专项提升训练：正比例和反比例解决问题（考点梳理+例题讲解+考点练习）2025-2026学年六年级下册数学苏教版

2025-2026学年六年级下册数学苏教版 专项提升训练：正比例和反比例解决问题 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 考点梳理 1 考点一、正比例解决问题 1 考点二、反比例解决问题 2 例题讲解 3 题型一、正比例的应用 3 题型二、反比例的应用 4 考点练习 4 练习一、正比例的应用 4 练习二、反比例的应用 9 考点梳理 考点一、正比例解决问题 1.正比例的意义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。可表示为：（k为常数，且），其中x和y是两种相关联的量，k是它们的比值（一定）。 2.判断两种量是否成正比例的方法 (1)确定关联性：判断两种量是否是相关联的量，即一种量的变化是否会引起另一种量的变化。 (2)分析变化方向：观察两种量的变化方向是否相同，即一种量扩大（或缩小），另一种量是否也随之扩大（或缩小）。 (3)验证比值一定：计算两种量中相对应的两个数的比值，若所有比值都相等（为固定常数），则这两种量成正比例关系。 3.解决正比例问题的步骤 (1)审题找量：仔细阅读题目，找出题目中两种相关联的量，明确哪两种量存在正比例关系。 (2)判断关系：根据正比例的意义，通过计算相对应的两个数的比值是否一定，确认两种量是否成正比例。 (3)设未知数：设所求的未知量为x（或其他字母），明确未知数所代表的具体含义。 (4)列比例式：根据“比值一定”的特点，列出比例式。若已知两组相对应的量分别为(和(，则比例式为（其中一组量含未知数）。 (5)解比例：根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积），将比例式转化为方程并求解。 (6)检验作答：检验所求结果是否符合题意（即验证比值是否确实一定），确认无误后写出答案。 4.关键要点 (1)比例式的核心是“比值相等”，列比例时需确保对应量的顺序一致（如前项对应前项，后项对应后项）。 (2)设未知数时要明确其代表的具体量（如“设需要x小时”“设总路程为x千米”等），避免混淆。 (3)检验环节不可忽略，需通过代入原式验证比值是否为固定常数，确保结果的正确性。 考点二、反比例解决问题 1.反比例的意义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。可表示为：（k为常数，且），其中x和y是两种相关联的量，k是它们的乘积（一定）。 2.判断两种量是否成反比例的方法 (1)确定关联性：判断两种量是否是相关联的量，即一种量的变化是否会引起另一种量的变化。 (2)分析变化方向：观察两种量的变化方向是否相反，即一种量扩大（或缩小），另一种量是否随之缩小（或扩大）。 (3)验证乘积一定：计算两种量中相对应的两个数的乘积，若所有乘积都相等（为固定常数），则这两种量成反比例关系。 3.解决反比例问题的步骤 (1)审题找量：仔细阅读题目，找出题目中两种相关联的量，明确哪两种量存在反比例关系。 (2)判断关系：根据反比例的意义，通过计算相对应的两个数的乘积是否一定，确认两种量是否成反比例。 (3)设未知数：设所求的未知量为x（或其他字母），明确未知数所代表的具体含义。 (4)列方程：根据“乘积一定”的特点，列出方程。若已知两组相对应的量分别为(和(，则方程为（其中一组量含未知数）。 (5)解方程：根据等式的性质求解方程，得出未知数的值。 (6)检验作答：检验所求结果是否符合题意（即验证乘积是否确实一定），确认无误后写出答案。 4.关键要点 (1)方程的核心是“乘积相等”，列方程时需确保对应量的乘积等于固定常数k。 (2)设未知数时要清晰表述其代表的量，避免与其他量混淆（如“设需要x台机器”“设每天用x吨煤”等）。 (3)检验时需代入原式验证乘积是否为固定常数，确保结果符合反比例关系的本质特征。 例题讲解 题型一、正比例的应用 【例题1】一条生产线每3分钟自动记录一次生产产品的总数量，下面是生产产品的情况记录。 时间 3 6 9 12 … 产品数量/个 51 102 153 204 … （1）生产产品的时间和产品数量成（    ）比例关系。 （2）照这样计算，16分钟生产多少个产品？（用比例知识解答） 【练习1】中国最大的立体造型温度计——“金箍棒”，坐落在新疆吐鲁番火焰山风景区，直径0.65米，高12米。刘宁在火焰山景区游玩时，发现自己身高150厘米，可影子长度只有40厘米，你知道这个时候“金箍棒”的影子大约多长吗？ 题型二、反比例的应用 【例题2】用方砖铺同一块地，如果用边长0.3米的方砖需要640块；如果改用边长0.4米的方砖，需要多少块？ 【练习2】某工厂有一批煤，每天烧煤的质量和可烧的时间关系如下表。 每天烧煤的质量/吨 0 3 5 6 10 可烧的时间/天 0 40 24 20 12 （1）判断每天烧煤的质量和可烧的时间是不是成反比例，并说明理由。 （2）如果该工厂平均每天烧煤的质量是15吨，那么这批煤可烧多少天？ 考点练习 练习一、正比例的应用 1．用100千克黄豆可以榨油16千克，照这样计算，50吨黄豆可以榨油多少吨？（用比例解） 2．妈妈调制一杯蜂蜜水，400克水中放了20克蜂蜜。