河南省方城县第一高级中学2026届高三假期第二次模拟考试数学试题

河南省方城县第一高级中学2026届高三假期第二次模拟考试数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 2．已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 3．已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为（     ） A． B． C． D． 4．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过20分钟温度降至，则欲温度降至，大约还需要（   ） A．40分钟 B．30分钟 C．20分钟 D．10分钟 6．将一颗质地均匀的正方体骰子，先后抛掷两次，将落地时面朝上的点数分别记为，则的概率是（    ） A． B． C． D． 7．已知数列的前项和为，且．若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 8．已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．与函数表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 11．已知点，圆：（），定义直线：为点的“伴随线”，则下列结论正确的有（   ） A．若点在圆上，则点的“伴随线”与圆相切 B．若点在圆外，过点作两直线与圆分别相切于点，，则直线为点的“伴随线” C．若点在圆内，则点的“伴随线”与圆相交 D．若点，在圆上，它们的“伴随线”分别为，，且垂直，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知a是实数，并且是实数，则 ． 13．已知数列的首项，，则 ． 14．如图，在直角坐标系中，点，分别在射线和射线上运动，且的面积为，则、两点横坐标之积为 ，周长的最小值为 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．在中，内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若的面积为2，求的周长. 16．如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，，，分别为，上的点，且. (1)若，分别为，的中点，证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 17．已知，． (1)将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的解析式； (2)若，求． 18．已知函数，其中． (1)当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调性； 19．已知双曲线过点，且渐近线方程为，直线与交于不同的两点、（异于双曲线的顶点）. (1)求的方程； (2)为双曲线的下顶点，若以为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； (3)若、在双曲线的上支，且线段的垂直平分线过点，求的取值范围. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《河南省方城县第一高级中学2026届高三假期第二次模拟考试数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D A D C B B ACD AC 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】根据集合相等的概念，结合集合中元素的互异性，分情况讨论可求的值. 【详解】因为，所以有：若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意. 综上所述，. 故选：D 2．C 【分析】利用导数的物理意义，运算公式和法则求解即可. 【详解】对函数求导得， 故该质点在时的瞬时速度为. 故选：C. 3．D 【分析】由向量夹角的坐标公式计算后判断. 【详解】因为，， 所以向量与的夹角余弦值为. 故选：D. 4．A 【分析】先分别解绝对值不等式和分式不等式，根据两个范围的包含关系，结合充要条件的判断方法即得结论. 【详解】，即， 或，即， 因是的真子集，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．D 【分析】先将，代入题设求出，设再经过分钟温度可由降为，将数据代入题设关系式即可求解. 【详解】由题，， 当，，由得， 则，所以． 设再经过分钟，温度可由降为，即， 即，即. 故选：D． 6．C 【详解】连续抛两次骰子样本总量为， 由点数均为正整数，可得 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，不符合题意舍去， 当时，，不符合题意舍去， 当时，，不符合题意舍去， 所以满足题设条件的样本点有， 即的概率， 故选：C. 7．B 【分析】通过数列前项和与项的关系求得数列的通项公式，代入不等式分离参数后构造数列，然后通过作商法求得数列中最大项的值，从而求得结果. 【详解】当，则，即， 当，， 则，即，∴， ∴数列是的等比数列， ∴， ∵，即， ∴， 令数列的通项为， 则， 令，则， 又∵ ∴当，，当，， ∴数列的最大项为， ∴. 故选：B. 8．B 【分析】由，条件，通过整理得到，构造函数，得到在上的单调性，求出，分别按照，，讨论求解. 【详解】，，， ， ，， ，， 设，则， ，，在上是增函数， ，， 当时，，满足在上是增函数，符合题意； 当时，在上是增函数，开口向上， 又对称轴为，，； 当时，在上是增函数，开口向下， 又对称轴为，，； 综上可知，的取值范围为. 故选：B 9．ACD 【分析】若两个函数为同一函数，则定义域相同，解析式相同，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】的定义域为R，当时，，当时，， 选项A：，由，得，且，故A正确； 选项B：，定义域，与的定义域不同，故B错误； 选项C：，定义域为R，解析式与相同，故C正确； 选项D：，定义域为R，解析式与相同，故D正确； 故选：ACD 10．AC 【分析】根据给定条件，利用空间线线、线面、面面垂直或平行关系逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得存在过直线的平面与平面相交，令交线为，则， 而，，则，，因此，A正确； 对于B，由，，，得是平行直线或异面直线，B错误； 对于C，由，得存在过直线的平面与平面相交，令交线为，则， 由，得，又，则，因此，C正确； 对于D，，，，当都平行于的交线时，，D错误. 故选：AC 11．ABD 【分析】选项A：利用点到直线的距离公式可得“伴随线”与圆是否相切； 选项B：设，，可得直线及的方程，把点代入可得直线的方程，从而可判断出B的正确与否； 选项C：利用点到直线的距离公式可得“伴随线”与圆是否相交； 选项D：设，，易得直线及的方程，由垂直可得，从而可求出． 【详解】选项A：当点在圆上时，，圆心到的距离， 点的“伴随线”与圆相切，故A正确； 选项B：设，，则圆在点，处的切线方程分别为： ，． 因为点在这两条切线上，所以，， 所以点，都在直线上， 所以直线的方程为，故B正确； 选项C：当点在圆内时，，圆心到的距离， “伴随线”与圆不相交，故C错误； 选项D：设，，易知：，：， 因为，垂直，所以， 所以，即， 所以，故D正确． 故选：ABD． 12． 【分析】利用复数除法计算，再利用复数类型列式求解. 【详解】依题意，， 由是实数，得，所以. 故答案为： 13．/ 【分析】根据累加法结合余弦函数的周期性可求. 【详解】由题设有， 由累加法可得，， 即，， 故，， ，， 而的周期为，故是周期为的数列， 且， 故. 故答案为：. 14． 【分析】根据题意，可求出，设,分别算出和,结合三角形的面积列式，化简即可求出的值；再由基本不等式算出和的取值范围，即可求出周长的最小值. 【详解】因为的斜率，的斜率， 所以，可得. 设， 所以：，， 可得，解得：. 因为，所以， 又因为， 所以周长. 当且仅当时，即时， 周长取最小值，最小值为：. 故答案为:，. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求和的最小值，还涉及两直线的位置关系、两点间距离、三角形的面积与周长的计算. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理对等式进行化简，进而可求出结果. （2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（1）由已知等式利用正弦定理可得， 因为，所以，所以， 又，所以，则. 由， 可得. （2）由余弦定理得. 因为，所以，所以. 所以，所以. 所以的周长为. 16．(1)证明见解析 (2)或. 【分析】（1）先证明出平面，可得，结合，再证得平面，然后由面面垂直的判定定理得证； （2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法求面面角的余弦，再解方程即可求出，得解. 【详解】（1）平面，平面，， ，，平面，平面， 平面，， ，为的中点，， 平面，平面， 平面，平面平面. （2）平面，且，所以三线两两垂直. 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 设，（），，即得， ，，，. 设为平面的法向量， 由，得， 令，则，，， 设为平面的法向量， 由，得， 令，则，， 由，得， ， 即，化简得， 解得或，即的值为或. 17．(1) (2) 【分析】（1）先利用向量数量积的坐标运算及降幂公式和辅助角公式得到的解析式，再利用三角函数的平移及伸缩变换得到的解析式； （2）根据的解析式求出，再利用同角关系求其余弦值，最后利用两角和的余弦公式求出的值. 【详解】（1） 将函数的图象向左平移个单位长度，则， 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，则有． （2）由题意得，所以， . 18．(1) (2)答案详见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义可得答案； （2）利用导数含参讨论函数的单调性即可. 【详解】（1）当时，， 则， 当时，解得或（舍）， 则，可得切点， 代入切线方程得， 解得． （2）已知， 得； 当时，定义域为， ， 二次函数图象开口向上，且 令，在必有解， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增； 时，定义域为，则恒成立，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 19．(1) (2)直线过定点，该定点坐标为. (3) 【分析】（1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线的方程； （2）将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，由题意可得，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可得出、所满足的关系式，即可求出定点坐标； （3）解法一：求出线段的垂直平分线方程，将点的坐标代入此直线方程，可得出，由此可得出线段的中点的坐标，求出的取值范围，结合弦长公式可求出的取值范围，即可得出的取值范围，即可得出的取值范围； 解法二：由结合点、都在双曲线的上支上可求出的取值范围，结合弦长公式可求出的取值范围，即可得出的取值范围，即可得出的取值范围. 【详解】（1）渐近线方程为， ，由双曲线过点，得， ，， 双曲线的方程为. （2）由（1）知，由，得， 由题意得，① 设、，则，，   ， 由，， 则 ， 由以为直径的圆恒过点，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 直线过定点，该定点坐标为. （3）解法一：设线段的中点为， 由（2）得，点， 线段的垂直平分线方程为， 点在线段的垂直平分线上， ，，② 点，    把②代入①，解得或， 又、在双曲线的上支，， 即，，， ， ， ， ， 令，， 由，得，解得，， ，，， 即的取值范围是. 解法二：设线段的中点为， 由（2）得，点， 线段的垂直平分线方程为， 点在线段的垂直平分线上， ，，② 点， 由（2）知， 解得或， 、在双曲线的上支， ，， ， ， ， ， ，， ，，， 即的取值范围是. 答案第4页，共15页 答案第1页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $