复合函数类型及其定义域的求法讲义-2026届高三二轮专题复习

复合函数类型及其定义域的求法讲义 一、有关复合函数的概念 复合函数的描述性定义:如果是的函数,而又是的函数,即,而 ,且的值域与的定义域之交集非空集,那么关于的函数叫做函数和的复合函数;其中叫外层函数,叫内层函数,叫做中间变量. 例如与不同,前者不是基本初等函数,而是由三角函数和一次函数经过“复合”而成的一个新函数(即复合函数).函数的定义域就是自变量使得有意义的取值范围(即数集);我们称使得有意义的取值范围(即数集)就是复合函数的定义域. 二、复合函数类型及定义域的求法 (1)有具体解析式的复合函数定义域的求法 例1.已知函数,求的定义域. 分析:要使有意义,则解析式中分式的分母不等于零;偶次方根的被开方数大于或等于零;对数函数的真数大于零;对数函数的底数大于零且不等于1等等. 解:依题意得,解之得；故的定义域为. 教学反思:求函数的定义域,其实就是求不等式(或不等式组)的解. (2) 已知的定义域,求的定义域 例2:若函数的定义域为,求的定义域． 分析:由的定义域为,则在中,把看成一个整体,从中解出的取值范围,即为复合函数的定义域． 解:因的定义域为,由,解得;故函数的定义域为. 教学反思:求复合函数的定义域,同样是指函数式子中自变量取值范围的集合. (3)已知的定义域,求的定义域 例3:若函数的定义域为,求函数的定义域． 分析:由的定义域为,可由式中来确定内函数的取值范围,即得函数的定义域. 解:由的定义域为,即,从而得;故函数的定义域为. 教学反思:由复合函数的定义域,可设(其中),则内函数的值域就是外函数的定义域,而与为同一函数,即得到的定义域为. (4) 已知的定义域,求的定义域 例4:若函数的定义域为,求的定义域． 分析:由的定义域为,可由式中来确定内函数g(x)的取值范围,即得的定义域;再由解出的取值范围,即得定义域. 解:由的定义域为,即,从而可得;故的定义域为.再由得,故复合函数的定义域为. 教学反思:由复合函数的定义域,求复合函数的定义域,就是先按上面例3操作,再按例2操作即可. (5) 运算型的复合函数定义域的求法 例5:若函数的定义域为,求的定义域． 分析:由有限个复合函数经四则运算得到的函数定义域的求法,是先求出各个复合函数的定义域,然后再求它们的交集,即可得所求的定义域． 解:由于函数的定义域为,要使有意义,必需，解之得,即得;故的定义域为. 教学反思:这种问题的求解,与“已知函数的定义域,求复合函数的定义域 ”一样,即和例2类同,只不过是求一个不等式组的解而已. 总评:求复合函数的定义域与求函数的定义域类同,就是要求使得复合函数各个部分有意义的自变量的取值范围(即数集),其实就是求一个不等式或一个不等式组的解集. 学科网（北京）股份有限公司 $