第一章 三角形的证明 问题解决策略：反思-导学案--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明

问题解决策略：反思

【素养目标】

1. 经历借助“特殊化”策略解决问题的过程，了解“特殊化”策略的意义、运用情境和一般步骤，体会“特殊化”策略在分析问题、解决问题中的价值，发展推理能力。(重点)

2. 积累利用“特殊化”策略解决不同知识领域问题的经验，提高分析问题、解决问题的能力。(难点)

【复习导入】

问题：等腰三角形有哪些基本性质？全等三角形判定定理有哪些？

 

 

 

 

【合作探究】

问题 证明：等腰三角形两腰上的中线相等。

已知：如图，在中，，和分别是边 ， 上的中线。求证： 。

 

1.理解问题：

已知条件是什么？目标是什么？

将条件标注到图形中，你发现了哪些相等关系？

 

 

 

2.拟订计划                    

(1) 证明两条线段相等有哪些常用的方法？

 

(2) 以为边的三角形有哪些？以为边的三角形呢？ 其中哪些三角形有可能全等？

 

                      

(3) 找出两个有可能全等的三角形，要证明这两个三角形全等，已知哪些边或角相等？还需要证明哪些边或角相等？

 

 

(4) 整理你的思路，并与同伴进行交流。

 

 

                      

3.实施计划

按照下述思路写出证明过程， 并说明每一步的理由。

(1) 通过 ，证明 。

 

 

 

 

(2) 通过 ，证明 。

 

 

4.回顾反思

(1) 比较两种证明方法，你更喜欢哪种方法？说说你的理由。

 

(2) 根据题目的条件，你还能得到哪些结论？与同伴进行交流。

 

 

                      

(3) 适当改变题目的条件，你还能得到哪些结论？

已知：如图，在中，，和分别是边，上的高。求证：。

 

 

 

 

                      

(4) 本题证明了等腰三角形两腰上的中线相等。反过来，如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？你能证明自己结论的正确性吗？

 

 

 

 

拓展：如果把原题中的 、 分别是边和上的中线换成 分别是和的角平分线，和还相等吗？

 

      

 

 

 

               

例1 证明命题 “全等三角形对应边上的中线相等”

已知：如图， 和 分别是边 上的中线。

求证： .

 

 

 

 

                      

 

例2 将这10个数字填写到图中10个圆圈内， 使得相邻两数差的绝对值的和最大。