第三章 第3节 预言未知星体 计算天体质量（Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中物理必修第二册（教科版）

本讲义聚焦万有引力定律在天文学的应用，涵盖预言彗星回归、未知星体（如海王星）发现，天体质量计算（重力加速度法、环绕法）及密度计算，拓展双星、三星模型，构建“定律应用—方法建构—模型拓展”的学习支架。 资料融合哈雷彗星、海王星发现等科学史案例培养科学态度与责任，通过双星三星模型建构提升科学思维，物理观念贯穿天体质量计算核心。课中辅助教师系统授课，课后针对训练与变式拓展助学生查漏补缺，强化知识应用。

第3节　预言未知星体　计算天体质量 核心素养导学 物理观念 (1)理解“称量”地球质量的基本思路。 (2)理解计算太阳质量的基本思路。 科学思维 (1)理解万有引力定律在天文学上的重要应用——发现未知天体、预言哈雷彗星的回归。 (2)能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解。 科学态度与责任 认识万有引力定律的科学成就，体会科学的迷人魅力，有探索太空、了解太空的兴趣。 一、预言彗星回归 1.牛顿断言，行星的运动规律同样适用于彗星。 2.哈雷根据牛顿的引力理论计算了哈雷彗星的轨道，预言了彗星的回归时间。 3.克雷洛证实了哈雷的预言。 二、预言未知星体 　　英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶，根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。 三、计算天体质量 1.测量地球的质量 (1)若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的万有引力，即mg=G。 (2)地球的质量：M=。 　　卡文迪许测出引力常量G，也就意味着称出了地球的质量。 2.计算太阳的质量 (1)太阳对行星的万有引力提供行星的向心力。 (2)由G=mrω2=mr2，得出mS=。 1.如图是我们测量物体质量的常用工具，地球这么大，我们如何“称量”地球的质量呢?卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”。他“称量”的依据是什么? 提示：若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，因为地球表面的重力加速度g已知，地球的半径R已知，由mg=G，可得m地=。 2.如图是木星和它周围运行的卫星，测出一颗卫星的轨道半径和周期，怎样计算出木星的质量? 提示：设木星和卫星的质量分别为m木、m，测得卫星的轨道半径和周期分别为r和T。根据万有引力提供向心力G=m，解得m木=。 新知学习(一)|天体质量和密度的计算 [重点释解] 1.天体质量的计算 (1)重力加速度法 若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg=G，解得天体的质量为M=，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。 (2)环绕法 借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下： 已知量 万有引力提供向心力 中心天体的质量 线速率v 轨道半径r G=m M= 角速度ω 轨道半径r G=mrω2 M= 周期T 轨道半径r G=mr M= 2.天体密度的计算 若天体的半径为R，则天体的密度ρ=，将M=代入上式可得ρ=。 当卫星环绕天体表面附近运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ=。 [典例体验] 　　[典例]　半径为R的某天体的一颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该高度做圆周运动的周期为T，已知引力常量为G，求该天体的质量和密度。 答题区(面答面评，拍照上传，现场纠错品优) [解析]　卫星距天体表面的高度为h时，有 G=m(R+h) 则该天体的质量M= 则该天体的密度ρ===。 [答案]　　 　　[变式拓展]　在[典例]中，假设在该天体上发射一颗贴近该天体的表面做匀速圆周运动的卫星，它的周期为T0 。求该天体的质量和密度。 解析：设卫星的质量为m，天体的质量为M， 卫星贴近天体表面运动时有G=mR， 则该天体的质量M= 根据数学知识可知天体的体积为V=πR3 故该天体的密度为ρ==。 答案：　 /易错警示/ 计算天体质量和密度时应注意以下两点 (1)根据行星的轨道半径r和运行周期T，求出的是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量。 (2)混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免代错数据；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。 [针对训练] 1.(2024·山东高考)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为 (　　) A. B. C. D. 解析：选D　根据万有引力公式=mr，整理得M=，因为“鹊桥二号”中继星环绕月球运行的周期与地球同步卫星环绕地球运行的周期相等，故=，故选D。 2.(2024·海南高考)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为 (　　) A. B. C. D.(1+k)3 解析：选D　设月球的半径为R，质量为M，对嫦娥六号分析，根据万有引力提供向心力有G=m·(k+1)R，月球的体积V=πR3，月球的平均密度ρ=，联立可得ρ=(1+k)3。故选D。 3.(2025·宜宾模拟)人类有可能在不久的将来登上火星。未来某航天员在地球表面将一重物在离地高h处由静止释放，测得下落时间为t1，来到火星后，也将一重物在离火星表面高h处由静止释放，测得下落时间为t2，已知地球与火星的半径之比为k，不考虑地球和火星的自转，则地球与火星的密度之比为 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 解析：选A　根据h=gt2，可得g=，可知=，在星球表面G=mg，M=πR3ρ，可得ρ=，可得=·=。 新知学习(二)|天体运动的分析与计算 [典例体验] 　　[典例]　如图所示，太阳系中除地球外的七颗行星大致排列成一条直线时形成“七星连珠”的天文奇观。已知火星半径为R，火星表面的重力加速度为g，金星绕太阳运动的轨道半径为r，公转周期为T，引力常量为G。假设各行星均做圆周运动，不考虑行星间的引力和行星的自转，则 (　　) A.七星中水星绕太阳运动的向心加速度最小 B.七星中水星绕太阳运动的角速度最小 C.火星的公转周期为T D.太阳质量与火星质量之比为 [解析]　由万有引力提供向心力有=man，解得an=，由题图可知，水星绕太阳运动的轨道半径最小，则七星中水星绕太阳运动的向心加速度最大，故A错误；由万有引力提供向心力有=mω2r，解得ω=，由于水星绕太阳运动的轨道半径最小，则七星中水星绕太阳运动的角速度最大，故B错误；根据开普勒第三定律有=，解得T火=T，由于火星绕太阳运动的轨道半径大于火星半径，R火>R，则火星的公转周期大于T，故C错误；在火星表面有=mg，解得M火=，由万有引力提供向心力有=mr，解得M太=，则太阳质量与火星质量之比为=，故D正确。 [答案]　D [系统归纳] 1.解决天体运动问题的基本思路 一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供。 2.四个重要结论 项目 推导式 关系式 结论 v与r 的关系 G=m v= r越大， v越小 ω与r 的关系 G=mrω2 ω= r越大， ω越小 T与r 的关系 G=mr T=2π r越大， T越大 a与r 的关系 G=ma a= r越大， a越小 [针对训练] 1.(2025·陕晋宁青高考)我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统，实现火星取样返回。其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径约3 750 km，轨道周期约2 h。引力常量G取6.67×10-11 N·m2/kg2，根据以上数据可推算出火星的 (　　) A.质量　　　　　　 B.体积 C.逃逸速度 D.自转周期 解析：选A　轨道器绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，可得G=m=mω2r=mr=ma，题中已知的物理量有轨道半径r、轨道周期T、引力常量G，可推算出火星的质量，故A正确；若想推算火星的体积和逃逸速度，则还需要知道火星的半径R，故B、C错误；根据上述分析可知，不能通过所提供物理量推算出火星的自转周期，故D错误。 2.(2025·眉山高一期末)嫦娥六号探测器于2024年5月8日进入环月轨道，后续经调整环月轨道的高度和倾角，实施月球背部软着陆。当探测器的轨道半径从r1调整到r2时(两轨道均视为圆形轨道)，其速度大小和加速度大小从v1、a1分别变为v2、a2。下列说法正确的是 (　　) A.==　　 B.== C.== D.== 解析：选D　根据万有引力提供向心力G=m，v= ，则= ，根据G=ma，a=，则=。 新知学习(三)|宇宙双星和三星模型 [典例体验] 　　[典例]　(2025·德阳高一期中)在轨运行的哈勃太空望远镜，曾拍摄到天狼星A和天狼星B组成的双星系统在轨运行图像，如图所示。它们在彼此间的万有引力作用下同时绕某点(公共圆心)做匀速圆周运动，已知mA=bmB，且b>1，则下列结论正确的是 (　　) A.天狼星A和天狼星B的绕行方向可能相反 B.天狼星A和天狼星B的公共圆心可以不在重心连线上 C.天狼星A和天狼星B的向心加速度大小之比为b∶1 D.天狼星A和天狼星B的线速度大小之比为1∶b [解析]　双星系统由彼此之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，二者角速度相同，且绕行方向必须相同，公共圆心必须在重心连线上，两星才能稳定运行，故A、B错误；双星系统由彼此之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，二者角速度相同，有G=mAω2rA=mBω2rB，则mArA=mBrB，得==，根据a=ω2r，得===，根据v=ωr，得==，故C错误，D正确。 [答案]　D [内化模型] 双星模型 三星模型 情景图 运动特点 转动方向、周期、角速度相同，运动半径一般不等 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等 受力特点 两星间的万有引力提供两星圆周运动的向心力 各星所受万有引力的合力提供圆周运动的向心力 规律 =m1ω2r1 =m2ω2r2 +=ma向×cos 30°×2=ma向 关键点 m1r1=m2r2 r1+r2=L r= [针对训练] 1.(多选)冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统，质量之比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。由此可知卡戎绕O点运动的 (　　) A.角速度大小约为冥王星的7倍 B.向心力大小约为冥王星的 C.轨道半径约为冥王星的7倍 D.周期大小与冥王星周期相同 解析：选CD　由题图可知，冥王星与卡戎绕O点转动时每转一圈所用的时间相同，故D正确，A错误；冥王星与卡戎绕O点转动时万有引力提供向心力，即G=M冥ω2r冥=m卡 ω2r卡，故==，B错误，C正确。 2.(多选)如图，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是 (　　) A.三颗星的质量可能不相等 B.某颗星的质量为 C.它们的线速度大小均为 D.它们两两之间的万有引力大小为 解析：选BD　三星做匀速圆周运动的轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r==l。根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相等，设为m，则2Gcos 30°=m··l，解得m=，它们两两之间的万有引力F=G=G=，A错误，B、D正确；线速度大小为v==·=，C错误。 一、好素材分享——看其他教材如何落实核心素养 ◉科学思维——天体质量的计算 1.(选自人教版教材课后练习)某人造地球卫星沿圆轨道运行，轨道半径是6.8×103 km，周期是5.6×103 s。试从这些数据估算地球的质量。 解析：根据G=mr，得地球的质量M== kg≈6×1024 kg。 答案：6×1024 kg ◉科学态度与责任——冥王星从太阳系行星中被除名 2.(选自粤教版教材“资料活页”)海王星通过推算被成功预测之后，科学家们继续采用计算、预测和观察结合的方法寻找新的天体。由于技术的进步，人们用照相代替了肉眼的直接观察。1930年2月18日，美国天文学家汤博(C.Tombaugh，1906-1997)用计算、预测、观察和照相结合的方法，发现了冥王星(如图所示)。当时错估了冥王星的质量，以为冥王星与地球质量相当，所以命名为大行星。此后一段时间内，太阳系有九大行星(水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星和冥王星)的说法也被写进了教科书。 　　然而，经过近三十年的进一步观测，科学家们发现冥王星的直径只有地球直径的五分之一，比月球还要小。它还能被称为行星吗?九大行星的传统观念开始动摇，2005年7月，阋神星(Eris)的发现被公布，它是七十多年来首次在太阳系内发现的比冥王星更大的天体，这是推动行星概念被重新定义的决定性发现。事情已经到了非解决不可的程度，因为如果冥王星都可以算作太阳系的行星之一，那么阋神星无疑更有资格。 2006年，国际天文学联合会订立了行星的新定义：一颗行星首先要是一个天体，它满足： ①环绕太阳运转。 ②有足够大的质量来克服固体应力以达到流体静力平衡的(外形接近圆球)形状。 ③能清除邻近轨道上的其他天体。 根据行星的新定义，冥王星不符合定义②，即它的质量不够大；而且它也不符合定义③，因为冥王星的轨道与海王星的轨道交叉，如果把冥王星当成行星的话，那么海王星就不是行星。因此，冥王星在被发现76年之后，国际天文学联合会决定将冥王星从大行星中除名，降级列入太阳系的矮行星。教科书中太阳系的行星数量从此被改写。 由此可见，科学理论具有相对性，而科学实践则是检验理论正确与否的唯一标准。 二、新题目精选——品立意深处所蕴含的核心价值 1.(2025·自贡高一检测)某国际科研团队发现了两颗距离地球约100光年的类地新行星，其中一颗可能适合生命生存，被称为“超级地球”。“超级地球”的半径约为地球半径的1.5倍，绕一中心天体运动的公转周期约为8.5天，公转轨道半径约为日、地之间距离的，则该行星所围绕的中心天体的质量约为太阳质量的 (　　) A. B. C. D. 解析：选A　由万有引力提供向心力得G=mr，可得M=，故==≈，故选A。 2.(2025·四川高考)某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为 (　　) A. B. C. D. 解析：选A　设卫星转动的周期为T'，轨道半径为r，根据题意可得·-·=2π，解得T'=，根据万有引力提供向心力得G=mr，解得r==，故选A。 3.科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为 (　　) A.4×104M B.4×106M C.4×108M D.4×1010M 解析：选B　由万有引力提供向心力有=mR，整理得=，可知只与中心天体的质量有关，则=，已知T地=1年，由题图可知恒星S2绕银河系运动的周期TS2=2×(2002-1994)年=16年，解得M黑洞≈4×106M，B正确。 学科网（北京）股份有限公司 $