优点：1. 规律探究通过分组计算、讨论归纳的方式，让学生主动参与知识形成过程，避免被动接受，符合“学生主体”的教学理念； 2. 重点突出，针对性强，通过错误案例对比、余数还原分析、验算强化等环节，有效突破了“0除外”“余数判断”两个难点； 3. 练习题设计层次分明，从基础认知到应用提升，再到易错点辨析，全面巩固本节课知识，同时兼顾了不同层次学生的需求。 不足：1. 部分学生对“被除数不变，除数乘几商反而除以几”的规律理解不够透彻，应用时容易与“被除数和除数同时变化”的规律混淆； 2. 有余数除法的余数还原逻辑，少数学生仍未完全掌握，在拓展作业中可能出现余数错误； 3. 规律的逆向应用（已知商不变，求被除数或除数的变化）训练较少，学生逆向思维能力有待提升。 改进方向： 1. 增加规律对比练习题，如 “判断下列算式商是否不变”，明确不同规律的适用场景； 2. 设计 “余数还原”专项训练，通过多组对比算式（如450÷20、4500÷200），让学生直观感受余数的变化规律； 3. 补充逆向应用习题，如 “如果 a÷b=12，那么（a×3）÷（b×3）=？”“（a÷4）÷b=？”，强化规律的灵活运用； 4. 对学困生进行一对一指导，重点关注规律理解和余数还原步骤，通过简单易懂的例子（如10÷3=3……1，100÷30=3……10）帮助其突破难点。 学科网（北京）股份有限公司 $