专题06 机械能守恒定律　功能关系　能量守恒定律（3大核心考点，举一反三复习讲义）（全国通用）2026年高考物理二轮复习

专题06 机械能守恒定律　功能关系　能量守恒定律 第一部分 思维导图 第二部分 核心考点精讲 【考点01】 机械能守恒定律及其应用 【考点02】 功能关系及其应用 【考点03】 能量守恒定律及其应用 第三部分 题海精炼 考点01 机械能守恒定律及其应用 1．判断物体或系统机械能是否守恒的三种方法 (1)做功判断法：只有重力和系统内弹力做功时，系统机械能守恒。 (2)能量转化判断法：没有机械能以外的其他形式的能与机械能转化时，系统机械能守恒。 (3)定义判断法：看动能与重力(或弹性)势能之和是否变化。 2．利用机械能守恒定律的解题步骤 3．利用机械能守恒定律列方程的三种表达形式 4．系统机械能守恒问题中三类常见的连接体 速率相等的连接体 两物体在运动过程中速率相等，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解 角速度相等的连接体 两球在运动过程中角速度相等，线速度大小与半径成正比，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解 某一方向分速度相等的连接体 A放在光滑斜面上，B穿过竖直光滑杆PQ下滑，将B的速度沿绳的方向和垂直于绳的方向分解，如图所示，其中沿绳子方向的速度vx与A的速度大小相等，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解 5.含弹簧的物体系统机械能守恒分析注意 (1)含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体机械能不守恒。 (2)同一根弹簧弹性势能大小取决于弹簧形变量的大小，在弹簧弹性限度内，形变量相等，弹性势能相等。 (3)由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小(为零)。 6．易错易混点 (1)含弹簧的物体系统机械能守恒时，分析系统机械能变化时没有考虑到弹簧，将弹簧遗漏。 (2)绳子突然绷紧、非弹性碰撞、有摩擦力或电(磁)场力做功等情况，机械能一般不守恒。 (3)分析关联物体机械能守恒时，应注意寻找用绳或杆连接的物体间的速度关系和位移关系。 【典例1】 （2026·广东惠州·二模）如图所示，在第十五届全国运动会开幕式上，机器人手握相同锤子的锤柄，通过对青铜句鑃（gōu  diào）的不同位置进行轻重缓急的敲击，演奏了《彩云追月》。每次敲击完成后，机器人手会迅速将锤子归位，使锤柄竖直静止，然后开始下一次敲击。下列说法正确的是（　　） A．每一次敲击过程中，锤子的机械能守恒 B．每次与青铜句鑃作用前后，锤子的动量相同 C．每次锤柄竖直时，锤柄受到机器人手的摩擦力相同 D．敲击时，锤子对青铜句鑃的作用力大于青铜句鑃对锤子的作用力 【变式1-1】（2025·江苏·二模）如图所示，一质量为的物块穿在光滑水平杆上，一长度为的轻杆，一端固定着质量为的小球，另一端连接着固定在物块上的铰链。忽略铰链转动的摩擦，重力加速度为。 (1)将固定，对小球施加一水平向左的外力使杆与竖直方向的夹角为保持静止，求外力的大小； (2)若物块在水平外力作用下向右加速，杆与竖直方向夹角始终为，求外力的大小； (3)若开始时，小球位于铰链的正上方，系统处于静止状态，受到扰动后，杆开始转动，已知，，求从初始位置转到如图位置过程中，杆对小球所做的功。 【变式1-2】（多选）（2026·湖南常德·一模）如图所示，物块A、B通过一轻弹簧相连，竖直放置在水平地面上，B通过一根跨过定滑轮的轻绳与固定在轻杆一端的小球相连，轻杆另一端固定在O点，O点与定滑轮等高。初始时轻杆沿水平方向，轻绳恰好伸直且无张力，图中水平部分绳长，轻杆长。现将小球由静止释放，当小球运动到最低点时，物块A恰好离开地面。已知A、B和小球均可视为质点，A、B质量均为，小球质量为，运动过程中弹簧始终在弹性限度内，物块B没有碰到定滑轮，重力加速度，忽略一切阻力。以下说法正确的是（　　） A．运动过程中A、B和小球组成的系统机械能守恒 B．轻弹簧劲度系数 C．小球运动到最低点时的速度大小为 D．当小球下落高度为时物块B和小球的速度大小相等 【变式1-3】【新角度】（2026·贵州六盘水·二模）如图甲所示，一根质量分布均匀的软绳，绳长不可变，将其伸直后，放置于距地面高的水平桌面上，开始时右端伸出桌面边缘的长度为，由静止释放后从桌面边缘滑下，桌面边缘为长度可忽略的四分之一圆弧。重力加速度为。 (1)若不计桌面摩擦力，求绳子下端着地时绳子的速度； (2)绳子的加速度与桌面下方绳长的关系如图乙所示，图像段斜率为。求绳子与桌面间动摩擦因数。 考点02 功能关系及其应用 1.常见的功能关系 2.功能关系的应用 (1)根据功能关系可以由功求对应的能量变化，也可以根据能量变化求对应力做的功，进而求解其他相关量。 (2)动能定理是最常用的功能关系。 (3)单独应用功能关系的情况较少，在很多问题中，功能关系经常与动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律结合应用。 【典例2】（2026·安徽黄山·一模）如图所示，倾角的固定光滑斜面上放着相同的两物块P、Q，质量均为，两物块紧靠但不粘连，轻弹簧一端与Q相连。另一端与固定挡板相连，整个系统处于静止状态。0时刻对P施加一沿斜面向上的恒力，使P、Q沿斜面向上做加速运动，时刻P、Q恰好分离。弹簧的劲度系数，弹性势能的表达式，x为弹簧的形变量，重力加速度，则（　　） A．0时刻P的加速度大小为 B．时刻弹簧的弹力大小为 C．时间内弹簧的弹性势能减少了 D．时间内P的机械能增加了 【变式2-1】 （2026·安徽芜湖·一模）一个质量为m的小球（视为质点）从空中某一高度的P点以大小为的初速度竖直向上抛出，已知小球在空中受到水平向右的恒定风力，运动轨迹如图所示，忽略小球受到的空气阻力。已知小球在空中运动的最高点到抛出点的竖直距离与水平距离相等，小球下落经过了与P点相同高度的Q点，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．小球受到的恒定风力大小为 B．小球经过最高点时机械能最小 C．小球经过最高点时恒定风力的瞬时功率大小为 D．小球从P点到Q点过程中机械能增加量为 【变式2-2】（多选）（2025·广东深圳·一模）如图所示，光滑水平面OB与足够长粗糙斜面BC交于B点。轻弹簧左端固定于竖直墙面，现将质量为m1的滑块压缩弹簧至D点，然后由静止释放，滑块脱离弹簧后经B点滑上斜面，上升到最大高度，并静止在斜面上。不计滑块在B点的机械能损失；换用相同材料质量为m2的滑块（m2＞m1）压缩弹簧至同一点D后，重复上述过程，则两滑块（　　） A．到达B点的速度相同 B．沿斜面上升的最大高度相同 C．上升到最高点过程克服重力做的功相同 D．上升到最高点过程机械能损失相同 【变式2-3】【新考法】（2026·重庆沙坪坝·一模）如图所示，粗糙绝缘斜面底端点固定一个带电荷量为的负点电荷，现有一个带电荷量为的负电小滑块，从斜面上点静止释放后，先沿斜面往上运动再返回，则小滑块（    ） A．上升过程中加速度先增大后减小 B．上升过程中电势能一直增大 C．下降过程中机械能可能增大 D．返回时的最低点位置一定在点上方 考点03 能量守恒定律的综合应用 1．含摩擦生热、焦耳热、电势能等多种形式能量转化的系统，优先选用能量守恒定律。 2．应用能量守恒定律解题的两条基本思路 (1)某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量和增加量一定相等，即ΔE减＝ΔE增。 (2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等，即ΔEA减＝ΔEB增。 3．当涉及摩擦力做功时，注意摩擦产生的热量Q＝Ffx相对，x相对为相对滑动的两物体间相对滑动路径的总长度。 【典例3】（2025·四川·一模）某种“Y”形弹弓配备四根完全相同的皮筋，皮筋和弹兜质量均远小于弹丸质量。如图（a）所示，当弹弓左右各系一根皮筋，将皮筋拉伸一定长度后释放，弹丸水平射出并恰好打在竖直靶面上的e点，已知靶上，如图（b）所示。若弹弓左右各系两根皮筋，拉伸相同长度后将弹丸从同一位置水平射出，则弹丸在靶上的落点为（　　） A．b点 B．bc间某点 C．c点 D．cd间某点 【变式3-1】（多选）（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）2025年11月29日，内蒙古自治区首次迎来全国性滑板赛事。某条赛道竖直截面简化设计如图所示，其中是倾角为的斜面，凹圆弧和凸圆弧的半径均为，且、和、分别等高，整个路面无摩擦且各段之间平滑连接。用质量为的小球代替滑板，将小球从斜面上不同的高度由静止释放。，。在小球的运动过程中（　　） A．小球可能在某一位置处于完全失重状态 B．若，小球一定能沿轨道运动到点 C．若小球能沿轨道运动到点，则不能大于0.2R D．若小球能沿轨道运动到点，则小球经过、两点时对轨道的压力大小之和与的大小无关 【变式3-2】【新角度】（2025·湖南衡阳·模拟预测）“水往低处流”是一种自然现象，同一滴水在水面的不同位置具有相同的重力势能，即水面是等势面。通常稳定状态下的水面为水平面，但将一桶水绕竖直固定中心轴以恒定的角速度ω转动，稳定时水面呈凹状，如图所示。这一现象依然可用势能来解释：以桶为参考系，桶中的水还多受到一个“力”，同时水还将具有一个与该“力”对应的“势能”。为便于研究，在过桶竖直轴线的平面上，以水面最低处为坐标原点O、以竖直向上为y轴正方向、以水平向右为x轴正方向建立xOy直角坐标系，质量为m的小水滴（可视为质点）在这个坐标系下，因该“力”具有的“势能”可表示为。该“势能”与小水滴的重力势能之和为其总势能，水会向总势能更低的地方流动，稳定时水面上相同质量的水将具有相同的总势能。下列说法正确的是（　　） A．若增大桶转动的角速度ω，则稳定时，凹液面的最低点位置应下降 B．稳定转动时桶中水面的纵截面为双曲线的一部分 C．小水滴距离y轴越远，该“势能”越小 D．与该“势能”对应的“力”的大小随x的增加而减小 【变式3-3】（2026·四川广安·一模）如图，水平传送带逆时针转动的速度，两个物块、用一根轻弹簧连接，与传送带间的动摩擦因数为与传送带间的动摩擦因数为时，两物块轻放在传送带上，弹簧自然伸长，给一个水平向左的瞬时冲量，在时，与传送带第一次共速。弹簧的劲度系数为，重力加速度，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，传送带足够长，弹簧始终在弹性限度内，求： (1)、刚开始滑动时各自受到的摩擦力、的大小和方向； (2)时，的速度大小； (3)后弹簧的最大伸长量。 1．（2026·云南昭通·一模）如图所示，一轻绳跨过光滑定滑轮，两端各系物块、，质量分别为和。现将两物块由静止释放，、离地面足够高，运动过程中不会与滑轮相撞，不计一切阻力，重力加速度为。则在下降高度的过程中，下列说法正确的是（　　） A．、组成的系统机械能不守恒 B．的加速度大小为 C．下降高度为时，的速度大小为 D．下降高度为时，轻绳拉力的功率为 2．（2026·湖南常德·一模）如图所示，一小球从某高度以一定的初速度水平抛出，然后无碰撞地落到光滑固定斜面上并继续运动到斜面底端，规定斜面底端所在的平面重力势能为零，不计空气阻力，在整个运动过程中，小球的水平分速度随时间t、竖直分速度随时间t、重力势能随下降的高度h、动能随下降的高度h的变化关系正确的是（　　） A．B．C． D． 3．（多选）（2026·广东·一模）如图所示，空间内存在竖直向下的匀强电场，弹簧上端固定，下端悬挂一个带电的小球，小球静止时位于O点，此时弹簧处于原长。向下把小球拉到M点由静止释放，小球最高上升到N点（图中没有标出）。小球运动过程中电荷量不变，小球的质量为，的长度为，弹簧始终处于弹性限度内，空气阻力不计，重力加速度为。下列说法正确的有（　　） A．小球带正电 B．小球从M点到N点的过程，电场力对小球做正功 C．小球从M点到N点的过程，小球的机械能守恒 D．小球从M点到N点的过程，小球的电势能减少了 4．（多选）（2026·河南郑州·一模）如图，光滑直角轻杆固定在竖直面内，水平，点光滑。两个质量均为的小球、（可视为质点）分别套在、杆上，两球用长为的轻绳连接。