1.4 第2课时 三角形三边的垂直平分线与作图-导学案--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明 1.4 线段的垂直平分线 第2课时 三角形三边的垂直平分线与作图 【素养目标】 1. 理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题。(重点) 2. 能够利用尺规作出三角形的垂直平分线。(难点) 【情境导入】 某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼 、 之间修建一个食堂，试问该食堂 应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？ 【合作探究】 探究点一、尺规作等腰三角形 做一做： (1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？ 已知：三角形的一条边和这边上的高h . 求作：，使 边上的高为h. (2) 已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？ 能做几个？ 想一想：如何作出一个已知底及底边上的高的等腰三角形呢？ 【作图】 如图，已知线段 ，用尺规作，使 ，高 . 探究点二、经过已知直线外一点作这条直线的垂线 【做一做】 1.还记得用尺规过直线 上一点 作 的垂线的方法吗？ 2.如果点 在直线 外呢？此时，还能运用这种转化的方法吗？ 【典例精析】 例1 过点作三角形 边上的高 (要求：尺规作图并保留痕迹，不写作法，标明字母)。 探究点三、三角形三边的垂直平分线的性质的应用 【回顾导入】试问该食堂 应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？ 问题1: 到和 到的距离相等， 那点 所在的直线和有什么关系？ 问题2: 到和到的距离相等， 那点 所在的直线和 有什么关系？ 操作：根据问题1和问题2画出相应的垂直平分线，并思考 在 的垂直平分线上吗？ 例2 已知：如图，在 中，边 的垂直平分线与边 的垂直平分线 相交于点 。求证：边的垂直平分线经过点 。 【归纳总结】 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点， 并且这一点到三个顶点的距离相等。 应用格式： 点为 三边垂直平分线的交点， . 【画一画】 1. 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线， 说明交点分别在什么位置。 当堂反馈 1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，且AC＝10，BE＝6，则CE的长为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 2.某等腰三角形的顶角为100°，其中两边的垂直平分线交于点P，则点P在( 　) A.三角形底边上 B.三角形内 C.三角形外 D.无法确定 3.在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PA，PB，PC的大小关系是_________________. 4.在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在AC上作点P，使P到A，B的距离相等.(保留作图痕迹，不写作法和证明) 参考答案 探究点一、尺规作等腰三角形 做一做：(1) 如下图所示 提示：能作出无数个这样的三角形，它们并不全等。 (2) 这样的等腰三角形只有 1 个 想一想：作法：1. 作线段，使 ; 2. 作线段 的垂直平分线 , 交 于点 ; 3. 在 上作线段 ，使 . 4. 连接 . 为所要作的 等腰三角形。 探究点二、经过已知直线外一点作这条直线的垂线 【做一做】1.如下图所示： 2. 作法： 1. 任取一点 ，使点 与点 在直线 两旁。 2. 以点 为圆心，以 的长为半径作弧，交直线 于 . 3. 作线段 的垂直平分线 .直线 就是所要作的直线。 例1 解： 如图所示，线段 即为所求。 探究点三、三角形三边的垂直平分线的性质的应用 【回顾导入】问题1: 点 所在的直线是 的垂直平分线。 问题2: 点 所在的直线是 的垂直平分线。 操作： 在 的垂直平分线上， 是 ， ， 三条线段的垂直平分线的交点。 例2 证明： 如图，连接 。 点 在 的垂直平分线上， (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)。 同理， 。 . 点 在 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上), 即边 的垂直平分线经过点 。 【画一画】1. 锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边中点处； 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外。 当堂反馈 1.　B 2. C. 3.　PA=PB=PC　. 4.解：如图所示，点P即为所求。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $