河南南阳市方城县第一高级中学2026届高三下学期二诊模拟考试数学试题（三）

2026届河南方城县第一高级中学高三下学期二诊模拟考试数学试题（三） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（    ） A． B． C． D． 3．已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．在中，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 6．一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知，则 （   ） A． B． C． D． 8．对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，计算（   ） A．1010 B．2020 C．2023 D．2024 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．某研究机构在训练人工智能模型时，有两种训练算法甲和乙，使用算法甲训练了30次，每次训练耗时的平均数为2，方差为0.25，使用算法乙训练了20次，每次训练耗时的平均数为1.5，方差为0.3，则（    ） A．总体每次训练平均耗时1.8小时 B．总体每次训练平均耗时1.75小时 C．总体每次训练耗时的方差为0.28 D．总体每次训练耗时的方差为0.33 10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，且，过点且垂直于轴的直线交于、两点，直线（为坐标原点）交于另一点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的离心率为 C．若的面积为，则的虚轴长为 D．若、、成等差数列，则的方程为 11．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．抛物线的焦点到准线的距离为______. 13．已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为___________． 14．如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且点满足，已知，，，则到平面的距离为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．在数列中，，，，且是等差数列. (1)求； (2)证明：. 16．如图，在三棱柱中，平面平面，是边长为2的正三角形，是的中点，，直线与平面所成的角为. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 17．某商场为了吸引顾客，举办抽奖活动，顾客可凭购物发票参与活动一次，规则如下：一个袋子中装有5个除颜色不同外其余均相同的小球，其中2个黑球和3个红球．顾客从袋子中有放回地随机摸两次，每次摸出一球.若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①发放礼品，否则按方式②发放礼品． 方式①：若第一次摸到的是红球，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． 方式②：若购物发票上的金额不低于100元，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． (1)若有50名顾客参与抽奖活动，用X表示其中按方式①发放礼品的人数，求X的数学期望； (2)抽奖活动后，统计得到，发放的礼品中，礼品A与礼品B的份数的比例为，试估计参与抽奖活动的顾客中，购物发票上的金额不低于100元的比例．（结果保留两位有效数字） 18．已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值. 19．已知函数，，记的零点为. (1)求； (2)求数列中的最小项； (3)证明：. 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 《2026届河南方城县第一高级中学高三下学期二诊模拟考试数学试题（三）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B D B A D D AD ACD 题号 11 答案 BD 1．D 【详解】由， 所以. 2．C 【分析】根据复数的除法运算法则，结合求模公式及共轭复数的概念，即可得答案. 【详解】由题意， 则z的共轭复数 3．B 【分析】根据点与圆的位置关系，充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若点在圆外，则，所以. 若点在圆外，则，所以. 显然是的真子集， 故“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件. 4．D 【分析】运用平面向量加法、减法、数乘运算即可. 【详解】如图， 因为，所以， 又，所以， 所以. 故选：D. 5．B 【分析】根据列出公比的等式，求解方程后再确认是否满足即可． 【详解】因为公比，所以，化简得，解得或， 当时，， 当时，， 又，则． 故选：B． 6．A 【详解】由题意可得，解得．令， 即，化简得，解得（舍去）． 7．D 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及差角的余弦公式化简即得. 【详解】由，得，则， 两边平方得，所以. 故选：D 8．D 【分析】由题设对求二阶导并确定零点，进而可得对称中心，利用求目标式的值即可. 【详解】因为， 所以， 令，则， 令，即，解得， 又， 由题中给出的结论，可知函数的对称中心为， 所以，即， 故，，…，， 所以． 9．AD 【分析】利用分层随机抽样的平均数与方差公式计算即可得出结果. 【详解】总体每次训练平均耗时为，故A项正确，B项错误； 总体每次训练耗时的方差为 ，故C项错误，D项正确. 故选：AD 10．ACD 【分析】由双曲线的对称性可判断A选项；求出、的值，根据可求出该双曲线离心率的值，可判断B选项；根据的面积为求出的值，进而可得出的值，可判断C选项；根据题意得出，可求出、的值，即可判断D选项. 【详解】如下图所示： 因为轴，由双曲线的对称性可知，点、关于轴对称，点、关于原点对称， 所以，，易知点，故，A对； 对于B选项，将代入双曲线方程可得，可得，即， 易知，且、关于轴对称， 因为，即，可得， 等式两边同时除以得， 因为，解得，B错； 对于C选项，因为，则， 因为、关于轴对称，则，且，， 故，解得，故， 则的虚轴长为，C对； 对于D选项，若、、成等差数列，即，即， 因为，解得，故，则的方程为，D对. 故选：ACD. 11．BD 【分析】由正弦定理得到，再结合三角形面积公式逐项判断即可. 【详解】因为，，，所以 由正弦定理可得：，即， 则，得，则， 所以， 所以的周长， 所以 的面积为, 由上可知AC错误，BD正确， 故选：BD 12．/ 【分析】结合焦点到准线的距离与的关系求结论. 【详解】由，得，解得， 即抛物线的焦点到准线的距离为. 13．3 【分析】先求出曲线的导数，再利用导数的几何意义求出处切线的斜率，最后利用平行直线斜率相等求出实数． 【详解】，求导得， 曲线在处的切线斜率， 曲线在处的切线与直线即平行， ． 故答案为：3． 14．/ 【分析】到平面的距离，即三棱锥的高，由，利用等体积法求解. 【详解】取靠近点的三等分点，连接，取靠近点的三等分点，连接， 底面是矩形，，， ，， 则，且， 又底面，底面，，， 而，平面， 所以平面，平面， 即为三棱锥的高，， 在中，，， 在中，， 中，，， 在中，，则， ， 在中，， 在中， ， 在中，，，， 由余弦定理，则 ， 设到平面的距离为， ，所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛： 点到平面的距离，转化为对应棱锥的高，利用等体积法求解，由图形中的垂直关系，利用勾股定理和余弦定理计算需要的边长和面积. 15．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）使用等差中项性质即可求解； （2）使用累加法求得的通项公式，再使用裂项相消即可得证. 【详解】（1）设，则， 因为是等差数列，即是等差数列， 则有，即，解得. （2）由（1）知，，则的公差为2，首项为6， 则，即， 当时， 将各式相加，得， 即，即，而满足上式， 因此，， 则， 因为，则，则，得证. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据面面垂直的性质定理，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）取中点，连接、，因为，所以， 因为平面平面，平面， 平面平面， 所以平面， 因为是正三角形，是的中点，所以， 建立空间直角坐标系，如图所示， 设， 则，，，，，， 所以，，， 又平面的一个法向量， 所以， 因为，解得， 设平面的一个法向量，则， 取，可得，所以， 又平面的一个法向量，所以， 设二面角的平面角为， ， 即二面角的正弦值为. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据二项分布的定义及条件，可得，代入期望公式，即可得答案. （2）分别求出按方式①和方式②，获得礼品A和礼品B的概率，结合条件，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）若按方式①发放礼品，则两次摸到的球的颜色不同， 设两次摸到的球的颜色不同为事件C，则， 由题意，每位顾客抽奖，按方式①发放礼品的事件相互独立，且概率相同， 则，则X的数学期望. （2）由（1）得，按方式①发放礼品的概率为，按方式②发放礼品的概率为， 若第一次摸到红球，第二次摸到黑球，即按方式①发放礼品A的概率， 若第一次摸到黑球，第二次摸到红球，即按方式①发放礼品B的概率， 设金额不低于100元的比例为p，则按方式②发放礼品A的概率， 则按方式②发放礼品B的概率， 因为礼品A与礼品B的份数的比例为， 所以，解得. 所以购物发票上的金额不低于100元的比例约为 18．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依据题意列出关于的方程组求出即可得解； （2）依据题意分直线斜率为0时和直线斜率不为0时两种情况结合韦达定理计算分析即可求证. 【详解】（1）由题意可得椭圆焦点在x轴上，且，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立方程，消去x可得， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0. 19．(1)1 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对求导，确定单调性即可求解； （2）由通过作差得到，构造函数利用其单调性，确定数列单调性即可求解； （3）令，求导确定单调性，得到，再通过，分别令和，即可证. 【详解】（1）当时，，定义域为， 在上恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以有唯一零点1， 即； （2）由的零点为， 得， 两式相减得：， 即， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以由，得到， 所以，所以数列是递增数列， 所以数列中的最小项是； （3）令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立，即， 因为，所以, 所以， 所以， 所以 在中，令，得当且仅当时，等号成立， 当时，， 所以当且仅当时，，中等号成立， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 当时，在中，令， 得， 所以， 所以当时， ， 当时，成立， 所以， 综上得证. 答案第12页，共12页 答案第11页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $