单元培优讲义：专题05 长方形和正方形（考点梳理+例题讲解+考点练习）-2025-2026学年三年级下册数学苏教版·新教材

2025-2026学年三年级下册数学苏教版·新教材单元培优讲义 专题05 长方形和正方形 考点梳理 1 考点一、相交与平行 1 考点二、长方形和正方形 2 例题讲解 3 题型一、平行与垂直的特征 3 题型二、画垂线 4 题型三、点到直线的距离 5 题型四、画平行线 6 题型五、长方形和正方形的概念及特点 7 题型六、画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 8 题型七、数图形 9 题型八、长方形和正方形中角度的计算问题 10 考点练习 11 练习一、平行与垂直的特征 11 练习二、画垂线 15 练习三、点到直线的距离 17 练习四、画平行线 20 练习五、长方形和正方形的概念及特点 23 练习六、画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 25 练习七、数图形 28 练习八、长方形和正方形中角度的计算问题 31 考点梳理 考点一、相交与平行 1. 平行的特征及性质 (1)概念：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。 (2)特征：两条平行线之间的距离处处相等；无论延伸多长，两条平行线都不会相交。 (3)性质：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行的传递性）。 2. 垂直的特征 (1)概念：如果两条直线相交成直角（90°），就说这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 (2)特征：垂直是相交的特殊情况，只有相交成直角时才是垂直；两条直线垂直时，所形成的四个角都是直角。 3. 画垂线 (1)工具：直尺、三角尺。 (2)步骤： ① 把三角尺的一条直角边与已知直线重合； ② 沿直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过直线外（或直线上）的已知点； ③ 沿三角尺的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线； ④ 标出垂直符号“⊥”和垂足。 4. 点到直线的距离 (1)定义：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。 (2)特点：直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短（简记为“垂线段最短”）。 5. 画平行线 (1)工具：直尺、三角尺。 (2)步骤： ① 固定三角尺，把三角尺的一条边与已知直线重合； ② 用直尺紧靠三角尺的另一条边，固定直尺； ③ 平移三角尺，使与已知直线重合的边经过直线外的已知点； ④ 沿三角尺的这条边画一条直线，这条直线就是已知直线的平行线。 考点二、长方形和正方形 1. 长方形的概念及特点 (1)概念：有四个角都是直角的四边形叫做长方形（也叫矩形）。 (2)特点： ①　边：有4条边，对边平行且相等（即长方形的两组对边分别相等）； ②　角：有4个角，每个角都是直角（90°）； ③　对称性：长方形是轴对称图形，有2条对称轴（过对边中点的直线）。 2. 正方形的概念及特点 (1)概念：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。 (2)特点： ①　边：有4条边，四条边都相等，对边平行； ②　角：有4个角，每个角都是直角（90°）； ③　关系：正方形是特殊的长方形（当长方形的长和宽相等时，就变成了正方形）； ④　对称性：正方形是轴对称图形，有4条对称轴（过对边中点的直线和对角线所在的直线）。 3. 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 (1)画指定长和宽的长方形： ① 先画一条线段作为长方形的长（如长5厘米）； ② 在这条线段的两端，用三角尺分别画两条与它垂直的线段作为长方形的宽（如宽3厘米）； ③ 连接两条宽的另一端，形成封闭图形，标出长和宽的长度。 (2)画指定边长的正方形： ① 先画一条线段作为正方形的边长（如边长4厘米）； ② 在这条线段的两端，用三角尺分别画两条与它垂直且长度相等的线段（均为4厘米）； ③ 连接两条垂直线段的另一端，形成封闭图形，标出边长。 4. 数图形（数长方形和正方形的个数） (1)数长方形： ①　方法：先数出图形中长边上线段的总条数（设为m）和宽边上线段的总条数（设为n），则长方形的总个数为m×n。 ②　示例：一个大长方形被纵向分成2份、横向分成3份，长边上线段数为1+2=3（单条线段2条，组合线段1条），宽边上线段数为1+2+3=6（单条3条，两条组合2条，三条组合1条），则长方形总个数为3×6=18个。 (2)数正方形： ①　方法：按正方形的边长分类数，设图形是m×n的方格（m≤n），则边长为1的正方形有m×n个，边长为2的有(m-1)×(n-1)个，……，边长为m的有1×(n-m+1)个，总和为各边长正方形个数相加。 ②　示例：3×3的方格中，边长1的有9个，边长2的有4个，边长3的有1个，总个数为9+4+1=14个。 例题讲解 题型一、平行与垂直的特征 【例题1】下面各组直线中，互相平行的是( )，互相垂直的是( )。（填序号） 【答案】 ②③⑧ ①⑦ 【分析】在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行； 在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。 【详解】根据分析可知，图中各组直线中，互相平行的是（②③⑧），互相垂直的是（①⑦）。 【练习1】如图，互相( )的两条路交叉的地方叫做十字路口，行人过马路时应走由互相( )的白线组成的斑马线。 【答案】 垂直 平行 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线；两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点是垂足。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 如图，互相垂直的两条路交叉的地方叫作十字路口，行人过马路时应走由互相平行的白线组成的斑马线。 题型二、画垂线 【例题2】下图中，过点A画已知直线的垂线。 【答案】见详解 【分析】使用三角板即可画出垂线，把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可。 【详解】 【练习2】过直线外一点A画这条直线的垂线。 【答案】见详解 【分析】过直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着这条直线移动三角尺，使直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 【详解】 题型三、点到直线的距离 【例题3】四（1）班学生从集合点去往历史博物馆，从集合点到历史博物馆每个入口的路线如图，路线①、③的距离分别是166米、190米，则路线②的距离可能是（    ）米。 A．169 B．150 C．181 【答案】B 【分析】路线①、②、③与历史博物馆到集合点的垂线段，根据“点到直线的距离，垂线段最短”，路线②是垂线段，长度应小于路线①（166米）和路线③（190米）。 【详解】由分析可知：路线②长度小于路线①（166米）和路线③（190米）。 A．169＞166，不符合。 B．150＜166，符合。 C．181＞166，不符合。 路线②的距离可能是150米。 故答案为：B 【练习3】直线m是一条公路，公路的一侧有一个村子（如下图）。现在要在公路边建一个公共汽车站，如果想让这个村子的村民到公共汽车站的路程最短，那么公共汽车站应该建在什么地方？画一画。 【答案】 见详解 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，因此，只要作出村子到直线m的垂直线段，垂足就是公共汽车站的位置，据此作图。 【详解】根据分析，作图如下： 如图，公共汽车站应该建在点O处。 题型四、画平行线 【例题4】在下面的方格纸上画一组平行线。 【答案】见详解 【分析】根据同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，平行线之间的距离处处相等，先画一条线段，利用平移即可作出它的平行线，据此画图即可。 【详解】 【练习4】过A、B两点任意画一组平行线。 【答案】见详解 【分析】作 AB 的平行线 ：先将三角尺的一条直角边与 AB 重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，沿直角边画出另一条直线即可。据此画出AB的平行线即可。 【详解】 题型五、长方形和正方形的概念及特点 【例题5】一个正方形有( )条边，( )个直角；一个长方形有( )组对边相等。 【答案】 4 4 2 【分析】长方形的特征：两组对边分别相等，四个角都是直角的四边形是长方形； 正方形的特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。 【详解】由分析知，一个正方形有（4）条边，（4）个直角；一个长方形有（2）组对边相等。 【练习5】下面是乐乐没有画完的四边形，请你猜一猜。（填序号） (1)( )号图形一定是正方形。 (2)( )号图形一定是长方形。 (3)( )号图形可能是正方形，也可能是长方形。 【答案】(1)② (2)① (3)③ 【分析】根据题意，①号图形没有画出左上角，可以明显的看出它的两组对边是相等的，且相邻的两边不相等，所以一定是长方形；②号图形没有画出右下角，可以明显的看出它的两组对边相等且相邻两边也相等，所以一定是正方形；③号图形没有画出右半部分的一大半，难以辨别它的两组对边是否相等，以及相邻两边是否相等，所以不能确定它是正方形还是长方形；据此解答。 【详解】（1）②号图形一定是正方形。 （2）①号图形一定是长方形。 （3）③号图形可能是正方形，也可能是长方形。 题型六、画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 【例题6】画一个长是7厘米、宽是4厘米的长方形。 【答案】见解析 【分析】长方形由邻边和对边组成，邻边相互垂直，对边相互平行，根据长方形的特点，用直尺画一条长7厘米的线段AB，用三角板的一条直角边对齐线段AB，三角板的另一条直角边过A画一条4厘米的线段AC，同样方法画另一条4厘米线段BD，最后连接CD，就形成了长方形。 【详解】如图： 【练习6】在下面的方格纸上画一个边长是5厘米的正方形和一个长6厘米、宽4厘米的长方形。（每个格子的边长为1厘米） 【答案】见详解 【分析】正方形是正正方方的，由4条边围成，且4条边都一样长；据此画一个边长是5厘米的正方形。 长方形是长长方方的，由4条边围成，且对边一样长；据此一个长6厘米、宽4厘米的长方形。 【详解】由题意分析得： 题型七、数图形 【例题7】下图中一共有( )个长方形。 【答案】10 【分析】由题意得，可以分层来数长方形的个数。上面一层，单个的小长方形有2个，2个小长方形合起来的大长方形有1个，即上面一层有3个长方形。下面一层，单个的小长方形有3个，2个小长方形合起来组成的大长方形有2个，3个小长方形合起来组成的大长方形有1个，即下面一层有6个长方形。接着把两层的长方形合起来一起数，5个小长方形组成1个大长方形。最后把它们的数量全部加起来即可算出一共有多少个长方形。 【详解】3＋6＋1 ＝9＋1 ＝10（个） 故图中一共有10个长方形。 【练习7】数一数。下图中一共有( )个正方形，有( )个长方形。 【答案】 8 10 【分析】正方形是方方正正的，有4条直直的边，每条边都相等；长方形是长长方方的，有4条直直的边，对边相等，据此数一数即可。 【详解】单个的小正方形有6个，由4个小正方形组成的正方形有2个，一共有6＋2＝8（个）； 由2个小正方形组成的长方形有7个，由3个小正方形组成的长方形有2个，由6个小正方形组成的长方形有1个，一共有7＋2＋1＝10（个）。 下图中一共有（8）个正方形，有（10）个长方形。 题型八、长方形和正方形中角度的计算问题 【例题8】两个正方形相交如图，∠1＝32°，∠2＝( )°；∠3＝( )°。 【答案】 58 32 【分析】通过观察图可知：∠1、∠2组成一个直角，∠2＝直角－∠1；∠1、∠2组成一个直角，∠2、∠3也组成一个直角，所以∠3＝∠1。 【详解】∠2＝直角－∠1＝90°－32°＝58° ∠3＝∠1＝32° 【练习8】把一张长方形纸像图中那样折一折，可以折出一些新的角。图中( )°，( )°。 【答案】 50 40 【分析】图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，与折痕对称的角也大小相等。因为长方形的角是直角，为90°，从图中可以看到，∠1和两个20°的角合起来是90°。那么求∠1的度数，就用90°减去2个20°的角。从图中可知∠2和两个70°的角合起来是一个平角，平角＝180°。所以求∠2的度数，就用180°减去两个70°。 【详解】∠1＝90°－20°－20°＝70°－20°＝50° ∠2＝180°－70°－70°＝110°－70°＝40° 所以图中50°，40°。 考点练习 练习一、平行与垂直的特征 1．下列各组线能相交的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】线段不能延长，射线可以一端延长，直线的两端都可以延长。 分别延长各选项中的线，看是否能相交。 【详解】A．一条是线段，不能延长。另一条是射线，只能一端向下延长，与线段无法相交。 B．两条都是射线，延长后可以相交。 C．两条直线互相平行，永不相交。 故答案为：B 2．下列几组直线中，互相平行的在括号里画“√”，相交且不互相垂直的在括号里画“×”，互相垂直的在括号里画“△”。 ( ) ( )     ( )        ( )        ( )       ( ) 【答案】 △ √ × × △ √ 【分析】根据平行、相交、垂直的定义：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行；两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直；相交但不成直角的为相交且不互相垂直。对每组直线进行判断。 【详解】（1）第一组：两条斜线相交，形成一个直角，属于相交且垂直，故画“△”。 （2）第二组：两条平行线，方向相同，彼此平行，故画“√”。 （3）第三组：两条斜线，彼此不平行，但延长后相交，故画“×”。 （4）第四组：两条斜线相交，形成一个交叉点，相交且不互相垂直，故画“×”。 （5）第五组：一条水平线和一条垂直线相交，形成一个直角，属于互相垂直，故画“△”。 （6）第六组：两条水平线，彼此平行，故画“√”。 3．高速列车行驶的两条铁轨互相( )，数学课本封面相邻的两边互相( )。（填“平行”或“垂直”） 【答案】 平行 垂直 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。根据垂直的定义，相交成直角的两条直线互相垂直。 【详解】（1）高速列车行驶的两条铁轨在同一平面内且不相交，符合平行的定义，所以两条铁轨互相平行； （2）数学课本封面是长方形，相邻两边相交成直角，符合垂直的定义，所以相邻的两边互相垂直。 4．下图中的各条直线中，( )互相平行，( )互相垂直。 【答案】 直线③和直线④ 直线①和直线② 【分析】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内，如果两条直线永不相交，我们就说它们互相平行，或者说其中一条直线是另一条直线的平行线；如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；据此解答即可。 【详解】由分析可知，直线③和直线④互相平行，直线①和直线②互相垂直。 5．如下图所示的汉字中，含有互相平行的线的有( )个，含有互相垂直的线的有( )个。 【答案】 2 4 【分析】（1）判断汉字中是否含有互相平行的线，需依据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 （2）判断汉字中是否含有互相垂直的线，需依据垂线的定义：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。 【详解】（1）分析各汉字： “三”：由三条横线组成，三条横线之间均不相交，所以任意两条横线都互相平行，含有互相平行的线。 “六”：没有不相交的直线段，不含有互相平行的线。 “千”：由一撇和一横组成，撇为曲线，横为直线，两者不平行，不含有互相平行的线。 “土”：由上中下三条横线和中间一竖组成，三条横线之间互相平行，含有互相平行的线。 “下”：由一横、一竖和一点组成，横和竖相交但不是平行线，不含有互相平行的线。 “木”：由一横、一竖、一撇和一捺组成，撇和捺为斜线且不平行，横和竖相交，不含有互相平行的线。 综上，含有互相平行的线的汉字有“三”“土”，共2个。 （2）分析各汉字： “三”：三条横线均为水平方向，没有相交成直角的直线，不含有互相垂直的线。 “六”：组成部分中无相交成直角的直线，不含有互相垂直的线。 “千”：一撇和一横相交，相交形成的角为直角，所以竖与横互相垂直，含有互相垂直的线。 “土”：中间一竖分别与上、中、下三条横线相交，且相交形成的角为直角，所以竖与横互相垂直，含有互相垂直的线。 “下”：一横和一竖相交，形成的角为直角，所以横与竖互相垂直，含有互相垂直的线。 “木”：一横和一竖相交，形成的角为直角，所以横与竖互相垂直，含有互相垂直的线。 综上，含有互相垂直的线的汉字有“土”“千”“下”“木”，共4个。 6．把一张长方形纸对折两次后，形成的折痕可能互相( )，也可能互相( )。 【答案】 平行 垂直 【分析】把一张长方形的纸对折两次，两次折痕的位置关系，取决于对折的方向，一种情况是沿一条边的同一个方向对折两次，两条折痕是互相平行的；另一种情况是沿两条边的两个方向对折，两条折痕是互相垂直的；据此解答即可。 【详解】把一张长方形纸对折两次后，形成的折痕可能互相平行，也可能互相垂直。 7．a∥b表示直线a和b互相( )；a⊥b表示直线a和b互相( )。 【答案】 平行 垂直 【分析】在数学中，“∥”是平行符号，表示两条直线永远不相交；“⊥”是垂直符号，表示两条直线相交成直角。 【详解】a∥b表示直线a和b互相平行；a⊥b表示直线a和b互相垂直。 8．小明把一幅画挂歪了，于是他将挂画的两根绳子的长度调成一样长，画就正了，原理是：两条平行线之间，所有垂直线段长度都( )。 【答案】相等 【分析】根据题意作图如下： 由图可知，两条平行线之间，所有垂直线段的长度都相等。由题意得，小明把挂画的两根绳子的长度调成一样长，即中间的垂直线段的长度相等，那么挂画上边缘所在的直线与最上面的直线就互相平行了。 【详解】小明把一幅画挂歪了，于是他将挂画的两根绳子的长度调成一样长，画就正了，原理是：两条平行线之间，所有垂直线段长度都相等。 练习二、画垂线 1．分别过点M画已知直线的垂线。 【答案】见详解 【分析】点M在直线上时，用三角尺的一条直角边与直线重合，移动三角尺，待三角尺的直角顶点与点M重合时，沿着三角尺的另一条直角边画线，即可过点M画已知直线的垂线； 用三角尺的一条直角边与直线重合，移动三角尺，待三角尺的另一条直角边过点M，然后沿着这条直角边画线，即可过点M画已知直线的垂线。据此解答。 【详解】 2．画出经过点P作直线AB的垂线。 【答案】见详解 【分析】过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边紧靠直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线。 【详解】 3．过点，分别作角两边的垂线和。 【答案】图见详解 【分析】三角板的一条直角边和角的一边重合，然后平移三角板，让其另一条直角边与A点重合，过A点和三角板的直角顶点作直线，就是这条边的垂线；同样的方法即可作出过A点的角的另一条边的垂线即可。 【详解】图如下： 4．过下面的点A和B，分别画出直线的垂线。这两条垂线互相（    ）。 【答案】平行；图见详解 【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点（B点）重合，过A点（B点）沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可。过A点和B点画的这条直线的垂线互相平行。 【详解】过下面的点A和B，分别画出直线的垂线。这两条垂线互相平行。 练习三、点到直线的距离 1．如图，AB、AC、AD是过直线外的点A向同一条直线画的3条线段，其中最短的一条是线段( )。 【答案】AC 【分析】直线外一点到直线的所有连线中，只有垂直线段最短。由题意得，AB、AC、AD是过直线外的点A向同一条直线画的3条线段，线段AC与已知直线垂直，所以最短的一条是线段AC。 【详解】由分析可知，AB、AC、AD是过直线外的点A向同一条直线画的3条线段，其中最短的一条是线段AC。 2．小船要从湖面西岸的点B划到东岸（如下图），怎样划才能使路线最短？把最短的路线画出来。 【答案】见详解 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，因此，只要作出点B到东岸所在直线的垂直线段，据此解答。 【详解】根据分析，作图如下： 3．一古代工匠要将A点的货物运到河对岸，船怎样航行路线最短？下图是海海设计的路线图，请判断他画的路线图是否正确？若不正确，请改正。 【答案】海海画的路线图不正确。 图见详解。 【分析】点到直线的距离是指直线外一点到该直线的最短距离，即垂直距离。图中路线没有和对岸垂直，所以路线图错误。 【详解】海海画的路线图不正确 正确路线图如图： 【点睛】到直线的最短距离是点到直线的垂线段。 4．上午10：00，他们从家出发去建材市场，应该怎么走路程最短？请画出路线图，并说明理由。 【答案】 见详解 【分析】根据题意，从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离；因此过乐乐家作建材市场的垂线段即可。 过一点作已知直线的垂线，把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作直线的垂线， 依此画图并标上垂直符号即可。 【详解】根据分析，作图如下： 理由：直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短。 练习四、画平行线 1．在方格纸上画出已知直线的平行线。 【答案】见详解 【分析】画方格纸上直线的平行线，可以利用方格纸上任意两条横竖线之间的距离都相等，所以可以沿着方格纸上的格线画平行线； 画方格纸上斜线的平行线，可以让斜线完全贴合三角板的一条直角边，然后将直尺与三角板的另一条直角边紧靠在一起，沿着直尺平移三角板，最后沿着三角板最初贴合斜线的那条直角边画出另一条直线。 【详解】根据分析，画图如下： 2．过A点画直线的垂线和平行线。            【答案】见详解 【分析】过A点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使A点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 过A点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使A点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。 【详解】 3．过A点作直线a的平行线，过A点作直线b的垂线。 【答案】见详解 【分析】用三角尺的一条直角边与直线a重合，另一条直角边用直尺抵住，移动三角尺，让三角尺的直角边过点A，然后画线，即可作出直线a过A点的平行线； 用三角尺的直角边与直线b重合，移动三角尺，让三角尺的另一条直角边过A点，即可画出过A点直线b的垂线。据此解答。 【详解】 4．如图，文文的篮球不小心滚到长方形草坪上了，她想把它捡到草地外面。 （1）草坪外有一条直直的小路与草坪的长边平行，文文站在小路上的点A处，请你画出这条小路。 （2）画出文文从点A出发去捡篮球的最短路线。 （3）画出文文捡到篮球后，离开草坪的最短路线。 【答案】见详解 【分析】（1）把三角尺的一条直角边和草坪的长边重合，用直尺靠紧三角尺的另一条直角边，沿直尺移动三角尺，使三角尺和点A重合，过点A沿三角尺的直角边画平行线即可。 （2）根据两点之间线段最短，画出点到篮球的线段即可。 （3）直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短。画出从篮球到最近草坪的长边的垂线段即可。画垂线时，使得三角尺的一条直角边与已知直线重合，将三角尺沿着直线移动，使得三角尺顶点与指定的点重合，过指定点，沿三角尺的另一条直角边画垂线，标上垂直标记。 【详解】如图： 5．学校墙上的安全出口标识牌松动了（如下图），怎样才能摆正？请写出具体的方法。 【答案】如下图，画出与地面平行的一条直线，通过旋转使标识牌的长边与画的这条直线重合即可摆正。 【分析】要摆正松动的安全出口标识牌，需依据题目所给方法，即通过画与地面平行的直线，再旋转标识牌使长边与之重合来实现。 【详解】（1）首先，在标识牌所在墙面，使用工具（如水平仪或借助地面参照）画出一条与地面平行的直线。 （2）观察安全出口标识牌，握住标识牌，绕其松动的固定点进行旋转。 （3）在旋转过程中，将标识牌的长边与之前画出的那条与地面平行的直线对齐，直至完全重合，此时标识牌即被摆正。 练习五、长方形和正方形的概念及特点 1．一根绳子从“●”处折叠，（    ）能折成一个长方形。 A． B． C． 【答案】B 【分析】根据长方形的特征，长方形的两组对边相等，邻边不相等，据此判断。 【详解】 A．中间两段长度相等，与长方形邻边不相等矛盾，不能折成一个长方形。 B．第一段和第三段长度相等，第二段和第四段长度相等，折起来后使两组对边相等，能折成一个长方形。 C．中间两段长度相等，与长方形邻边不相等矛盾，不能折成一个长方形。 故答案为：B 2．下列选项中的三个信封分别装有一张四边形的硬纸板，哪个信封中一定是正方形。（    ） A． B． C． 【答案】B 【分析】长方形有四个直角，长方形的对边相等。正方形有四个直角，正方形的四条边都相等。据此解答。 【详解】A．由图可知，这个四边形露出了一个直角，这个四边形可能是长方形，也可能是正方形。不满足题意。 B．由图可知，这个四边形露出了三个直角且相邻的两条边长度相等，所以这个四边形一定是正方形。满足题意。 C．由图可知，这个四边形露出了两个直角，这个四边形可能是长方形，也可能是正方形。不满足题意。 故答案为：B 3．长方形的对边( )，四个角都是( )角。 【答案】 相等 直 【详解】长方形的对边（相等），四个角都是（直）角。如下图所示： 4．如图长方形ABDC中，与线段AB平行的线段是( )，与它垂直的线段是( )。 【答案】 CD AC和BD 【分析】根据长方形的特征，两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫做长方形；则长方形两组对边分别平行，两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，则长方形相邻的边互相垂直；在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。 【详解】如图：长方形ABDC中，与线段AB平行的线段是CD，与它垂直的线段是AC和BD。 5．选一选。（填序号） 【答案】长方形：③⑤⑧；正方形：④⑥ 【分析】两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫做长方形；四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形；据此解答。 【详解】①是三角形；②是梯形；③是长方形；④是正方形；⑤是长方形 ⑥是正方形；⑦是平行四边形；⑧是长方形；⑨是三角形。 6．在括号里填上合适的数。（单位：厘米） 【答案】见详解 【分析】长方形：根据对边相等的特征，长为7厘米，所以对应的对边也是7厘米；宽为3厘米，所以对应的对边也是3厘米。因此括号里依次填7、3； 正方形：根据四条边都相等的特征，边长为15厘米，所以对应的边也是15厘米。因此括号里填15。 【详解】 练习六、画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 1．根据长方形的两条边和正方形的一条边，把它们画完整。 【答案】 【分析】长方形特征是对边相等、四个角都是直角；正方形特征是四条边都相等、四个角都是直角。 【详解】 2．在下侧方格纸内画一个长是5厘米，宽是4厘米的长方形。 【答案】见详解 【分析】根据长方形的特征，每个角都是直角，对边相等，用三角尺的两条直角边，分别画一条长5厘米的线段（5个小方格），一条宽4厘米的线段（4个小方格），然后再用两条长和宽同长度的线段连接成长方形。 【详解】 3．画一条2厘米长的线段，再以这条线段为边画一个正方形。 【答案】图见详解 【分析】先画一条2厘米长的线段，然后分别以线段的两边为端点，用三角板和直尺画出与线段垂直且长度为2厘米的两条线段，最后连接两条线段的上端，得到一个正方形。 【详解】图如下： 4．用画垂线的方法，画一个长4厘米、宽3厘米的长方形，然后在这个长方形中画一个最大的正方形。 【答案】 【分析】长方形的对边平行且相等，四个角都是直角。利用画垂线的方法画长方形，需先确定一条边，再通过画这条边的垂线得到相邻边，依据垂线性质保证角为直角，进而围成长方形。 在长方形中画最大正方形，正方形的边长最大只能等于长方形的宽（若等于长，长方形宽度不够）。所以这个正方形边长为3厘米，且一边与长方形的宽重合，利用长方形的边和画垂线的方法绘制。 【详解】 5．在下面方格中画一个长6厘米、宽4厘米的长方形，再画一个边长为5厘米的正方形。（小方格边长表示1厘米） 【答案】见详解 【分析】长方形的对边相等，四个角都是直角。通常把长方形长边的长叫作长，短边的长叫作宽，也就是长占6格，宽占4格； 正方形的四条边都相等，四个角都是直角。正方形的每条边的长，叫作边长，也就是边长占5格。 【详解】由分析作图如下： 6．在方格纸上作图（小方格的边长为1厘米）。 （1）在方格纸上画一个长是9厘米、宽是5厘米的长方形。 （2）在这个长方形中画一个最大的正方形。 【答案】见详解 【分析】（1）长方形的两组对边相等，有4个直角。画出长方形的长等于9个小方格的边长和，宽等于5个小方格的边长和即可。 （2）在这个长方形中画一个最大的正方形，那么正方形的边长等于长方形的宽，是5厘米。 【详解】 练习七、数图形 1．图中有( )个长方形。 【答案】5 【分析】本题需数出图形中所有长方形的个数（包括小长方形和组合而成的长方形）。采用分类计数法：先数单个小长方形，再数由2个、3个小长方形组合而成的长方形。注意避免重复或遗漏。 【详解】单个小长方形有3个； 由2个小长方形组合而成的长方形有1个； 由3个小长方形组合而成的长方形有1个； 3＋1＋1＝5（个） 图中有5个长方形。 2．如图中一共有( )个正方形。 【答案】6 【分析】正方形是方方正正的，有4条直直的边，并且每个边都一样长，由此数出单独的图形和组合成的图形，相加计算出总数量即可。 【详解】由分析得： 单独的小正方形有5个； 4个小正方形组成的大正方形有1个。 5＋1＝6（个） 图中一共有6个正方形。 3．数一数如图中有( )个长方形。 【答案】10 【分析】有4个单独的小长方形，由2个小长方形组成的长方形有3个，由3个小长方形组成的长方形有2个，由4个小长方形组成的长方形有1个，相加即可求解。 【详解】4＋3＋2＋1 ＝7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（个） 图中有10个长方形。 4．( )个正方形。 【答案】6 【分析】四条边相等且四个角为直角的图形，包括正放和斜放的正方形。从最小的图形开始，逐步到较大的图形，确保计数全面。 【详解】小正方形：图中有 4 个边长为原正方形一半的小正方形。 大正方形：最外围 1 个最大的正方形。 中间正方形：由两条对角线交叉形成的 1 个倾斜正方形。 总数：（个） 5．下图中有( )个长方形。 【答案】30 【分析】由图可知，图中一共有2层，可以分层来数长方形的个数。在上面的一层中，单独的小长方形有4个，由2个长方形组成的大长方形有3个，由3个长方形组成的大长方形有2个，由4个长方形组成的大长方形只有1个，直接把它们的数量相加即可算出上面一层长方形的个数；在下面的一层中，单独的小长方形有4个，由2个长方形组成的大长方形有3个，由3个长方形组成的大长方形有2个，由4个长方形组成的大长方形只有1个，即下面一层长方形的个数与上面一层长方形的个数相同。如果把两层联合起来看（不看中间的横着的线段），具体如下图： 由图可知，单独的小长方形有4个，由2个长方形组成的大长方形有3个，由3个长方形组成的大长方形有2个，由4个长方形组成的大长方形只有1个，即数出来的长方形个数和上下两层每层的长方形的个数相同。所以直接用上面一层长方形的个数乘上3即可算出一共有多少个长方形。 【详解】4＋3＋2＋1 ＝7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（个） 10×3＝30（个） 故图中有30个长方形。 6．观察下图，图中一共有( )个正方形。 【答案】30 【分析】观察图形，这是一个4×4的方格图（横向、纵向都有4个小方格）。1×1的小正方形有：4×4＝16个；2×2的正方形有：3×3＝9个；3×3的正方形有：2×2＝4个；4×4的正方形有：1×1＝1个；然后把数量相加即可得出一共有多少个正方形。 【详解】1×1的小正方形：4×4＝16（个） 2×2的正方形：3×3＝9（个） 3×3的正方形：2×2＝4（个） 4×4的正方形：1×1＝1（个） 16＋9＋4＋1＝30（个） 图中一共有30个正方形。 练习八、长方形和正方形中角度的计算问题 1．如图，两张长方形纸重叠在一起，，( )°。 【答案】40 【分析】根据图示，∠1与空白的角合起来是一个直角，利用90°减去40°求出空白角，∠2与空白角合起来也是90°，再利用90°减去空白角的度数就是∠2的度数。 【详解】据分析可知： 90°－40°＝50° 90°－50°＝40° 如图，两张长方形纸重叠在一起，∠1＝40°，∠2＝40°。 2．如图，两个正方形叠放在一起，∠1＝( )。 【答案】75°/75度 【分析】根据题意，∠1、∠2、∠3和30°以及45°的角组成一个平角。平角是180°，用180°减去30°和45°就是∠1、∠2和∠3的度数之和。又因为正方形的四个角都是直角，直角是90°。用∠1、∠2和∠3的度数之和减去90°就是∠2或者∠3的度数。再用90°减去∠2的度数就是∠3的度数。 【详解】180°－30°－45° ＝150°－45° ＝105° 105°－90°＝15° 90°－15°＝75° 所以，∠1＝75°（75度） 3．如下图，把一张正方形纸沿虚线对折，则折痕（图中的虚线）与正方形的边和一个顶点组成了∠1，∠2，你知道∠1等于多少度吗？ 【答案】45° 【分析】正方形四个角都是直角，是，沿对角线对折，把直角平均分成两份，据此求出其中一份即可解答。 【详解】因为、，所以 答：∠1等于 4．下图是将一张正方形纸沿AB折叠后的示意图，其中∠1＝30°。你能求出∠2的度数吗？ 【答案】30° 【分析】正方形的每个内角都是直角（即90°），由图可知，已知∠1＝30°，将一张正方形纸沿AB折叠，根据折叠的性质，∠2与其相邻的另一个角（即折叠前的角）相等，那么用90°减去∠1，可得到∠2与其相邻的另一个角之和，再除以2，即可得到∠2的度数，据此解答。 【详解】 答：∠2为30°。 【点睛】熟练掌握折叠的性质：折叠后重合的角相等，是解题的关键。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年三年级下册数学苏教版·新教材单元培优讲义 专题05 长方形和正方形 考点梳理 1 考点一、相交与平行 1 考点二、长方形和正方形 2 例题讲解 3 题型一、平行与垂直的特征 3 题型二、画垂线 4 题型三、点到直线的距离 4 题型四、画平行线 5 题型五、长方形和正方形的概念及特点 5 题型六、画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 5 题型七、数图形 6 题型八、长方形和正方形中角度的计算问题 6 考点练习 7 练习一、平行与垂直的特征 7 练习二、画垂线 8 练习三、点到直线的距离 9 练习四、画平行线 10 练习五、长方形和正方形的概念及特点 11 练习六、画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 12 练习七、数图形 13 练习八、长方形和正方形中角度的计算问题 14 考点梳理 考点一、相交与平行 1. 平行的特征及性质 (1)概念：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。 (2)特征：两条平行线之间的距离处处相等；无论延伸多长，两条平行线都不会相交。 (3)性质：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行的传递性）。 2. 垂直的特征 (1)概念：如果两条直线相交成直角（90°），就说这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 (2)特征：垂直是相交的特殊情况，只有相交成直角时才是垂直；两条直线垂直时，所形成的四个角都是直角。 3. 画垂线 (1)工具：直尺、三角尺。 (2)步骤： ① 把三角尺的一条直角边与已知直线重合； ② 沿直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过直线外（或直线上）的已知点； ③ 沿三角尺的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线； ④ 标出垂直符号“⊥”和垂足。 4. 点到直线的距离 (1)定义：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。 (2)特点：直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短（简记为“垂线段最短”）。 5. 画平行线 (1)工具：直尺、三角尺。 (2)步骤： ① 固定三角尺，把三角尺的一条边与已知直线重合； ② 用直尺紧靠三角尺的另一条边，固定直尺； ③ 平移三角尺，使与已知直线重合的边经过直线外的已知点； ④ 沿三角尺的这条边画一条直线，这条直线就是已知直线的平行线。 考点二、长方形和正方形 1. 长方形的概念及特点 (1)概念：有四个角都是直角的四边形叫做长方形（也叫矩形）。 (2)特点： ①　边：有4条边，对边平行且相等（即长方形的两组对边分别相等）； ②　角：有4个角，每个角都是直角（90°）； ③　对称性：长方形是轴对称图形，有2条对称轴（过对边中点的直线）。 2. 正方形的概念及特点 (1)概念：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。 (2)特点： ①　边：有4条边，四条边都相等，对边平行； ②　角：有4个角，每个角都是直角（90°）； ③　关系：正方形是特殊的长方形（当长方形的长和宽相等时，就变成了正方形）； ④　对称性：正方形是轴对称图形，有4条对称轴（过对边中点的直线和对角线所在的直线）。 3. 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 (1)画指定长和宽的长方形： ① 先画一条线段作为长方形的长（如长5厘米）； ② 在这条线段的两端，用三角尺分别画两条与它垂直的线段作为长方形的宽（如宽3厘米）； ③ 连接两条宽的另一端，形成封闭图形，标出长和宽的长度。 (2)画指定边长的正方形： ① 先画一条线段作为正方形的边长（如边长4厘米）； ② 在这条线段的两端，用三角尺分别画两条与它垂直且长度相等的线段（均为4厘米）； ③ 连接两条垂直线段的另一端，形成封闭图形，标出边长。 4. 数图形（数长方形和正方形的个数） (1)数长方形： ①　方法：先数出图形中长边上线段的总条数（设为m）和宽边上线段的总条数（设为n），则长方形的总个数为m×n。 ②　示例：一个大长方形被纵向分成2份、横向分成3份，长边上线段数为1+2=3（单条线段2条，组合线段1条），宽边上线段数为1+2+3=6（单条3条，两条组合2条，三条组合1条），则长方形总个数为3×6=18个。 (2)数正方形： ①　方法：按正方形的边长分类数，设图形是m×n的方格（m≤n），则边长为1的正方形有m×n个，边长为2的有(m-1)×(n-1)个，……，边长为m的有1×(n-m+1)个，总和为各边长正方形个数相加。 ②　示例：3×3的方格中，边长1的有9个，边长2的有4个，边长3的有1个，总个数为9+4+1=14个。 例题讲解 题型一、平行与垂直的特征 【例题1】下面各组直线中，互相平行的是( )，互相垂直的是( )。（填序号） 【练习1】如图，互相( )的两条路交叉的地方叫做十字路口，行人过马路时应走由互相( )的白线组成的斑马线。 题型二、画垂线 【例题2】下图中，过点A画已知直线的垂线。 【练习2】过直线外一点A画这条直线的垂线。 题型三、点到直线的距离 【例题3】四（1）班学生从集合点去往历史博物馆，从集合点到历史博物馆每个入口的路线如图，路线①、③的距离分别是166米、190米，则路线②的距离可能是（    ）米。 A．169 B．150 C．181 【练习3】直线m是一条公路，公路的一侧有一个村子（如下图）。现在要在公路边建一个公共汽车站，如果想让这个村子的村民到公共汽车站的路程最短，那么公共汽车站应该建在什么地方？画一画。 题型四、画平行线 【例题4】在下面的方格纸上画一组平行线。 【练习4】过A、B两点任意画一组平行线。 题型五、长方形和正方形的概念及特点 【例题5】一个正方形有( )条边，( )个直角；一个长方形有( )组对边相等。 【练习5】下面是乐乐没有画完的四边形，请你猜一猜。（填序号） (1)( )号图形一定是正方形。 (2)( )号图形一定是长方形。 (3)( )号图形可能是正方形，也可能是长方形。 题型六、画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 【例题6】画一个长是7厘米、宽是4厘米的长方形。 【练习6】在下面的方格纸上画一个边长是5厘米的正方形和一个长6厘米、宽4厘米的长方形。（每个格子的边长为1厘米） 题型七、数图形 【例题7】下图中一共有( )个长方形。 【练习7】数一数。下图中一共有( )个正方形，有( )个长方形。 题型八、长方形和正方形中角度的计算问题 【例题8】两个正方形相交如图，∠1＝32°，∠2＝( )°；∠3＝( )°。 【练习8】把一张长方形纸像图中那样折一折，可以折出一些新的角。图中( )°，( )°。 考点练习 练习一、平行与垂直的特征 1．下列各组线能相交的是（    ）。 A． B． C． 2．下列几组直线中，互相平行的在括号里画“√”，相交且不互相垂直的在括号里画“×”，互相垂直的在括号里画“△”。 ( ) ( )     ( )        ( )        ( )       ( ) 3．高速列车行驶的两条铁轨互相( )，数学课本封面相邻的两边互相( )。（填“平行”或“垂直”） 4．下图中的各条直线中，( )互相平行，( )互相垂直。 5．如下图所示的汉字中，含有互相平行的线的有( )个，含有互相垂直的线的有( )个。 6．把一张长方形纸对折两次后，形成的折痕可能互相( )，也可能互相( )。 7．a∥b表示直线a和b互相( )；a⊥b表示直线a和b互相( )。 8．小明把一幅画挂歪了，于是他将挂画的两根绳子的长度调成一样长，画就正了，原理是：两条平行线之间，所有垂直线段长度都( )。 练习二、画垂线 1．分别过点M画已知直线的垂线。 2．画出经过点P作直线AB的垂线。 3．过点，分别作角两边的垂线和。 4．过下面的点A和B，分别画出直线的垂线。这两条垂线互相（    ）。 练习三、点到直线的距离 1．如图，AB、AC、AD是过直线外的点A向同一条直线画的3条线段，其中最短的一条是线段( )。 2．小船要从湖面西岸的点B划到东岸（如下图），怎样划才能使路线最短？把最短的路线画出来。 3．一古代工匠要将A点的货物运到河对岸，船怎样航行路线最短？下图是海海设计的路线图，请判断他画的路线图是否正确？若不正确，请改正。 4．上午10：00，他们从家出发去建材市场，应该怎么走路程最短？请画出路线图，并说明理由。 练习四、画平行线 1．在方格纸上画出已知直线的平行线。 2．过A点画直线的垂线和平行线。             3．过A点作直线a的平行线，过A点作直线b的垂线。 4．如图，文文的篮球不小心滚到长方形草坪上了，她想把它捡到草地外面。 （1）草坪外有一条直直的小路与草坪的长边平行，文文站在小路上的点A处，请你画出这条小路。 （2）画出文文从点A出发去捡篮球的最短路线。 （3）画出文文捡到篮球后，离开草坪的最短路线。 5．学校墙上的安全出口标识牌松动了（如下图），怎样才能摆正？请写出具体的方法。 练习五、长方形和正方形的概念及特点 1．一根绳子从“●”处折叠，（    ）能折成一个长方形。 A． B． C． 2．下列选项中的三个信封分别装有一张四边形的硬纸板，哪个信封中一定是正方形。（    ） A． B． C． 3．长方形的对边( )，四个角都是( )角。 4．如图长方形ABDC中，与线段AB平行的线段是( )，与它垂直的线段是( )。 5．选一选。（填序号） 6．在括号里填上合适的数。（单位：厘米） 练习六、画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 1．根据长方形的两条边和正方形的一条边，把它们画完整。 2．在下侧方格纸内画一个长是5厘米，宽是4厘米的长方形。 3．画一条2厘米长的线段，再以这条线段为边画一个正方形。 4．用画垂线的方法，画一个长4厘米、宽3厘米的长方形，然后在这个长方形中画一个最大的正方形。 5．在下面方格中画一个长6厘米、宽4厘米的长方形，再画一个边长为5厘米的正方形。（小方格边长表示1厘米） 6．在方格纸上作图（小方格的边长为1厘米）。 （1）在方格纸上画一个长是9厘米、宽是5厘米的长方形。 （2）在这个长方形中画一个最大的正方形。 练习七、数图形 1．图中有( )个长方形。 2．如图中一共有( )个正方形。 3．数一数如图中有( )个长方形。 4．( )个正方形。 5．下图中有( )个长方形。 6．观察下图，图中一共有( )个正方形。 练习八、长方形和正方形中角度的计算问题 1．如图，两张长方形纸重叠在一起，，( )°。 2．如图，两个正方形叠放在一起，∠1＝( )。 3．如下图，把一张正方形纸沿虚线对折，则折痕（图中的虚线）与正方形的边和一个顶点组成了∠1，∠2，你知道∠1等于多少度吗？ 4．下图是将一张正方形纸沿AB折叠后的示意图，其中∠1＝30°。你能求出∠2的度数吗？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $