9.3.2平面坐标表示与运算(第2课时)（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

9.3 向量基本定理及坐标表示 第九章 平面向量 9.3.2平面向量坐标表示与线性运算 （第2课时） 学 习 目 标 1 2 3 掌握、时公式，能熟练进行数量积、模长的坐标运算； 掌握,能利用坐标求向量夹角、点到直线距离，解决直角三角形向量问题； 在分类讨论、多角度解题中，培养分类讨论和转化与化归思想，提升逻辑推理与运算求解能力. 新课导入 除了向量的线性运算，你还记得平面向量数量积的几何定义，以及向量模长、垂直的几何判定条件吗？ ①平面向量数量积的几何定义： ②垂直的几何判定条件：若,则反之亦然。 ③向量模长： 若, 用坐标表示为,,那么能否用坐标直接计算？向量垂直、模长的判定能否转化为坐标运算？ 这就是本节课我们学习的主题——向量数量积的坐标表示. 新知探究 探究一：平面向量数量积的坐标表示 消去为 0 的项，只剩下 数量积坐标公式：若 ，，则 设单位正交基底 , ，你能算出 、、的结果吗？ 基底数量积：，， 若任意两个平面向量用基底表示为 ，，根据数量积的运算律， 该怎么展开？ 新知探究 由数量积的坐标公式，我们能直接推导向量模长的坐标公式，那么用坐标怎么表示？模长又该怎么写？ 根据向量的坐标定义：向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标 可得向量 的坐标为： 利用模长公式可得： ,所以 对于平面内两点,能否用向量方法推导两点间的距离公式？ 【分析】先利用向量减法求出，再利用向量模的计算公式求解． 即使训练 1.已知向量，，则______． 【详解】 故答案为： 知识小结 平面向量数量积的坐标表示 ①数量积坐标公式： 若 ，，则 ②模长公式： （两点间的距离公式） 探究二：向量垂直的坐标判定条件及夹角的坐标表示 新知探究 数量积的几何定义里，，现在我们有了数量积和模长的坐标公式，能否把这个夹角公式转化为坐标形式？ 得到 将上式代入代入 ： 特别地，若,则若,则 . 例1 典例分析 已知向量 ，向量 ，求 的值. 【分析】首先利用和简化平方 项，再代入坐标计算点积和模长，最终通过合并同类项快速得出结果. 解： 因为 所以 典例分析 例2 已知点 ，，，求： （ 的值； (2) 的大小； (3) 点 到直线 的距离。 【分析】先求出 与 的坐标及数量积，再结合模长求出夹角，最终利用”距离=模长夹角正弦”的几何关系得到结果 . 解：依题意，得 （ 典例分析 (2) 因为 又 所以 (3) 点 到直线 的距离为 典例分析 例3 设为实数，已知直角三角形中，，，求的值。 【分析】因题目未指明直角顶点，故分∠A、∠B、∠C为直角三类讨论；每类中依据“向量垂直则数量积为0”，结合向量运算（如求）列方程，求解后综合所有情况得结果. 解：若，则，于是 解得 若，则。又 典例分析 于是 解得 若 ，则 ，于是 整理得 ，由求根公式解得 综上，所求 的值为 或 或 即使训练 2.若向量 ，，，则实数 A. B. C. 0 D. 【分析】根据平面向量坐标的线性运算可得 的坐标，再根据向量垂直的坐标运算列方程即可解得实数 的值． 【详解】因为向量 ， 所以 由 ，可得 ． B 知识小结 向量垂直的坐标判定条件及夹角的坐标表示 （1）向量垂直的坐标判定： ①若,则 ②若,则 （2）夹角公式 巩固提升 题型1 利用坐标求向量的模 1.已知平面向量，满足，，，则（        ） A． B． C．2 D． 【分析】先求出，再通过计算可得的值. 【详解】 . B 巩固提升 题型2 利用坐标解决向量垂直 2.已知向量，若，则实数（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【分析】先根据平面向量线性运算的坐标表示求出，再根据平面向量垂直的坐标公式求解即可. 【详解】由 得， 因为，所以， 即，解得. D 巩固提升 题型三 利用坐标求解向量的夹角 3.若平面向量与的夹角是，且，则 A．　　　B．　　　C．　　　D． 【分析】由题意得且，利用向量的模长公式即可求解． 【详解】∵平面向量与的夹角是 ∴和是相反向量 ∴存在且使，∴， 又，∴， ∴，则． A 巩固提升 题型四 线段定比分点坐标公式的应用 4.设向量 ， 满足 ，，则（ ） A. B. C. 与 的夹角为 D. 与 的夹角为钝角 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算、垂直的坐标表示，向量夹角的坐标公式即可判断。 【详解】对于 A，，故 A 正确； 对于 B，，， 所以 ， B 错误； 对于 C，，所以 与 夹角为 ，故 C 正确； 对于 D，， 与 的夹角不为钝角，故 D 错误； AC 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 课堂小结 向量数量积的坐标表示 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 苏教版 · 必修二 核心知识梳理 点击蓝色色块查看隐藏的关键公式 01 平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 a = (x1, y1), b = (x2, y2)，则： a · b = x1x2 + y1y2 即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。 02 向量的模与夹角 向量的模 |a| = x12 + y12 向量的夹角 θ cosθ = x1x2 + y1y2 x12 + y12 x22 + y22 03 向量垂直的坐标表示 设 a, b 为非零向量，则： a ⊥ b ⇔ x1x2 + y1y2 = 0 易错点警示 避开这些常见的逻辑陷阱 🚫 混淆垂直与平行 错误认知： 垂直时误用 x1y2 - x2y1 = 0 正确辨析： 垂直 (Dot Product)：坐标乘积之和为0 x1x2 + y1y2 = 0 平行 (Cross Product)：交叉相乘之差为0 x1y2 - x2y1 = 0 ⚠️ 忽视零向量 在使用夹角公式 cosθ = a·b / (|a||b|) 时，必须保证 a, b 均为非零向量。 💡 提示：若题目未说明是非零向量，需讨论向量为 0 的情况（分母不能为0）。 🔢 数量积运算结果是“数” 时刻谨记：a · b 的结果是一个实数，而不是向量。 ❌ 错误写法：a · b = (x1x2, y1y2) ✅ 正确写法：a · b = x1x2 + y1y2 解题技巧总结 掌握通法，提升效率 📐 坐标法（数形结合） 当几何图形中有明显的垂直关系（如矩形、直角三角形）或易于建系时，优先建立平面直角坐标系。 步骤： 建系：以互相垂直的线段所在直线为轴。 设点：写出关键点的坐标。 计算：利用向量坐标运算求解长度、角度或证明垂直。 🔄 模长与夹角的转化 遇到求模长 |a + b| 的问题，通常采用“平方”策略。 |a + b|2 = (a + b)2 = |a|2 + 2a·b + |b|2 将几何长度问题转化为数量积运算，再代入坐标求解。 $