1.4线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质与判定 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级上册 1.4 线段的垂直平分线（1） 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定 学习目标 1.会证明及掌握线段垂直平分线定理及其逆定理. 2.会运用线段的垂直平分线的定理及其逆定理进行证明或计算. 课前小测           2. 一个直角三角形屋架如图所示，其中 BC⊥AC,∠A     =30°,AB=10m, CB₁ ⊥AB,B₁C⊥AC,          垂 足 分 别 为B₁,C₁,     那么 BC  的 长 是 多 少 ?   B₁C₁   呢 ?   如图， 小红想估测离A处30 m的大树的高度，她站在A 处仰望树顶 B, 仰 角为30° ( 即 ∠BDE=30°) 。  已知小红身高1.52 m, 求大树的高度(结果精确到0.1m)。 复习导入   问题1：如图，MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的有             (填序号). ①AB⊥MN;②AD=DB;③MN⊥AB; ④MD=DN;⑤AB 是MN的垂直平分线.     线段的垂直平分线的定义：   垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作线段的垂直平分线(简称中垂线) 线段的垂直平分线的几何语言： 如图，∵直线m⊥AB于点C,CA=CB, ∴直线m是线段AB的垂直平分线 ①② 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 探究发现 如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 作关于直线l 的轴反射（即沿直线l 对折），由于l 是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB. (A) (B) B A P l 活动探究 猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 由此你能得到什么结论？ 你能验证这一结论吗？ 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB． 　证明：∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 　　又 AC =CB，PC =PC， 　　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． 　　∴ PA =PB． P A B l C 验证结论 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理： 总结归纳 作用： 可用来证明两条线段相等 几何语言： ∵PC⊥AB,CA=CB, ∴PA=PB P A B C 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为(　　) A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm C 例1 解析：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm， ∴BC＝35－20＝15(cm).故选C. 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 即时检测： 1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 . B 10cm P A B C D 图① A B C D E 图② 思考：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等这一定理的逆命题是什么？ 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 逆 命 题 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 它是真命题吗？你能证明吗？ 想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 记得要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论 （1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB， ∴点P为线段AB的中点， 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB， ∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C， ∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线， 此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 几何语言： ∵　PA =PB， ∴　点P 在AB 的垂直平分线上． P A B 作用： 总结归纳 可用来证明两条线段相等 已知：如图△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC. 证明：∵AB=AC， ∴A在线段BC的垂直平分线（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点O在线段BC的垂直平分线. ∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）. 你还有其他证明方法吗？ 利用三角形的全等证明 例2 证明：延长AO交BC于点D， ∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC ， ∴△ABO≌△ACO（SSS）. ∴∠BAO=∠CAO， ∵AB=AC， ∴AO⊥BC． ∵OB＝OC ，OD＝OD ， ∴RT△DBO≌RT△DCO（HL）. ∴BD＝CD. ∴直线AO垂直平分线段BC. 试一试：已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线. A B O E D C 证明： ∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB, ∴DE=CE(角平分线上的点到角的两边的距离相等）. ∴ OE是CD的垂直平分线. 即时检测： 已知：如图，AB是线段 CD 的垂直平分线，E,F是 AB 上的两点。   求证：∠ECF= ∠EDF。     易错巩固： 在△ABC中 ，AB=AC, 边AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角为50°, 则∠C的度数为                  当△ABC  为锐角三角形时，如图所示 当△ABC  为钝角三角形时，如图所示： 解析： 分类讨论： 20°或70° 课堂小结： 线段垂直平分线的性质与判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 作用：见垂直平分线，得线段相等 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上 课后作业： 基础必做题     1.下列关于线段的垂直平分线的说法：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；②线段的垂直平分线是一条直线；③一条线段的垂直平分线是这条线段的对称轴.其中正确的有(    )      A.①② B.①③ C.②③  D.①②③ 2.(新教材北师8下 P34 改编)如图，在△ABC 中 ，DE  是 AC 的垂直平分线，AE=3 cm, △ABD 的周长为13 cm, 求△ABC 的 周长. 课后作业： 基础必做题       3.如图,A,B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置? 4.（华师二附中校本经典题）如图，在△ ABC中，已知点D在边BC上，且BD+AD=BC.    求 证：点D在AC的垂直平分线上.                             课后作业： 基础必做题 5.如图，在△ABC 中,EF是AC的垂直平分线，ADBC,D为BE的中点. (1)求证：AB=CE. (2)若∠C=32°,求∠BAC 的度数.     课后作业： 提升选做题       ()              6.【转化思想】如图，在△ABC  中，AB=6,AC=8,EF垂直平分BC,P为直线EF上的 任意一点,则AP+BP的最小值是  (     ) A.8             B.10            C.12             D.14   【变式】如图，在等腰三角形ABC中 ，AB=AC=2,BC=4, 腰 AC的垂直平分线EF   分别交边AC,AB于点E,F.若D为边BC的中点,M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最 小值为         课后作业： 提升选做题 7.「2025上海七宝二中月考」如图，在△ABC 中，AB=BC=AC=12cm,点 M,N  分别从点A,B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M的速度为4 cm/s,  点N的速度为6cm/s,  当点 M,N 第一次相遇时停止运动.设点M,N的运动时间为t(t>0)秒，当线段 MN 的垂直平分线经过 △ABC的某一顶点时，求t的值。 $