专题14 导数与原函数混合构造问题（压轴题7大类型专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题14 导数与原函数混合构造问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 2 类型一、含一次函数结合 2 类型二、含二次函数结合 3 类型三、含幂函数结合 3 类型四、含指数（型）函数结合 4 类型五、含对数（型）函数结合 5 类型六、含三角函数结合 6 类型七、其他类型构造 6 压轴专练 7 1、构造函数解不等式解题思路 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. ①在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； ②在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； 2、构造函数解不等式解题技巧 求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形 模型1.对于，构造 模型2.对于不等式，构造函数. 模型3.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型4.对于不等式，构造函数 模型5.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型6.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造 （2）若，则构造 模型8.对于，构造. 模型9.对于，构造. 模型10.（1）对于，即， 构造． （2）对于，构造． 模型11.（1） （2） 类型一、含一次函数结合 1．函数及其导函数的定义域均为，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河北唐山·期末）设是函数的导函数，若对任意都有，则使得成立的的取值范围是______. 3．已知定义在上的可导函数满足，且，则当时，不等式的解集为______． 类型二、含二次函数结合 1．（24-25高二下·重庆九龙坡·期中）设函数在上存在导函数，对于任意实数，都有，当时，.若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·山东威海·期中）定义在上的奇函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．设函数在上存在导函数，对于任意的实数x，有，当时，，若，则实数m的取值范围是______． 类型三、含幂函数结合 1．（23-24高二下·福建厦门·期中）已知函数 的定义域为 是的导函数， 且 ，， 则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 2．设函数是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高二·全国·专题练习）函数是定义在区间上可导函数，其导函数为且满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．已知偶函数的导函数为，且满足，当时，，则使得成立的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为_____． 类型四、含指数（型）函数结合 1．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义域为R，是的导函数，，对任意的x都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川达州·期末）定义在上的函数，且，对，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．已知在上是奇函数，且为的导函数，对任意，均有成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为________． 7．已知是上的奇函数，且对任意的均有成立．若，则不等式的解集为________． 类型五、含对数（型）函数结合 1．已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南洛阳·月考）已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为________. 3．定义在上的函数的导函数为，当时，且，则不等式的解集为__________． 类型六、含三角函数结合 1．（2025高二·全国·专题练习）设 为 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为____________． 2．已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为______． 3．（23-24高二下·江苏·月考）已知函数的定义域为，其导函数是．有，则关于的不等式的解集为________． 类型七、其他类型构造 1．已知可导函数的导函数为，若对任意，都有，且，则不等式的解集为（  ）. A． B． C． D． 2．定义在上的函数满足，且，则不等式解集为（    ） A． B． C． D． 3．定义在上的函数满足，其中为的导函数，若，则的解集为________. 4．已知是定义域为的函数，且满足，则不等式的解集是__________. 1．（24-25高二下·山东济南·期末）定义在上的函数的导函数为，若，则的解集为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，对任意的满足，当时，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河南驻马店·期末）定义在上的奇函数（不是常数函数）的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）定义在R上的函数的导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·重庆·期末）已知在上恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，，是其导函数，若恒成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数是上的奇函数，对任意的均有成立.若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·重庆·期末）函数的导函数满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 10．定义在上的函数满足，，则关于x的不等式的解集为__________. 11．（24-25高二下·浙江·期中）已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是_________. 12．（24-25高二下·四川绵阳·月考）已知函数在定义域上为偶函数，并且时,，若，则不等式的解集为__________. 13．已知函数的定义域为，为其导函数，若，，则不等式的解集是______． 14．（23-24高二下·河南南阳·月考）已知函数在R上连续，且存在导函数，对任意实数x，满足，当时，．若，则x的取值范围是________． 15．（24-25高二下·四川宜宾·月考）已知定义在上的连续奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为_________ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 导数与原函数混合构造问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 2 类型一、含一次函数结合 2 类型二、含二次函数结合 4 类型三、含幂函数结合 6 类型四、含指数（型）函数结合 10 类型五、含对数（型）函数结合 13 类型六、含三角函数结合 15 类型七、其他类型构造 17 压轴专练 20 1、构造函数解不等式解题思路 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. ①在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； ②在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； 2、构造函数解不等式解题技巧 求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形 模型1.对于，构造 模型2.对于不等式，构造函数. 模型3.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型4.对于不等式，构造函数 模型5.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型6.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造 （2）若，则构造 模型8.对于，构造. 模型9.对于，构造. 模型10.（1）对于，即， 构造． （2）对于，构造． 模型11.（1） （2） 类型一、含一次函数结合 1．函数及其导函数的定义域均为，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，求导得到其单调性，对不等式变形得到，由函数单调性解不等式即可. 【详解】设，则，因为，所以， 所以在上单调递增，因为， 所以，即，等价于，故． 故选：D. 2．（24-25高二下·河北唐山·期末）设是函数的导函数，若对任意都有，则使得成立的的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题意可设，判断其单调性，将化为，结合函数单调性，即可求得答案. 【详解】设，则，， 可知在R上单调递减， 由，得，即， 故，则，即使得成立的的取值范围是， 故答案为： 3．已知定义在上的可导函数满足，且，则当时，不等式的解集为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，构造函数并借助导数确定单调性，进而求解不等式. 【详解】由，得，则， 设，则为上的增函数， ，． 由，得，即， 因此，得，即，又，解得， 所以所求解集为. 故答案为： 类型二、含二次函数结合 1．（24-25高二下·重庆九龙坡·期中）设函数在上存在导函数，对于任意实数，都有，当时，.若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，根据条件判断其为奇函数，在上单调递减，结合待求不等式等价转化，利用单调性即可求得参数范围. 【详解】设，定义域为， 因对于任意实数，都有， 由， 可得，即函数为奇函数； 又因当时，，可得在上单调递减， 又函数为奇函数，故在上单调递减. 由可得， 即，由函数单调性可得，解得. 故选：A. 2．（24-25高二下·山东威海·期中）定义在上的奇函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，结合求导可判断单调性，从而求解原不等式. 【详解】根据题意可构造函数，则， 由题可知，所以在区间上为增函数， 又由于为偶函数，为奇函数，所以为奇函数， 又，即， 所以，解得. 故选：D. 3．设函数在上存在导函数，对于任意的实数x，有，当时，，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据已知等式和不等式构造新函数，利用新函数的奇偶性和单调性进行求解即可. 【详解】设，则， 为奇函数，． 当时，，所以在上是减函数． 因为， 即，所以，从而． 故答案为： 类型三、含幂函数结合 1．（23-24高二下·福建厦门·期中）已知函数 的定义域为 是的导函数， 且 ，， 则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造函数 ， 再应用已知化简得 ，最后应用导数得出单调性求解. 【详解】 令，对求导，得， ，即在上为减函数， ， ， 不等式可化为不等式，即， 由在上为减函数得， 不等式的解集为. 故选: A 2．设函数是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可得是上的奇函数，且，再数形结合解不等式即可． 【详解】当时，， 令，， 则在单调递增， 又是定义在上的偶函数，且， 是上的奇函数，则， 故函数的图像可以为： 的解集为． 故选：D． 3．（2025高二·全国·专题练习）函数是定义在区间上可导函数，其导函数为且满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据导数判断函数单调性，结合函数单调性解不等式. 【详解】根据题意，设，， 则； 由已知当时，，则有， 即在上单调递增， 又，变形可得， 即， 又函数在上单调递增， 则有， 解得：， 故选：B． 4．已知偶函数的导函数为，且满足，当时，，则使得成立的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，其中，利用导数分析该函数在上的单调性，可知函数为偶函数，且，将所求不等式变形为，可得出，可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】构造函数，其中，则， 当时，，此时， 故函数在上单调递减， 因为函数为偶函数，即对任意的，， 所以，故函数为偶函数， 因为，则，所以， 由可得，即， 所以，解得或， 故原不等式的解集为. 故选：A. 5．已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】构造函数并求导，结合已知条件得出在上的单调性，利用奇函数的定义得出为偶函数，从而得出在上的单调性，利用，得出，最后结合函数奇偶性和单调性讨论得出的解集． 【详解】令，则， 已知当时，，， ，故在上单调递增． 是定义域为的奇函数， ， ， 是定义域上的偶函数， 在定义域上单调递减． ，， 当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则． 不等式的解集为． 故答案为：． 类型四、含指数（型）函数结合 1．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的单调性解不等式，构造函数，利用其导数和已知即可得出其单调性，再利用函数的奇偶性和已知可得，即可求解. 【详解】构造函数，则． 又，则，所以在上单调递减． 由为偶函数，得， 则的图象关于直线对称，因此， 所以． 原不等式可等价为，即， 所以，故原不等式的解集为． 故选：B． 2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义域为R，是的导函数，，对任意的x都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，进而求出不等式的解集. 【详解】令函数，则，， 函数在R上单调递增，不等式，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 3．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，由题设条件可得其单调性，从而可求函数不等式的解. 【详解】构造函数，则， ∴函数在上单调递减， ∵，∴， 由得，即， ∵函数在上单调递减，∴， 故选：D. 4．（24-25高二下·四川达州·期末）定义在上的函数，且，对，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，利用导数得在上单调递减，把转化为，利用单调性解不等式即可. 【详解】，， 构造， 所以， 所以在上单调递减，且， 不等式可化为，即，所以， 所以原不等式的解集为. 故选：B. 5．已知在上是奇函数，且为的导函数，对任意，均有成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据所给含导数的不等式，构造函数，确定其单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】． 令，则， 所以，则在上是减函数． 由，且在上是奇函数，得，则， 又， 所以，即不等式的解集为． 故选：D 6．已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】构造函数利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】设则， 故在R上单调递减， 且，即， 即， 故. 故不等式的解集为. 故答案为： 7．已知是上的奇函数，且对任意的均有成立．若，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】构造函数，利用导数分析其单调性，结合已知条件求解不等式. 【详解】由得：． 令， 则， 所以函数在上单调递增. 又因为，为奇函数， 所以，， 则由可得：，即，解得： 故答案为：． 类型五、含对数（型）函数结合 1．已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件构造函数，求导后可判断当时，函数单调递减，再由，可得当时，，再由为奇函数，得时，，从而可求得不等式的解集. 【详解】令函数，则，即当时，函数单调递减， 因为，所以当时，，当时，. 因为当时，，当时，，所以当时，. 又，，所以当时，； 又为奇函数，所以当时，， 所以不等式可化为或，解得， 所以不等式的解集为， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决函数单调性问题，解题的关键是根据题意构造函数，然后求导后可判断函数的单调性，从而利用函数的单调性解不等式，考查数学转化思想，属于较难题. 2．（24-25高二下·河南洛阳·月考）已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为________. 【答案】 【分析】构造函数，确定其单调性，转换成，进而可求解； 【详解】设，则， 所以在上是增函数， 不等式可化为， 即，所以，解得. 故答案为： 3．定义在上的函数的导函数为，当时，且，则不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】构造，求导得出函数的单调性，利用单调性解不等式即可． 【详解】解：令 则，， 当时，， 所以当时，， ，故在上为减函数， 令， 则， 所以， 故不等式的解集为 故答案为： 类型六、含三角函数结合 1．（2025高二·全国·专题练习）设 为 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为____________． 【答案】 【分析】根据题意，构造函数，利用奇偶性和单调性求解不等式. 【详解】令，所以当时， ， 所以在上单调递减， 又为上的奇函数，所以为上的奇函数， 所以在上单调递减，故在上单调递减且 ， 不等式可化为，即，即 ，故 ， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 2．已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】由已知，设，可得函数单调递减，则由，可得，即为不等式的解集. 【详解】设，， 所以函数在上单调递减， ， 即，得， 所以，所以不等式的解集为． 故答案为：． 3．（23-24高二下·江苏·月考）已知函数的定义域为，其导函数是．有，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【分析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解. 【详解】由题意，函数满足， 令，则 函数是定义域内的单调递减函数， 由于，关于的不等式可化为， 即，所以且，解得， 不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：构造法求解与共存问题的求解策略： 对于不给出具体函数的解析式，只给出函数和满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）型；（2）型；（3）为常数型. 类型七、其他类型构造 1．已知可导函数的导函数为，若对任意，都有，且，则不等式的解集为（  ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，进而求出不等式的解集. 【详解】设函数，求导得， 由，得，函数在R上单调递减， ，即， 由，得，因此，解得， 所以原不等式的解集为. 故选： 2．定义在上的函数满足，且，则不等式解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数单调性可得，构造函数并利用可证明在上单调递减，可得，由单调性可解得. 【详解】不等式等价于，可得， 即可得； 令函数，可得， 又可得恒成立， 因此在上单调递减，又， 所以等价于，即； 解得， 所以不等式解集为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将指数不等式转化为，再通过构造函数结合导数求得其单调性，利用函数单调性可解不等式. 3．定义在上的函数满足，其中为的导函数，若，则的解集为________. 【答案】 【分析】根据的结构特征结合，可设，求导后即可判断其正负，从而判断的单调性，进而将转化为，利用函数的单调性即可求得不等式的解集. 【详解】由题意知，故， 设，则， 即在R上单调递增， 由，可得， 故即，即，则， 故，即的解集为， 故答案为： 4．已知是定义域为的函数，且满足，则不等式的解集是__________. 【答案】 【分析】先通过构造函数求出的表达式，再研究单调性，求解不等式. 【详解】由可得， 设，则，是常数函数. 又，， ，， 则不等式(*)， 令，，求导得， 令，，则， 故函数在上单调递增，则，即得， 故函数在上单调递增，又， 则,故可得. 故不等式的解集是. 故答案为：. 1．（24-25高二下·山东济南·期末）定义在上的函数的导函数为，若，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性，再求解不等式即得. 【详解】令函数，求导得，而， 则，函数在上单调递增，又，则， 不等式，解得， 所以所求解集为. 故选：D 2．已知函数的定义域为，对任意的满足，当时，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构建函数，求导可知函数单调性，然后可知，计算即可. 【详解】令，则，可得在上单调递增， 又，所以由可得． 因为， 不等式等价于，所以． 又因为，所以. 故选：A． 3．已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数根据导数判断单调性，结合单调性求解不等式即可. 【详解】令，则，所以在上单调递增， 则原不等式等价于，因为，所以， 故，所以， 解得，所以不等式的解集为． 故选：D 4．（24-25高二下·河南驻马店·期末）定义在上的奇函数（不是常数函数）的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用构造偶函数，结合求导可判断单调性，从而求解原不等式. 【详解】根据题意可构造函数， 则， 因为当时，，则， 所以在区间上为增函数， 又由于为奇函数，为奇函数，所以为偶函数， 则在区间上为减函数， 又，即， 所以，解得或， 则不等式的解集为. 故选：A. 5．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）定义在R上的函数的导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，构造函数，由条件判断在R上单调递减，由奇函数求出，将所求不等式转化为，利用单调性即可求解. 【详解】∵，∴，∴， ∴，设，则在R上单调递减， ∵为奇函数，∴，∴， ∴，不等式， 即，解得.即该不等式的解集为. 故选：A. 6．（24-25高二下·重庆·期末）已知在上恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，由导数确定单调性后，由单调性得结论． 【详解】令，则，为增函数， 故，即解集为. 故选：B． 7．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，，是其导函数，若恒成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造新函数，利用导数判断的单调性，再将不等式变形，借助的单调性即可求解. 【详解】令，则，所以在上单调递增． 又不等式，等价于， 即，所以，所以不等式的解集为． 故选：A 8．已知函数是上的奇函数，对任意的均有成立.若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知得，所以构造函数，求导后可得，可得在上单调递增，然后对变形得，再利用其单调性可求得结果. 【详解】由，得， 设，则. 在上单调递增. 又为奇函数， . . 故选：B. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数判断函数的单调性，考查利用单调性解不等式，解题的关键是根据已知条件合理构造函数，然后利用导数判断其单调性，再利用函数的单调性解不等式，考查数学转化思想，属于较难题. 9．（23-24高二上·重庆·期末）函数的导函数满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数的单调性，再利用单调性求解不等式即得. 【详解】令函数，而， 求导得， 因此函数在R上单调递增，由，得， 不等式，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A 【点睛】思路点睛：对于含有导函数的不等式的问题，在求解过程中一般要通过构造函数来解决，构造时要结合题中的条件，再判断出所构造的函数的单调性，借助单调性求解. 10．定义在上的函数满足，，则关于x的不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】由已知不等式整理得到，设函数，得的单调性，再利用其单调性解待求不等式即得. 【详解】因时，，即，也即， 取，则，即在上单调递减， 又，则， 由可得，故得，，解得，. 故答案为：. 11．（24-25高二下·浙江·期中）已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是_________. 【答案】 【分析】先通过构造函数求出的表达式，再研究单调性，求解不等式. 【详解】设，对求导可得. 已知，所以.可得（为常数）. 因为，所以，则. 对求导，可得. 已知，将代入可得： ，所以. 求解不等式，即. 当时，与都大于， 令，对求导得. 再令，对求导得. 当时，，所以在上单调递增， 则. 因为，所以，即在上单调递增. 又. 所以由可得. 故不等式的解集是. 故答案为：. 12．（24-25高二下·四川绵阳·月考）已知函数在定义域上为偶函数，并且时,，若，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】令函数，得到在上单调递增，在上单调递减，且为偶函数，结合和，即可求解. 【详解】由题意知，当时，，即， 因为，令函数，则在上单调递增， 又由在上的偶函数，可得， 所以函数在上为偶函数，且在上单调递减， 因为，因此，且，即， 即，即，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 13．已知函数的定义域为，为其导函数，若，，则不等式的解集是______． 【答案】 【分析】构造函数，求导确定函数的单调性，由于在上时，与同解，即可根据求解. 【详解】令，则 ， 所以在上单调递增． 由于当，当， 而， 故在上，不等式与同解， 即，又，得，即， 所以原不等式的解集为． 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用导数求解不等式问题的常用方法： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 14．（23-24高二下·河南南阳·月考）已知函数在R上连续，且存在导函数，对任意实数x，满足，当时，．若，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】令，分析可知为奇函数，且在R上单调递增，根据题意利用单调性解不等式即可. 【详解】令，可知的定义域为，且在R上连续， 因为，则， 即，可知为奇函数， 又因为当时，，则在内单调递增， 结合为奇函数可知在内单调递增， 且在R上连续，则在R上单调递增， 若，则， 整理得， 即，可得，解得， 所以x的取值范围是. 故答案为：. 15．（24-25高二下·四川宜宾·月考）已知定义在上的连续奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为_________ 【答案】 【分析】构造函数，判断函数的单调性奇偶性，据此分类讨论，利用单调性解不等式. 【详解】令，则， 因为当时，， 所以当时，，在单调递减； 又，所以为偶函数， 又， 当时，即时，由可得， 即， 由单调性可知，，解得； 由为偶函数知，当时，函数在单调递增， 当时，即时，由可得， 即， 由单调性可知，，解得， 综上，的解集为， 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $