专题04 正方形的性质与判定重难点题型专训（5个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题04 正方形的性质与判定重难点题型专训 （5个知识点+10大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 正方形性质理解 题型二 添一个条件使四边形是正方形 题型三 证明四边形是正方形 题型四 根据正方形的性质与判定求角度 题型五 根据正方形的性质与判定求线段长 题型六 根据正方形的性质与判定证明 题型七 根据正方形的性质与判定求面积 题型八 （特殊）平行四边形的动点问题 题型九 四边形中的线段最值问题 题型十 四边形其他综合问题 拓展训练一 正方形折叠问题 拓展训练二 正方形最值问题 拓展训练三 正方形旋转问题 知识点一：正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·山东枣庄·期中）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形，则下列四边形中是垂等四边形的是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】D 【分析】本题考查了正方形、矩形、菱形的性质，平行四边形的性质，准确理解新定义的垂等四边形的性质是解题的关键． 垂等四边形的定义是对角线互相垂直且相等，根据各四边形的性质，正方形对角线互相垂直且相等，满足定义． 【详解】解：A．平行四边形的对角线互相平分但不垂直且不相等，故不是垂等四边形； B．矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形； C．菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形； D．正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形； 故选：D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）有一组 相等，并且有一个角是 的平行四边形叫做正方形． 正方形的 个角都是直角，四条边都 ． 正方形的对角线 ，并且 ，每条对角线平分一组 ． 正方形既是 对称图形，又是 对称图形，有 条对称轴． 有一组邻边相等的 是正方形． 有一个角是直角的 是正方形． 【答案】 邻边 直角 四 相等 相等 互相垂直平分 对角 中心 轴 四 矩形 菱形 【分析】根据正方形的定义、判定与性质：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有四条对称轴．有一组邻边相等的矩形是正方形．有一个角是直角的菱形是正方形．结合平行四边形、菱形、矩形与正方形的联系逐个填写即可得到答案． 【详解】解：①有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． ②正方形的四个角都是直角，四条边都相等． ③正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． ④正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有四条对称轴． ⑤有一组邻边相等的矩形是正方形． ⑥有一个角是直角的菱形是正方形． 故答案为：邻边；直角；四；相等；相等；互相垂直平分；对角；中心；轴；四；矩形；菱形． 【点睛】本题考查正方形的定义、判定与性质，熟记正方形的定义、判定与性质是解决问题的关键． 知识点二：正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·贵州毕节·月考）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．四个角都是直角 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．四条边相等 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、正方形的性质，根据矩形的性质和正方形的性质即可求解． 【详解】解：矩形的性质：两组对边平行且相等，对角线相等且相互平分，四个角都相等且都是直角； 正方形的性质：四边都相等且两组对边相互平行，对角线相等且相互平分，四个角都相等且都是直角， 正方形的四边都相等，是矩形不一定具有的， 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学科代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形教具边长为，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，根据正方形的性质得到，继而得到，得出四边形是菱形，得到，求出四边形的面积为． 【详解】解：如图，作于点， 根据题意得， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形的面积为， 故答案为：． 知识点三：正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列条件可以利用定义说明平行四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D．以上都对 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定定理，平行四边形的性质，熟练掌握正方形的定义是解题的关键． 根据正方形的判定定理得出答案． 【详解】正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．由此可知选． 故选：． 2．（24-25九年级上·河北·期末）对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是 ． 【答案】正方形 【分析】本题考查正方形的判定．根据正方形判定定理即可得解． 【详解】解：对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是正方形， 故答案为：正方形． 知识点四：特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 【即时训练】 1．（24-25八年级下·浙江金华·期末）小明在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线垂直 C．对角线与一边夹角为 D．对角线相等 【答案】A 【分析】此题考查了矩形，菱形和正方形的判定，根据矩形，菱形和正方形的判定定理求解即可． 【详解】解：A．对角线互相平分的平行四边形不一定是矩形，故A错误，符合题意； B．对角线垂直的平行四边形是菱形，故B正确，不符合题意； C．对角线与一边夹角为的矩形是正方形，故C正确，不符合题意； D．对角线相等的菱形是正方形，故D正确，不符合题意． 故选：A． 2．（24-25九年级上·山西太原·期中）我们知道，在图形从一般向特殊变化的过程中，它的组成元索及相关元素之间的关系也越来越特殊.下面是小颖从“对角线”的角度对平行四边形矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是    【答案】对角线互相垂直且相等 【分析】本题考查了正方形的判断方法，根据图形即可得到答案，熟记正方形的判断方法是解题的关键． 【详解】解：由图可得，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形， 故答案为：对角线互相垂直且相等． 知识点五：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知四边形的对角线相等，顺次连接四边形的四条边中点，得到的新四边形的形状是（    ）． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】运用中位线定理，可知，，得四边形是平行四边形，进一步求证，所以四边形是菱形． 【详解】解：如图，四边形中，，，F，G，H分别是四边中点， ∴，，，， ∴，． ∴四边形是平行四边形． 而， ． ∴． ∴四边形是菱形． 故选：C． 【点睛】本题考查中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定；掌握相关判定方法是解题的关键． 2．（24-25九年级上·广东梅州·月考）中点四边形的形状． （1）以四边形各边的中点为顶点可以组成一个 ． （2）以菱形各边的中点为顶点可以组成一个 ． （3）以矩形各边的中点为顶点可以组成一个 ． （4）以平行四边形各边的中点为顶点可以组成一个 ． （5）以正方形各边的中点为顶点可以组成一个 ． 【答案】 平行四边形 矩形 菱形 平行四边形 正方形 【分析】结合平行四边形，矩形，菱形，正方形定义，新四边形的形状与原四边形的两条对角线的关系，即可判断出新四边形的形状 【详解】（１）如图， 四边形是一般四边形时，连接各边中点，得到四边形 ,根据中位线性质得到 , ，所以，同理可得 ， ，得 ，所以 为平行四边形， （２）如图， 四边形是菱形时，连接各边中点，得到四边形 , 根据中位线性质得到 , ，所以，同理可得 ， ，得 ，所以 为平行四边形，又因为是菱形，所以 ，则 ，所以为矩形． （3）如图， 四边形是矩形时，连接各边中点，得到四边形 ,根据中位线性质得到 , ，所以，同理可得 ， ，得 ，所以 为平行四边形，又因为是矩形，所以 ，则 ，所以为菱形． （4）如图， 四边形是平行四边形时，连接各边中点，得到四边形 ,根据中位线性质得到 , ，所以，同理可得 ， ，得 ，所以 为平行四边形． （５）如图， 四边形是正方形时，连接各边中点，得到四边形 ,根据中位线性质得到 , ，所以，同理可得 ， ，得 ，所以 为平行四边形，又因为是正方形，所以 ， 则 ， ，所以为正方形． 故答案为：平行四边形，矩形，菱形，平行四边形，正方形 【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握每一个图形的判定． 【经典例题一 正方形性质理解】 【例1】（24-25八年级下·广西防城港·期中）正方形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．每一条对角线平分一组对角 C．对角线相等 D．对边相等 【答案】C 【分析】本题考查了正方形和菱形的性质，根据正方形和菱形的性质逐一排除即可，掌握正方形和菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：A、正方形和菱形的对角线都互相平分，原选项不符合题意； B、正方形每一条对角线平分一组对角，菱形的每一条对角线平分一组对角，原选项不符合题意； C、正方形对角线相等，菱形的对角线不一定相等，原选项符合题意； D、正方形对边相等，菱形的对边相等，原选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·浙江·月考）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作……若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶正边矩形．如图所示，矩形ABCD中，若AB＝2，BC＝6，则称矩形ABCD为2阶正边矩形．已知矩形MNPO的一组邻边长分别为20和a，且它是3阶正边矩形，a＜20，则a的值为 ． 【答案】5或8或12或15 【分析】根据n阶正边矩形的概念，分别画出3阶正边矩形的所有情况，分别求出a值即可． 【详解】解：如图，MN=a，MQ=20，则第一次操作后剩下的矩形的两边长度为a，（20－a），第二次操作后剩下的矩形的两边长度为（20－2a），a或（20-a），[a-(20-a)]， ∵该矩形是3阶正边矩形， ∴图（1）中20-2a=2a，则a=5； 图（2）中2（20-2a）=a，则a=8； 图（3）中20-a=2[a-(20-a)]，则a=12； 图（4）中[a-(20-a)]=2（20-a），则a=15， 故答案为：5或8或12或15． 【点睛】本题考查图形的剪拼和正方形的性质、矩形的性质，理解新定义，利用分类讨论的思想正确将矩形分割为正方形是解答的关键． 1．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图点为正方形对角线的交点，则将绕点旋转得到，则这种旋转方式是（ ） A．顺时针旋转 B．顺时针旋转 C．逆时针旋转 D．逆时针旋转 【答案】D 【分析】由正方形的性质得到，则绕点逆时针旋转得到，旋转角为或，据此可得答案． 【详解】解：四边形是正方形， ， 绕点逆时针旋转得到，旋转角为或， 旋转方式为逆时针旋转， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质，旋转时找出旋转中心、旋转方向、旋转角是解决问题的关键． 2．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，设、、、的面积分别为、、、，以下四个判断：①当时，B、P、D三点共线；②存在唯一一点P，使；③不存在到矩形ABCD四条边距离都相等的点P；④若，则；其中正确的是 （写出所有正确结论的序号） 【答案】②④ 【分析】根据矩形的性质求出∠APD＝90°，而只有当∠PBA＝∠PAD时，才有∠APB＝90°，B、P、D三点才可能共线，故①错误；根据矩形的性质和正方形的性质可判断②正确③错误；根据矩形的性质和三角形的面积公式求出S1＋S3＝AB•AD，同理可得S2＋S4＝AD•AB，结合可得④正确． 【详解】解：①当∠PAB＝∠PDA时， 根据矩形四个角都是直角，则有∠PAB＋∠PAD＝90°，即∠PAD＋∠PDA＝90°， ∴∠APD＝90°，即△APD为直角三角形， 而只有当∠PBA＝∠PAD时，才有∠APB＝90°，B、P、D三点才可能共线，故①错误； ②根据矩形对角线相等且互相平分的性质可知：存在唯一一点P满足PA＝PB＝PC＝PD， 此时P为对角线的交点，故②正确； ③只有当矩形ABCD是正方形时，则在其内部存在到矩形ABCD四条边距离都相等的点P，故③错误； ④△PAB和△PCD分别是以AB和CD为底的三角形， 如图，过P分别作PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，则PE＋PF＝AD， ∴S1＋S3＝AB•PE＋CD•PF＝AB（PE＋PF）＝AB•AD， 同理可得：S2＋S4＝AD•AB， 即S1＋S3＝S2＋S4， 故若S1＝S2，则S3＝S4，故④正确， 综上所述：②④正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，三角形的面积计算，用矩形的面积表示出相对的两个三角形的面积的和是解题的关键，也是本题的难点． 3．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）有一张的正方形纸片．把这张纸片按图1所示剪开，把剪出的四个小块按图2所示重新拼合． (1)你认为剪开后拼成的图2是一个长方形纸片吗？请回答“是”或“不是”； (2)如果图2是一个长方形纸片，请说明理由；如果图2不是一个长方形纸片，也请说明理由． 【答案】(1)是 (2)图2是一个长方形纸片，理由见详解 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，然后通过两组对边相等，证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形； （2）图2是一个长方形纸片，与（1）同理，证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： 依题意，， ∴四边形是平行四边形， ∵有一张的正方形纸片．把这张纸片按图1所示剪开，把剪出的四个小块按图2所示重新拼合， ∴， ∴四边形是矩形； 即剪开后拼成的图2是一个长方形纸片； （2）解：图2是一个长方形纸片，理由如下： 依题意，， ∴四边形是平行四边形， ∵有一张的正方形纸片．把这张纸片按图1所示剪开，把剪出的四个小块按图2所示重新拼合， ∴， ∴四边形是矩形． 即图2是一个长方形纸片． 【经典例题二 添一个条件使四边形是正方形】 【例1】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题关键．根据矩形的判定定理及正方形的判定定理即可解答． 【详解】解：在中，， ∴四边形是矩形． A、当时，矩形是正方形，故A选项不符合题意； B、当时，矩形是正方形，故B选项不符合题意； C、当时，无法确定矩形就是正方形，故C选项符合题意； D、当时，则，，，矩形是正方形，故D选项不符合题意． 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，请添加一个条件： ，使四边形是正方形。    【答案】（答案不唯一） 【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形，进而添加一个角是直角，即可求解． 【详解】解：过点作于，于，   两条纸条宽度相同， ，，， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 四边形是菱形 当时，四边形是正方形 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平行四边形的基本性质，菱形与正方形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 1．（24-25九年级上·广东佛山·月考）如图在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（   ）      A． B． C． D．E为的中点 【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理，正方形的判定定理解答即可． 本题考查了菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴，，， ∵， ∴, ∴四边形是菱形， 故A不符合题意； 当添加时，则四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故B不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形， 故C符合题意； 当E为的中点时，得到 无法判定菱形是正方形， 故D不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图，已知四边形是菱形，、交于点，请你添加一个条件，使菱形成为正方形.你添加的条件是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．依据正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：四边形是菱形， 当有一个内角是直角或对角线相等时，菱形为正方形， 当或时，菱形为正方形， 故答案为：或． 3．（2025·江西·模拟预测）如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． (1)求证：四边形为矩形； (2)当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)时，见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的意义，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和角平分线的意义，垂直的意义，可得，进而证明即可； （2）利用等腰三角形的性质可得，进而证明即可． 【详解】（1）∵， ∴，， ∵是外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2）当时，四边形为正方形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形． 【经典例题三 证明四边形是正方形】 【例1】（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，已知四边形的对角线相交于，则下列条件能判断它是正方形的是（   ）      A．，，， B．， C．， D．，，， 【答案】C 【分析】本题考查正方形的判定，掌握正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、，， 四边形是平行四边形. ， 四边形是菱形，故不符合题意； B、只能判断出四边形是菱形，故不符合题意； C、，， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形，故符合题意； D、不能判定四边形是正方形，故不符合题意； 故选：C． 【例2】（2025·河南郑州·一模）按如图所示，将一张矩形纸对折两次，然后剪下一个角保证剪口线与折痕夹角的角度为，将这个剪下的角打开，得到的图形是 ．如果剪口线与折痕夹角的角度不为，得到的图形是 ． 【答案】 正方形 菱形 【分析】本题考查了菱形的判定，正方形的判定，折叠的性质，先画出图形，在根据菱形的判定，正方形的判定进行判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴四边形是菱形， ∵剪口线与折痕夹角的角度为， ∴， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方形； 如图， 由题意得：， ∴四边形是菱形， 故答案为：菱形． 1．（2024·上海奉贤·二模）如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，下列条件能判断四边形是正方形的是（    ）    A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查正方形的判定，掌握特殊四边形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定方法对各个选项进行分析从而得到答案． 【详解】解：A. 由且可判定是矩形，故此选项不符合题意； B. 且可判定是菱形，故此选项不符合题意； C. 且可判定是菱形，故此选项不符合题意； D. 且可判定是正方形，故此选项不符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在矩形中，平分交于点，，，则 ． 【答案】5 【分析】由矩形的性质得出，，证出四边形是矩形，再证明，即可得出四边形是正方形，得出即可求解． 【详解】解：过点作于点， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， 平分，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、正方形的判定与性质、角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，证明四边形是正方形是解决问题的关键． 3．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，在中，对角线、相交于点，是等腰三角形，当满足什么条件时？四边形为正方形，并说明理由． 【答案】当中时（答案不唯一），四边形为正方形，见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定，根据平行四边形的性质可知，根据对角线相等的平行四边形是矩形可证四边形是矩形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可知，当时，四边形是正方形． 【详解】解：当中时，四边形为正方形， 理由如下： 四边形为平行四边形， ，， 是等腰三角形， ，， 四边形为矩形， 又， 矩形为正方形． 【经典例题四 根据正方形的性质与判定求角度】 【例1】（24-25八年级下·北京·期中）将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·湖北武汉·自主招生）如图，长方形纸片，以点A所在直线为折痕折叠，使点落在边上，折痕与边交于，将纸片展开，再一次折叠，以点所在直线为折痕，使点A落在边上，折痕与边交于，则 ．    【答案】 【分析】先根据折叠的性质得到，继而得出，再由折叠的性质即可得到的度数． 【详解】解：如图，    ∵以点所在直线为折痕，折叠纸片，使点落在上的点，折痕与交于点， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 由再一次折叠，得 ． ， ． 故答案为：． 【点睛】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 1．（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明和全等得到、，结合推出，进而证得； （2）利用菱形性质、全等三角形判定与性质，结合等腰三角形三线合一、矩形及正方形的判定，推导得出． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴． 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． 过点作于，交于， ∴（等腰三角形三线合一）． ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵是菱形对角线， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键． 2．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若AB=AD，求∠ADE的度数． 【答案】(1)见解析 (2)135° 【分析】（1）先由两组对边平行证明四边形OCED是平行四边形，再由OD=OC证明四边形OCED是菱形； （2）先证矩形ABCD是正方形，再由正方形的性质得∠BDC=∠ACD=，再由平行线的性质得∠EDC=∠ACD=45°，由此可解． 【详解】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O， ∴OD=OC． ∴四边形OCED是菱形． （2）解：∵矩形ABCD中，AB=AD， ∴矩形ABCD是正方形， ∴∠ADC=∠BCD=90°， ∴∠BDC=∠ACD=． ∵DE∥AC， ∴∠EDC=∠ACD=45°， ∴∠ADE=90°+45°=135°． 【点睛】本题考查菱形的判定、正方形的判定与性质以及平行线的性质，由正方形的性质得出∠BDC=∠ACD=是解题的关键． 3．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）如图，用四个完全相同的矩形拼成了一个大正方形，AB是其中一个小矩形的对角线，请在大正方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画图痕迹． (1)在图中画出一个以AB为边的正方形； (2)在图中画出一个以点A或点B为顶点，AB为一边的45°角，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，理由见解析 【分析】(1)连接AD、DC、BC，所得四边形即为所作正方形； (2)作正方形的对角线，即可画出． 【详解】（1）解：如图，四边形ABCD为所求； 连接AD、DC、BC，所得四边形即为所作正方形； （2）解：如图，∠BAC即为所求． 理由如下： ∵四个全等的矩形被对角线分成的直角三角形全等， ∴． ∴四边形ABCD是菱形． 又∵(SAS)， ∴． ∵， ∴． ∴四边形ABCD是正方形，连接AC． ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握和运用各特殊平行四边形的性质与判定是解决本题的关键． 【经典例题五 根据正方形的性质与判定求线段长】 【例1】（2025·浙江温州·二模）如图，四边形是一张正方形纸片，其面积为．分别在边，，，上顺次截取，连接，，，．分别以，，，为轴将纸片向内翻折，得到四边形．若四边形的面积为，则等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，全等三角形的性质与判定等，由正方形的性质可得，，根据题意可证明，根据正方形面积计算公式求出，则，由折叠的性质可得，，再证明四边形是正方形，且，则可得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， 同理可得， ∵四边形是一张正方形纸片，其面积为， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 同理可得， ∴四边形是正方形， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， 故选：C． 【例2】（2025·江苏盐城·一模）如图，在矩形中，，，沿着过矩形顶点的一条直线将折叠，使点的对应点落在矩形的边上，则折痕的长为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，折叠的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 分当沿直线折叠，点与点为对应点，当沿直线折叠，点与点为对应点两种情况求解即可． 【详解】解：如图，当沿直线折叠，点与点为对应点， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； 如图，当沿直线折叠，点与点为对应点， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠性质可知，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，解得：，即， ∴； ∴折痕的长为或， 故答案为：或． 1．（2025·天津河西·一模）如图，，将绕点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E，延长交于F，连接．下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的判定和性质；由旋转的性质可得，可证四边形是正方形，可得．掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 故B选项正确，A、C、D不正确， 故选：B． 2．（2025·贵州黔南·一模）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质．过点P作于点G，交于点F，作于点H，则四边形是矩形，所以，，由，，得，可知当与重合且与重合时，取得最小值4，于是得到问题的答案． 【详解】解：过点P作于点G，交于点F，作于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当与重合且与重合时，取得最小值4， 故答案为：4． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关的知识是解题的关键． （1）先根据，判定四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）先根据证明，得出，再根据正方形中，，即可得到，从而可求得的长． 【详解】（1）证明：∵的垂直平分线交于，交于， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 【经典例题六 根据正方形的性质与判定证明】 【例1】（2024·北京平谷·一模）如图，正方形中，点、、、分别为、、、边上的点，点、、为对角线上的点，四边形和四边形均为正方形，它们的面积分别表示为和， 给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质．根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质可得，，，进而得到，根据正方形的面积公式即可判断①；根据，，，即可判断②；由，，可判断③． 【详解】解：①四边形是正方形， ， 四边形和四边形均为正方形， ，， 和都是等腰直角三角形， ，， 同理可得， ， ，， ，故①错误； ②和都是等腰直角三角形， ，， 四边形为正方形， ， ，故②正确； ③由①知：，， ，故③正确； 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，，，， ． 【答案】或 【分析】本题考查正方形的判定、图形的翻折变换和利用勾股定理，建立关于x的方程模型的解题思想．要能灵活运用． 分别以、为对称轴作点的对称点，根据对称的性质得到，，从而得到四边形是正方形，设，在中，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出的长． 【详解】解：分别以、为对称轴，作D点的对称点分别为E、F、延长、相交于点， ，， 根据轴对称性质得， ，，，，,, , 四边形是正方形， ， 设，则， , 在中，， 即, 解得， , 故答案为：． 1．（24-25八年级下·四川巴中·期末）如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到． 延长交于点F，交于点H，连接． 下列结论：①，②四边形是正方形；③；④若，则，其中正确的结论是（    ）    A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由及将绕点B按顺时针方向旋转，得到，即可得，从而判断①正确；由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形，可判断②正确；只能找到对应边相等，找不到对应边相等，不能判断；④过点D作于K，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，从而判断④正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵将绕点B按顺时针方向旋转，得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形，故②正确； 如图，过点D作于K，    ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有：①②④， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 2．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，以边长为2的正方形的四边中点为顶点作第一个四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为 ；所作的第n个四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，图形类规律探究，以及正方形的周长的求法，根据已知得出规律是解题关键． 根据正方形的性质以及勾股定理，求出第二个，第三个的周长，从而发现规律，即可求出第n个四边形的周长，据此即可求解． 【详解】解：由题意可知：得到的四边形都是正方形， 根据勾股定理得， 围成的第一个四边形的边长为：，周长为：， 第二个四边形的边长为：，周长为：， 第三个四边形的边长为：，周长为：， 第四个四边形的边长为：，周长为：， 故第个四边形的边长为：，周长为：， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）已知，正方形的边在正方形的边上，延长到，使，在边上，且，求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，根据正方形的性质易证，根据全等三角形的性质推出，，求出，根据正方形的判定得出即可． 【详解】证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∴． ∵，， ∴，，， 即，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【经典例题七 根据正方形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形中，在各边上截，连接交于点P，四边形的面积是4，四边形的面积是36，则原来的正方形的面积是（    ） A．64 B．50 C．49 D．56 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，证明四边形是正方形，根据面积求出边长，进而求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∵，， ∵， ∴矩形是正方形， ∵四边形的面积是36， ∴， ∴， ∴原来的正方形的面积是， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是 ． 【答案】25 【分析】本题考查正方形的判定与性质． 根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利进而可得到四边形为正方形，即可求出其面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ，， ， ， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ，， ∴四边形为正方形， ． 故答案为：25 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图所示，在四边形中，于H，，则四边形的面积是（    ） A．15 B．20 C．25 D．无法确定 【答案】C 【分析】过点A作交的延长线于E，先证明四边形AHCE为正方形，可以将以点A为旋转中心，逆时针方向旋转得到，据此求解即可． 【详解】如下图，过点A作交的延长线于E， ∵， ∴四边形AHCE为正方形， 又∵， ∴可以将以点A为旋转中心，逆时针方向旋转得到， ∴四边形的面积=正方形的面积= 故选：C 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、旋转的性质，解此题的关键是求出矩形AECF的面积熟练掌握旋转的性质． 2．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）图（1）是一张矩形纸片，将其依次按图（2）、图（3）的方式折叠，AE与AD恰好重合． （1）如图（3），折痕AM与EF交于点G，则∠AGD＝ ． （2）若DFG的面积为S，则矩形ABCD的面积为 ． 【答案】 112.5°/112.5度 () 【分析】（1）先求得∠ADG=∠AEG=45°，利用折叠的性质求得∠DAG=22.5°，根据三角形内角和定理即可求解； （2）由题意得到△DFG是等腰直角三角形，设DF=FG=a，推出AB=EF=(1+)a，再得到AD=AE=(+2)a，利用矩形面积公式即可求解． 【详解】解：（1）由题意可知四边形ABEF是正方形， ∴∠EAF=∠AEF=45°， ∴∠ADG=∠AEG=45°. 根据折叠的性质知AM平分∠DAE， ∴∠DAG=22.5°， ∴∠AGD=180°-∠DAG-∠ADG=112.5°； 故答案为：112.5°； （2）由（1）知∠ADG=45°，∠DFG=90°，可知△DFG是等腰直角三角形， 设DF=FG=a，则S=a2，EG=DG=a， ∴a2=2S，AB=EF=(1+)a， ∴AD=AE= (1+)a=(+2)a， ∴= AB AD =(1+)a・(+2)a =(3+4)a2 =2(3+4)S =(6+8)S． 故答案为：(6+8)S． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，灵活运用勾股定理是解题的关键． 3．（24-25八年级下·江西南昌·期末）如图，在正方形中，点为边上的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，画出一个以为顶点的矩形，使得它的长宽不相等，且面积等于正方形面积的一半； (2)在图2中，画出一个以为顶点的正方形，使得它的面积等于正方形面积的一半． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的判定和性质，熟练掌握正方形的对称性，是解题的关键： （1）连接，得到正方形的中心，连接和正方形的中心并延长，交于点，即可； （2）连接交对角线于一点，连接点与该点并延长，交与点，对称性得到点为的中点，连接点和正方形的中心，并延长交于点，连接，正方形即为所求． 【详解】（1）解：如图：矩形即为所求； （2）解：如图，正方形即为所求． 【经典例题八 （特殊）平行四边形的动点问题】 【例1】（24-25八年级下·福建龙岩·月考）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度沿．向点运动；点从点同时出发，以的速度沿边向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．当为何值时，四边形为平行四边形？（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，四边形是平行四边形，列方程求解即可． 【详解】由题意可得，，， 当时， 由可得四边形是平行四边形 ∴，解得， 故选：C． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，表示出对应边的长度是解本题的关键． 【例2】（24-25九年级上·四川达州·期中）在矩形中，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么 秒后四边形为矩形？ 【答案】5 【分析】设动点的运动时间为秒，根据题意得，，根据矩形的对边相等，求出的值，即可解决问题． 【详解】解：设动点的运动时间为秒， 由题意得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ 解得． 即当秒时，四边形是矩形． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，解题的关键是灵活运用矩形的性质． 1．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度沿向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿向终点运动．当四边形为平行四边形时，运动时间为（   ） A．4s B．3s C．2s D．1s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、动点问题的分析知识点，掌握平行四边形对边相等的性质以及根据动点位置表示线段长度的方法是解题的关键． 先判断点的位置：当四边形为平行四边形时，点必须在上，利用平行四边形对边相等的性质，列方程求解运动时间． 【详解】解：由题意可知，当四边形为平行四边形时，点在上． 设运动时间为，则，． 根据题意，得，解得． 故选：B． 2．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，在长方形中，，．延长到，使，连接．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为．当取某个值时，使得和全等，则满足条件的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定、矩形的性质、动点问题，分情况讨论即可作答． 【详解】①当点在上时，由题意得 要使，则需 解得： ②当在上时，不构成 ③当在 上时，由题意得 要使，则需，即 解得： 综上，当或时， 故答案为或． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，在四边形中，，，，点从点向点以的速度运动，到点即停止点从点向点以的速度运动，到点即停止直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形，已知，两点同时出发，则几秒后所截得的两个四边形中，有一个为平行四边形 【答案】或 【分析】本题主要考查了与平行四边形有关的动点问题，结合平行四边形的性质准确分析计算是解题的关键． 若四边形是平行四边形，则，进而求出运动的时间 若四边形是平行四边形，则，进而求出运动的时间． 【详解】解：设后，四边形或四边形是平行四边形， 根据题意可得，，，，若四边形是平行四边形，则， ，解得：， 后四边形是平行四边形． 若四边形是平行四边形，则， ，解得：， 后四边形是平行四边形． 综上所述，或后，两个四边形中有一个是平行四边形． 【经典例题九 四边形中的线段最值问题】 【例1】（24-25八年级下·四川泸州·期末）如图，正方形的边长为8，在上，且，是上一动点，则的最小值为(   ) A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】连接BN，BD，BM，BM交AC于点E，根据正方形的对角线互相垂直平分可得ND=NB，由三角形三边关系可得NB+NM≥BM，再由勾股定理求得BM即可； 【详解】解：如图，连接BN，BD，BM，BM交AC于点E， ABCD是正方形，则AC、BD互相垂直平分， ∴ND=NB， 当点N与点E不重合时，△NBM中NB+NM＞BM， 当点N与点E重合时，NB+NM=BM， ∴NB+NM≥BM，即DN+MN的最小值为BM， ABCD是正方形，则BC=CD=8，∠BCD=90°， ∴CM=CD-DM=8-2=6， ∴BM=， ∴DN+MN的最小值为10， 故选： C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系，勾股定理；正确作出辅助线是解题关键． 【例2】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，E、F、G、H分别是正方形边、、、上的点，连接E、F、G、H，若，，则四边形的周长最小值是 ．    【答案】 【分析】利用轴对称的性质作出如图的辅助线，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：延长到D，使，G的对应点为，则， 作，使，H的对应点为，则， 作，使，Ｅ的对应点为，则，    ∴在同一直线上时，四边形的周长最小，最小值为的长， 作交延长于点K， 则，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，对称的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 1．（24-25八年级上·重庆·月考）如图，在四边形中，，，面积为21，的垂直平分线分别交于点，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为（      ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】连接AQ，过点D作，根据垂直平分线的性质得到，再根据计算即可； 【详解】连接AQ，过点D作， ∵，面积为21， ∴， ∴， ∵MN垂直平分AB， ∴， ∴， ∴当AQ的值最小时，的值最小，根据垂线段最短可知，当时，AQ的值最小， ∵， ∴， ∴的值最小值为7； 故选C． 【点睛】本题主要考查了四边形综合，垂直平分线的性质，准确分析计算是解题的关键． 2．（2025·天津河西·一模）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M、N分别是AB、BC边上的中点，则MP+NP的最小值是 ． 【答案】1 【分析】首先作点M关于AC的对称点，连接P，则当点、P、N三点共线时，MP+NP有最小值．然后证明四边形ABN为平行四边形，即可求出答案． 【详解】解：作点M关于AC的对称点，连接P， ∵菱形ABCD关于AC对称，点M关于AC的对称点，点M是AB的中点， ∴点是AD的中点，MP＝P， ∴MP+NP＝P +NP， ∴当点、P、N三点共线时，MP+NP有最小值为线段N的长． 当点、P、N三点共线时， ∵点是AD的中点，点N是BC边上的中点， ∴，， ∵在菱形ABCD中， ∴ADBC，AD＝BC， ∴ABN，A＝BN， ∴四边形ANB是平行四边形， ∴N＝AB＝1， ∴MP+NP的最小值是1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了菱形的性质和轴对称，判断当点、P、N三点共线时，MP+NP有最小值为线段N的长是解决本题的关键． 3．（24-25八年级下·广西河池·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿所在直线折叠，得到． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，是边上的动点，是边上的动点，那么的最小值是多少？ 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据矩形的性质即可得到OC=OD，再根据翻折，即可得到四边相等，即可求证菱形； （2）作于，交于，证明OP=PE，所以转化为OP+PQ，当时，即OQ最短，即可解决． 【详解】解：（1）证明：四边形是矩形 与相等且互相平分 关于的对称图形为 ， 四边形是菱形 （2）解：作于，交于，则如图所示： 沿所在直线折叠，得到 ， 在中， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和最短路径问题，熟练菱形的判定方法以及最短路径的方法是解决本题的关键． 【经典例题十 四边形其他综合问题】 【例1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在学习四边形的过程中，我们引入如下新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四过边形叫做邻等对补四边形，如图，如果我们用一副三角板进行拼接得到的四边形中，是邻等对补四边形的有（　　）个（在拼接过程中，重合的边可以看作长度相等，且两个三角板位于重合边的两侧） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角板和多边形内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．明确邻补对等四边形的定义，再根据定义判断即可得解． 【详解】①如图，两个三角板斜边重合，此时，是邻等对补四边形； ②当等腰直角三角板的直角边和所对的直角边重合时， 此时不满足邻等对补四边形的定义； ③当等䃌直角三角坂的直角边和所对的直角边重合时， 此时不满足邻等对补四边形的定义； ④当直角边和斜边重合时，不满足至少有一组邻边相等，也不满足对角互补． 综上，只有1个． 故选：A． 【例2】（2025·广东河源·一模）在四边形中，已知，点为的中点，连接和，设的面积为，四边形的面积为，则与的关系为 ． 【答案】/ 【分析】分别计算出，和，即可得到结论． 【详解】解：如图， 设，△中，AB边上的高为h， ∵点为的中点，AB//CD 则△中，CD边上的高也为h， ∴，， ∵AB//CD ∴ ∴ ∴ 即 故答案为： 【点睛】本题主要考查了梯形以及三角形面积的计算，正确识别图形和运用面积计算公式是解答本题的关键． 1．（2025·河南南阳·一模）如图，在矩形片中，边，，将矩形片沿折叠，使点A与点C重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形是菱形；②的长是1.5；③的长为；④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据矩形、折叠性质即可得出CF=CE = AE =AF，则证明结论①正确；设DF=x，故DF= BE =x，在Rt△ADF中，利用勾股定理即可求解结论②正确；过点F作FH⊥AB于点H，利用矩形判定与性质并结合勾股定理求得EF的长，则可推出结论③正确；由DF=BE可知阴影部分的面积为矩形ABCD面积的一半与△CGF面积的和，利用面积公式即可求得结果，证明结论④正确． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠AEF=∠CFE， 由折叠性质可知：AE=CE，AF=CF，∠AEF=∠CEF， ∴∠CFE =∠CEF， ∴CF=CE， ∴CF=CE = AE =AF， ∴四边形是菱形；故①正确； ∵四边形是菱形， ∴CF =AE， ∵四边形是矩形，，， ∴AB =CD=4，∠D=90°， ∴AB-CF =CD-AE， 即DF=BE， 设DF=x，则CF = AF=4-x， 在Rt△ADF中， DF2+AD2= AF2， 即x2+22=（4-x）2 解得x=1.5， 即的长是1.5；故②正确； 过点F作FH⊥AB于点H， ∴四边形是矩形， ∴FH=AD=2，AH=DF=1.5， ∵AE=AB-BE=2.5， ∴HE=AE-AH=1， 由勾股定理得；故③正确； ∵DF=BE，AD=GC=2，DF=GF=， ∴S阴影部分=S四边形BCFE+S△CGF， =S矩形ABCD+S△CGF， =AB•AD+CG•GF， =×4×2+×2×， =4+ =；故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了四边形的综合问题，熟练掌握菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及折叠的性质等知识是解题的关键． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，四边形中，，且，则四边形周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】延长AD至点E，使得，连接CE，过点C作，证明△CDE为等边三角形，分别求出四边形ABCD的边长判断即可； 【详解】如图所示，延长AD至点E，使得，连接CE，过点C作， ∵， ∴， 又∵， ∴△CDE为等边三角形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 则， ∴， ， ∴， ∴当时，AC取得最小值为， 此时，， ∵， ∴， 又， ∴，即， ， ∴四边形ABCD周长， ， ； ∴四边形ABCD的最小值为． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了四边形综合，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 3．（2025八年级下·江苏无锡·模拟预测）已知线段． (1)已知线段垂直于线段．设图1，图2和图3中的四边形的面积分别为和，则__________，__________，__________； (2)如图4，对于线段与线段垂直相交（垂足不与点重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想； (3)当线段与（或）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点所围成的封闭图形的面积是多少？ 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查对角线互相垂直的四边形面积问题，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将四边形面积分为两个三角形面积之和，根据三角形的面积公式进行计算； （2）根据（1）中的计算结果，发现三个图形的面积都是．将四边形面积分为两个三角形面积之和，根据三角形的面积公式进行计算； （3）把四边形的面积分割成两个三角形面积之差，按三角形的面积公式进行计算． 【详解】（1）解：对于图1， ， ，， ， ， ， ， ； 同理可得，图2和图3中的四边形的面积，， 故答案为：，，； （2）解：对于线段与线段垂直相交（垂足不与点，，，重合）的任意情形，四边形的面积为定值． 证明如下： ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：顺次连接点，，，，所围成的封闭图形的面积仍为24． 证明：如图，当线段与的延长线垂直相交时， ， ，， ， ， ， ， ； 如图，当线段与的延长线垂直相交时， ， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，当线段与（或）的延长线垂直相交时，顺次连接点所围成的封闭图形的面积是． 【拓展训练一 正方形折叠问题】 【例1】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）将一张正方形纸片如图所示的方式折叠，为折痕，点折叠后的对应点分别为，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折的性质可知，；由此可得：得出，再通过角的和差关系即可求出的值； 【详解】解：∵四边形为正方向 ∴ 由翻折的性质可知：，； ∴ 即： 解得： ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、图形的翻折；熟练运用翻折的性质建立角之间的数量关系是解题的关键． 【例2】（2025·江苏扬州·一模）如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个大的正方形，他判定的方法是 ． 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【详解】根据翻折变换及正方形的判定方法进行分析即可得其判定方法是：有一组邻边相等的矩形是正方形． 故答案为有一组邻边相等的矩形是正方形. 1．（2024八年级下·广东·专题练习）综合与实践 主题：特殊平行四边形的折叠． 素材：一张正方形纸片． 步骤1：将如图1所示的正方形纸片沿折叠（折痕经过顶点）得到图2； 步骤2：将点折叠到点，得到图3，展开得到，两条折痕，如图4所示． 猜想与证明： (1)请直接写出，的数量与位置关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）答案看详解； （2）由折叠可知，过点作于，再证明，最后利用全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）解：； （2）证明：由折叠可知， 过点作于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质．解题关键是正确寻找全等三角形． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期中）在生活和学习中，经常使用到各种尺寸的打印纸，其中应用尺寸最为广泛的是A号纸．A号纸是一批大小不一但形状相同的纸张，它后面携带的数字可以理解为纸对折的次数（这里的对折指的是将长边对折，短边重合）．即：纸对折1次所得的纸张就是纸，纸对折1次（也就是纸对折2次）所得的纸张就是纸，纸实际上就是纸第4次对折的纸张大小．有图是一些A号纸的长宽数据： (1)根据以上材料，猜测A号纸的长宽之比可能是：______；A．  B．（填选项） (2)证明（1）中猜想的正确性． (3)现有一长条矩形纸片未裁剪，需确认裁切线的位置，使得裁切后的纸张符合A号纸的长宽之比，请用折纸的方法确认裁切点N的位置，在图中画出折叠示意图并简要说明折叠方法． 【答案】(1)A (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据题意猜测求解即可； （2）设原来纸的长为，宽为，则对折后的纸的长为，宽为，根据题意列出方程求解即可； （3）将沿着折叠使得B点与D点重合，将沿着折叠使得点与点重合，将沿着折叠使与重合，C点对应点为N，将沿着折叠使得与重合，D点对应点为M，即为所求裁剪线． 【详解】（1）解：根据以上材料，猜测A号纸的长宽之比可能是：， 故选：A； （2）解：设原来纸的长为，宽为，则对折后的纸的长为，宽为， 纸和纸的长宽比例是相等的， ， 解得， ∴A号纸的长宽之比是 （3）解：如图所示，将沿着折叠使得B点与D点重合，将沿着折叠使得点与点重合，将沿着折叠使与重合，C点对应点为N，将沿着折叠使得与重合，D点对应点为M，即为所求裁剪线． 由作图可得，四边形为正方形 ∴， 由折叠的性质得，， ∴． 【点睛】本题考查矩形与折叠问题，正方形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图①，在矩形纸片中，，． 【实践操作】 第一步：如图②，将图①中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，然后把纸片展平； 第二步：如图③，将图②中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去； 第三步：如图④，将图③中的矩形纸片沿折叠，得到，延长与交于点N，与交于点M． 【问题解决】 (1)在图②中证明四边形是正方形； (2)请在图④中判断与的数量关系，并加以证明； (3)请在图④中求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，熟知矩形与折叠的性质，正方形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质和折叠的性质可得，，据此可证明结论； （2）连接，只需要证明即可得到； （3）设，则，由折叠的性质可得，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）解；，证明如下： 如图所示，连接， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴ ， ∴； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【拓展训练二 正方形最值问题】 【例1】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）在同一平面内，如果两个多边形（含内部）有除边界以外的公共点；则称两多边形有“公共部分”．如图，若正方形由9个边长为1的小正方形镶嵌而成，另有一个边长为1的正方形与这9个小正方形中的m个有“公共部分”，则m的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，根据正方形的对角线是边长的倍，确定镶嵌中的两个顶点在小正方形的内部时m值最大是解题的关键，作出图形更形象直观． 根据公共部分的定义，让小正方形的对角线与9个小正方镶嵌的图形中的边上，且使两个顶点在小正方形内部即可得到m的最大值． 【详解】解：如图所示，小正方形与9个小正方形有“公共部分”是的m的值最大，为6． 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·山东青岛·单元测试）如图，正方形的边长为，点为上任意一点（可以与点或重合），分别过，，作射线的垂线，垂足分别是，，，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 【分析】连接AC，DP，根据正方形的性质可得出AB=CD，S正方形ABCD=1，由三角形的面积公式即可得出，结合AP的取值范围即可得出BB′+CC′+DD′的范围，将其最大值与最小值相加即可得出结论． 【详解】连接AC,DP,如图所示． ∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1， ∴AB=CD,S正方形ABCD=1， ∵S△ADP=S正方形ABCD=,S△ABP+S△ACP=S△ABC=S正方形ABCD=， ∴S△ADP+S△ABP+S△ACP=1， ∴AP⋅BB′+AP⋅CC′+AP⋅DD′=AP⋅(BB′+CC′+DD′)=1， 则 ， ∵ ∴当P与B重合时,有最大值2;当P与C重合时,有最小值. ∴ ∴BB′+CC′+DD′的最大值与最小值的和为,. 故答案为 【点睛】考查了正方形的性质以及三角形的面积，根据正方形的性质结合三角形的面积公式得到是解题的关键. 1．（2024八年级·全国·模拟预测）如图，的边，分别以为边向外作正方形，求图中三个阴影部分的面积之和的最大值． 【答案】18 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，把绕点C顺时针旋转得到，然后判断出A、C、三点共线，再根据等底等高的三角形的面积相等可得，即，同理可得，，从而得到阴影部分的面积的和，再根据三角形的面积公式，当时，面积最大列式计算即可得解． 【详解】解：如图，把绕点C顺时针旋转得到， ∵四边形是正方形， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， 同理可得，， ∴阴影部分的面积的和， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为， ∴三个阴影部分的面积之和的最大值为． 故答案为：18． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·月考）综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究． 【问题情境】如图①，在矩形中，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线与点． 【猜想证明】 （1）当时，请判断四边形的形状，并证明你的结论． （2）在【问题情境】的条件下，存在，使点三点共线，在图②中补全图形，并求出此时线段的长度． 【能力提升】 （3）在旋转过程中，线段的最小值为__________．（直接写出答案） 【答案】（1）正方形；证明见解析；（2）补全图形见解析；或； （3） 【分析】（1）根据矩形的性质和旋转的性质可得，，即可判定四边形的形状； （2）有两种情况，分别补全图形即可；由证明，得，由勾股定理求出，即可求解． （3）连接，由，当A、E、C三点共线时，取得最小值，由勾股定理求出即可求得最小值． 【详解】解：（1）四边形是正方形； 证明如下： ∵四边形是矩形， ∴； 当时，由旋转性质知：，； ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； ∵， ∴四边形是正方形； （2）当旋转角小于直角时，补全图形如图所示； ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 当旋转角大于直角则小于平角时，补全图形如图所示； 同理，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 综上，或； （3）如图，连接， ∵， ∴当A、E、C三点共线时，取得最小值，最小值为； 由勾股定理， ∴最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、正方形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 3．（24-25八年级下·山东济南·月考）【观察发现】：（1）如图1，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，且点E在边AB上，连接DE和BG，猜想线段DE与BG的数量关系和位置关系．（只要求写出结论，不必说出理由） 【深入探究】：（2）如图2，将图1中正方形AEFG绕点A逆时针旋转一定的角度，其他条件与观察发现中的条件相同，观察发现中的结论是否还成立？请根据图2加以说明． 【拓展应用】：（3）如图3，直线l上有两个动点A、B，直线l外有一点动点Q，连接QA，QB，以线段AB为边在l的另一侧作正方形ABCD，连接QD．随着动点A、B的移动，线段QD的长也会发生变化，若QA，QB长分别为3，6保持不变，在变化过程中，线段QD的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）DE=BG，DE⊥BG；理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）QD存在最大值为12. 【分析】观察发现：（1）根据正方形的性质，由SAS证明△BAG≌△DAE，得出DE=BG，∠ABG=∠ADE，再由角的互余关系证出DE⊥BG即可； 深入探究：（2）同（1）证明△BAG≌△DAE，从而证明结论； 拓展应用：（3）以OA为边作正方形QAGF，连接QG、BG，则QG=OA=6，当G、Q、B三点共线时，BG最长，此时BG=QG+QB=12，从而得出答案． 【详解】（1）DE=BG，DE⊥BG；理由如下： 延长DE交BG于H，如图1所示： ∵四边形ABCD、四边形AEFG都是正方形， ∴AB=AD，AG=AE，∠EAD=∠BAG=90°， 在△BAG与△DAE中， ， ∴△BAG≌△DAE（SAS）， ∴DE=BG，∠ABG=∠ADE， ∵∠AGB+∠ABG=90°， ∴∠AGB+∠ADE=90°， ∴∠DHG=90°， ∴DE⊥BG； （2）（1）中的结论成立，即DE=BG，DE⊥BG； 理由如下：如图2所示， ∵四边形ABCD、四边形AEFG都是正方形， ∴BA=AD，AG=AE，∠BAD=∠EAG=90°， ∴∠BAD+∠BAE=∠EAG+∠BAE， 即∠BAG=∠DAE， 在△BAG与△DAE中， ， ∴△BAG≌△DAE（SAS）， ∴DE=BG，∠ABG=∠ADE ∵∠AMD+∠ADE=90°，∠AMD=∠BME， ∴∠BME+∠ABG=90°， ∴∠DNB=90°， ∴DE⊥BG； （3）QD存在最大值；理由如下： 以QA为边作正方形QAGF，连接QG、BG，如图3所示： 则QG=QA=6， 由（2）可得：QD=BG， 当G、Q、B三点共线时，BG最长， 此时BG=QG+QB=6+6=12， 即线段QD长的最大值为12． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角的互余关系、对顶角相等、三点共线等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键． 【拓展训练三 正方形旋转问题】 【例1】（2025·浙江·一模）如图，正方形ABCD的边长为3厘米，正方形AEFG的边长为1厘米．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C，F两点之间的距离的最大值为(   ) A．cm B．3cm C．cm D．4cm 【答案】A 【分析】当C、F的距离最大时，C、A、F三点在同一条直线上，即CF的最大值为两个正方形对角线的和，由此得解． 【详解】由图知：当F、A、C三点共线时，CF的值最大，且最大值为两个正方形的对角线的和； 那么CFmax＝ 故选A． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确的判断出CF最大时F点的位置是解答此题的关键． 【例2】（24-25八年级下·河北承德·期末）如图①，在平面上，边长为2的正方形和短边长为1的矩形对称中心重合． （1）当正方形和矩形都水平放置时，重叠部分面积为 ． （2）当正方形不动，矩形绕着对称中心旋转，从图②到图③的过程中，重叠部分面积的大小 ．（选择填写“不变”或“改变”） （3）甲、乙两位同学分别给出了两个图形不同的重叠方式： 甲：如图④，矩形绕着几何中心继续旋转，矩形的两条长边与正方形的对角线平行； 乙：如图⑤，将图④中的矩形向左上方平移，使矩形的一条长边恰好经过正方形的对角线； 在甲、乙两位同学给出的重叠方式中重叠部分面积小的是 ．（选择填写“甲”或“乙”） 【答案】 2 改变 乙 【分析】（1）根据长方形的面积公式求解即可． （2）重叠部分是平行四边形，高不变，底变大，由此可得结论． （3）分别求出图④，图⑤中，重叠部分的面积，可得结论． 【详解】解：（1）如图1中，重叠部分的面积＝1×2＝2， 故答案为：2． （2）从图②到图③的过程中，重叠部分面积的从小变大， 故答案为：改变． （3）如图，由正方形的性质和旋转的性质可知 ， ∴ ∴ 图④中，重叠部分的面积＝ 同理：图⑤中，重叠部分面积＝ ∵ ∴图④中，重叠部分的面积小， 故答案为：乙． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，矩形的面积公式，平行四边形的面积公式，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 1．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，边长为4的正方形ABCD中，点E在AD上，△ABE逆时针旋转一定角度后得到△ADF，延长BE交DF于点G，若AE＝3． （1）指出旋转中心和旋转角度； （2）求证：BG⊥DF； （3）求线段GE的长． 【答案】（1）90°；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）根据图形和已知的△ABE旋转得到△ADF即可得出答案； （2）由旋转的性质可得∠F＝∠AEB，由余角的性质可得结论； （3）由勾股定理可求BE的长，再由△DGE∽△BAE可求GE的长． 【详解】（1）旋转中心是点A，旋转角度是90°； （2）∵△ADF是由△ABE旋转得到， ∴△ADF≌△ABE， ∴∠F＝∠AEB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝90°， ∴∠AEB+∠ABE＝90°， ∴∠F+∠ABE＝90°， ∴∠FGB＝90°， ∴BG⊥DF； （3）∵正方形ABCD的边长是4， ∴AB＝4， ∴在Rt△ABE中，BE＝＝5， ∵AE=3， ∴DE=AD-AE=1． ∵∠DGE=∠BAE=90°，∠DEG=∠BEA， ∴△DGE∽△BAE， ∴ ∴GE= 【点睛】本题综合考查了正方形的旋转，旋转的性质，勾股定理，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生能根据旋转得出全等三角形，进一步推出角相等，同时考查学生观察图形的能力、猜想的能力． 2．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图1正方形ABCD、OEFG的边长都是4，O是正方形ABCD对角线的交点，交BC于M，OG交CD于N， (1)直接写出四边形OMCN的面积； (2)将图1的正方形OEFG绕点O旋转得到图2，试证明不论旋转到什么位置①；②四边形OMCN的面积保持不变，并求出这个面积． 【答案】(1)4 (2)①证明见解析；② 面积等于4 【分析】（1）先证明四边形为矩形，再求解再证明四边形为正方形，从而可得答案； （2）①连接OB、OC，证明，可得结论；②由①可知，可得四边形OMCN的面积就是的面积，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵正方形ABCD、OEFG的边长都是4， ， ∴四边形为矩形， O是正方形ABCD对角线的交点， 四边形为正方形， （2）①连接OB、OC， ∵O是正方形ABCD对角线的交点 ∴、， ∵，， ∴， ∴ ∴ ②由①可知 ∴四边形OMCN的面积就是的面积 ∵的面积是不变的，等于4 ∴四边形OMCN的面积也保持不变，等于4． 【点睛】本题考查的是正方形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，证明是解本题的关键． 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题 问题情境： 已知正方形中，点是线段的中点，将将正方形绕点顺时针旋转得到正方形（点，，，分别是点，，，的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答． 特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点旋转过程中，顺次连接点，，，得到四边形，求证：四边形是矩形； （2）“善学”小组提出问题：如图2.在旋转过程中，当点落在对角线上时，设与交于点.求证：四边形是正方形． 深入探究： （3）“好问”小组提出问题：如图3.若点是线段的三等分点且，在正方形旋转的过程中当线段经过点时，请直接写出的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【分析】(1)由旋转性质可得 OB=OB′ ，OC=OC′ ，得到四边形BB′CC′是平行四边形，又 BC=B′ C′ ，得到平行四边形BB′CC′是矩形． （2）先由∠C=∠OB′M=∠B′OC=90°，证明四边形 OB′MC 是矩形 ，再由OC=OB′ 得到四边形 OB′MC 是正方形． （3）过D作DN⊥B′C′，证Rt△DNO≌Rt△DCO(HL)，设OC=a，得到OC′=a，DD′=2a，即可求解. 【详解】解：（1）由旋转性质可得，． 点是线段的中点 ， ，． 四边形是平行四边形． 又， 平行四边形是矩形． （2）证明：四边形是正方形， ，． 由旋转可知，， ． 四边形是正方形， 四边形是矩形 ，OC=OC′ ，OB′=OB ， ∴OC=OB′ 矩形是正方形， （3）． 如图，过D作DN⊥B′C′   可知，∠A′=∠B′=∠B′ND=90°，∠D′=∠C′=∠C′ND=90°， ∴四边形DNC′D′为矩形，四边形DNB′A′为矩形， 在Rt△DNO与Rt△DCO中， ∵OD=OD，DN=DC， ∴Rt△DNO≌Rt△DCO(HL) 设OC=a，则OB=2OC=2a， ∴ON=OC=OC′=a ∴BC=OB+OC=3a， DD′=NC′=ON+OC′=2a， ∴=2． 【点睛】本题考查了特殊的四边形，平行四边形，矩形，正方形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握特殊的四边形的性质和判定． A基础训练 1．（24-25九年级上·山西太原·月考）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．四条边相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】D 【分析】根据菱形和正方形的性质逐项进行分析判断即可． 【详解】解：、菱形和正方形的对角线都互相垂直，故本选项不符合题意； 、菱形和正方形的对角线互相平分，故本选项不符合题意； 、菱形和正方形的四条边都相等，故本选项不符合题意； 、菱形的对角线不一定相等，正方形的对角线一定相等，故本选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了菱形和正方形的性质，熟练掌握菱形和正方形的性质是解答本题的关键． 2．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，点E、D、F分别在、、上，，．下列四个判断中，正确的是（   ） A．如果，那么四边形是正方形 B．如果，那么四边形是正方形 C．如果，那么四边形是矩形 D．如果，那么四边形是矩形 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定，熟练掌握平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定是解决问题的关键． 根据，．下得四边形是平行四边形，当，则平行四边形是矩形，无法判定是正方形，由此可对选项，进行判断；当，则平行四边形是菱形，无法判定是正方形或矩形，由此可对选项，进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵，． 四边形是平行四边形， 如果，那么平行四边形是矩形，无法判定是正方形， 故选项A不正确，不符合题意；选项C正确，符合题意； 如果，那么平行四边形是菱形，无法判定是正方形，也无法判定是矩形， 故选项B，D均不正确，不符合题意． 故选：C． 3．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 4．（25-26八年级下·全国·周测）蝶几图即明代时期的七巧板，它是以正方形为模分割为如图所示的图形，其中“闺”为等腰直角三角形，点E，F分别是正方形ABCD中边AD，AB上的中点，点G为EF的中点．若正方形ABCD的边长为8，则“闺”的斜边GF的长为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，边长为8，点，分别是边，的中点， ∴ 在中，由勾股定理得， ∵点是的中点， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·月考）如图正方形，以为斜边作直角三角形，过点B作的垂线交于F，交正方形对角线于G．连结，已知，则的周长是（   ） A．16 B．15 C．17 D．14 【答案】A 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，过点作于点，证明和全等得，则的周长，再证明和全等得，，则四边形为正方形，从而得，则，即的周长，由此可得出答案． 【详解】解：过点作于点，如图： 四边形为正方形，为对角线， ，，， ， ， 的周长， ，，， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ，， 矩形为正方形， ， ， 的周长， ∵， 的周长， 故选：A． B 提高训练 6．（2025·辽宁鞍山·一模）如图中，阴影部分表示的四边形是 ． 【答案】正方形 【分析】本题考查四边形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键； 根据题意可知，阴影部分既要满足矩形的性质，又满足菱形的性质，从而得解； 【详解】解：当矩形的邻边相等时，矩形可称为是正方形；当菱形的邻边互相垂直时，所给菱形可称为正方形； 故正方形即是特殊的矩形，也是特殊的菱形， 所以阴影部分表示的四边形是正方形； 故答案为：正方形 7．（25-26九年级上·天津西青·月考）如图，为正方形内一点，，按顺时针方向旋转角度后成为， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．由正方形的性质得到，由旋转的性质得到，则可得到旋转中心为点B，旋转角度为，可证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵按顺时针方向旋转角度后成为， ∴， ∴旋转中心为点B，旋转角度为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2025·河北·模拟预测）如图，正方形的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在边上的点E处，折痕为．若，则线段的长是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，翻折变换，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据折叠可得， ，，根据勾股定理求出，的长，继而求出，，最后根据在中，由面积法，根据即可求解． 【详解】解：如图， 连接交于M， 连接，，    由折叠可知，， ，， ∵正方形的边长为9， ∴，， 设则 ∵， ∴在中， 即 解得： ∴ ， ， ∴在中， ∵，， ∴，， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·浙江丽水·月考）在矩形内放置正方形甲、正方形乙、等腰直角三角形丙，它们的摆放位置如图所示，已知，图中阴影部分的面积之和为31，则矩形的周长为 ． 【答案】 【分析】设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，结合图形特征及隐含的关系式，用含a，b的代数式表示出有关线段，再利用建立方程，得到a=，再统一用b表示出各个部分的面积，运用阴影部分的面积之和为31建立方程解得b的值，从而求得矩形的周长． 【详解】 解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，则HB=HG=AF=a，GM=MN=b， 如图过点G作GF⊥AD，则为等腰直角三角形 ∴FG=FM=AH=GM=b，MD=MN=b， ∴AB=BH+AH=a+b，BC=AD=AF+FM+MD=a+b+b=a+b， ∵AB:BC=5:9， ∴( a+b) ：(a+b)=5 ：9， 解得：a=， ∴CD=AB= a+b=+b=，BC= ∴，，， ∵， 而 =， ， ∵=31， ∴=16 ∴b=4 ∴矩形的周长为2(AB+BC)=2()= 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式及方程的思想，解题的关键是根据图形的特征，用代数式正确的表示出各个部分的线段及相应的面积.属于中考常常考查的能力题． 10．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时， 【答案】或 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是解题的关键．分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或， 故答案为：或． C 培优训练 11．（24-25八年级下·云南昭通·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点，分别作，的平行线，两线相交于点．当，满足什么关系时，四边形是正方形，请说明理由．    【答案】，见解析 【分析】根据矩形的性质得出，根据正方形的判定定理需要，则，进而证明四边形是正方形． 【详解】解：当时，四边形是正方形 理由是：∵四边形是矩形 ∴， 又∵，，∴ 又∵， ∴；即． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形． 又∵， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判定定理，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 12．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在正方形中，点E在边上，点F在边上，且，连接交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据正方形的性质得出相等的边和角，然后利用证明三角形的全等即可； （2）根据全等三角形得出相等的角，然后利用直角三角形的性质得出，根据两个角相等的三角形相似即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 13．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，矩形中，，．一动点P从B点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒．过点P作于点E，连接，． (1)求证：； (2)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)或，理由见解析 【分析】本题考查动点问题及矩形的性质，找到动点运动的规律和路线、速度、以及是否停止和有无取值范围是解题的关键． （1）由垂直得，在中，，由，可得，即可证明结果； （2）分类讨论：①当，②当，③当即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①当时， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴，即； ②当时，， 在中，， ∴， ∵， ∴，即． ③当时，此种情况不存在， 综上所述，当或时，为直角三角形． 14．（24-25八年级下·福建厦门·期中）按照国际标准，A系列纸为矩形纸．如图①，将纸沿长边对开便成了两张纸，将纸沿长边对开便成了两张纸；……，将纸沿长边对开便成了两张纸……．将一张纸按如图②所示的方式进行折叠：第一步：将边折叠到边上，折痕为，点B落在点处．第二步：再将折叠到边上，折痕为，此时与恰好重合，点C落在点处． (1)求纸的长宽之比； (2)利用图②，求证：是等腰直角三角形； (3)按照国际标准，纸的长宽之比是 _______．（填空） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据折叠的性质可知四边形为正方形，，再结合勾股定理即可求出，即纸的长宽之比为； （2）由折叠可知，．根据正方形的性质可求出，从而可求出，进而可求出，即可证是等腰直角三角形； （3）由将纸沿长边对开便成了两张纸，得出的宽为纸的长，纸的宽为长的一半，再结合纸的长宽之比为，即得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ∴． 第二次折叠，得出， ∴，即纸的长宽之比为； （2）证明：由第二次折叠可知，． 由（1）可知四边形为正方形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：∵将纸沿长边对开便成了两张纸， ∴的宽为纸的长，纸的宽为长的一半．　 ∵纸的长宽之比为， ∴纸的长宽之比为． 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的性质是解题关键． 15．（24-25八年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】 如图是华师版八年级下册数学教材18.1.1平行四边形的性质章节中的部分内容． 探究如图，在中，连接，，并设它们相交于点O，与，与有什么关系？ （1）如图①，在中，与数量关系为______，与数量关系为______； 【性质应用】 （2）如图②，的对角线，相交于点O，过点O且与，分别相交于点E、F，连接． ①求证：四边形是平行四边形． ②若，，周长是18，，则的长是______． 【答案】（1），；（2）①见解析；② 【分析】本题考查了平行四边形的判定，正方形的判定定理和性质定理，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质即可求解； （2）①即可求证； ②先证明四边形是正方形，得，最后由勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， 故答案为：； （2）①证明：在中， ∵， ， 在和中， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形； ②由①得四边形是平行四边形， ， ∴四边形是正方形， ， ∵周长是 18 ，即， ， ∴，即， 在 中，由勾股定理得：， ， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 正方形的性质与判定重难点题型专训 （5个知识点+10大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 正方形性质理解 题型二 添一个条件使四边形是正方形 题型三 证明四边形是正方形 题型四 根据正方形的性质与判定求角度 题型五 根据正方形的性质与判定求线段长 题型六 根据正方形的性质与判定证明 题型七 根据正方形的性质与判定求面积 题型八 （特殊）平行四边形的动点问题 题型九 四边形中的线段最值问题 题型十 四边形其他综合问题 拓展训练一 正方形折叠问题 拓展训练二 正方形最值问题 拓展训练三 正方形旋转问题 知识点一：正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·山东枣庄·期中）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形，则下列四边形中是垂等四边形的是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）有一组 相等，并且有一个角是 的平行四边形叫做正方形． 正方形的 个角都是直角，四条边都 ． 正方形的对角线 ，并且 ，每条对角线平分一组 ． 正方形既是 对称图形，又是 对称图形，有 条对称轴． 有一组邻边相等的 是正方形． 有一个角是直角的 是正方形． 知识点二：正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·贵州毕节·月考）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．四个角都是直角 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．四条边相等 2．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学科代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形教具边长为，，则四边形的面积为 ． 知识点三：正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列条件可以利用定义说明平行四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D．以上都对 2．（24-25九年级上·河北·期末）对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是 ． 知识点四：特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 【即时训练】 1．（24-25八年级下·浙江金华·期末）小明在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线垂直 C．对角线与一边夹角为 D．对角线相等 2．（24-25九年级上·山西太原·期中）我们知道，在图形从一般向特殊变化的过程中，它的组成元索及相关元素之间的关系也越来越特殊.下面是小颖从“对角线”的角度对平行四边形矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是    知识点五：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知四边形的对角线相等，顺次连接四边形的四条边中点，得到的新四边形的形状是（    ）． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2．（24-25九年级上·广东梅州·月考）中点四边形的形状． （1）以四边形各边的中点为顶点可以组成一个 ． （2）以菱形各边的中点为顶点可以组成一个 ． （3）以矩形各边的中点为顶点可以组成一个 ． （4）以平行四边形各边的中点为顶点可以组成一个 ． （5）以正方形各边的中点为顶点可以组成一个 ． 【经典例题一 正方形性质理解】 【例1】（24-25八年级下·广西防城港·期中）正方形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．每一条对角线平分一组对角 C．对角线相等 D．对边相等 【例2】（24-25八年级下·浙江·月考）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作……若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶正边矩形．如图所示，矩形ABCD中，若AB＝2，BC＝6，则称矩形ABCD为2阶正边矩形．已知矩形MNPO的一组邻边长分别为20和a，且它是3阶正边矩形，a＜20，则a的值为 ． 1．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图点为正方形对角线的交点，则将绕点旋转得到，则这种旋转方式是（ ） A．顺时针旋转 B．顺时针旋转 C．逆时针旋转 D．逆时针旋转 2．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，设、、、的面积分别为、、、，以下四个判断：①当时，B、P、D三点共线；②存在唯一一点P，使；③不存在到矩形ABCD四条边距离都相等的点P；④若，则；其中正确的是 （写出所有正确结论的序号） 3．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）有一张的正方形纸片．把这张纸片按图1所示剪开，把剪出的四个小块按图2所示重新拼合． (1)你认为剪开后拼成的图2是一个长方形纸片吗？请回答“是”或“不是”； (2)如果图2是一个长方形纸片，请说明理由；如果图2不是一个长方形纸片，也请说明理由． 【经典例题二 添一个条件使四边形是正方形】 【例1】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，请添加一个条件： ，使四边形是正方形。    1．（24-25九年级上·广东佛山·月考）如图在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（   ）      A． B． C． D．E为的中点 2．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图，已知四边形是菱形，、交于点，请你添加一个条件，使菱形成为正方形.你添加的条件是 . 3．（2025·江西·模拟预测）如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． (1)求证：四边形为矩形； (2)当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 【经典例题三 证明四边形是正方形】 【例1】（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，已知四边形的对角线相交于，则下列条件能判断它是正方形的是（   ）      A．，，， B．， C．， D．，，， 【例2】（2025·河南郑州·一模）按如图所示，将一张矩形纸对折两次，然后剪下一个角保证剪口线与折痕夹角的角度为，将这个剪下的角打开，得到的图形是 ．如果剪口线与折痕夹角的角度不为，得到的图形是 ． 1．（2024·上海奉贤·二模）如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，下列条件能判断四边形是正方形的是（    ）    A．且 B．且 C．且 D．且 2．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在矩形中，平分交于点，，，则 ． 3．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，在中，对角线、相交于点，是等腰三角形，当满足什么条件时？四边形为正方形，并说明理由． 【经典例题四 根据正方形的性质与判定求角度】 【例1】（24-25八年级下·北京·期中）将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·湖北武汉·自主招生）如图，长方形纸片，以点A所在直线为折痕折叠，使点落在边上，折痕与边交于，将纸片展开，再一次折叠，以点所在直线为折痕，使点A落在边上，折痕与边交于，则 ．    1．（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 2．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若AB=AD，求∠ADE的度数． 3．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）如图，用四个完全相同的矩形拼成了一个大正方形，AB是其中一个小矩形的对角线，请在大正方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画图痕迹． (1)在图中画出一个以AB为边的正方形； (2)在图中画出一个以点A或点B为顶点，AB为一边的45°角，并说明理由． 【经典例题五 根据正方形的性质与判定求线段长】 【例1】（2025·浙江温州·二模）如图，四边形是一张正方形纸片，其面积为．分别在边，，，上顺次截取，连接，，，．分别以，，，为轴将纸片向内翻折，得到四边形．若四边形的面积为，则等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例2】（2025·江苏盐城·一模）如图，在矩形中，，，沿着过矩形顶点的一条直线将折叠，使点的对应点落在矩形的边上，则折痕的长为 ． 1．（2025·天津河西·一模）如图，，将绕点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E，延长交于F，连接．下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州黔南·一模）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．则的最小值为 ． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【经典例题六 根据正方形的性质与判定证明】 【例1】（2024·北京平谷·一模）如图，正方形中，点、、、分别为、、、边上的点，点、、为对角线上的点，四边形和四边形均为正方形，它们的面积分别表示为和， 给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．② B．①③ C．②③ D．①②③ 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，，，， ． 1．（24-25八年级下·四川巴中·期末）如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到． 延长交于点F，交于点H，连接． 下列结论：①，②四边形是正方形；③；④若，则，其中正确的结论是（    ）    A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 2．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，以边长为2的正方形的四边中点为顶点作第一个四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为 ；所作的第n个四边形的周长为 ． 3．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）已知，正方形的边在正方形的边上，延长到，使，在边上，且，求证：四边形为正方形． 【经典例题七 根据正方形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形中，在各边上截，连接交于点P，四边形的面积是4，四边形的面积是36，则原来的正方形的面积是（    ） A．64 B．50 C．49 D．56 【例2】（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是 ． 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图所示，在四边形中，于H，，则四边形的面积是（    ） A．15 B．20 C．25 D．无法确定 2．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）图（1）是一张矩形纸片，将其依次按图（2）、图（3）的方式折叠，AE与AD恰好重合． （1）如图（3），折痕AM与EF交于点G，则∠AGD＝ ． （2）若DFG的面积为S，则矩形ABCD的面积为 ． 3．（24-25八年级下·江西南昌·期末）如图，在正方形中，点为边上的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，画出一个以为顶点的矩形，使得它的长宽不相等，且面积等于正方形面积的一半； (2)在图2中，画出一个以为顶点的正方形，使得它的面积等于正方形面积的一半． 【经典例题八 （特殊）平行四边形的动点问题】 【例1】（24-25八年级下·福建龙岩·月考）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度沿．向点运动；点从点同时出发，以的速度沿边向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．当为何值时，四边形为平行四边形？（ ）    A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·四川达州·期中）在矩形中，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么 秒后四边形为矩形？ 1．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度沿向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿向终点运动．当四边形为平行四边形时，运动时间为（   ） A．4s B．3s C．2s D．1s 2．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，在长方形中，，．延长到，使，连接．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为．当取某个值时，使得和全等，则满足条件的值是 ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，在四边形中，，，，点从点向点以的速度运动，到点即停止点从点向点以的速度运动，到点即停止直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形，已知，两点同时出发，则几秒后所截得的两个四边形中，有一个为平行四边形 【经典例题九 四边形中的线段最值问题】 【例1】（24-25八年级下·四川泸州·期末）如图，正方形的边长为8，在上，且，是上一动点，则的最小值为(   ) A．6 B．8 C．10 D．12 【例2】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，E、F、G、H分别是正方形边、、、上的点，连接E、F、G、H，若，，则四边形的周长最小值是 ．    1．（24-25八年级上·重庆·月考）如图，在四边形中，，，面积为21，的垂直平分线分别交于点，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为（      ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2025·天津河西·一模）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M、N分别是AB、BC边上的中点，则MP+NP的最小值是 ． 3．（24-25八年级下·广西河池·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿所在直线折叠，得到． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，是边上的动点，是边上的动点，那么的最小值是多少？ 【经典例题十 四边形其他综合问题】 【例1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在学习四边形的过程中，我们引入如下新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四过边形叫做邻等对补四边形，如图，如果我们用一副三角板进行拼接得到的四边形中，是邻等对补四边形的有（　　）个（在拼接过程中，重合的边可以看作长度相等，且两个三角板位于重合边的两侧） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（2025·广东河源·一模）在四边形中，已知，点为的中点，连接和，设的面积为，四边形的面积为，则与的关系为 ． 1．（2025·河南南阳·一模）如图，在矩形片中，边，，将矩形片沿折叠，使点A与点C重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形是菱形；②的长是1.5；③的长为；④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，四边形中，，且，则四边形周长的最小值是 ． 3．（2025八年级下·江苏无锡·模拟预测）已知线段． (1)已知线段垂直于线段．设图1，图2和图3中的四边形的面积分别为和，则__________，__________，__________； (2)如图4，对于线段与线段垂直相交（垂足不与点重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想； (3)当线段与（或）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点所围成的封闭图形的面积是多少？ 【拓展训练一 正方形折叠问题】 【例1】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）将一张正方形纸片如图所示的方式折叠，为折痕，点折叠后的对应点分别为，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·江苏扬州·一模）如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个大的正方形，他判定的方法是 ． 1．（2024八年级下·广东·专题练习）综合与实践 主题：特殊平行四边形的折叠． 素材：一张正方形纸片． 步骤1：将如图1所示的正方形纸片沿折叠（折痕经过顶点）得到图2； 步骤2：将点折叠到点，得到图3，展开得到，两条折痕，如图4所示． 猜想与证明： (1)请直接写出，的数量与位置关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期中）在生活和学习中，经常使用到各种尺寸的打印纸，其中应用尺寸最为广泛的是A号纸．A号纸是一批大小不一但形状相同的纸张，它后面携带的数字可以理解为纸对折的次数（这里的对折指的是将长边对折，短边重合）．即：纸对折1次所得的纸张就是纸，纸对折1次（也就是纸对折2次）所得的纸张就是纸，纸实际上就是纸第4次对折的纸张大小．有图是一些A号纸的长宽数据： (1)根据以上材料，猜测A号纸的长宽之比可能是：______；A．  B．（填选项） (2)证明（1）中猜想的正确性． (3)现有一长条矩形纸片未裁剪，需确认裁切线的位置，使得裁切后的纸张符合A号纸的长宽之比，请用折纸的方法确认裁切点N的位置，在图中画出折叠示意图并简要说明折叠方法． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图①，在矩形纸片中，，． 【实践操作】 第一步：如图②，将图①中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，然后把纸片展平； 第二步：如图③，将图②中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去； 第三步：如图④，将图③中的矩形纸片沿折叠，得到，延长与交于点N，与交于点M． 【问题解决】 (1)在图②中证明四边形是正方形； (2)请在图④中判断与的数量关系，并加以证明； (3)请在图④中求的长度． 【拓展训练二 正方形最值问题】 【例1】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）在同一平面内，如果两个多边形（含内部）有除边界以外的公共点；则称两多边形有“公共部分”．如图，若正方形由9个边长为1的小正方形镶嵌而成，另有一个边长为1的正方形与这9个小正方形中的m个有“公共部分”，则m的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例2】（24-25九年级上·山东青岛·单元测试）如图，正方形的边长为，点为上任意一点（可以与点或重合），分别过，，作射线的垂线，垂足分别是，，，则的最大值与最小值的和为 ． 1．（2024八年级·全国·模拟预测）如图，的边，分别以为边向外作正方形，求图中三个阴影部分的面积之和的最大值． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·月考）综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究． 【问题情境】如图①，在矩形中，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线与点． 【猜想证明】 （1）当时，请判断四边形的形状，并证明你的结论． （2）在【问题情境】的条件下，存在，使点三点共线，在图②中补全图形，并求出此时线段的长度． 【能力提升】 （3）在旋转过程中，线段的最小值为__________．（直接写出答案） 3．（24-25八年级下·山东济南·月考）【观察发现】：（1）如图1，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，且点E在边AB上，连接DE和BG，猜想线段DE与BG的数量关系和位置关系．（只要求写出结论，不必说出理由） 【深入探究】：（2）如图2，将图1中正方形AEFG绕点A逆时针旋转一定的角度，其他条件与观察发现中的条件相同，观察发现中的结论是否还成立？请根据图2加以说明． 【拓展应用】：（3）如图3，直线l上有两个动点A、B，直线l外有一点动点Q，连接QA，QB，以线段AB为边在l的另一侧作正方形ABCD，连接QD．随着动点A、B的移动，线段QD的长也会发生变化，若QA，QB长分别为3，6保持不变，在变化过程中，线段QD的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【拓展训练三 正方形旋转问题】 【例1】（2025·浙江·一模）如图，正方形ABCD的边长为3厘米，正方形AEFG的边长为1厘米．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C，F两点之间的距离的最大值为(   ) A．cm B．3cm C．cm D．4cm 【例2】（24-25八年级下·河北承德·期末）如图①，在平面上，边长为2的正方形和短边长为1的矩形对称中心重合． （1）当正方形和矩形都水平放置时，重叠部分面积为 ． （2）当正方形不动，矩形绕着对称中心旋转，从图②到图③的过程中，重叠部分面积的大小 ．（选择填写“不变”或“改变”） （3）甲、乙两位同学分别给出了两个图形不同的重叠方式： 甲：如图④，矩形绕着几何中心继续旋转，矩形的两条长边与正方形的对角线平行； 乙：如图⑤，将图④中的矩形向左上方平移，使矩形的一条长边恰好经过正方形的对角线； 在甲、乙两位同学给出的重叠方式中重叠部分面积小的是 ．（选择填写“甲”或“乙”） 1．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，边长为4的正方形ABCD中，点E在AD上，△ABE逆时针旋转一定角度后得到△ADF，延长BE交DF于点G，若AE＝3． （1）指出旋转中心和旋转角度； （2）求证：BG⊥DF； （3）求线段GE的长． 2．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图1正方形ABCD、OEFG的边长都是4，O是正方形ABCD对角线的交点，交BC于M，OG交CD于N， (1)直接写出四边形OMCN的面积； (2)将图1的正方形OEFG绕点O旋转得到图2，试证明不论旋转到什么位置①；②四边形OMCN的面积保持不变，并求出这个面积． 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题 问题情境： 已知正方形中，点是线段的中点，将将正方形绕点顺时针旋转得到正方形（点，，，分别是点，，，的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答． 特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点旋转过程中，顺次连接点，，，得到四边形，求证：四边形是矩形； （2）“善学”小组提出问题：如图2.在旋转过程中，当点落在对角线上时，设与交于点.求证：四边形是正方形． 深入探究： （3）“好问”小组提出问题：如图3.若点是线段的三等分点且，在正方形旋转的过程中当线段经过点时，请直接写出的值． A基础训练 1．（24-25九年级上·山西太原·月考）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．四条边相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 2．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，点E、D、F分别在、、上，，．下列四个判断中，正确的是（   ） A．如果，那么四边形是正方形 B．如果，那么四边形是正方形 C．如果，那么四边形是矩形 D．如果，那么四边形是矩形 3．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·周测）蝶几图即明代时期的七巧板，它是以正方形为模分割为如图所示的图形，其中“闺”为等腰直角三角形，点E，F分别是正方形ABCD中边AD，AB上的中点，点G为EF的中点．若正方形ABCD的边长为8，则“闺”的斜边GF的长为（    ） A． B．2 C． D．4 5．（24-25九年级上·浙江杭州·月考）如图正方形，以为斜边作直角三角形，过点B作的垂线交于F，交正方形对角线于G．连结，已知，则的周长是（   ） A．16 B．15 C．17 D．14 B 提高训练 6．（2025·辽宁鞍山·一模）如图中，阴影部分表示的四边形是 ． 7．（25-26九年级上·天津西青·月考）如图，为正方形内一点，，按顺时针方向旋转角度后成为， ． 8．（2025·河北·模拟预测）如图，正方形的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在边上的点E处，折痕为．若，则线段的长是 ．    9．（24-25八年级下·浙江丽水·月考）在矩形内放置正方形甲、正方形乙、等腰直角三角形丙，它们的摆放位置如图所示，已知，图中阴影部分的面积之和为31，则矩形的周长为 ． 10．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时， C 培优训练 11．（24-25八年级下·云南昭通·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点，分别作，的平行线，两线相交于点．当，满足什么关系时，四边形是正方形，请说明理由．    12．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在正方形中，点E在边上，点F在边上，且，连接交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 13．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，矩形中，，．一动点P从B点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒．过点P作于点E，连接，． (1)求证：； (2)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 14．（24-25八年级下·福建厦门·期中）按照国际标准，A系列纸为矩形纸．如图①，将纸沿长边对开便成了两张纸，将纸沿长边对开便成了两张纸；……，将纸沿长边对开便成了两张纸……．将一张纸按如图②所示的方式进行折叠：第一步：将边折叠到边上，折痕为，点B落在点处．第二步：再将折叠到边上，折痕为，此时与恰好重合，点C落在点处． (1)求纸的长宽之比； (2)利用图②，求证：是等腰直角三角形； (3)按照国际标准，纸的长宽之比是 _______．（填空） 15．（24-25八年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】 如图是华师版八年级下册数学教材18.1.1平行四边形的性质章节中的部分内容． 探究如图，在中，连接，，并设它们相交于点O，与，与有什么关系？ （1）如图①，在中，与数量关系为______，与数量关系为______； 【性质应用】 （2）如图②，的对角线，相交于点O，过点O且与，分别相交于点E、F，连接． ①求证：四边形是平行四边形． ②若，，周长是18，，则的长是______． 学科网（北京）股份有限公司 $