初始时，球位于点，给其一水平向右的初速度，当轻绳水平时，球速度恰好为0。取重力加速度大小为，则在球向右运动过程中（　　） A．、两球组成的系统水平方向动量守恒 B．、两球组成的系统机械能守恒 C．球初始速度为 D．轻绳对球做功为 5．（多选）（2026·贵州六盘水·二模）如图所示，两端分别固定小球、的轻杆，受轻微扰动后，从竖直位置沿顺时针方向自由倒下，不计一切摩擦。则在轻杆倒下过程中、及轻杆组成的系统（    ） A．机械能守恒 B．机械能不守恒 C．水平方向动量守恒 D．水平方向动量不守恒 6．（多选）（2026·甘肃·模拟预测）如图所示，一轻质弹簧两端分别拴接甲、乙两木块，并竖直放置在水平桌面上。现用一竖直向下的外力F将木块乙缓慢压至某位置，然后撤去外力F，木块乙由静止向上运动，最终木块甲恰好未离开桌面。已知木块甲质量为2m，木块乙质量为m，弹簧劲度系数为k，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．木块乙上升过程中其机械能先增大后减小 B．木块乙上升到最高点时的加速度为3g C．弹簧的最大压缩量为 D．木块甲对桌面的最大压力大小为5mg 7．（2026·江西上饶·一模）某山地救援队进行“斜面绳球投放”训练，简化模型如图所示。在倾角为的光滑矩形斜面EFMN上（FM为斜面与水平地面的交线），有一根长为L=0.5m的细线，细线的一端固定在O点，另一端连接着一个可视为质点的小球。小球质量为m=1kg，过O点平行于EF的直线交FM于C点，FC的长度为。现使小球恰好能在斜面上做完整的顺时针圆周运动。某次小球过B点时细线被割断（割断前后不影响小球速度），小球沿着轨迹BG运动，在小球刚要离开斜面G点时，给小球施加一个沿vB（小球在B点时的速度）方向、大小为的恒力。从B点割断细线瞬间开始计时，小球经t=2s落到水平地面上的D点（图中未画出D点），G点是小球离开斜面的位置，H点为G点在水平面上的投影点。不考虑小球反弹，忽略空气阻力，sinθ=0.2，cosθ=1，重力加速度g取10m/s2。 (1)小球经过A点时速率vA； (2)小球到达B点细线被割断前，小球对细线的拉力FT的大小； (3)求落地时D点到H点的距离L1。 8．（2026·重庆沙坪坝·一模）如图所示，一倾角的足够长光滑斜面固定在水平面上。斜面上固定了一中间带孔的滑槽。一轻质直杆平行于斜面穿在滑槽中，另一端与一劲度系数为、沿杆方向的轻弹簧相连，轻质直杆与滑槽的最大静摩擦力为。现将一质量为的小滑块从距离弹簧上端处静止释放。已知弹簧的弹性势能（为弹簧的形变量）、滑动摩擦力等于最大静摩擦力、弹簧始终在弹性限度内且不会碰到滑槽、当地重力加速度取，求： (1)滑块下滑的最大速度的大小； (2)直杆开始运动时弹簧的形变量以及全程产生的热量； (3)若使滑块从距离弹簧上端处静止释放，求滑块与弹簧分离时的速度大小。 9．（2026·甘肃·模拟预测）如图所示，可视为质点的小物块B静置于长木板C的左端，C的质量为0.3kg，B、C之间的动摩擦因数，C与地面之间的动摩擦因数，系统静止在水平地面上。一不可伸长的轻质细绳长为，一端悬于天花板上，另一端系一质量为0.3kg的小球A（可视为质点）。现将小球A拉至细绳与竖直方向成角由静止释放，小球A到达最低点时与B发生弹性正碰，A、B碰撞后A摆起的最大高度为0.05m，B沿着C上表面向右滑行，恰好滑到C的右端没有掉下来，重力加速度g取，不计空气阻力，求： (1)小球A与物块B碰前瞬间小球A的速度大小及方向； (2)小球A与物块B碰后瞬间小球A的速度大小及方向； (3)长木板C的长度L是多少。 10．【新情景】（2026·四川宜宾·一模）某传送带自动分拣系统如图甲。图乙为其中一传送带的俯视图，其水平上表面为边长的正方形ABCD，传送带的速度，方向水平向左。有一质量的货物（可视为质点）以初速度从CD边中点O垂直于侧边滑上传送带。货物与传送带间动摩擦因数，重力加速度，不计空气阻力。 (1)若，即将货物于O点轻放于传送带上，求货物运动到AD边过程的时间； (2)若，求货物离开传送带ABCD时与CD边的距离和货物与传送带之间的摩擦生热； (3)用三个这样的传送带搭建四个出口的自动分拣系统如图丙，传送带的速度方向可如图双向设置，货物进入每一个传送带前，系统已设置好传送带的速度方向，忽略传送带间空隙。该货物以的速度从侧边中点O垂直滑上传送带前往3号出口，求三个传送带运送该货物额外输出的总能量。 11．（2026·福建·一模）如图所示，光滑小球a、b的质量均为m，a、b均可视为质点，用长为l的刚性轻杆连接，竖直地紧靠光滑墙壁放置，b位于光滑水平地面上，a、b处于静止状态，重力加速度大小为g。现对b施加轻微扰动，使b开始沿水平面向右做直线运动，某时刻轻杆与竖直墙壁夹角为60°，则此时小球a、b的速度大小关系为 ，此过程中轻杆对小球b做的功为 。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 机械能守恒定律　功能关系　能量守恒定律 第一部分 思维导图 第二部分 核心考点精讲 【考点01】 机械能守恒定律及其应用 【考点02】 功能关系及其应用 【考点03】 能量守恒定律及其应用 第三部分 题海精炼 考点01 机械能守恒定律及其应用 1．判断物体或系统机械能是否守恒的三种方法 (1)做功判断法：只有重力和系统内弹力做功时，系统机械能守恒。 (2)能量转化判断法：没有机械能以外的其他形式的能与机械能转化时，系统机械能守恒。 (3)定义判断法：看动能与重力(或弹性)势能之和是否变化。 2．利用机械能守恒定律的解题步骤 3．利用机械能守恒定律列方程的三种表达形式 4．系统机械能守恒问题中三类常见的连接体 速率相等的连接体 两物体在运动过程中速率相等，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解 角速度相等的连接体 两球在运动过程中角速度相等，线速度大小与半径成正比，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解 某一方向分速度相等的连接体 A放在光滑斜面上，B穿过竖直光滑杆PQ下滑，将B的速度沿绳的方向和垂直于绳的方向分解，如图所示，其中沿绳子方向的速度vx与A的速度大小相等，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解 5.含弹簧的物体系统机械能守恒分析注意 (1)含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体机械能不守恒。 (2)同一根弹簧弹性势能大小取决于弹簧形变量的大小，在弹簧弹性限度内，形变量相等，弹性势能相等。 (3)由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小(为零)。 6．易错易混点 (1)含弹簧的物体系统机械能守恒时，分析系统机械能变化时没有考虑到弹簧，将弹簧遗漏。 (2)绳子突然绷紧、非弹性碰撞、有摩擦力或电(磁)场力做功等情况，机械能一般不守恒。 (3)分析关联物体机械能守恒时，应注意寻找用绳或杆连接的物体间的速度关系和位移关系。 【典例1】 （2026·广东惠州·二模）如图所示，在第十五届全国运动会开幕式上，机器人手握相同锤子的锤柄，通过对青铜句鑃（gōu  diào）的不同位置进行轻重缓急的敲击，演奏了《彩云追月》。每次敲击完成后，机器人手会迅速将锤子归位，使锤柄竖直静止，然后开始下一次敲击。下列说法正确的是（　　） A．每一次敲击过程中，锤子的机械能守恒 B．每次与青铜句鑃作用前后，锤子的动量相同 C．每次锤柄竖直时，锤柄受到机器人手的摩擦力相同 D．敲击时，锤子对青铜句鑃的作用力大于青铜句鑃对锤子的作用力 【答案】C 【详解】A．敲击过程中锤子与青铜句鑃相互作用，机械能转化为内能，机械能不守恒，故A错误； B．作用前后锤子速度方向改变，动量的方向（矢量）不同，故B错误； C．锤柄竖直静止时，受力平衡，摩擦力等于锤子重力（锤子相同），故摩擦力相同，故C正确； D．作用力与反作用力大小相等，锤子对青铜句鑃的作用力等于青铜句鑃对锤子的作用力，故D错误。 故选C。 【变式1-1】（2025·江苏·二模）如图所示，一质量为的物块穿在光滑水平杆上，一长度为的轻杆，一端固定着质量为的小球，另一端连接着固定在物块上的铰链。忽略铰链转动的摩擦，重力加速度为。 (1)将固定，对小球施加一水平向左的外力使杆与竖直方向的夹角为保持静止，求外力的大小； (2)若物块在水平外力作用下向右加速，杆与竖直方向夹角始终为，求外力的大小； (3)若开始时，小球位于铰链的正上方，系统处于静止状态，受到扰动后，杆开始转动，已知，，求从初始位置转到如图位置过程中，杆对小球所做的功。 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）对受力分析，由平衡条件得： （2）设水平向右的加速度大小为 对受力分析，由牛顿第二定律： 对P、Q系统，由牛顿第二定律： 解得： （3）设Q转到角时，Q的水平速度和竖直速度大小分别为vx和vy，P的水平速度为vM 由系统水平方向动量守恒得 由系统机械能守恒可得 Q相对O在做圆周运动，Q相对O的速度垂直于杆，可得 对Q由动能定理可得 可得 【变式1-2】（多选）（2026·湖南常德·一模）如图所示，物块A、B通过一轻弹簧相连，竖直放置在水平地面上，B通过一根跨过定滑轮的轻绳与固定在轻杆一端的小球相连，轻杆另一端固定在O点，O点与定滑轮等高。初始时轻杆沿水平方向，轻绳恰好伸直且无张力，图中水平部分绳长，轻杆长。现将小球由静止释放，当小球运动到最低点时，物块A恰好离开地面。已知A、B和小球均可视为质点，A、B质量均为，小球质量为，运动过程中弹簧始终在弹性限度内，物块B没有碰到定滑轮，重力加速度，忽略一切阻力。以下说法正确的是（　　） A．运动过程中A、B和小球组成的系统机械能守恒 B．轻弹簧劲度系数 C．小球运动到最低点时的速度大小为 D．当小球下落高度为时物块B和小球的速度大小相等 【答案】BD 【详解】A．运动过程中A、B和小球及弹簧组成的系统机械能守恒，A错误； B．分析初态时B受力情况，B受重力、弹簧弹力二力平衡 分析末态时A受力情况，A受重力、弹簧弹力二力平衡 由图中的几何关系可知 解得，，B正确； C．系统机械能守恒，初末态时弹簧的形变量相同，弹性势能相同，根据机械能守恒 根据关联速度关系 解得，C错误； D．小球下落过程中，当绳与杆垂直（图中的N点）时，小球速度方向与绳相同，此时物块B和小球的速度大小相等 设到N点时，小球下落的高度为，由图中的几何关系可知 解得，D正确。 故选BD。 【变式1-3】【新角度】（2026·贵州六盘水·二模）如图甲所示，一根质量分布均匀的软绳，绳长不可变，将其伸直后，放置于距地面高的水平桌面上，开始时右端伸出桌面边缘的长度为，由静止释放后从桌面边缘滑下，桌面边缘为长度可忽略的四分之一圆弧。重力加速度为。 (1)若不计桌面摩擦力，求绳子下端着地时绳子的速度； (2)绳子的加速度与桌面下方绳长的关系如图乙所示，图像段斜率为。求绳子与桌面间动摩擦因数。 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意可知，由于绳子与桌面无摩擦，故绳子下落过程机械能守恒，则有 解得若不计桌面摩擦力，绳子下端着地时绳子的速度为 （2）把绳子分为桌面上、下两个部分，桌面上绳子质量为，桌下质量为，则有， 且 分别对两段绳子进行受力分析，受力分析图如图所示： 则根据牛顿第二定律有， 联立解得 则是关于的一次函数，所以图像的斜率为 解得绳子与桌面间动摩擦因数 考点02 功能关系及其应用 1.常见的功能关系 2.功能关系的应用 (1)根据功能关系可以由功求对应的能量变化，也可以根据能量变化求对应力做的功，进而求解其他相关量。 (2)动能定理是最常用的功能关系。 (3)单独应用功能关系的情况较少，在很多问题中，功能关系经常与动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律结合应用。 【典例2】（2026·安徽黄山·一模）如图所示，倾角的固定光滑斜面上放着相同的两物块P、Q，质量均为，两物块紧靠但不粘连，轻弹簧一端与Q相连。另一端与固定挡板相连，整个系统处于静止状态。0时刻对P施加一沿斜面向上的恒力，使P、Q沿斜面向上做加速运动，时刻P、Q恰好分离。弹簧的劲度系数，弹性势能的表达式，x为弹簧的形变量，重力加速度，则（　　） A．0时刻P的加速度大小为 B．时刻弹簧的弹力大小为 C．时间内弹簧的弹性势能减少了 D．时间内P的机械能增加了 【答案】C 【详解】AB．开始时整个系统处于静止状态，有 可得弹簧弹力为， 0时刻对P施加沿斜面向上的恒力，可知P、Q整体的合力大小为 根据 解得P的加速度大小 时刻P、Q恰好分离，设此时弹力为，有， 可得 可得，故AB错误； C．可得时间内弹簧的弹性势能减少了，故C正确； D．时间内P的位移为 可知P的重力势能增加了 根据能量关系有 P的机械能增加了，故D错误。 故选C。 【变式2-1】 （2026·安徽芜湖·一模）一个质量为m的小球（视为质点）从空中某一高度的P点以大小为的初速度竖直向上抛出，已知小球在空中受到水平向右的恒定风力，运动轨迹如图所示，忽略小球受到的空气阻力。已知小球在空中运动的最高点到抛出点的竖直距离与水平距离相等，小球下落经过了与P点相同高度的Q点，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．小球受到的恒定风力大小为 B．小球经过最高点时机械能最小 C．小球经过最高点时恒定风力的瞬时功率大小为 D．小球从P点到Q点过程中机械能增加量为 【答案】D 【详解】A．已知小球在空中运动的最高点到抛出点的竖直距离与水平距离相等，竖直方向利用逆向思维，则有 可知小球在水平方向的加速度 则小球受到的恒定风力大小为，故A错误； B．小球在整个运动过程中，风力对小球一直做正功，小球的机械能一直在增加，所以小球经过最高点时机械能不是最小的，故B错误； C．小球经过最高点时，水平方向的速度大小为 则此时恒定风力的瞬时功率大小为，故C错误； D．小球运动到Q点时的速度大小为 可得小球从P点到Q点过程中机械能增加量为，故D正确。 故选D。 【变式2-2】（多选）（2025·广东深圳·一模）如图所示，光滑水平面OB与足够长粗糙斜面BC交于B点。轻弹簧左端固定于竖直墙面，现将质量为m1的滑块压缩弹簧至D点，然后由静止释放，滑块脱离弹簧后经B点滑上斜面，上升到最大高度，并静止在斜面上。不计滑块在B点的机械能损失；换用相同材料质量为m2的滑块（m2＞m1）压缩弹簧至同一点D后，重复上述过程，则两滑块（　　） A．到达B点的速度相同 B．沿斜面上升的最大高度相同 C．上升到最高点过程克服重力做的功相同 D．上升到最高点过程机械能损失相同 【答案】CD 【详解】A．根据功能关系可知两滑块到B点的动能相同，但质量不同，速度就不同，故A错误； B．两滑块在斜面上运动时加速度相同（大小均为，为斜面倾角），由于在B点时的速度v不同，根据 可知上升的最大高度h不同，故B错误； C．两滑块上升到斜面最高点过程克服重力做的功为mgh，根据功能关系有 解得 可知两滑块上升到斜面最高点过程克服重力做的功相同，故C正确； D．根据功能关系，可知损失的机械能，故D正确。 故选CD。 【变式2-3】【新考法】（2026·重庆沙坪坝·一模）如图所示，粗糙绝缘斜面底端点固定一个带电荷量为的负点电荷，现有一个带电荷量为的负电小滑块，从斜面上点静止释放后，先沿斜面往上运动再返回，则小滑块（    ） A．上升过程中加速度先增大后减小 B．上升过程中电势能一直增大 C．下降过程中机械能可能增大 D．返回时的最低点位置一定在点上方 【答案】D 【详解】AB．上升过程中对小滑块进行受力分析，它受到重力、斜面支持力、沿斜面向上的库仑斥力和摩擦力f。设斜面倾角为，滑块到O点的距离为r，由牛顿第二定律，有 上升过程中静电力一直减小，所以加速度先向上减小后反向增大，静电力一直做正功，电势能一直减少，故AB错误； C．下降过程中静电力和摩擦力做负功，机械能一定减小，故C错误； D．由于摩擦损耗，返回时速度为0的位置一定在A点上方，故D正确。 故选D。 考点03 能量守恒定律的综合应用 1．含摩擦生热、焦耳热、电势能等多种形式能量转化的系统，优先选用能量守恒定律。 2．应用能量守恒定律解题的两条基本思路 (1)某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量和增加量一定相等，即ΔE减＝ΔE增。 (2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等，即ΔEA减＝ΔEB增。 3．当涉及摩擦力做功时，注意摩擦产生的热量Q＝Ffx相对，x相对为相对滑动的两物体间相对滑动路径的总长度。 【典例3】（2025·四川·一模）某种“Y”形弹弓配备四根完全相同的皮筋，皮筋和弹兜质量均远小于弹丸质量。如图（a）所示，当弹弓左右各系一根皮筋，将皮筋拉伸一定长度后释放，弹丸水平射出并恰好打在竖直靶面上的e点，已知靶上，如图（b）所示。若弹弓左右各系两根皮筋，拉伸相同长度后将弹丸从同一位置水平射出，则弹丸在靶上的落点为（　　） A．b点 B．bc间某点 C．c点 D．cd间某点 【答案】C 【详解】发射弹丸的过程中，橡皮筋的弹性势能转化为弹丸的动能。当左右各系一根皮筋并拉伸一定长度时，设每根橡皮筋储存的弹性势能为，弹丸做平抛运动的初速度为，弹丸射出点与靶面水平距离为l，由能量守恒有 打在靶面上时弹丸的下落高度为 当左右各系两根皮筋并拉伸一定长度时，由能量守恒有 可得 打在靶面上时弹丸的下落高度为 因此弹丸在靶上的落点为c点。 故选C。 【变式3-1】（多选）（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）2025年11月29日，内蒙古自治区首次迎来全国性滑板赛事。某条赛道竖直截面简化设计如图所示，其中是倾角为的斜面，凹圆弧和凸圆弧的半径均为，且、和、分别等高，整个路面无摩擦且各段之间平滑连接。用质量为的小球代替滑板，将小球从斜面上不同的高度由静止释放。，。在小球的运动过程中（　　） A．小球可能在某一位置处于完全失重状态 B．若，小球一定能沿轨道运动到点 C．若小球能沿轨道运动到点，则不能大于0.2R D．若小球能沿轨道运动到点，则小球经过、两点时对轨道的压力大小之和与的大小无关 【答案】ACD 【详解】A．如果小球到点时，其速度足够大，使得指向凸圆弧圆心的合力不足以提供向心力导致小球脱离路面，其合力等于重力，加速度等于重力加速度，这种情况小球处于完全失重状态。故A正确； B．要保证小球在段沿轨道运动，则小球运动到段的任意一点，其重力沿半径方向的合力能够提供向心力，有 为重力和点半径的夹角，等于小球位置与点之间圆弧对应的圆心角。从点运动到点能量守恒，有 联立推导得 的最小值为 因此计算得，故B错误； C．由选项B可知，才能保证小球在沿轨道运动。小球运动到段的任意一点，为了保证小球沿轨道运动，同样有其重力沿半径方向的合力能够提供向心力，有 为重力和小球位置点半径的夹角，等于小球位置与点之间圆弧对应的圆心角。从点运动到点能量守恒，有 同样推导出 由选项B知，综上为了保证小球能沿轨道运动到F点，不能大于0.2R。故C正确； D．小球从点到点，由能量守恒得 小球经过点时对轨道的压力大小满足 推导得 同理，小球从点到点，由能量守恒得 小球经过点时对轨道的压力大小满足 推导得 因此 因此小球经过、两点时对轨道的压力大小之和与的大小无关，故D正确。 故选ACD。 【变式3-2】【新角度】（2025·湖南衡阳·模拟预测）“水往低处流”是一种自然现象，同一滴水在水面的不同位置具有相同的重力势能，即水面是等势面。通常稳定状态下的水面为水平面，但将一桶水绕竖直固定中心轴以恒定的角速度ω转动，稳定时水面呈凹状，如图所示。这一现象依然可用势能来解释：以桶为参考系，桶中的水还多受到一个“力”，同时水还将具有一个与该“力”对应的“势能”。为便于研究，在过桶竖直轴线的平面上，以水面最低处为坐标原点O、以竖直向上为y轴正方向、以水平向右为x轴正方向建立xOy直角坐标系，质量为m的小水滴（可视为质点）在这个坐标系下，因该“力”具有的“势能”可表示为。该“势能”与小水滴的重力势能之和为其总势能，水会向总势能更低的地方流动，稳定时水面上相同质量的水将具有相同的总势能。下列说法正确的是（　　） A．若增大桶转动的角速度ω，则稳定时，凹液面的最低点位置应下降 B．稳定转动时桶中水面的纵截面为双曲线的一部分 C．小水滴距离y轴越远，该“势能”越小 D．与该“势能”对应的“力”的大小随x的增加而减小 【答案】AC 【详解】C．由知，距离y轴越远，该“势能”越小，故C正确； D．设与该“势能”对应的“力”为F，则有 解得 故该“势能”对应的“力”的大小随x的增加而增大，故D错误； B．由于整个水面上质量相等的小水滴的总势能相等，在O点处小水滴的总势能为零，则一个小水滴在该水面上任何位置的重力势能和该“势能”的和均为零，即 解得 因此稳定转动时，桶中水面的纵截面为抛物线的一部分，故B错误； A．由知，若增大桶的角速度ω，则抛物线会变扁，故稳定时凹液面的最低点位置下降，故A正确。 故选AC。 【变式3-3】（2026·四川广安·一模）如图，水平传送带逆时针转动的速度，两个物块、用一根轻弹簧连接，与传送带间的动摩擦因数为与传送带间的动摩擦因数为时，两物块轻放在传送带上，弹簧自然伸长，给一个水平向左的瞬时冲量，在时，与传送带第一次共速。弹簧的劲度系数为，重力加速度，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，传送带足够长，弹簧始终在弹性限度内，求： (1)、刚开始滑动时各自受到的摩擦力、的大小和方向； (2)时，的速度大小； (3)后弹簧的最大伸长量。 【答案】(1)，方向水平向右；，方向水平向左；(2)；(3) 【详解】（1）对物块分析，由动量定理得 代入数据得  大于传送带速度。   方向水平向右   方向水平向左 （2）、所组成的系统合外力为0，由动量守恒得 代入数据解得 （3）选、和弹簧组成的系统为研究对象，设时弹簧伸长量为，弹簧伸长过程中皮带与、摩擦产生的热量为。在之前，由，传送带所受摩擦力合力为零，传送带对系统做功为0，由能量守恒 皮带与、物块摩擦产生的热量 联立解得：， 时刻，对物块分析： 所以此后物块与传送带保持相对静止，从到物块物块速度首次与传送带共速过程中，设弹簧最大伸长量，弹簧再次伸长过程中皮带与、摩擦产生的热量为。 以传送带为参考系，物块静止，物块具有向右的速度，由能量守恒定律 皮带与、滑块摩擦产生的热量 解得 则最终、物块相对传送带都静止，和传送带一起以向左匀速运动 弹簧最大伸长量 1．（2026·云南昭通·一模）如图所示，一轻绳跨过光滑定滑轮，两端各系物块、，质量分别为和。现将两物块由静止释放，、离地面足够高，运动过程中不会与滑轮相撞，不计一切阻力，重力加速度为。则在下降高度的过程中，下列说法正确的是（　　） A．、组成的系统机械能不守恒 B．的加速度大小为 C．下降高度为时，的速度大小为 D．下降高度为时，轻绳拉力的功率为 【答案】C 【详解】A．由于不计一切阻力，、组成的系统机械能守恒，故A错误； B．以、组成的系统为研究对象，根据牛顿第二定律则有 解得，故B错误； C．以、组成的系统为研究对象，根据匀变速直线运动规律可得结合上述结论 解得，故C正确； D．以为研究对象，根据牛顿第二定律则有 其中 解得 轻绳拉力的功率，故D错误。 故选C。 2．（2026·湖南常德·一模）如图所示，一小球从某高度以一定的初速度水平抛出，然后无碰撞地落到光滑固定斜面上并继续运动到斜面底端，规定斜面底端所在的平面重力势能为零，不计空气阻力，在整个运动过程中，小球的水平分速度随时间t、竖直分速度随时间t、重力势能随下降的高度h、动能随下降的高度h的变化关系正确的是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】A．在平抛运动阶段，小球在水平方向做匀速直线运动，保持不变，则图像是一条水平直线。 小球无碰撞地落到斜面上，则小球落到斜面上时，速度方向沿斜面向下。 之后小球沿斜面向下做匀加速直线运动，可分解为水平方向和竖直方向的匀加速直线运动。 随时间均匀增大，因此图像是斜率为正的倾斜直线，故A错误； B．在平抛运动阶段，小球在竖直方向做自由落体运动，则图像是过原点、斜率为的倾斜直线。 在斜面上运动阶段，小球的加速度在竖直方向的分量小于重力加速度，因此图像是斜率更小的倾斜直线，故B错误； C．无论是平抛运动阶段还是在斜面上运动阶段，小球重力势能的变化量始终为。 可知重力势能随下降高度的增大线性减小，且在斜面底端时重力势能为0，因此图像是斜率为的直线，故C正确； D．由机械能守恒定律可知，动能和重力势能的和为一定值。 则动能随下降的高度的增大线性增大，但小球的初动能不为0，因此图像是不过原点、斜率为的直线，故D错误。 故选C。 3．（多选）（2026·广东·一模）如图所示，空间内存在竖直向下的匀强电场，弹簧上端固定，下端悬挂一个带电的小球，小球静止时位于O点，此时弹簧处于原长。向下把小球拉到M点由静止释放，小球最高上升到N点（图中没有标出）。小球运动过程中电荷量不变，小球的质量为，的长度为，弹簧始终处于弹性限度内，空气阻力不计，重力加速度为。下列说法正确的有（　　） A．小球带正电 B．小球从M点到N点的过程，电场力对小球做正功 C．小球从M点到N点的过程，小球的机械能守恒 D．小球从M点到N点的过程，小球的电势能减少了 【答案】BD 【详解】A．小球静止在O点时弹簧处于原长，说明此时小球的重力与电场力平衡，即 所以小球所受的电场力方向竖直向上，由于电场方向竖直向下，因此小球带负电，故A错误； B．小球从M点到N点的过程，电场力始终竖直向上，所以电场力对小球做正功，故B正确； C．由功能关系可知，小球机械能的变化由弹簧弹力和电场力做功决定。小球从M点到N点的过程中，弹簧弹力对小球做功的总和为零，但电场力对小球做正功，因此小球的机械能不守恒。故C错误； D．小球的运动为简谐运动，由于小球的重力与电场力平衡，所以小球所受的合力为弹簧弹力，平衡位置为O点，根据简谐运动的对称性可知，O点为M、N的中点，则有 所以小球从M到N的竖直位移为 则电场力做的功为 电场力做正功，电势能减少，且电势能的减少量等于电场力做功的值，所以小球从M点到N点的过程，小球的电势能减少了，故D正确。 故选BD。 4．（多选）（2026·河南郑州·一模）如图，光滑直角轻杆固定在竖直面内，水平，点光滑。两个质量均为的小球、（可视为质点）分别套在、杆上，两球用长为的轻绳连接。初始时，球位于点，给其一水平向右的初速度，当轻绳水平时，球速度恰好为0。取重力加速度大小为，则在球向右运动过程中（　　） A．、两球组成的系统水平方向动量守恒 B．、两球组成的系统机械能守恒 C．球初始速度为 D．轻绳对球做功为 【答案】BD 【详解】A．轻杆光滑，a球在水平方向无外力，但b球在竖直杆上，杆对其有水平弹力是系统外力，则a、b两球组成的系统在水平方向的合力不为零，水平方向动量不守恒，故A错误； B．由于轻杆光滑，系统只有重力做功，根据机械能守恒定律（在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变），可知a、b两球组成的系统机械能守恒，故B正确； C．当轻绳水平时，b球速度恰好为0，因为沿着同一根轻绳的速度相等，则此时a球的速度也为0；根据系统机械能守恒有 解得​，故C错误； D．对b球，根据动能定理 解得 即轻绳对球做功为，故D正确。 故选BD。 5．（多选）（2026·贵州六盘水·二模）如图所示，两端分别固定小球、的轻杆，受轻微扰动后，从竖直位置沿顺时针方向自由倒下，不计一切摩擦。则在轻杆倒下过程中、及轻杆组成的系统（    ） A．机械能守恒 B．机械能不守恒 C．水平方向动量守恒 D．水平方向动量不守恒 【答案】AD 【详解】AB．由题意可知，不计一切摩擦，构成的系统只有重力做功，机械能守恒。故A正确，B错误； CD．杆倒下的过程中，墙面对小球Q有向右的作用力，且冲量不为零，故系统在水平方向动量不守恒，故C错误，D正确。 故选AD。 6．（多选）（2026·甘肃·模拟预测）如图所示，一轻质弹簧两端分别拴接甲、乙两木块，并竖直放置在水平桌面上。现用一竖直向下的外力F将木块乙缓慢压至某位置，然后撤去外力F，木块乙由静止向上运动，最终木块甲恰好未离开桌面。已知木块甲质量为2m，木块乙质量为m，弹簧劲度系数为k，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．木块乙上升过程中其机械能先增大后减小 B．木块乙上升到最高点时的加速度为3g C．弹簧的最大压缩量为 D．木块甲对桌面的最大压力大小为5mg 【答案】ABC 【详解】A．木块乙上升过程中，开始时弹簧处于压缩状态，后来弹簧处于伸长状态，则弹簧的弹性势能先减小后增大，木块乙和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧的弹性势能与木块乙的机械能相互转化，所以木块乙的机械能先增大后减小，故A正确； B．木块乙上升到最高点时，对木块甲由平衡条件得 对木块乙由牛顿第二定律有 解得，故B正确； C．当木块乙静止时，弹簧处于压缩状态，其弹力等于木块乙的重力，即 解得 当木块甲恰好未离开桌面时，弹簧处于伸长状态，弹力等于木块甲的重力，即 解得 则木块乙上升的最高位置距开始静止位置的距离为 根据对称性可知弹簧的最大压缩量为，故C正确； D．木块甲对桌面的最大压力大小为，故D错误。 故选ABC。 7．（2026·江西上饶·一模）某山地救援队进行“斜面绳球投放”训练，简化模型如图所示。在倾角为的光滑矩形斜面EFMN上（FM为斜面与水平地面的交线），有一根长为L=0.5m的细线，细线的一端固定在O点，另一端连接着一个可视为质点的小球。小球质量为m=1kg，过O点平行于EF的直线交FM于C点，FC的长度为。现使小球恰好能在斜面上做完整的顺时针圆周运动。某次小球过B点时细线被割断（割断前后不影响小球速度），小球沿着轨迹BG运动，在小球刚要离开斜面G点时，给小球施加一个沿vB（小球在B点时的速度）方向、大小为的恒力。从B点割断细线瞬间开始计时，小球经t=2s落到水平地面上的D点（图中未画出D点），G点是小球离开斜面的位置，H点为G点在水平面上的投影点。不考虑小球反弹，忽略空气阻力，sinθ=0.2，cosθ=1，重力加速度g取10m/s2。 (1)小球经过A点时速率vA； (2)小球到达B点细线被割断前，小球对细线的拉力FT的大小； (3)求落地时D点到H点的距离L1。 【答案】(1)1m/s；(2)12N；(3) 【详解】（1）因为小球恰好能在斜面上做完整的顺时针圆周运动，所以在A点由牛顿第二定律有 解得小球经过A点时的速率为 （2）从A点到B点的过程中，由机械能守恒定律有 解得小球经过B点时的速率为 对小球在B点进行受力分析，列牛顿第二定律方程有 解得在B点小球受到绳的拉力为 则由牛顿第三定律可知，小球对细线的拉力大小为 （3）小球在BG间做类平抛运动，其水平方向为匀速直线运动，则有 解得小球从B点到G点的运动时间为 小球沿GF方向做从静止开始的匀加速直线运动，则G点沿GF方向的分速度为 将小球沿GF方向的分速度沿水平方向和竖直方向进行正交分解，如图所示： 则在G点沿竖直方向的分速度为 沿水平方向的分速度为 离开G点后，小球水平方向速度的矢量图如图所示： 设小球离开斜面后，从G点到D点沿方向的位移为x2，沿方向运动的位移为x3，小球从G点飞出后，从上往下俯视，小球沿着方向做匀加速直线运动，则根据牛顿第二定律可得其加速度为 根据匀变速直线运动的规律有 小球沿着方向做匀速直线运动，则有 所以落地时D点到H点的距离为 8．（2026·重庆沙坪坝·一模）如图所示，一倾角的足够长光滑斜面固定在水平面上。斜面上固定了一中间带孔的滑槽。一轻质直杆平行于斜面穿在滑槽中，另一端与一劲度系数为、沿杆方向的轻弹簧相连，轻质直杆与滑槽的最大静摩擦力为。现将一质量为的小滑块从距离弹簧上端处静止释放。已知弹簧的弹性势能（为弹簧的形变量）、滑动摩擦力等于最大静摩擦力、弹簧始终在弹性限度内且不会碰到滑槽、当地重力加速度取，求： (1)滑块下滑的最大速度的大小； (2)直杆开始运动时弹簧的形变量以及全程产生的热量； (3)若使滑块从距离弹簧上端处静止释放，求滑块与弹簧分离时的速度大小。 【答案】(1)；(2)0.5m，0.625J；(3) 【详解】（1）当弹簧弹力时，弹簧弹力 轻杆在滑槽中不会滑动，滑块达到最大速度，此时弹簧的压缩量 由机械能守恒定律 解得 （2）直杆开始运动时，弹簧弹力 此时弹簧的形变量 设直杆开始运动时，滑块的速度为，由机械能守恒定律可得 之后滑块与直杆将一起运动，直至速度减为零。设运动距离为，根据动能定理有 解得 此后直杆一直保持静止，全程产生的热量 （3）结合（2）分析若滑块从距离弹簧3L处由静止释放，直杆下滑的距离将增加，并不影响弹簧的弹性势能。两者分离滑块还需向上运动的距离，根据机械能守恒定律有 解得 9．（2026·甘肃·模拟预测）如图所示，可视为质点的小物块B静置于长木板C的左端，C的质量为0.3kg，B、C之间的动摩擦因数，C与地面之间的动摩擦因数，系统静止在水平地面上。一不可伸长的轻质细绳长为，一端悬于天花板上，另一端系一质量为0.3kg的小球A（可视为质点）。现将小球A拉至细绳与竖直方向成角由静止释放，小球A到达最低点时与B发生弹性正碰，A、B碰撞后A摆起的最大高度为0.05m，B沿着C上表面向右滑行，恰好滑到C的右端没有掉下来，重力加速度g取，不计空气阻力，求： (1)小球A与物块B碰前瞬间小球A的速度大小及方向； (2)小球A与物块B碰后瞬间小球A的速度大小及方向； (3)长木板C的长度L是多少。 【答案】(1)2m/s，方向水平向右；(2)1m/s，方向水平向左或水平向右；(3)0.9m或 【详解】（1）小球A与物块B碰前下摆的过程机械能守恒，由机械能守恒定律有 解得 方向水平向右 （2）小球A与物块B碰后摆起的过程机械能守恒，由机械能守恒定律有 解得 方向水平向左或水平向右 （3）A、B发生弹性正碰，根据动量守恒定律及机械能守恒定律有， 讨论： ①若，方向水平向右，解得， 当B以的初速度在长木板上滑行时，B与C之间的滑动摩擦力大小为 C与地面之间的最大静摩擦力大小为 因为，所以C静止 B在C上滑动的加速度大小为 由运动学公式有 解得 ②若，方向水平向左，解得， 当B以的初速度在长木板上滑行时，B与C之间的滑动摩擦力大小为 C与地面之间的最大静摩擦力大小为 因为，所以C滑动 B在C上滑动的加速度大小为 C在地面上滑动的加速度大小为 B、C达到共同速度时，B恰好滑到C的右端没有掉下来 B的位移 C的位移 由，联立解得 10．【新情景】（2026·四川宜宾·一模）某传送带自动分拣系统如图甲。图乙为其中一传送带的俯视图，其水平上表面为边长的正方形ABCD，传送带的速度，方向水平向左。有一质量的货物（可视为质点）以初速度从CD边中点O垂直于侧边滑上传送带。货物与传送带间动摩擦因数，重力加速度，不计空气阻力。 (1)若，即将货物于O点轻放于传送带上，求货物运动到AD边过程的时间； (2)若，求货物离开传送带ABCD时与CD边的距离和货物与传送带之间的摩擦生热； (3)用三个这样的传送带搭建四个出口的自动分拣系统如图丙，传送带的速度方向可如图双向设置，货物进入每一个传送带前，系统已设置好传送带的速度方向，忽略传送带间空隙。该货物以的速度从侧边中点O垂直滑上传送带前往3号出口，求三个传送带运送该货物额外输出的总能量。 【答案】(1)；(2)，1.6J；(3)4.8J 【详解】（1）货物轻放于传送带上到与传送带共速，由牛顿第二定律得 解得 加速时间 加速位移 匀速时间 货物运动到AD边的时间 （2）货物滑上传送带之后，以传送带为参考系，设相对速度为，方向如图 则 由于摩擦力恒定且方向与方向相反，则货物相对传送带做匀减速运动，加速度大小。相对位移大小 由于 解得 物块沿方向上也做匀减速运动，位移大小 物块沿方向上也做匀减速运动，位移大小 由于，说明货物与传送带共速时，没有离开传送带。货物与传送带之间的摩擦生热 （3）同样以传送带为参考系，运动情况与第（2）问相同，只是数据不同。把代入，解得货物的相对位移 由，，解得物块沿方向上的位移大小 物块沿方向上的位移大小 由于，说明货物与传送带共速时，没有离开传送带。可知货物离开传送带时速度为传送带速度 货物与传送带之间的摩擦生热 由于货物滑上第二个、第三个的初速度与第（2）问相同，所以运动情况完全相同，产生热量相同。由能量守恒定律得 11．（2026·福建·一模）如图所示，光滑小球a、b的质量均为m，a、b均可视为质点，用长为l的刚性轻杆连接，竖直地紧靠光滑墙壁放置，b位于光滑水平地面上，a、b处于静止状态，重力加速度大小为g。现对b施加轻微扰动，使b开始沿水平面向右做直线运动，某时刻轻杆与竖直墙壁夹角为60°，则此时小球a、b的速度大小关系为 ，此过程中轻杆对小球b做的功为 。 【答案】 【详解】[1]如图 轻杆滑动过程中，沿杆方向的速度大小相等，轻杆与竖直墙壁夹角为，则 某时刻轻杆与竖直墙壁夹角为60°，则此时小球a、b的速度大小关系为 [2]根据机械能守恒可得 解得 由动能定理可得轻杆对小球b做的功为 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $