解三角形微专题05有关三角形的周长问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教A版高中数学必修二微专题——05 有关三角形周长的问题 一、题型梳理 题型1、有关求解三角形周长的问题 题型2、有关“三角形周长”的范围问题 题型3、有关“三角形周长”的最值问题 题型4、已知三角形周长，求解其他值的问题 题型5、三角形面积与周长交汇的问题 二、解题策略 （1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 周长 （2）求周长的模型： （3）解题思路步骤 ①利用基本不等式：，再利用基本不等式及，求出的取值范围或者利用 ②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 三、典例讲解 题型1、有关求解三角形周长的问题 例1．记的内角的对边分别为，已知为锐角，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理化边为角化简得，进而求得，根据余弦定理求得，即可求解周长. 【详解】因为，所以，又，则，又为锐角，所以.由，得，解得，则的周长为. 故选：B 例2．在中，角，，的对边分别为，，，，，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理得到，再利用完全平方公式求出，即可得解. 【详解】由余弦定理，即，又，所以， 则，所以（负值已舍去），所以的周长为.故选：B 例3．已知中，分别为角的对边，已知，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理可得，由此可得，，然后解三角即可得到周长. 【详解】，由正弦定理得， 又，所以， 则，或，（舍），所以，， 则，.故选：A. 例4．在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知，，且，则的周长为________． 【答案】 【分析】利用余弦定理可得，化简可得，进而可求得，结合面积可求得，可求周长. 【详解】因为，所以， 由余弦定理可得，整理得， 由余弦定理可得，又，，因为，又，所以，所以，又，可得，所以， 所以，所以，所以的周长为. 题型2、有关“三角形周长”的范围问题 例5．记锐角内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.则周长范围为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用射影定理和余弦定理对题目条件进行化简，可得；再根据正弦定理进行边角转化得，由两角差的正弦公式得；最后根据已知条件求出角的范围，进而求出的取值范围即可得出答案. 【详解】 在中，由射影定理得，则题目条件可化简为：.由余弦定理得：，则.因为，所以. 因为所以在中，由正弦定理得， 则周长， 因为 ，所以.因为为锐角三角形，， 则，解得所以.所以所以. 故选：A 例6．在中，角，，的对边分别为，，.若；且，则周长的范围为__________. 【答案】 【解析】先求角，再用余弦定理找到边的关系，再用基本不等式求的范围即可. 【详解】，，，，，所以三角形周长。 例7、在中，角所对的边分别为，已知，且． (1)若，求A； (2)若是锐角三角形，求周长的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据已知条件通过三角函数公式得出角之间的关系，求出角 （2）利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，然后化简表达式，最后根据角的范围求出边的和的范围，进而得到三角形周长的范围. 【详解】（1）由，可得，即， ∴，则或（舍），∴， 当，由，可得. （2）由正弦定理可得∴， 易知，可得，因此， 易知在上单调递增，所以， 可得周长范围为. 题型3、有关“三角形周长”的最值问题 例8．在中，已知，，则周长最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理角化边，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】在中，由及正弦定理，得，整理得，而，因此，解得，当且仅当时取等号，所以当时，周长取得最大值6. 故选：B 例9．已知的内角的对边分别为，且的面积为 (1)求；(2)求周长的最小值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）已知条件结合余弦定理求出，得角； （2）由的面积求出，余弦定理得，由基本不等式求周长的最小值. 【详解】（1）由，得， 即，则，由，得. （2），得， 由余弦定理，有，得， 周长， 当且仅当时取等号，所以周长的最小值为. 例10．在中，. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，即， 由余弦定理，，. （2）因为，即， ，当且仅当时取等号， ，即， 又，所以，当且仅当时取等号， 周长，即周长的最大值为 例11．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的大小; (2)若，且，求周长的最小值. 【答案】(1)；(2). 【分析】 （1）已知等式利用正弦定理化简得，可得C的大小； （2）由余弦定理把b，c边用a表示，利用基本不等式求周长的最小值. 【详解】（1）因为，由正弦定理. 由，得，所以，即.又，所以. （2）由（1）知，则. 因为，所以，则. 的周长为. 因为，所以，当且仅当时，等号成立.故周长的最小值为. 题型4、已知三角形周长，求解其他值的问题 例12．在中，已知，，的周长为9，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，利用余弦定理求得，再由同角的三角函数关系式求出. 【详解】已知，，的周长为9，则， 则，又，则. 故选：C. 例13．设的内角所对应的边分别为，，，其面积，若的周长为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理得，代入即可求得，再利用正弦定理将边转化为角即可求解. 【详解】由正弦定理有，为的外接圆半径， 所以， 所以， 所以，即，又的周长为1，所以， 所以，故选：C. 例14．设的内角的对边分别为若的周长为则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由及正弦定理得化简结合余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知,由正弦定理得 即整理得由余弦定理得 又所以故选：A． 例15．在中，角，，的对边分别为，，，若，. (1)求角的大小； (2)若的周长为，求边上的中线的长度. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）已知条件结合余弦定理求得，再由正弦定理求； （2）由（1）求出角，利用三角形周长求出各边的长，再由余弦定理求边上中线的长． 【详解】（1）由，得，又， ，得，又，， 由及正弦定理得， 所以，又，，，得. （2）由（1）知，，，则，所以，又，得， 因为的周长为，所以，解得， 设的中点为，则，如图所示， 在中，由余弦定理，可得， .所以边上中线的长为. 题型5、三角形周长与面积交汇的问题 例16．中，若且，则的周长为（    ） A． B．12 C． D． 【答案】C 【分析】由三角形面积求得，再由正弦定理得，可解得，然后由余弦定理解得，可得三角形周长． 【详解】由题意，，又，由正弦定理得，联立解得，，所以．故选：C． 例17．在中，已知角所对的边分别，的面积，，，则的周长为______． 【答案】 【分析】由条件结合三角形面积公式和正弦定理可得，结合两角和余弦公式求，再结合余弦定理及三角形面积公式求，由此可求的周长. 【详解】因为的面积，，所以， 所以，又，所以，又， ，所以， 又，所以，由余弦定理可得， 由，，可得，所以，所以， 所以，所以的周长为. 例18．在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若边上的高为，且的周长为6，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由条件利用正弦定理化边为角，整理得，从而，所以，即可解出； （2）由条件利用三角形的面积公式可得，结合的周长及余弦定理求得，计算面积即可. 【详解】（1）因为，所以，即，     在中，，所以，所以，又，， 所以，所以. （2）因为面积，所以， 因为的周长为6，所以， 由余弦定理得， 所以，解得，    所以面积. 【跟踪训练】 专题05 有关三角形周长的问题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，内角的对边分别为，且，若的周长为6，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理进行角化边即可求解． 【详解】，利用正弦定理，角化边得到：，即， 而的周长为6，故，故选：B． 2．在中，，，且的面积为，则的周长为（  ） A．15 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【分析】由面积公式求出，由余弦定理求出，即可得解. 【详解】因为，，且的面积为，所以，解得，由余弦定理，所以，则.故选：A 3．记的内角的对边分别为，已知，边上的高为1，，则的周长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理得，由余弦定理得，结合平方关系可得，进而求得，得解. 【详解】由边上的高为1知，故，由正弦定理得，，所以． 由余弦定理可得，因为，解得， 故，解得，故的周长为．故选：D． 4．记的内角的对边分别为，已知，则的周长（    ） A．9 B．14 C．19 D．24 【答案】B 【分析】由正弦定理可得再代入余弦定理可求得，由此可进一步求出即可求出的周长. 【详解】由正弦定理可得：又因为， 所以由余弦定理可得：，所以，又因为解得：所以的周长为.故选：B. 5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则的周长为（   ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式求出，再利用二倍角的正弦及正弦定理求出，进而利用正弦定理、余弦定理求出即可. 【详解】在中，由，得，而，则，由，得，由正弦定理得，则，，由正弦定理得，由余弦定理得，整理得，而，解得，所以的周长为18.故选：B 6．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边.若为锐角三角形，，，则周长的取值范围为（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【详解】由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ,故， 所以，则，故, 故周长的取值范围为. 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且外接圆的周长为，则的周长为（    ） A．20 B． C．27 D． 【答案】D 【分析】利用三角形的外接圆周长求出外接圆半径，根据同角三角函数关系求出，从而得到的长，结合及正弦定理得到，从而得到三角形周长. 【详解】设的外接圆半径为，则，解得：，因为，由，，可得，，所以，， 因为， 由正弦定理可得：， 所以的周长为.故选：D. 8．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出，再应用面积公式得出，最后应用余弦定理计算求解. 【详解】因为，整理可得：， 可得，因为为三角形内角，，所以．因为，所以，因为，且，所以，解得，由余弦定理得，解得．所以， 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，，周长为10，面积为，则（    ） A．为钝角三角形 B． C． D．边上的高为 【答案】BCD 【分析】根据题设，结合三角形面积公式及余弦定理求出的值，判断各项即可. 【详解】设的内角的对边分别为，则，① ，即，②，再根据余弦定理，得，③，由①②③解得，故C正确；，故B正确； 设边上的高为，则，得，故D正确； 由，得或，可知4为最长边，最长边所对的角最大，设为，， 所以，则为锐角，所以为锐角三角形，故A错误．故选：BCD． 10．在中，内角所对的边分别为，若的面积为16，则下列结论正确的是（    ） A．是直角三角形 B．是等腰三角形 C．的周长为32 D．的周长为 【答案】AD 【分析】由，，可得，再由面积为16，求出，求出，进而判断选项. 【详解】因为，所以， 所以.因为，所以.因为， 所以.因为16，所以，可得，则， 即.又因为，所以，A正确. 由上知，可得，B错误. 的周长为，C错误，D正确.故选：AD 11．记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（ ） A． B． C．的周长为 D．的面积为5 【答案】ABD 【分析】根据正弦定理进行边换角，再利用三角恒变换判断A；根据同角三角函数关系结合A选项即可求出，再利用正弦定理和两角和的正弦公式求得，最后即可求出，即可判断B；利用勾股定理和面积公式即可判断CD． 【详解】对A，因为，所以由正弦定理得， 因为， 代入上式可得：， 即，因为，所以，得到，则，正确； 对B，由，且，因为，，所以， 可得，又， 由正弦定理得，则，所以， 则， 因为，所以，边上的高为，因为，，又，，则，，正确；对C，因为，，根据勾股定理， 的周长为，错误；对D，的面积，正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，角A，，所对的分别为，，．若角A为锐角，，，则的周长可能为______．（写出一个符合题意的答案即可） 【答案】9（答案不唯一，内的任何一个值均可） 【分析】根据题意利用余弦定理可得，进而可得周长的取值范围. 【详解】由余弦定理可得， 因为角A为锐角，则，可得，所以的周长. 13．记的内角的对边分别为，，若的面积为3，则当的周长取到最小值时，_______． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合三角形面积定理、余弦定理求出周长的函数表达式，再借助函数性质、均值不等式计算作答. 【详解】由题意得，因为，则，由余弦定理，所以即，即，则，而函数在上单调递增，即当a最小时，的周长最小，显然，当且仅当时取“=”，此时， 所以当的周长取到最小值时，． 14．在中，，，则锐角周长的范围是__________. 【答案】 【分析】将的周长表示为三角函数的形式，根据三角函数的值域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，由正弦定理得，则， 则， 由于三角形是锐角三角形，所以，即， 所以三角形的周长为 ，，， 所以， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、在中，角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，当的周长取最大值时，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理得到，再根据倍角公式得，进而得到； （2）根据余弦定理得，再利用均值不等式得，当且仅当时取等号，此时周长最大，再由面积公式求得此时的面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为，所以，又因为，且，所以， 又因为，，所以，即. （2）在中，由余弦定理， 得，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为，此时面积. 16．在中，角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，当的周长取最大值时，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理得到，再根据倍角公式得，进而得到； （2）根据余弦定理得，再利用均值不等式得，当且仅当时取等号，此时周长最大，再由面积公式求得此时的面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为，所以，又因为，且，所以， 又因为，，所以，即. （2）在中，由余弦定理， 得，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为，此时面积. 17、在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________. (1)求角B； (2)若，求周长的最小值. 【答案】(1). (2)6 【分析】（1）分别选三个条件，结合三角恒等变换，以及边角互化，化简后即可求解； （2）由余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周长最小值，再利用面积公式求出面积 【详解】（1）选①， 由正弦定理可得，即得， 即有，由于，可得，即. 选②， 由正弦定理可得， 因为，，所以，即. 由于，可得. 选③， 由正弦定理和诱导公式可得，即为， 由余弦定理可得. 由于，可得. （2）由（1）知，由余弦定理可得， 即为，而，即. 若，则，可得（当且仅当时取得等号）， 则，所以周长的最小值为6. 18．在锐角中，，， (1)求角A； (2)求的周长l的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理把边转化为角，结合诱导公式，即可求出，即可求解; （2）利用正弦定理把边转化为角，结合角的范围，即可求解. 【详解】（1）∵，， 所以， 所以，因为，所以， ，所以. （2），所以,所以，， 所以, 因为是锐角三角形，且，所以，解得， 所以，所以，所以. 19．已知向量，令． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)已知当时，关于的方程有两个不等的实根，求的取值范围； (3)在锐角三角形中，角的对边分别为，已知，求周长的取值范围． 【答案】(1);单调递增区间为. (2) (3) 【分析】（1）根据数量积的运算，结合和差角公式化简，即可利用周期公式以及整体法求解单调性； （2）利用整体法求解； （3）利用正弦定理，结合三角恒等变换以及三角函数的性质求解. 【详解】（1）， 故周期为，令，解得， 故单调递增区间为； （2）当时，， 若有两个实数根，所以.所以的取值范围为：. （3）由可得，则， 故或，故 或，由于为锐角，故，故， 故， 由于，故，因此，故， 因此，故. 故周长的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高中数学必修二微专题——05 有关三角形周长的问题 一、题型梳理 题型1、有关求解三角形周长的问题 题型2、有关“三角形周长”的范围问题 题型3、有关“三角形周长”的最值问题 题型4、已知三角形周长，求解其他值的问题 题型5、三角形面积与周长交汇的问题 二、解题策略 （1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 周长 （2）求周长的模型： （3）解题思路步骤 ①利用基本不等式：，再利用基本不等式及，求出的取值范围或者利用 ②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 三、典例讲解 题型1、有关求解三角形周长的问题 例1．记的内角的对边分别为，已知为锐角，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 例2．在中，角，，的对边分别为，，，，，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 例3．已知中，分别为角的对边，已知，则的周长为（    ） A． B． C． D． 例4．在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知，，且，则的周长为________． 题型2、有关“三角形周长”的范围问题 例5．记锐角内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.则周长范围为 （    ） A． B． C． D． 例6．在中，角，，的对边分别为，，.若；且，则周长的范围为__________. 例7、在中，角所对的边分别为，已知，且． (1)若，求A； (2)若是锐角三角形，求周长的取值范围． 题型3、有关“三角形周长”的最值问题 例8．在中，已知，，则周长最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 例9．已知的内角的对边分别为，且的面积为 (1)求；(2)求周长的最小值. 例10．在中，. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 例11．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的大小; (2)若，且，求周长的最小值. 题型4、已知三角形周长，求解其他值的问题 例12．在中，已知，，的周长为9，则（   ） A． B． C． D． 例13．设的内角所对应的边分别为，，，其面积，若的周长为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 例14．设的内角的对边分别为若的周长为则（    ） A． B． C． D． 例15．在中，角，，的对边分别为，，，若，. (1)求角的大小； (2)若的周长为，求边上的中线的长度. 题型5、三角形周长与面积交汇的问题 例16．中，若且，则的周长为（    ） A． B．12 C． D． 例17．在中，已知角所对的边分别，的面积，，，则的周长为______． 例18．在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若边上的高为，且的周长为6，求的面积. 【跟踪训练】 专题05 有关三角形周长的问题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，内角的对边分别为，且，若的周长为6，则（    ） A．1 B．2 C． D． 2．在中，，，且的面积为，则的周长为（  ） A．15 B．12 C．16 D．20 3．记的内角的对边分别为，已知，边上的高为1，，则的周长为（    ） A．4 B． C． D． 4．记的内角的对边分别为，已知，则的周长（    ） A．9 B．14 C．19 D．24 5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则的周长为（   ） A．17 B．18 C．19 D．20 6．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边.若为锐角三角形，，，则周长的取值范围为（ ）. A． B． C． D． 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且外接圆的周长为，则的周长为（    ） A．20 B． C．27 D． 8．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，，周长为10，面积为，则（    ） A．为钝角三角形 B． C． D．边上的高为 10．在中，内角所对的边分别为，若的面积为16，则下列结论正确的是（    ） A．是直角三角形 B．是等腰三角形 C．的周长为32 D．的周长为 11．记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（ ） A． B． C．的周长为 D．的面积为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，角A，，所对的分别为，，．若角A为锐角，，，则的周长可能为______．（写出一个符合题意的答案即可） 13．记的内角的对边分别为，，若的面积为3，则当的周长取到最小值时，_______． 14．在中，，，则锐角周长的范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、在中，角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，当的周长取最大值时，求的面积. 16．在中，角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，当的周长取最大值时，求的面积. 17、在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________. (1)求角B； (2)若，求周长的最小值. 18．在锐角中，，， (1)求角A； (2)求的周长l的范围. 19．已知向量，令． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)已知当时，关于的方程有两个不等的实根，求的取值范围； (3)在锐角三角形中，角的对边分别为，已知，求周长的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $