17.5一元二次方程的应用 教案 共2课时 2025--2026学年沪科版八年级数学下册

第十七章 一元二次方程 17.5一元二次方程的应用 第1课时 一、 教学目标 1.能根据实际问题中的数量关系，列出一元二次方程； 2.能根据问题的实际意义检验所得的结果是否合理； 　　3.通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型； 　　4.在经历建立方程模型解决实际问题过程中，培养提高学生分析问题的能力，体会数学建模和符号化思想，感受数学的应用价值. 二、 教学重难点 重点：能根据实际问题中的数量关系，列出一元二次方程. 难点：能根据实际问题中的数量关系，列出一元二次方程，并得出正确结果. 三、教学过程设计 环节一：创设情境 教师活动：请同学们跟随老师一起回顾旧知识. 问题：列方程解应用题的步骤： 审：审题，分清已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系. 设：设直接未知数或间接未知数，以及用未知数字母的代数式表示其他相关量. 列：找到等量关系列出方程.(关键步骤) 解：解方程. 答：检验根的准确性及是否符合实际意义并作答. 设计意图：回顾知识，为本节课的内容打下基础. 环节二：探究新知 教师活动： 教师引导学生根据步骤层层解决问题.并注意隐含条件也是关键. 问题：在一块宽20 m、长32 m的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成大小一样的6块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为570 m2，问小路的宽应是多少？ 分析: 空地-(横向路+纵向路)+横纵交叉=花坛总面积 设小路的宽是x m，则横向小路的面积是32x m2， 纵向小路的面积是2×20x m2，两者重叠部分的面积是2x2 m2. 由于花坛的总面积是570 m2，则32×20 – (32x+2×20x)+2x2=570. 整理得：x2 – 36x+35=0. (x – 1) (x – 35) =0. ∴x1=1， x2=35. 结合题意，35＞32，x=35不可能，因此，只能取x=1. 答：所求小路的宽应为1 m. 归纳 教师活动：带领学生再次回顾列方程解应用题的步骤，强调关键步骤和检验这一步骤. 列方程解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答. 讨论：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 设计意图：通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型. 环节三：应用新知 教师活动：带领学生整理解题步骤，并加以强调. 例1：原来每盒27元的一种药品，经过两次降价后每盒售价为9元.求该药品两次降价的平均降价率是多少？(精确到1%) 分析：设该药品两次降价的平均降价率是x. 两次降价后每盒售价=第二次降价后的价钱. 解：设该种药品两次平均降价率是x. 根据题意，列方程得 27(1− x)2 =9 整理，得 解这个方程，得 经验证不合题意，所以 答：该药品两次降价的平均降价率约是42%. 归纳： 假设：原价a，降价率x. 第一次降价后价格= a(1− x) 第二次降价后价格= a(1− x)2 第三次降价后价格= a(1− x)3 …… 第n次降价后价格= a(1− x)n 提醒：0＜降低率＜ 1 假设：原量a，增长率t. 第一次增长后的量= a(1+ t) 第二次增长后的量= a(1 + t)2 第三次增长后的量= a(1 + t)3 …… 第n次增长后的量= a(1 + t)n 提醒：增长率＞0 设计意图：总结常用增长率及降率的常见规则，使学生加深数学模型意识. 例2 一农户原来种植的花生，每公顷产量为3000 kg，出油率为50%(即每100 kg花生可加工出花生油50 kg ).现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1980 kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的，求新品种花生产量的增长率. 分析：设新品种花生产量的增长率为x,则新品种花生出油率的增长率为x. 等量关系：新品种每公顷的产量×新品种出油率=新品种油量 可列方程： 解：设新品种花生产量的增长率为x， 根据题意，得 解方程，得 ＜0，(不合题意，舍去). 答：新品种花生产量的增长率为20%. 环节四：课堂练习 1.如果两个连续偶数的积时288，求这两个数. 2.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( ) A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500 3.在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求这种方案下的道路的宽为多少？ 4.某磷肥厂去年4月份生产磷肥500 t；因管理不善，5月份的磷肥产量减少了10%；从6月份起强化了管理，产量逐月上升，7月份产量达到648 t.求该厂6月份、7月份产量的月平均增长率. 答案： 1.解：设较小的偶数为 x ，则另一个偶数为(x +2)， 可列方程为： x(x +2)=288 整理，得x2+2x-288=0 解得 x1=16,x2=-18 当x=16时，x +2=18；当x=-18时，x +2=-16，. 答：这两个数分别为16和18或-16和-18. 2.B 3.解：设道路的宽为 x 米,可列方程为： (32-x)(20-x)=540 整理，得x2-52x+100=0 解得 x1=2,x2=50 当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去. ∴取x=2 答：道路的宽为2米. 4.解：设该厂6月份、7月份产量的月平均增长率为x， 可列方程为： 整理，得25x2+50x−11=0 解得 x1=0.2，x2= −2.2 −2.2 ＜0不合题意，舍去. ∴x=0.2 答：该厂6月份、7月份产量的月平均增长率为20%. 设计意图：进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间. 环节五：课堂小结 以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 一元二次方程 17.5一元二次方程的应用 第2课时 一、 教学目标 1.能根据实际问题中的数量关系，列出分式方程并转化成一元二次方程； 2.能验证分式方程的根并能根据问题的实际意义检验所得的结果是否合理； 3.通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体会方程是刻画现实世界 的一个有效的数学模型； 4. 在经历建立方程模型解决实际问题过程中，培养提高学生分析问题的能力，体会建模 和符号化思想，感受数学的应用价值. 二、 教学重难点 重点：能根据实际问题中的数量关系，列出一元二次方程. 难点：对求得的解两次验证. 三、教学过程设计 环节一：复习回顾 教师活动：请同学们跟随老师一起回顾旧知识. 问题1：列方程解应用题的步骤: 审：审题，分清已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系. 设：设直接未知数或间接未知数，以及用未知数字母的代数式表示其他相关量. 列：找到等量关系列出方程.(关键步骤) 解：解方程. 答：检验根的准确性及是否符合实际意义并作答. 问题2：如何解分式方程： 解分式方程的一般步骤： ①去分母，将分式方程转化为整式方程； ②解整式方程； ③检验. 解：方程两边乘各分母的最简公分母x(x – 3)，得 2x =3x – 9. 解得x=9. 检验：当x=9时，x(x – 3) ≠0. 所以，原分式方程的解为x=9. 设计意图：回顾知识，为本节课的内容打下基础. 环节二：探究新知 教师活动： 教师通过问题方式，引导学生根据步骤层层解决问题.提醒分式方程根需要检验并注意隐含条件也是关键. 思考：一组学生组织春游，预计共需费用1200元.后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊30元.问原来这组学生的人数是多少？ 问题1：题目中涉及哪些量？ 预设答案：总费用、每人费用、原学生人数、现学生人数. 问题2：未知数设什么？ 预设答案：设原来这组学生的人数是x人. 问题3：题目中有怎样的等量关系？ 预设答案：原来这组学生每人分摊的费用−加入后该组学生每人分摊的费用=30元 得出分式方程 解：设原来这组学生的人数是x人. 根据题意，列方程得 方程两边同乘以x(x+2)，整理，得 解这个方程，得 经验证，都是原方程的根， 但不合题意，所以 答：原来这组学生的人数是8人. 设计意图：通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型. 教师活动：带领学生再次回顾列方程解应用题的步骤，强调关键步骤和检验这一步骤. 归纳：列方程解应用题的步骤： 审、设、列、解、验、答. 讨论：列分式方程解应用题验根时，需要注意什么？ 预设答案：既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意. 环节三：应用新知 教师活动：带领学生整理解题步骤，并加以强调.. 例1：正方形金属片一块，将其四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高20 cm，容积为2880 cm3的开口方盒.问原金属片的边长是多少？ 解：设原金属片的边长为x cm，则方盒的底边长是(x-40)cm. 根据题意，得20(x-40)2=2880 整理，得(x-40)2=144 解方程，得x1=52， x2=28. 28＜20+20，x2=28不合题意，所以x=52. 答：原金属片的边长是52 cm. 例2：某空调厂的装配车间，原计划用若干天组装150台空调，厂家为了使空调提前上市，决定每天多组装3台，这样提前3天超额完成了任务，总共比原计划多组装6台，问原计划每天组装多少台？ 解：设原计划每天组装x台，根据题意可列方程为： 整理，得x2+5x−150=0 解得 x1= −15， x2= 10. 经验证， x1= −15， x2= 10都是原方程的根， 经检验， x1= −15不是大于0的整数，不合题意. 当x=10时，符合题意. 答：原计划每天组装10台. 设计意图：通过两个例题巩固一元二次方程及分式方程的应用. 环节四：课堂练习 1.为了绿化荒山，某村计划在荒山上种植100棵树.原计划每天种x棵，由于邻村的支援，每天比原计划多种了40棵，结果提前5天完成了任务.则可以列出方程为( ) A. B. C. D. 2.几个同学计划租车到长城旅游，应付车费480元，临行前又来了两个同学参加，这样使每人分担的车费减少8元.设这次到长城旅游的同学x个，根据题意得( ) A. B. C. D. 3.一根水管因使用日久，内壁均匀地形成一层厚3 mm的附着物，而导致流通截面减少至原来的.求这根水管原来的内壁直径. 4.1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题:直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔几步，意思是:长方形面积864平方步，宽比长少12步，问宽几步. 答案： 1.A 2.C 3.解：设水管原来的内壁直径为 x mm，可列方程为： 整理，得5x2-108x+324=0 解得 x1=18，x2=3.6 3.6＜3+3时，3不合题意，舍去. ∴x=18 答：这根水管原来的内壁直径18 mm. 4.解：设长方形的宽为x步，则长为(x+12)步， 根据题意，可列方程为： x(x+12)=864 解得，x1=-36，x2=24 经检验， x1= −36不是大于0的整数，不合题意. 当x=24时，符合题意. 答：宽是24步. 设计意图：进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间. 环节五：课堂小结 以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 学科网（北京）股份有限公司 $