涛涛和妹妹想配制同样口味的蜂蜜水，如果有600克水，那么需要放多少克蜂蜜？（列比例解决问题） 3．实验小学开展“测量旗杆有多高”的实践活动。在阳光下，同学们同时测出旗杆和竹竿的影长，再测得竹竿的长度。测量结果如下图，请你计算出旗杆的高度是多少米。 4．江苏省淮盐产场是中国四大盐场之一。其中，一个晒盐场用100克海水可以晒出6克盐。如果一块盐田一次放入650吨海水，可以晒出多少吨盐？ 5．黄豆有很高的营养价值。据测定，50克黄豆的蛋白质含量相当于150克鸡蛋或600克牛奶的蛋白质含量。多少千克黄豆的蛋白质含量相当于12千克牛奶的蛋白质含量？（列比例解答） 6．西安钟楼是中国现存钟楼中形制最大、保存最完整的一座钟楼，总高36米。某公司设计制作了这座钟楼的模型，模型的高度与实际高度的比是1∶40。模型的高度是多少米？ 7．天津到济南高速公路距离大约为320千米，北京到天津大约为120千米，一辆汽车从北京出发经天津开往济南，当行驶到天津时用了1.5小时，按照这个速度，北京到济南全程需要多少小时？（用比例知识解答） 8．在一家布店，有一种花布的长度和总价如下表。 长度/米 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 8.2 16.4 24.6 32.8 41 49.2 … （1）这种花布的长度与总价成正比例关系吗？为什么？ （2）把上表中这种花布的长度与总价所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）这种花布24.5米的总价是（    ）元；123元可以买（    ）米这种花布。 9．如图表示一辆汽车在高速公路上行驶的路程和耗油量的关系。 （1）这辆汽车在高速公路上行驶的路程和耗油量成正比例吗？（写出判断过程） （2）根据图像，计算出行驶75千米耗油多少升？ （3）汽车在市区行驶，每行50千米耗油6升，照这样的耗油量，在上图中描出行驶50千米、100千米……路程和耗油量对应的点，再按顺序连接起来。 10．2024年元宵节期间，无棣教体系统“龙行龘龘”花灯书画展，成为无棣古城的一道亮丽风景。细心的爱棣同学在古城游览时发现：通往书画展的道路两旁立有几根高低不同的彩旗，这让他想起刚预习的数学知识，于是他和小伙伴一起快速测量了其中几根彩旗的高度和影长，数据如下： 彩旗序号 A B C D E 旗高（米） 1.2 1.4 1.5 1.7 2.6 影长（米） 0.6 0.7 0.75 0.85 1.3 （1）根据测量的数据，判断旗杆的高度和影长是否成比例？并说明判断依据。 （2）利用所学知识，阐述如何快速计算出无棣地标建筑“海丰塔”的高度。 11．新能源电动汽车作为新型的环保交通工具，受到了消费者的喜爱。在端午节，妙想的爸爸驾驶电动汽车带全家外出旅行，途中妙想记录了汽车仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下表。 行驶路程/千米 100 120 130 140 150 … 耗电量/千瓦时 15 18 19.5 21 … （1）把上面表格补充完。 （2）观察上表，汽车行驶路程与耗电量成（    ）比例。 （3）汽车电池充满后电量为45千瓦时，行驶260千米够吗？请写出计算过程。 12．榆林豆腐被泉水“宠坏”的白胖子。某食品公司将榆林豆腐包装成小袋售卖，榆林豆腐的购买数量和总价的关系如下表。 数量/袋 0 4 8 12 16 20 … 总价/元 0 7.2 14.4 21.6 28.8 36 … （1）这种榆林豆腐的总价与数量是否成正比例关系？并说明理由。 （2）采购员小张买这种榆林豆腐花了144元，他买了多少袋这种榆林豆腐？（用比例解答） 13．李师傅每分钟打80个字，速度保持不变，单位时间打字数如下表所示。 时间（时） 1 2 3 4 5 6 字数（个） 80 160 240 320 400 480 （1）把上表中的数据在下面的方格纸上画图表示出来。 （2）看图估计一下，李师傅2.5小时能打多少个字？5.5小时呢？ 练习二、反比例的应用 1．备受瞩目的高铁“CR450列车”计划在今年运行，最高时速由350千米/时提速到400千米/时，原来4小时的路程，现在要行驶多少小时呢？ 2．丽丽在图书馆借阅了一本《名人传记》，如果每天看20页，18天能全部看完。根据图书馆的借阅规定，丽丽想在规定期限内准时归还，而不用交延时服务费，她每天至少要看多少页？（用比例知识解） 图书馆规定 1.借阅期限：12天 2.超过12天的，从第13天起，每天每本收取0.5元延时服务费。 3．一项工程，若每天工作8小时，则15天可以完成任务。要想12天完成任务，平均每天要工作多少小时？（用比例知识列方程解答） 4．运输队运送一批救灾物资到汶川灾区。原计划每小时行60千米，5小时可以到达。由于道路受损严重，实际平均每小时比原计划少行20千米。实际到达灾区需要多少小时？ 5．李璐在学校图书馆借了一本故事书，如果每天看15页，20天正好看完。如果要在10天内看完，她平均每天看多少页？ 6．在一张长方形彩纸上摆满小正方形，每个小正方形面积与所需小正方形的数量如下表。如果用面积是36平方厘米的小正方形来摆满这张长方形彩纸，需要多少个小正方形？（用比例知识解答） 每个小正方形的面积 /平方厘米 4 9 16 所需小正方形的数量/个 216 96 54 7．在“手拉手，献爱心”活动中，听涛小学将所得的捐款分发给特困生。如果平分给6个特困生，每人分得捐款210元；如果平分给7个特困生，每人可分得捐款多少元？ 8．某校购进一堆煤，计划每天用1.5t，可用40天。实际每天比计划节约用煤0.3t，这堆煤实际用了多少天？（用比例解） 9．某公司有一批电脑需要组装，每天组装的数量和需要的天数如下表。 每天组装的数量/台 60 50 15 12 … 需要的天数 5 6 20 25 … （1）如果用a表示每天组装的数量，t表示需要的天数，那么a与t成（    ）比例关系，这个关系用式子表示是（    ）。 （2）如果每天组装75台，组装完这批电脑需要多少天？ 10．宣纸是传统手工纸的杰出代表，居文房四宝之首，具有质地绵韧、不蛀不腐等特点。某宣纸厂需要加工一批宣纸，计划每天加工360张，15天完成。由于天气原因导致每天少加工了90张，要完成这批宣纸实际需要多少天？（用比例解答） 11．为了守护绿水青山，李叔叔低碳出行。李叔叔骑自行车从家去图书馆，平均每分钟骑行320米，15分钟可以到达。原路返回时，由于家中有事，他加快了骑行速度，12分钟到家。李叔叔返回时平均每分钟骑行多少米？（用比例解） 12．某办公楼原来平均每天照明用电120千瓦时。改用节能灯以后，平均每天只用电30千瓦时。原来6天的用电量现在可以用多少天？ 13．有一批橘子要装箱，下表是每箱的质量与箱数之间的关系。 每箱的质量/kg 5 10 20 25 50 100 箱数 100 （1）这批橘子的总质量是（    ）kg，请把上表补充完整。 （2）每箱橘子的质量与箱数之间成什么比例关系？为什么？ （3）每箱橘子的质量为125kg时，需要多少个箱子？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级下册数学苏教版 专项提升训练：正比例和反比例解决问题 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 考点梳理 1 考点一、正比例解决问题 1 考点二、反比例解决问题 2 例题讲解 3 题型一、正比例的应用 3 题型二、反比例的应用 4 考点练习 6 练习一、正比例的应用 6 练习二、反比例的应用 16 考点梳理 考点一、正比例解决问题 1.正比例的意义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。可表示为：（k为常数，且），其中x和y是两种相关联的量，k是它们的比值（一定）。 2.判断两种量是否成正比例的方法 (1)确定关联性：判断两种量是否是相关联的量，即一种量的变化是否会引起另一种量的变化。 (2)分析变化方向：观察两种量的变化方向是否相同，即一种量扩大（或缩小），另一种量是否也随之扩大（或缩小）。 (3)验证比值一定：计算两种量中相对应的两个数的比值，若所有比值都相等（为固定常数），则这两种量成正比例关系。 3.解决正比例问题的步骤 (1)审题找量：仔细阅读题目，找出题目中两种相关联的量，明确哪两种量存在正比例关系。 (2)判断关系：根据正比例的意义，通过计算相对应的两个数的比值是否一定，确认两种量是否成正比例。 (3)设未知数：设所求的未知量为x（或其他字母），明确未知数所代表的具体含义。 (4)列比例式：根据“比值一定”的特点，列出比例式。若已知两组相对应的量分别为(和(，则比例式为（其中一组量含未知数）。 (5)解比例：根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积），将比例式转化为方程并求解。 (6)检验作答：检验所求结果是否符合题意（即验证比值是否确实一定），确认无误后写出答案。 4.关键要点 (1)比例式的核心是“比值相等”，列比例时需确保对应量的顺序一致（如前项对应前项，后项对应后项）。 (2)设未知数时要明确其代表的具体量（如“设需要x小时”“设总路程为x千米”等），避免混淆。 (3)检验环节不可忽略，需通过代入原式验证比值是否为固定常数，确保结果的正确性。 考点二、反比例解决问题 1.反比例的意义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。可表示为：（k为常数，且），其中x和y是两种相关联的量，k是它们的乘积（一定）。 2.判断两种量是否成反比例的方法 (1)确定关联性：判断两种量是否是相关联的量，即一种量的变化是否会引起另一种量的变化。 (2)分析变化方向：观察两种量的变化方向是否相反，即一种量扩大（或缩小），另一种量是否随之缩小（或扩大）。 (3)验证乘积一定：计算两种量中相对应的两个数的乘积，若所有乘积都相等（为固定常数），则这两种量成反比例关系。 3.解决反比例问题的步骤 (1)审题找量：仔细阅读题目，找出题目中两种相关联的量，明确哪两种量存在反比例关系。 (2)判断关系：根据反比例的意义，通过计算相对应的两个数的乘积是否一定，确认两种量是否成反比例。 (3)设未知数：设所求的未知量为x（或其他字母），明确未知数所代表的具体含义。 (4)列方程：根据“乘积一定”的特点，列出方程。若已知两组相对应的量分别为(和(，则方程为（其中一组量含未知数）。 (5)解方程：根据等式的性质求解方程，得出未知数的值。 (6)检验作答：检验所求结果是否符合题意（即验证乘积是否确实一定），确认无误后写出答案。 4.关键要点 (1)方程的核心是“乘积相等”，列方程时需确保对应量的乘积等于固定常数k。 (2)设未知数时要清晰表述其代表的量，避免与其他量混淆（如“设需要x台机器”“设每天用x吨煤”等）。 (3)检验时需代入原式验证乘积是否为固定常数，确保结果符合反比例关系的本质特征。 例题讲解 题型一、正比例的应用 【例题1】一条生产线每3分钟自动记录一次生产产品的总数量，下面是生产产品的情况记录。 时间 3 6 9 12 … 产品数量/个 51 102 153 204 … （1）生产产品的时间和产品数量成（    ）比例关系。 （2）照这样计算，16分钟生产多少个产品？（用比例知识解答） 【答案】（1）正 （2）272个 【分析】（1）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 （2）因为生产产品的时间和产品数量成正比例关系，即产品数量∶生产产品的时间＝每分钟生产产品的数量（一定），据此列出正比例方程，并求解。 【详解】（1）＝＝＝＝…＝17（一定） 生产产品的时间和产品数量成（正）比例关系。 （2）解：设16分钟生产个产品。 ∶16＝51∶3 3＝16×51 3＝816 ＝816÷3 ＝272 答：16分钟生产272个产品。 【练习1】中国最大的立体造型温度计——“金箍棒”，坐落在新疆吐鲁番火焰山风景区，直径0.65米，高12米。刘宁在火焰山景区游玩时，发现自己身高150厘米，可影子长度只有40厘米，你知道这个时候“金箍棒”的影子大约多长吗？ 【答案】3.2米 【分析】根据题意可知，同一时间、同一地点，物体的实际长度与它的影长的比值一定，则物体的实际长度与它的影长成正比例，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】150厘米＝1.5米 40厘米＝0.4米 解：设这个时候“金箍棒”的影子大约长米。 12∶＝1.5∶0.4 1.5＝12×0.4 1.5＝4.8 ＝4.8÷1.5 ＝3.2 答：这个时候“金箍棒”的影子大约长3.2米。 题型二、反比例的应用 【例题2】用方砖铺同一块地，如果用边长0.3米的方砖需要640块；如果改用边长0.4米的方砖，需要多少块？ 【答案】360块 【分析】因为铺地的总面积是一定的，则每块方砖的面积×所需方砖的块数＝铺地的总面积（一定）。当边长变化时，方砖面积变化，所需块数也随之变化，且它们的乘积（总面积）不变，所以每块方砖的面积和所需方砖的块数成反比例关系。设改用边长0.4米的方砖需要x块，根据“正方形面积＝边长×边长”，得边长为0.3米的方砖面积为（0.3×0.3）平方米，再乘640计算出总面积；同理，边长为0.4米的方砖面积是（0.4×0.4）平方米，x块的总面积就是（0.4×0.4）x平方米。根据反比例关系，总面积相等，可列方程：（0.4×0.4）x＝（0.3×0.3）×640，根据等式的性质求解出x，即为需要的块数。 【详解】解：设如果改用边长0.4米的方砖，需要x块。 （0.4×0.4）x＝（0.3×0.3）×640 0.16x＝0.09×640 0.16x＝57.6 0.16x÷0.16＝57.6÷0.16 x＝360 答：需要360块。 【练习2】某工厂有一批煤，每天烧煤的质量和可烧的时间关系如下表。 每天烧煤的质量/吨 0 3 5 6 10 可烧的时间/天 0 40 24 20 12 （1）判断每天烧煤的质量和可烧的时间是不是成反比例，并说明理由。 （2）如果该工厂平均每天烧煤的质量是15吨，那么这批煤可烧多少天？ 【答案】（1）成反比例；理由见详解 （2）8天 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就成反比例关系。根据表格数据计算：3×40＝120吨，5×24＝120吨，6×20＝120吨，10×12＝120吨。可以发现每天烧煤的质量变化，可烧的时间也随着变化，且它们相对应的两个数的乘积（这批煤的总质量）一定，所以每天烧煤的质量和可烧的时间成反比例。 （2）由（1）可知这批煤的总质量是120吨。已知每天烧煤15吨，根据“可烧的时间＝煤的总质量÷每天烧煤的质量”，把数据代入计算即可。 【详解】（1）3×40＝120（吨） 5×24＝120（吨） 6×20＝120（吨） 10×12＝120（吨） 答：成反比例，因为每天烧煤的质量和可烧的时间的乘积一定。 （2）120÷15＝8（天） 答：这批煤可烧8天。 考点练习 练习一、正比例的应用 1．用100千克黄豆可以榨油16千克，照这样计算，50吨黄豆可以榨油多少吨？（用比例解） 【答案】8吨 【分析】根据题意，100千克黄豆可以榨油16千克，每千克黄豆榨油的千克数一定，则油的千克（或吨）数与黄豆的千克（或吨）数成正比例，设50吨黄豆可以榨油x吨，列比例：100∶16＝50∶x，解比例，即可解答。 【详解】解：设50吨黄豆可以榨油x吨。 100∶16＝50∶x 100x＝16×50 100x＝800 x＝800÷100 x＝8 答：50吨黄豆可以榨油8吨。 2．妈妈调制一杯蜂蜜水，400克水中放了20克蜂蜜。涛涛和妹妹想配制同样口味的蜂蜜水，如果有600克水，那么需要放多少克蜂蜜？（列比例解决问题） 【答案】30克 【分析】要配制同样口味的蜂蜜水，则蜂蜜和水的质量比的比值一定。设需要放x克蜂蜜，根据题意可得：x∶600＝20∶400，再根据比例的基本性质解出比例即可解答。 【详解】解：设需要放x克蜂蜜。 x∶600＝20∶400 400x＝600×20 400x＝12000 x＝12000÷400 x＝30 答：需要放30克蜂蜜。 3．实验小学开展“测量旗杆有多高”的实践活动。在阳光下，同学们同时测出旗杆和竹竿的影长，再测得竹竿的长度。测量结果如下图，请你计算出旗杆的高度是多少米。 【答案】18米 【分析】竹竿高度是1.5米，影长是2.5米，那么它们的比值为。这表示在此时刻，每1米影长对应的物体高度是米。旗杆影长是30米，因为旗杆高度与影长的比值和竹竿的相同，都是，所以旗杆高度＝旗杆影长×这个比值。即。 【详解】 （米） 答：旗杆的高度是18米。 4．江苏省淮盐产场是中国四大盐场之一。其中，一个晒盐场用100克海水可以晒出6克盐。如果一块盐田一次放入650吨海水，可以晒出多少吨盐？ 【答案】39吨 【分析】根据题意知道，海水的质量和盐的质量的比值一定，所以海水的质量和盐的质量成正比例，由此列式解答即可。 【详解】解：设可以晒出x吨盐。 100∶6＝650∶x 100x＝6×650 100x＝3900 100x÷100＝3900÷100 x＝39 答：可以晒出39吨盐。 5．黄豆有很高的营养价值。据测定，50克黄豆的蛋白质含量相当于150克鸡蛋或600克牛奶的蛋白质含量。多少千克黄豆的蛋白质含量相当于12千克牛奶的蛋白质含量？（列比例解答） 【答案】1千克 【分析】设x多少千克黄豆的蛋白质含量相当于12千克牛奶的蛋白质含量，已知50克黄豆的蛋白质含量相当于600克牛奶的蛋白质含量，列出正比例算式解答即可。 【详解】600克＝0.6千克 50克＝0.05千克 解：设x千克黄豆的蛋白质含量相当于12千克牛奶的蛋白质含量。 0.05∶0.6＝x∶12 0.6x＝0.05×12 0.6x＝0.6 0.6x÷0.6＝0.6÷0.6 x＝1 答：1千克黄豆的蛋白质含量相当于12千克牛奶的蛋白质含量。 6．西安钟楼是中国现存钟楼中形制最大、保存最完整的一座钟楼，总高36米。某公司设计制作了这座钟楼的模型，模型的高度与实际高度的比是1∶40。模型的高度是多少米？ 【答案】0.9米 【分析】根据题意可知，钟楼模型的高度与原塔的高度的比值是一定的，则钟楼的模型高度与原塔的高度成正比例，设模型的高度是x米，列比例：x∶36＝1∶40，解比例，即可解答。 【详解】解：设模型的高度是x米。 x∶36＝1∶40 40x＝36 x＝36÷40 x＝0.9 答：模型的高度是0.9米。 【点睛】本题主要考查正比例的意义，即若两个相关量的比值一定，则这两个量成正比例，进而列比例求解。 7．天津到济南高速公路距离大约为320千米，北京到天津大约为120千米，一辆汽车从北京出发经天津开往济南，当行驶到天津时用了1.5小时，按照这个速度，北京到济南全程需要多少小时？（用比例知识解答） 【答案】5.5小时 【分析】由于按照这个速度，说明速度不变，根据公式：路程÷时间＝速度，根据比和除法的关系，比号相当于除号，即路程∶时间＝速度（一定），说明路程和时间成正比例关系；可以设北京到济南全程需要x小时，用北京到天津的路程∶北京到天津的时间＝北京到济南的路程∶北京到济南的时间，据此即可列比例，再解比例即可。 【详解】解：设北京到济南全程需要x小时。 120∶1.5＝（320＋120）∶x 120x＝440×1.5 120x＝660 x＝660÷120 x＝5.5 答：毕竟到济南全程需要5.5小时。 【点睛】本题主要考查用比例解答问题，关键是要看清楚两个相关联的量是正比例还是反比例，同时要注意北京到济南的全程是多少千米。 8．在一家布店，有一种花布的长度和总价如下表。 长度/米 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 8.2 16.4 24.6 32.8 41 49.2 … （1）这种花布的长度与总价成正比例关系吗？为什么？ （2）把上表中这种花布的长度与总价所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）这种花布24.5米的总价是（    ）元；123元可以买（    ）米这种花布。 【答案】（1）成正比例关系；理由见详解；（2）见详解；（3）200.9；15 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。对于花布的长度和总价，计算它们的比值（单价）是否恒定，进而判断是否成正比例关系。 （2）方格纸中横轴表示长度（米），纵轴表示总价（元），根据表格中长度和总价的数据，找到对应的点（如长度1米对应总价8.2元），然后用直线顺次连接这些点。由于是正比例关系，图像是一条经过原点的直线。 （3）由（1）已知单价是8.2元/米，根据公式“总价＝单价×长度”，这种花布24.5米的总价为24.5×8.2＝199（元）。根据公式“长度＝总价÷单价”，123元可以买123÷8.2＝15（米）。 【详解】（1）8.2÷1＝8.2（元/米） 16.4÷2＝8.2（元/米） 24.6÷3＝8.2（元/米） 32.8÷4＝8.2（元/米） 41÷5＝8.2（元/米） 49.2÷6＝8.2（元/米） 答：这种花布的长度与总价成正比例关系，因为它们相对应的比值（单价）一定。 （2）如图： （3）24.5×8.2＝200.9（元） 123÷8.2＝15（米） 这种花布24.5米的总价是200.9元；123元可以买15米这种花布。 9．如图表示一辆汽车在高速公路上行驶的路程和耗油量的关系。 （1）这辆汽车在高速公路上行驶的路程和耗油量成正比例吗？（写出判断过程） （2）根据图像，计算出行驶75千米耗油多少升？ （3）汽车在市区行驶，每行50千米耗油6升，照这样的耗油量，在上图中描出行驶50千米、100千米……路程和耗油量对应的点，再按顺序连接起来。 【答案】（1）成正比例 （2）6升 （3）见详解 【分析】（1）观察可知，横轴表示路程，纵轴表示耗油量，找出红点对应的耗油量与路程的比，计算比值，根据两种相关联的量如果是比值一定，就成正比例，分析判断； （2）在直线上找出路程是75千米时对应的耗油量，据此解答。 （3）在横轴上找出50千米，纵轴上找到6升描出相交的点，同样在横轴上找出100千米，纵轴上找到6×2升描出相交的点，然后两点连一线。 【详解】（1）4∶50＝8∶100＝12∶150＝16∶200＝0.08（一定），这辆汽车在高速公路上行驶的路程和耗油量成正比例。 答：这辆汽车在高速公路上行驶的路程和耗油量成正比例。 （2）根据图象判断，汽车行驶75千米耗油6升。 答：行驶75千米耗油6升。 （3）6×2＝12（升） 如图： 10．2024年元宵节期间，无棣教体系统“龙行龘龘”花灯书画展，成为无棣古城的一道亮丽风景。细心的爱棣同学在古城游览时发现：通往书画展的道路两旁立有几根高低不同的彩旗，这让他想起刚预习的数学知识，于是他和小伙伴一起快速测量了其中几根彩旗的高度和影长，数据如下： 彩旗序号 A B C D E 旗高（米） 1.2 1.4 1.5 1.7 2.6 影长（米） 0.6 0.7 0.75 0.85 1.3 （1）根据测量的数据，判断旗杆的高度和影长是否成比例？并说明判断依据。 （2）利用所学知识，阐述如何快速计算出无棣地标建筑“海丰塔”的高度。 【答案】（1）成正比例；彩旗的高度和对应影长的比值一定 （2）见详解 【分析】（1）两种相关联的量，一种变化，另一种随着变化，如果两种量的比值一定，这两种量成正比例关系；如果两种量的乘积一定，这两种量成反比例关系，据此分析。 （2）因为同时同刻，物体的高度和影长成正比例关系，可以测量出一个物体的高度和影长，根据物体的高度∶物体的影长＝塔的实际高度∶塔的影长，列出正比例算式，即可求出海丰塔的实际高度。 【详解】（1）1.2∶0.6＝2；1.4∶0.7＝2；1.5∶0.75＝2… 彩旗的高度和影长成正比例。彩旗的高度和对应影长的比值一定，所以彩旗的高度和影长成正比例关系。 （2）在同时时刻，在海丰塔的一侧竖直立一根竹竿，测量出竹竿的实际高度和影长及海丰塔的影长，利用“竹竿的高度∶竹竿的影长＝塔的实际高度∶塔的影长”这一比例式，就可算出海丰塔的实际高度。 11．新能源电动汽车作为新型的环保交通工具，受到了消费者的喜爱。在端午节，妙想的爸爸驾驶电动汽车带全家外出旅行，途中妙想记录了汽车仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下表。 行驶路程/千米 100 120 130 140 150 … 耗电量/千瓦时 15 18 19.5 21 … （1）把上面表格补充完。 （2）观察上表，汽车行驶路程与耗电量成（    ）比例。 （3）汽车电池充满后电量为45千瓦时，行驶260千米够吗？请写出计算过程。 【答案】（1）见详解 （2）正 （3）够 【分析】（1）当行驶路程为100千米，耗电量为15千瓦时，100÷15＝千米/千瓦时；当行驶路程为120千米，耗电量为18千瓦时，千米/千瓦时；当行驶路程为130千米，耗电量为19.5千瓦时，130÷19.5＝千米/千瓦时；当行驶路程为140千米，耗电量为21千瓦时，140÷21＝千米/千瓦时。由此可知，每千米耗电量时固定的，为千米/千瓦时。当行驶路程为150千米时，＝22.5（千瓦时）。所以表格中应补充22.5。 （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。由（1）可知，汽车行驶路程与耗电量的比值千米/千瓦是一定的，所以汽车行驶路程与耗电量成正比例。 （3）根据上述比值关系：行驶路程÷耗电量＝千米/千瓦时，可推出行驶路程＝耗电量×。当耗电量为45千瓦时，行驶路程为（千米）。 【详解】（1）100÷15＝（千米/千瓦时） （千米/千瓦时） 130÷19.5＝（千米/千瓦时） 140÷21＝（千米/千瓦时） ＝22.5（千瓦时） 填表如下： 行驶路程/千米 100 120 130 140 150 … 耗电量/千瓦时 15 18 19.5 21 22.5 … （2）汽车行驶路程与耗电量的比值千米/千瓦是一定的。 所以汽车行驶路程与耗电量成正比例。 （3）（千米） 300千米＞260千米 答：所以汽车电池充满后电量为45千瓦时，够行驶260千米。 12．榆林豆腐被泉水“宠坏”的白胖子。某食品公司将榆林豆腐包装成小袋售卖，榆林豆腐的购买数量和总价的关系如下表。 数量/袋 0 4 8 12 16 20 … 总价/元 0 7.2 14.4 21.6 28.8 36 … （1）这种榆林豆腐的总价与数量是否成正比例关系？并说明理由。 （2）采购员小张买这种榆林豆腐花了144元，他买了多少袋这种榆林豆腐？（用比例解答） 【答案】（1）成正比例关系；理由见详解； （2）80袋 【分析】（1）用总价除以数量，根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就成正比例关系。进行判断。 （2）设他买了x袋这种榆林豆腐，因为总价与数量成正比例关系，所以可得比例：x∶144＝4∶7.2，然后根据比例的基本性质求解即可。 【详解】（1）7.2÷4＝1.8（元/袋） 14.4÷8＝1.8（元/袋） 21.6÷12＝1.8（元/袋） 28.8÷16＝1.8（元/袋） 36÷20＝1.8（元/袋） 答：这种榆林豆腐的总价与数量成正比例关系，因为总价与数量的比值一定。 （2）解：设他买了x袋这种榆林豆腐 x∶144＝4∶7.2 7.2x＝144×4 7.2x＝576 7.2x÷7.2＝576÷7.2 x＝80 答：他买了80袋这种榆林豆腐。 13．李师傅每分钟打80个字，速度保持不变，单位时间打字数如下表所示。 时间（时） 1 2 3 4 5 6 字数（个） 80 160 240 320 400 480 （1）把上表中的数据在下面的方格纸上画图表示出来。 （2）看图估计一下，李师傅2.5小时能打多少个字？5.5小时呢？ 【答案】（1）见详解 （2）200个；440个 【分析】（1）观察统计图可知，横轴表示时间，纵轴表示字数，纵轴的范围应从80到480之间，据此可确定单位距离表示80个字，根据统计表找出对应的点，再连线。 （2）根据统计图可知，所描的点在同一条直线上，观察2.5小时在直线上对应的点在纵轴160到240的中点，即纵轴在200上，而5.5小时在直线上对应的点在纵轴400到480的中点，即纵轴在440上。 【详解】（1）作图如下： （2）答：根据统计图估计，李师傅2.5小时能打200个字；5.5小时能打440个字。 练习二、反比例的应用 1．备受瞩目的高铁“CR450列车”计划在今年运行，最高时速由350千米/时提速到400千米/时，原来4小时的路程，现在要行驶多少小时呢？ 【答案】3.5小时 【分析】由题意可知，路程不变，速度×时间＝路程（一定），则速度和时间成反比例关系，现在的速度×现在需要的时间＝原来的速度×原来需要的时间，据此解答。 【详解】解：设现在要行驶x小时。 400x＝350×4 400x＝1400 x＝1400÷400 x＝3.5 答：现在要行驶3.5小时。 2．丽丽在图书馆借阅了一本《名人传记》，如果每天看20页，18天能全部看完。根据图书馆的借阅规定，丽丽想在规定期限内准时归还，而不用交延时服务费，她每天至少要看多少页？（用比例知识解） 图书馆规定 1.借阅期限：12天 2.超过12天的，从第13天起，每天每本收取0.5元延时服务费。 【答案】30页 【分析】根据书的总页数一定，所以每天看的页数与需要的天数成反比例关系；设丽丽每天至少要看x页，因为借阅期限为12天，可得比例式：12x＝20×18。据此解答。 【详解】解：设丽丽每天至少要看x页。 12x＝20×18 12x＝360 12x÷12＝360÷12 x＝30 答：丽丽每天至少要看30页。 3．一项工程，若每天工作8小时，则15天可以完成任务。要想12天完成任务，平均每天要工作多少小时？（用比例知识列方程解答） 【答案】10小时 【分析】设平均每天要工作x小时；根据题意可知，工作时间和工作天数成反比例；根据计划工作时间×计划工作天数＝实际工作时间×实际工作天数，列比例：8×15＝12x，解比例，即可解答。 【详解】解：设平均每天要工作x小时。 8×15＝12x 12x＝120 x＝120÷12 x＝10 答：平均每天要工作10小时。 4．运输队运送一批救灾物资到汶川灾区。原计划每小时行60千米，5小时可以到达。由于道路受损严重，实际平均每小时比原计划少行20千米。实际到达灾区需要多少小时？ 【答案】7.5小时 【分析】根据路程＝速度×时间；由于路程不变；行驶的速度和时间成反比例；设实际到达灾区需要x小时；列比例：（60－20）x＝60×5，解比例，即可解答。 【详解】解：设设实际到达灾区需要x小时。 （60－20）x＝60×5 40x＝300 x＝300÷40 x＝7.5 答：实际到达灾区需要7.5小时。 5．李璐在学校图书馆借了一本故事书，如果每天看15页，20天正好看完。如果要在10天内看完，她平均每天看多少页？ 【答案】30页 【分析】根据题意可知，这本故事书的总页数不变，即每天看的页数×天数＝总页数（一定），乘积一定，则每天看的页数与天数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设她平均每天看页。 10＝15×20 10＝300 ＝300÷10 ＝30 答：她平均每天看30页。 6．在一张长方形彩纸上摆满小正方形，每个小正方形面积与所需小正方形的数量如下表。如果用面积是36平方厘米的小正方形来摆满这张长方形彩纸，需要多少个小正方形？（用比例知识解答） 每个小正方形的面积 /平方厘米 4 9 16 所需小正方形的数量/个 216 96 54 【答案】24个 【分析】每个小正方形的面积×小正方形的数量＝长方形彩纸的面积；长方形彩纸的面积一定，每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成反比例关系。设需要x个小正方形，长方形彩纸的面积＝36×需要小正方形个数，由此解答即可。 【详解】解：设需要x个小正方形。 36x＝216×4 36x＝864 36x÷x＝864÷36 x＝24 答：需要24个小正方形。 7．在“手拉手，献爱心”活动中，听涛小学将所得的捐款分发给特困生。如果平分给6个特困生，每人分得捐款210元；如果平分给7个特困生，每人可分得捐款多少元？ 【答案】180元 【分析】设每人可分得捐款x元，根据每人分得钱数×人数＝总钱数（一定），列出反比例算式解答即可。 【详解】解：设每人可分得捐款x元。 7x＝210×6 7x＝1260 7x÷7＝1260÷7 x＝180 答：每人可分得捐款180元。 8．某校购进一堆煤，计划每天用1.5t，可用40天。实际每天比计划节约用煤0.3t，这堆煤实际用了多少天？（用比例解） 【答案】50天 【分析】求这堆煤实际用了多少天，要求用比例解，实际用了的天数×实际每天用煤量＝这堆煤的总量，这堆煤的总量一定时，实际用了的天数和实际每天用煤量成反比例关系。可以设这堆煤实际用了天，实际每天用煤量比计划节约0.3t，即实际每天用煤量为：t，这堆煤的总量为：计划每天用量×计划用的天数，据此即可解答。 【详解】解：设这堆煤实际用了天。                                                                       答：这堆煤实际用了50天。 9．某公司有一批电脑需要组装，每天组装的数量和需要的天数如下表。 每天组装的数量/台 60 50 15 12 … 需要的天数 5 6 20 25 … （1）如果用a表示每天组装的数量，t表示需要的天数，那么a与t成（    ）比例关系，这个关系用式子表示是（    ）。 （2）如果每天组装75台，组装完这批电脑需要多少天？ 【答案】（1）反；at＝300   （2）4天 【分析】（1）两个相关联的量，若其比值一定，两个量成正比例；若其乘积一定，两个量成反比例。据此解答； （2）根据组装的总量÷每天组装的数量＝需要的天数，列式解答。 【详解】（1），，，， 4组数据的乘积都是300，再根据每天组装的数量×需要的天数＝组装总量，代入对应的字母即可。 所以用a表示每天组装的数量，t表示需要的天数，那么a与t成反比例关系，这个关系用式子表示是。 （2）（天） 答：组装完这批电脑需要4天。 10．宣纸是传统手工纸的杰出代表，居文房四宝之首，具有质地绵韧、不蛀不腐等特点。某宣纸厂需要加工一批宣纸，计划每天加工360张，15天完成。由于天气原因导致每天少加工了90张，要完成这批宣纸实际需要多少天？（用比例解答） 【答案】20天 【分析】设要完成这批宣纸实际需要x天，根据每天加工的张数与需要的天数成反比例，列出比例式，再解比例即可。 【详解】解：设要完成这批宣纸实际需要x天，则 （360－90）x＝360×15 270x＝5400 x＝5400÷270 x＝20 答：要完成这批宣纸实际需要20天。 11．为了守护绿水青山，李叔叔低碳出行。李叔叔骑自行车从家去图书馆，平均每分钟骑行320米，15分钟可以到达。原路返回时，由于家中有事，他加快了骑行速度，12分钟到家。李叔叔返回时平均每分钟骑行多少米？（用比例解） 【答案】400米 【分析】根据题意可知，因为从家去图书馆的距离一定，所以平均每分钟骑行的米数与用的时间成反比例，设李叔叔返回时平均每分钟骑行x米，据此列出式子解答即可。 【详解】解：设李叔叔返回时平均每分钟骑行米。 答：李叔叔返回时平均每分钟骑行400米。 12．某办公楼原来平均每天照明用电120千瓦时。改用节能灯以后，平均每天只用电30千瓦时。原来6天的用电量现在可以用多少天？ 【答案】24天 【分析】总用电量一定时，每天用电量与使用天数成反比例。原来每天用电量×原来天数＝现在每天用电量×现在天数，据此列方程求解。 【详解】解：设原来6天的用电量现在可以用x天。 30x＝120×6 30x＝720 30x÷30＝720÷30 x＝24 答：原来6天的用电量现在可以用24天。 13．有一批橘子要装箱，下表是每箱的质量与箱数之间的关系。 每箱的质量/kg 5 10 20 25 50 100 箱数 100 （1）这批橘子的总质量是（    ）kg，请把上表补充完整。 （2）每箱橘子的质量与箱数之间成什么比例关系？为什么？ （3）每箱橘子的质量为125kg时，需要多少个箱子？ 【答案】（1）500；50；25；20；10；5 （2）成反比例关系。因为每箱橘子的质量与箱数的乘积（橘子的总质量）一定。 （3）4个 【分析】（1）根据表格中的第一列可知，每箱橘子的质量是5kg可以装100箱，求总质量＝每箱质量×箱数，即（kg）； 总质量求出来后，每箱质量不同，箱数也不同；箱数＝总质量÷每箱质量，即（箱），（箱），（箱），（箱）；（箱）； （2）因为橘子的总质量＝每箱质量×箱数，橘子的总质量一定，即乘积一定，则每箱橘子的质量与箱数成反比例关系； （3）箱数＝橘子总质量÷每箱橘子质量，即（个）。 【详解】（1）（kg） 这批橘子的总质量是500kg，填表如下： （2）答：成反比例关系。因为每箱橘子的质量与箱数的乘积（橘子的总质量）一定。 （3）（个） 答：需要4个箱子。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $