统计与概率：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式5种高频考法复习讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦统计与概率核心模块，系统整合条件概率、全概率公式、贝叶斯公式及与数列综合等5种高频考法，按“概念-性质-计算-综合应用”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导、真题例题与变式训练的递进式教学环节，帮助学生构建知识网络，突破概率问题的分析与求解难点。 讲义突出数学思维与应用意识培养，如在全概率与数列综合考点中，引导学生通过定义状态、分析转移关系建立递推模型，结合构造等比数列求解通项，提升抽象能力与逻辑推理。分层设置例题与变式题，适配不同学生需求，为教师提供精准复习节奏把控依据，有效提升学生高考概率题的解题效率与得分能力。

统计与概率：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式5种高频考法复习讲义 统计与概率：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式5种高频考法复习讲义 考点目录 条件概率 全概率公式 全概率公式与条件概率的性质综合 贝叶斯公式 全概率公式与数列综合 知识点解析 1．条件概率的概念 一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．读作发生的条件下发生的概率． 注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行． 2．条件概率的性质 （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0． （3）如果和是两个互斥事件，则． 3．条件概率的计算方法 （1）利用定义计算：先分别计算概率和，然后代入公式即可． （2）借助古典概型计算概率的公式：先求事件包含的基本事件数，再在事件发生的条件下求事件包含的基本事件数，则． 4.概率的乘法公式：对于任意两个事件、，若，则. 5.全概率公式：一般的，设、，…，是一组两两互斥的事件，，且，，则对于任意的事件，有. 6.贝叶斯公式：设、，…，是一组两两互斥的事件，，且，，则对于任意的事件，，有. 7.全概率公式与贝叶斯公式联系与区别 对比维度 全概率公式 贝叶斯公式 目的 计算复杂事件的概率 推断结果发生的原因的概率（逆概率） 公式形式 核心作用 从原因到结果的正向概率计算 从结果到原因的反向概率推断 先验与后验 不直接涉及先验与后验的转化 体现先验概率到后验概率的更新 应用侧重点 解决 “预测结果” 的问题 解决 “分析原因” 的问题 8.全概率公式与数列递推 当概率问题具有重复结构或状态转移特性时（如赌徒问题、传球问题、随机游走），当前状态的概率往往依赖于前一步或前几步的状态.这时可以通过建立递推关系式来描述概率. 处理思路： 步骤 处理思路 定义状态 设为第步时某事件发生的概率（例如，第次传球后球在某人手中的概率） 分析转移关系 利用全概率公式，将表示为前一步所有可能状态的条件概率的加权和. 建立递推方程 通过全概率分解得到形如的递推式. 求解递推数列 利用数列的递推解法（如特征方程、待定系数法）求出通项公式 9.求数列通项公式常用的构造方法 （1）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得. （2）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得和. （3）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得. 考点一 条件概率 【例题分析】 例1．（2026·安徽宿州·一模）2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·山东烟台·月考）某班学生的考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占，已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格的概率是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·山东聊城·期末）一个盒子里装有质地、大小、形状都相同的7个球，其中白球2个，黑球2个，红球3个，现从盒子里依次取出2个球，已知取出的球有红球，则第二次取出的球是红球的概率_________． 例4．（25-26高三下·福建厦门·开学考试）在平面直角坐标系中，设集合，从U中随机选取2个不同的元素，其对应的点记为A，B，记事件M为“A，O，B三点能构成三角形”，事件N为“的面积恰为整数”，则______；______． 例5．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）某商场店庆抽奖规则：不透明容器内有6个颜色、大小均相同的小球，分别标有“五”“折”各1个，“钜”“惠”共4个．每位观众仅抽1次，一次性抽取2个球：若抽到“五”和“折”，获5折券；若抽到“钜”和“惠”，获7折券．已知获7折券的概率是获5折券概率的3倍． (1)求标有“惠”的小球个数； (2)若某观众已抽到1个“五”球，求其获得5折券的概率； (3)现有三位观众独立参加抽奖，求获得7折券的人数X的分布列与数学期望． 例6．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是. (1)求的值； (2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率； (3)从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·陕西商洛·期末）甲、乙两市都位于长江下游，根据多年来的气象记录，记事件A为“甲市下雨”，事件B为“乙市下雨”，已知，，.则和分别等于（ ）.（    ）. A．， B．， C．， D．， 变式2．（25-26高三上·湖南湘西·期末）设是两个随机事件，已知，，，记，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知随机事件互相独立，且满足，则__________. 变式4．（25-26高三下·湖北黄冈·月考）某中学有两个班，其中甲班科技课外兴趣小组有6人（4男2女），乙班科技课外兴趣小组有6人（3男3女），学校准备从这两个班的科技课外兴趣小组中随机挑选2个学生参加全市科技竞赛．已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率_____________． 变式5．（25-26高三下·重庆·开学考试）在乒乓球亚洲杯的决赛场上，中国队队员王楚钦击败了日本队队员张本智和并夺得金牌，重庆市育才中学高三的学生们深受鼓舞，在冲刺高考的同时，利用课余时间积极地进行乒乓球运动.甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜.已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立. (1)当时. （i）记比赛开始的前三场的中甲获胜的场数为X，求的分布列； （ii）求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； (2)若比赛结果为或者时胜方的成长值记3分，负方记0分，比赛结果为时胜方的成长值记2分，负方记1分，求甲队本次比赛的成长值得分的期望，并求的取值范围. 变式6．（2026·浙江·模拟预测）“村超”是乡村足球超级联赛的简称.其通过全民参与的体育赛事激活了乡村振兴新动能，构建了集文化自信、经济发展、社会治理于一体的乡村发展新模式.为了提高参赛球队技战术水平，某乡镇组织甲、乙、丙、丁四支参赛球队进行了“热身排位赛”，赛程为：第一轮：经过抽签，甲队和乙队为一组，丙队和丁队为一组，两组分别进行组内比赛，每组的胜者编入A组，负者编入B组；第二轮：A，B两组的球队分别进行组内比赛，A组的胜者进入决赛，B组的负者获得第4名；第三轮：A组的负者和B组的胜者比赛，胜者进入决赛，负者获得第3名；第四轮：决赛，胜者获得第1名，负者获得第2名.已知甲队与其他三支球队的比赛中，甲队获胜的概率均为.乙、丙、丁三支球队间的比赛中，每支球队获胜的概率均为（比赛没有平局）.且各场比赛之间互不影响. (1)求在第一轮比赛中甲队获胜的条件下，乙队获得第3名的概率； (2)记甲队最终获得的名次为随机变量，求的分布列和数学期望. 考点二 全概率公式 【例题分析】 例1．（25-26高三上·山西运城·月考）某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为．当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为；否则，第一件产品合格的概率为．某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良好的概率为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·安徽滁州·期末）跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽取一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（   ） A．0.42 B．0.36 C．0.35 D．0.45 例3．（25-26高二上·陕西渭南·期末）在信道内传输0、1信号，信号的传输相互独立，由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9.若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为_________________. 例4．（24-25高三上·福建漳州·月考）小明有3个红球和2个白球，小李有2个红球和2个白球.先从小明手中随机取出一个球给小李，再从小李手中随机取出两个球，用事件表示从小李手中取出的两球是红球，则___________. 例5．（25-26高三上·广东江门·月考）学校编程社团组织“代码调试挑战”，成员连续完成两段独立的基础代码调试记为完成一次挑战，且两段代码均调试成功才算一次挑战成功．已知成员M在每次挑战中调试第一段代码成功的概率为．若第一段代码调试成功，成员M信心提升，则调试第二段代码成功的概率为；若第一段代码调试未成功，成员M会更谨慎，则调试第二段代码成功的概率为． (1)求成员M在一次挑战中调试第二段代码成功的概率． (2)该社团组织规定每个成员每次挑战成功可获100元奖励，每次挑战只调试成功两段代码中的一段可获50元奖励．若成员M进行2次“代码调试挑战”，每次挑战成功与否相互独立，设成员M获得的奖励总金额为随机变量，求的数学期望． 例6．（2026·广东广州·模拟预测）“村BA”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为．甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得－1分．设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望； 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·山西太原·月考）有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，任取一个零件，则它是次品的概率为（    ） A．0.0545 B．0.0535 C．0.0515 D．0.0525 变式2．（25-26高三上·安徽合肥·月考）篮球作为三大球类运动之一，深受大众喜爱．据统计，某企业三个部门中喜欢篮球运动的员工分别占本部门总人数的40%，35%，30%，且这三个部门的员工人数之比为，现从这三个部门中随机抽取一位员工，则该员工喜欢篮球的概率为（   ） A．0.63 B．0.54 C．0.45 D．0.36 变式3．（25-26高三上·江西·月考）某市场供应的灯泡中，甲厂产品占30%，乙厂产品占70%，甲厂产品的合格率是70%，乙厂产品的合格率是90%，在该市场中随机购买一个灯泡，已知买到的是合格品，则这个灯泡是甲厂生产的概率是________． 变式4．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）某学校只有三个学院：理学院、工学院和商学院．各学院今年毕业的学生人数分别为180人、180人和240人，考上硕士研究生的概率分别为，，．现从该校毕业的学生中随意抽查一人，则该学生考上硕士研究生的概率为________． 变式5．（25-26高三下·云南昆明·月考）某公司研发了一种智能语音客服系统，在测试时，当语音输入的问题表达清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为，当语音输入的问题表达不清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为.已知语音输入的问题表达清晰的概率为，且智能语音客服每次回答是否被采纳相互没有影响. (1)求智能语音客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了4个问题，设表示智能语音客服的回答被采纳的次数，求的分布列､数学期望和方差. 变式6．（2026·湖南湘潭·二模）某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件中合格品占80%，不合格品占20%． (1)若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率． (2)若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率． (3)已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元．若某零件最终被判定为合格品，则以每件120元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户全额退款，并赔偿客户40元．设一个零件的利润为元，若的均值小于25，则该工厂将停止生产该零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由． 考点三 全概率公式与条件概率的性质综合 【例题分析】 例1．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·浙江衢州·月考）假设某市场供应的笔记本电脑中，市场占有率和合格率如下表： 甲厂 乙厂 市场占有率 合格率 在该市场中随机购买一台笔记本电脑，已知买到的是合格品，则这台电脑是甲厂生产的概率为（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高二下·山东青岛·月考·多选）已知事件，则（    ） A． B． C． D． 例4．（2025·山东泰安·模拟预测·多选）甲箱中有个红球、个白球和个黑球，乙箱中有个红球、个白球和个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，以分别表示事件由甲箱取出的球是红球、白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以表示事件由乙箱取出的球是红球.则（    ） A．事件与事件相互独立 B． C． D． 例5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）小华在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小华从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）．现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为______． 例6．（25-26高三上·天津河北·期末）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个放入奖品，即主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，主持人先随机打开不同于被选择的另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.用表示i号箱有奖品（），用表示主持人打开i号箱子（），现在已知抽奖人选择了1号箱，则________；________. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·云南保山·月考）运动员甲使用自由泳、蛙泳、仰泳这三种泳姿参加游泳比赛的概率依次为0.3，0.4，0.3；在甲使用自由泳、蛙泳、仰泳的条件下，甲能够获得奖牌的概率依次为0.5，0.5，0.4.若甲参加某次游泳比赛，则甲没有获得奖牌的概率为（   ） A．0.47 B．0.49 C．0.51 D．0.53 变式2．（24-25高二下·四川广安·月考）端午节起源于中国春秋战国时期，最初的活动与祭龙相关.其由来有多种传说，包括纪念屈原、伍子胥、曹娥和介子推等.屈原的传说最为广泛，人们通过吃粽子和赛龙舟来纪念他.2025年5月31日是我国传统的端午节，李老师购买14个粽子（其中ξ个为豆沙粽，个牛肉粽），且（），则李老师在吃到的前13个粽子均为牛肉粽的条件下，这14个粽子全部为牛肉粽的概率为（   ） A． B． C． D．1 变式3．（2026·湖南常德·一模·多选）设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高三上·江苏无锡·期末·多选）设，，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式5．（25-26高三上·广西·月考）已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和2个白球，乙袋内有2个红球和1个白球，根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球，若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球，若摸到2次红球则停止摸球，求3次之内（含3次）停止摸球的概率为______． 变式6．（24-25高二下·广东广州·期中）电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的．某体育用品供应商在甲电商平台推广新品A和，在乙电商平台推广新品．已知甲平台向一用户推送A的概率为0.7，推送的概率为0.5，同时推送A和的概率为0.3；乙平台向该用户推送的概率为0.6，且甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响． (1)在甲平台没有向该用户推送A的条件下，求它向该用户推送的概率为________； (2)这两个平台至少向该用户推送A、B、C中的一种的概率为________． 考点四 贝叶斯公式 【例题分析】 例1．（25-26高三上·云南曲靖·月考）某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·陕西西安·月考）根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（    ）． A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·上海·月考）某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为、、．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是__________． 例4．（25-26高三上·江苏无锡·月考）某小学举办家长开放日，欢迎家长参加活动，小明母亲参加活动的概率为，若母亲参加，则父亲参加的概率为；若母亲不参加，则父亲参加的概率为，请问小明父亲参加活动的概率为______；在已知小明父亲参加活动的条件下，母亲参加的概率为______. 例5．（24-25高三下·重庆·月考）把若干个红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中，且其中的红球占比依次为、、.现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为，然后从选取的盒子中随机摸出一个球. (1)求摸出的球是红球的概率； (2)若摸出的球是红球，记该红球为“”. （i）求“”是从乙盒摸出的概率； （ii）将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率. 例6．（24-25高三上·湖南长沙·月考）如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室．粒子在室不旋转，在室、室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立．粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为．现有两个粒子从室出发，先后经过1号门、2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为． (1)求的分布列和数学期望； (2)设，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·江苏常州·月考）居民的某疾病发病率为，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（    ） A．0.99 B．0.9 C．0.5 D．0.1 变式2．（25-26高三上·云南大理·月考）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·天津西青·期末）某社区有“驿站取件”和“上门配送”两种快递服务方式，居民首次选择服务方式时，选择两种服务方式的概率均为0.5.已知：若首次选了“驿站取件”，第二次继续选择“驿站取件”的概率为0.7.若首次选了“上门配送”，第二次换选择“驿站取件”的概率为0.2.则居民第二次选择“驿站取件”的概率为_____________，若已知某居民第二次选择“驿站取件”，则他首次选择是“上门配送”的概率为_____________. 变式4．（25-26高三上·福建福州·月考）已知男性中有患色盲，女性中有患色盲，从男女数量相等的人群中任选一人，设“任选一人是男性”为事件，“任选一人是女性”为事件“任选一人患色盲”为事件，如果此人患色盲，则此人是男性的概率_____. 变式5．（24-25高三上·上海·月考）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和. 试解决一下问题： (1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由． 变式6．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）假设在数字通信中传送信号0与1的概率为0.8和0.2.由于随机干扰，当传送信号0时，接收到信号为0的概率为0.8，当传送信号1时，接收到信号为1的概率为0.9.求： (1)当接收到信号0时，传送的信号是0的概率； (2)在信息传送过程中，当第一个人接收到信息后，将信息发送给第二个人，这样依次传递下去，在n次传递中，0出现的次数为，求. 考点五 全概率公式与数列综合 【例题分析】 例1．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·月考）某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)设第i次降落成功的概率为，求证：. 例2．（25-26高三上·广西河池·期末）某篮球教练带领、两名篮球运动员训练篮球的接球与传球.首先由教练第一次传球给、中的某位运动员，然后该运动员再传回给教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了运动员，且教练第次传球传给运动员的概率为. (1)若， （ⅰ）求，； （ⅱ）求的表达式. (2)若.证明： 例3．（2026·陕西安康·一模）已知甲､乙两个盒子均装有1个白球和1个黑球，现进行如下操作：从这两个盒子中各取1个球放入对方的盒子中.重复这样的操作，第次操作后甲盒中白球的个数记为. (1)求； (2)证明：是等比数列； 【变式训练】 变式1．（2026·辽宁·模拟预测）2014年，中华人民共和国国务院发布《关于深化考试招生制度改革的实施意见》，启动了高考恢复以来最全面、最深刻的招生考试改革.依据《实施意见》精神，结合新时代高校选才需求和修订后的高中课标，新高考外语科目推进考试内容改革，2017年起在部分新高考省份试点新的试卷结构，其中包括完形填空这一题型.针对这一题型，某高中的李老师提出了经验：“对于完形填空中的一道题，如果你不确定，那么你就不要对第一次选择的答案进行改动，因为根据经验表明，第一次选择的答案正确率为60%．”请根据此话中的数据回答下列题目． (1)现已知有一篇完形填空有道题，小朱在作答完形填空时，有的概率会做，在会做的条件下有的概率因混淆词义做错；有的概率不会做．已知小朱不会放弃任何一次作答机会，那么他“根据经验”进行作答． ①若，，求小朱做对一道完形填空小题的概率； ②在①的条件下，已知，若已知小朱每道完形填空的作答情况不受前一道题目作答情况的影响（即相互独立），设小朱答对的题目数为，求的分布列与期望； (2)现已知有一篇完形填空有道题，小佳同学在做完形填空时，第道题的正确与否与第道题是否答对有关．若第道题没有把握（看作答错），则第道题正确的概率为；若第道题有把握答对（看作答对），则第道题正确的概率为．在（1）①的条件下，设第道题正确的概率为，求． 变式2．（25-26高三上·辽宁沈阳·月考）马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是……，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即． 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型． 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为一种是赌金达到预期的元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示． 当赌徒手中有元时，最终欠债元（可以记为该赌徒手中有元）概率为，请回答下列问题： (1)请直接写出与的数值； (2)证明是一个等差数列，并写出公差； (3)当时，分别计算时，的数值，论述当B持续增大时，的统计含义． 变式3．（25-26高三上·山东济南·期中）甲､乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜.假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. (1)时，若两人共进行5局比赛.设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)时，若两人共进行局比赛.记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”.事件表示“甲最终获胜”.请写出的值（直接写出结果即可）； (3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为证明：时，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式5种高频考法复习讲义 统计与概率：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式5种高频考法复习讲义 考点目录 条件概率 全概率公式 全概率公式与条件概率的性质综合 贝叶斯公式 全概率公式与数列综合 知识点解析 1．条件概率的概念 一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．读作发生的条件下发生的概率． 注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行． 2．条件概率的性质 （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0． （3）如果和是两个互斥事件，则． 3．条件概率的计算方法 （1）利用定义计算：先分别计算概率和，然后代入公式即可． （2）借助古典概型计算概率的公式：先求事件包含的基本事件数，再在事件发生的条件下求事件包含的基本事件数，则． 4.概率的乘法公式：对于任意两个事件、，若，则. 5.全概率公式：一般的，设、，…，是一组两两互斥的事件，，且，，则对于任意的事件，有. 6.贝叶斯公式：设、，…，是一组两两互斥的事件，，且，，则对于任意的事件，，有. 7.全概率公式与贝叶斯公式联系与区别 对比维度 全概率公式 贝叶斯公式 目的 计算复杂事件的概率 推断结果发生的原因的概率（逆概率） 公式形式 核心作用 从原因到结果的正向概率计算 从结果到原因的反向概率推断 先验与后验 不直接涉及先验与后验的转化 体现先验概率到后验概率的更新 应用侧重点 解决 “预测结果” 的问题 解决 “分析原因” 的问题 8.全概率公式与数列递推 当概率问题具有重复结构或状态转移特性时（如赌徒问题、传球问题、随机游走），当前状态的概率往往依赖于前一步或前几步的状态.这时可以通过建立递推关系式来描述概率. 处理思路： 步骤 处理思路 定义状态 设为第步时某事件发生的概率（例如，第次传球后球在某人手中的概率） 分析转移关系 利用全概率公式，将表示为前一步所有可能状态的条件概率的加权和. 建立递推方程 通过全概率分解得到形如的递推式. 求解递推数列 利用数列的递推解法（如特征方程、待定系数法）求出通项公式 9.求数列通项公式常用的构造方法 （1）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得. （2）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得和. （3）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得. 考点一 条件概率 【例题分析】 例1．（2026·安徽宿州·一模）2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件A，B，C， 三场比赛中恰有两场赢对方为事件D，则， ， 所以. 故选：B 例2．（25-26高三上·山东烟台·月考）某班学生的考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占，已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设为事件“数学不及格”，为事件“语文不及格”，则 由条件概率公式， 所以当数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为． 故选：A 例3．（25-26高三上·山东聊城·期末）一个盒子里装有质地、大小、形状都相同的7个球，其中白球2个，黑球2个，红球3个，现从盒子里依次取出2个球，已知取出的球有红球，则第二次取出的球是红球的概率_________． 【答案】 【详解】从7个球中依次取出2个球，共有种， 取出的球没有红球，即取的是白球或黑球，则有种， 所以从盒子里依次取出2个球，取出的球有红球的概率为：， 取出的球有红球，则第二次取出的球是红球，分两种情况， 第一次取非红球，第二次取红球有种， 第一次取红球，第二次取红球有种， 第二次取红球有种， 所以取出的球有红球，则第二次取出的球是红球的概率为， 所以， 故答案为： 例4．（25-26高三下·福建厦门·开学考试）在平面直角坐标系中，设集合，从U中随机选取2个不同的元素，其对应的点记为A，B，记事件M为“A，O，B三点能构成三角形”，事件N为“的面积恰为整数”，则______；______． 【答案】 【详解】由题意可得的选法有3种，的选法有3种，所以全集中有9个点. 首先，计算所有可能的点对的种数为， 下面考虑不能构成三角形的情况：①A，B中含原点，此时有8种； ②A，B中不含原点，则O，A，B三点共线，有，，，共3种， 因此，A，O，B三点能构成三角形的种数为，所以； 方法1：①考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况， 有，，，共3对； ②考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况， 有，，，，，，共6对； ③考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况（去除重复的点对）， 有，，共2对； ④考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况（去除重复的点对）， 有，，，，共4对； ⑤考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况（去除重复的点对）， 有，，共2对； 所以， 所以． 方法2：不妨设，，易知的面积为， 则为整数，等价于“为偶数”， 将非原点的8个点按坐标的奇偶性分类如下：（偶，偶）：，，，有3个； （偶，奇）：，，有2个；（奇，偶）：，，有2个；（奇，奇）：，有1个， 令，则d为奇数当且仅当，中恰为一奇一偶， 点对类型为：{（偶，奇），（奇，偶）}，{（偶，奇），（奇，奇）}，{（奇，偶），（奇，奇）}， 有种， 注意到在A，O，B三点能构成三角形的前提下，d为偶数的种数为， 所以， 所以． 例5．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）某商场店庆抽奖规则：不透明容器内有6个颜色、大小均相同的小球，分别标有“五”“折”各1个，“钜”“惠”共4个．每位观众仅抽1次，一次性抽取2个球：若抽到“五”和“折”，获5折券；若抽到“钜”和“惠”，获7折券．已知获7折券的概率是获5折券概率的3倍． (1)求标有“惠”的小球个数； (2)若某观众已抽到1个“五”球，求其获得5折券的概率； (3)现有三位观众独立参加抽奖，求获得7折券的人数X的分布列与数学期望． 【答案】(1)或 (2) (3)分布列见详解；数学期望为 【详解】（1）设标有“惠”的小球有个，则“钜”的小球有个，为正整数，且， 从个球中一次性抽取个的总方法数：， 获折券（抽到“五”和“折”）的方法数：，概率为， 获折券（抽到“钜”和“惠”）的方法数：，概率为， 由题意，即：， 化简得，解方程，得或， 因此，标有“惠”的小球个数为或； （2）已抽到“五”球后，剩余个球，其中“折”球有个，要获得折券，需抽到“折”球，故概率为：； （3）由第一问可知，“惠”的个数有两个解：或； 当“惠”，“钜”时，单次抽奖获折券的概率为， 当“惠”，“钜”时，单次抽奖获折券的概率为， 两种情况下，单次抽奖获得折券的概率恰好都是， 三位观众独立获得折券的人数服从二项分布，故， 则，， ，， 分布列： 数学期望：. 例6．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是. (1)求的值； (2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率； (3)从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【详解】（1）从一个袋子中任取两个球的总组合数为，取到两个标号为2的球的组合数为. 则取到的标号都是2的概率是， 整理得，解得或（舍去）. （2）设事件表示“其中一个标号是1”，事件表示“另一个标号也是1”. 因为，， 所以. （3）的可能取值为， 因为从袋子中取个球，编号为的概率分别为， 所以，， ，， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·陕西商洛·期末）甲、乙两市都位于长江下游，根据多年来的气象记录，记事件A为“甲市下雨”，事件B为“乙市下雨”，已知，，.则和分别等于（ ）.（    ）. A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】由题，，， 所以， . 故选：C. 变式2．（25-26高三上·湖南湘西·期末）设是两个随机事件，已知，，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知得， 注意到，所以相互独立， 故， ， 又因为，故， 所以. 故选：C. 变式3．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知随机事件互相独立，且满足，则__________. 【答案】 【详解】因为互相独立，所以. 又因为， 把代入可得：， 故. 由相互独立，得. 故答案为： 变式4．（25-26高三下·湖北黄冈·月考）某中学有两个班，其中甲班科技课外兴趣小组有6人（4男2女），乙班科技课外兴趣小组有6人（3男3女），学校准备从这两个班的科技课外兴趣小组中随机挑选2个学生参加全市科技竞赛．已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率_____________． 【答案】 【详解】已知甲班科技小组：4男2女，共6人；乙班科技小组：3男3女，共6人， 则总人数为，其中男生7人，女生5人； 设事件为“选出的2个学生都是男生”，事件为“选出的2个学生中至少1个是男生”， 已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率为： 事件发生的情况下事件发生的概率，即为， 是的子集， ， ， ． 故答案为：． 变式5．（25-26高三下·重庆·开学考试）在乒乓球亚洲杯的决赛场上，中国队队员王楚钦击败了日本队队员张本智和并夺得金牌，重庆市育才中学高三的学生们深受鼓舞，在冲刺高考的同时，利用课余时间积极地进行乒乓球运动.甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜.已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立. (1)当时. （i）记比赛开始的前三场的中甲获胜的场数为X，求的分布列； （ii）求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； (2)若比赛结果为或者时胜方的成长值记3分，负方记0分，比赛结果为时胜方的成长值记2分，负方记1分，求甲队本次比赛的成长值得分的期望，并求的取值范围. 【答案】(1)（i）分布列见解析；（ii） (2) 【详解】（1）（i）由题意可知，，则的可能取值为， 则；； ；， ∴分布列为 0 1 2 3 （ii）设事件表示“比赛恰好进行4场”，事件表示“甲队获胜”. 甲队获胜包含三种情况： 比赛3场甲队获胜，其概率为. 比赛4场甲队获胜，即前3场甲队胜2场，第4场甲队胜，概率为. 比赛5场甲队获胜，即前4场甲队胜2场，第5场甲队胜，概率为. ∴甲队获胜的概率为. 甲队获胜且比赛恰好进行4场的概率为. ∴在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了4场的概率为. （2）甲队本次比赛的成长值得分的可能取值为3，2，1，0. ； ； ； . ∴ . 令， 则， ∵，∴， 再令， ，判别式， 的两根为，， 由可得，则在上单调递减，则， 所以时，，， 因此函数在上单调递增， 又，当趋近于1时，，则， 故的取值范围是. 变式6．（2026·浙江·模拟预测）“村超”是乡村足球超级联赛的简称.其通过全民参与的体育赛事激活了乡村振兴新动能，构建了集文化自信、经济发展、社会治理于一体的乡村发展新模式.为了提高参赛球队技战术水平，某乡镇组织甲、乙、丙、丁四支参赛球队进行了“热身排位赛”，赛程为：第一轮：经过抽签，甲队和乙队为一组，丙队和丁队为一组，两组分别进行组内比赛，每组的胜者编入A组，负者编入B组；第二轮：A，B两组的球队分别进行组内比赛，A组的胜者进入决赛，B组的负者获得第4名；第三轮：A组的负者和B组的胜者比赛，胜者进入决赛，负者获得第3名；第四轮：决赛，胜者获得第1名，负者获得第2名.已知甲队与其他三支球队的比赛中，甲队获胜的概率均为.乙、丙、丁三支球队间的比赛中，每支球队获胜的概率均为（比赛没有平局）.且各场比赛之间互不影响. (1)求在第一轮比赛中甲队获胜的条件下，乙队获得第3名的概率； (2)记甲队最终获得的名次为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）设事件M：乙队获得第3名，事件N：第一轮比赛中甲队获胜，则， ， 所以， 所以在第一轮比赛中甲队获胜的条件下，乙队获得第三名的概率为. （2）随机变量的可能取值为1，2，3，4， ； ； ； . 所以的分布列为： 1 2 3 4 P 故的数学期望. 考点二 全概率公式 【例题分析】 例1．（25-26高三上·山西运城·月考）某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为．当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为；否则，第一件产品合格的概率为．某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良好的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】用表示生产线初始状态良好，表示第一件产品是合格品， 则，，，从而， 可知； 因此． 故选：D 例2．（25-26高二上·安徽滁州·期末）跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽取一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（   ） A．0.42 B．0.36 C．0.35 D．0.45 【答案】C 【详解】设事件表示“随机抽取一名教师喜欢跑步”，事件分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”， 因为三个年级的教师人数之比为， 所以，，， 因为高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的， 所以，， 根据全概率公式可得. 故选：C 例3．（25-26高二上·陕西渭南·期末）在信道内传输0、1信号，信号的传输相互独立，由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9.若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为_________________. 【答案】0.8 【详解】根据题意，设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”， 则，，，. 设发送信号为1的概率为， 则接收信号为的概率 ， 解得，即发送信号为的概率为. 故答案为：0.8 例4．（24-25高三上·福建漳州·月考）小明有3个红球和2个白球，小李有2个红球和2个白球.先从小明手中随机取出一个球给小李，再从小李手中随机取出两个球，用事件表示从小李手中取出的两球是红球，则___________. 【答案】 【详解】用表示“从小明手中随机取出的球是红球 ”，则表示“从小明手中随机取出的球是白球” 则， 所以 ， 故答案为：. 例5．（25-26高三上·广东江门·月考）学校编程社团组织“代码调试挑战”，成员连续完成两段独立的基础代码调试记为完成一次挑战，且两段代码均调试成功才算一次挑战成功．已知成员M在每次挑战中调试第一段代码成功的概率为．若第一段代码调试成功，成员M信心提升，则调试第二段代码成功的概率为；若第一段代码调试未成功，成员M会更谨慎，则调试第二段代码成功的概率为． (1)求成员M在一次挑战中调试第二段代码成功的概率． (2)该社团组织规定每个成员每次挑战成功可获100元奖励，每次挑战只调试成功两段代码中的一段可获50元奖励．若成员M进行2次“代码调试挑战”，每次挑战成功与否相互独立，设成员M获得的奖励总金额为随机变量，求的数学期望． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设事件为 “第一段代码调试成功”，事件为 “第二段代码调试成功”， 已知，则，，， 则， 即. （2）挑战成功（两段都成功）的概率； 第一段成功、第二段失败， 第一段失败、第二段成功， 所以只成功一段的概率， 两段都失败的概率， 设一次挑战的奖励为​，则， 因为两次挑战相互独立，所以. 例6．（2026·广东广州·模拟预测）“村BA”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为．甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得－1分．设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望； 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）设B＝“甲同学所选的题目回答正确”， “所选的题目为篮球、足球、排球相关知识的题目”（i＝1，2，3）， 根据题意得， ； 所以 （2）由题意可知，X的可能取值为， 则， ， ， ， 所以X的分布列为： X 1 5 9 P 所以. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·山西太原·月考）有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，任取一个零件，则它是次品的概率为（    ） A．0.0545 B．0.0535 C．0.0515 D．0.0525 【答案】D 【详解】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工分别为事件A，B，C， 该零件为次品为事件D，则，，， 故，． 任取一个零件是次品的概率． 故选：D. 变式2．（25-26高三上·安徽合肥·月考）篮球作为三大球类运动之一，深受大众喜爱．据统计，某企业三个部门中喜欢篮球运动的员工分别占本部门总人数的40%，35%，30%，且这三个部门的员工人数之比为，现从这三个部门中随机抽取一位员工，则该员工喜欢篮球的概率为（   ） A．0.63 B．0.54 C．0.45 D．0.36 【答案】D 【详解】设事件A为该员工喜欢篮球，事件，，分别为该员工来自三个部门， 则，，， 且，， 故由全概率公式可得 ， 故选：D 变式3．（25-26高三上·江西·月考）某市场供应的灯泡中，甲厂产品占30%，乙厂产品占70%，甲厂产品的合格率是70%，乙厂产品的合格率是90%，在该市场中随机购买一个灯泡，已知买到的是合格品，则这个灯泡是甲厂生产的概率是________． 【答案】 【详解】设事件为“购买一个甲厂灯泡”，事件为“购买一个乙厂灯泡”，事件为“购买的灯泡是合格品”， 依题意，， 因此， ， 所以这个灯泡是甲厂生产的概率是. 故答案为： 变式4．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）某学校只有三个学院：理学院、工学院和商学院．各学院今年毕业的学生人数分别为180人、180人和240人，考上硕士研究生的概率分别为，，．现从该校毕业的学生中随意抽查一人，则该学生考上硕士研究生的概率为________． 【答案】0.285 【详解】设该学生考上硕士研究生，该学生来自理学院，该学生来自工学院，该学生来自商学院}， 则两两互不相容， 故由全概率公式知所求概率为 ． 故答案为：0.285. 变式5．（25-26高三下·云南昆明·月考）某公司研发了一种智能语音客服系统，在测试时，当语音输入的问题表达清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为，当语音输入的问题表达不清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为.已知语音输入的问题表达清晰的概率为，且智能语音客服每次回答是否被采纳相互没有影响. (1)求智能语音客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了4个问题，设表示智能语音客服的回答被采纳的次数，求的分布列､数学期望和方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，3， 【详解】（1）设表示事件“智能语音客服的回答被采纳”；表示事件“语音输入的问题表达清晰”， 由题意可知，， 所以， 即智能语音客服的回答被采纳的概率为. （2）依题意得，的所有可能取值为，且. 所以 所以的分布列为 0 1 2 3 4 变式6．（2026·湖南湘潭·二模）某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件中合格品占80%，不合格品占20%． (1)若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率． (2)若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率． (3)已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元．若某零件最终被判定为合格品，则以每件120元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户全额退款，并赔偿客户40元．设一个零件的利润为元，若的均值小于25，则该工厂将停止生产该零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由． 【答案】(1)0.028. (2)0.7224. (3)该工厂不会停止生产该零件，理由见解析 【详解】（1）设该零件被误判为合格品是事件．连续检测3次该零件的结果中， “合格”的次数不低于2才能被误判为合格品， 所以， 所以该零件最终被误判为合格品的概率为0.028. （2）设被检测的零件为合格品是事件，被检测的零件为不合格品是事件， 被检测的零件最终被判定为合格品是事件， 则． 由（1）知，又因为，， 所以由全概率公式得 ， 故该零件最终被判定为合格品的概率为0.7224. （3）的所有可能取值为，60，． ， ， ， 则． 因为，所以该工厂不会停止生产该零件． 考点三 全概率公式与条件概率的性质综合 【例题分析】 例1．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，则， 由全概率公式可得， 所以. 故选：D 例2．（25-26高三上·浙江衢州·月考）假设某市场供应的笔记本电脑中，市场占有率和合格率如下表： 甲厂 乙厂 市场占有率 合格率 在该市场中随机购买一台笔记本电脑，已知买到的是合格品，则这台电脑是甲厂生产的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】用表示买到的电脑是甲厂生产的，表示买到的电脑是合格品， 则，，，， 由贝叶斯公式可知． 故选：B. 例3．（24-25高二下·山东青岛·月考·多选）已知事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由题设，A错； ，B对； ，所以，D对； ，C对. 故选：BCD 例4．（2025·山东泰安·模拟预测·多选）甲箱中有个红球、个白球和个黑球，乙箱中有个红球、个白球和个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，以分别表示事件由甲箱取出的球是红球、白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以表示事件由乙箱取出的球是红球.则（    ） A．事件与事件相互独立 B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意知，， 若发生，此时乙箱中有个红球、个白球和个黑球，则，故C正确； 若发生，此时乙箱中有个红球、个白球和个黑球，则； 若发生，此时乙箱中有个红球、个白球和个黑球，则. 所以，故B正确． ， 则，故D错误. ，故A错误． 故选：BC. 例5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）小华在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小华从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）．现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为______． 【答案】 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球， 则， 由全概率公式可得， 所以. 故答案为： 例6．（25-26高三上·天津河北·期末）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个放入奖品，即主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，主持人先随机打开不同于被选择的另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.用表示i号箱有奖品（），用表示主持人打开i号箱子（），现在已知抽奖人选择了1号箱，则________；________. 【答案】 【详解】抽奖人选择了1号箱，则由题意在2号箱有奖品条件下主持人选择打开3号箱或4号箱，故可得； 同理可求得， 所以由全概率公式可得. 故答案为：；. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·云南保山·月考）运动员甲使用自由泳、蛙泳、仰泳这三种泳姿参加游泳比赛的概率依次为0.3，0.4，0.3；在甲使用自由泳、蛙泳、仰泳的条件下，甲能够获得奖牌的概率依次为0.5，0.5，0.4.若甲参加某次游泳比赛，则甲没有获得奖牌的概率为（   ） A．0.47 B．0.49 C．0.51 D．0.53 【答案】D 【详解】设表示“甲使用自由泳参加比赛”，表示“甲使用蛙泳参加比赛”，表示“甲使用仰泳参加比赛”，表示“甲没有获得奖牌”，则. 故选：D 变式2．（24-25高二下·四川广安·月考）端午节起源于中国春秋战国时期，最初的活动与祭龙相关.其由来有多种传说，包括纪念屈原、伍子胥、曹娥和介子推等.屈原的传说最为广泛，人们通过吃粽子和赛龙舟来纪念他.2025年5月31日是我国传统的端午节，李老师购买14个粽子（其中ξ个为豆沙粽，个牛肉粽），且（），则李老师在吃到的前13个粽子均为牛肉粽的条件下，这14个粽子全部为牛肉粽的概率为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】记记事件：14个粽子中有i个豆沙粽，， 事件B：吃到的前13个粽子均为牛肉粽. 则，， 当时，， 由题知，， 所以， 又， 所以. 故选：C. 变式3．（2026·湖南常德·一模·多选）设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由，可得；因此C正确； 又，为两个相互独立的随机事件，所以，所以； 根据全概率公式可得, 解得，因此A错误； 又， 解得，因此B错误； 易知， 所以，即D正确. 故选：CD 变式4．（25-26高三上·江苏无锡·期末·多选）设，，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】已知，，，，， 选项A：由条件概率公式， 得，故A正确； 选项B：由全概率公式， 得，故B正确； 选项C：由加法公式， 得，故C正确； 选项D：由条件概率公式， 得，故D错误． 故选：ABC． 变式5．（25-26高三上·广西·月考）已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和2个白球，乙袋内有2个红球和1个白球，根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球，若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球，若摸到2次红球则停止摸球，求3次之内（含3次）停止摸球的概率为______． 【答案】 【详解】设事件“3次之内（含3次）停止摸球”， 事件 “第1次摸到红球，第2次摸到红球”； 事件 “第1次摸到红球，第2次摸到白球，第3次摸到红球”； 事件“第1次摸到白球，第2次摸到红球，第3次摸到红球”； 事件“在第次摸球时首次选择甲袋”（）， 事件“一直没有选择甲袋”． 则． ． ． 因此． 故答案为：. 变式6．（24-25高二下·广东广州·期中）电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的．某体育用品供应商在甲电商平台推广新品A和，在乙电商平台推广新品．已知甲平台向一用户推送A的概率为0.7，推送的概率为0.5，同时推送A和的概率为0.3；乙平台向该用户推送的概率为0.6，且甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响． (1)在甲平台没有向该用户推送A的条件下，求它向该用户推送的概率为________； (2)这两个平台至少向该用户推送A、B、C中的一种的概率为________． 【答案】 【详解】（1）设甲平台向该用户推送A为事件，推送为事件，则甲平台没有向该用户推送A为事件，由题设可知： ，，，， 又，所以， . 所以在甲平台没有向该用户推送A的条件下，求它向该用户推送的概率为. （2）设平台向该用户推送为事件， 则这两个平台向该用户至少推送A、B、C中的一种的概率为：， 因为甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响， 所以， 因为，所以， 即， 所以. 所以这两个平台至少向该用户推送A、B、C中的一种的概率为. 故答案为：；. 考点四 贝叶斯公式 【例题分析】 例1．（25-26高三上·云南曲靖·月考）某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件表示选到会做的题，事件表示选到有思路的题，事件表示选到完全没有思路的题； 设事件表示答对该题，则， 设事件表示答对某个题， 则， 设事件表示将有思路的题目做对，则， 故选：B 例2．（25-26高三上·陕西西安·月考）根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记小孔同学周一去食堂一楼为事件A，周二去食堂一楼为事件B， 则本题所求． 故选：A． 例3．（25-26高三上·上海·月考）某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为、、．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是__________． 【答案】 【详解】记事件“取得一个产品是次品”，“取得的一箱是甲厂的”， “取得的一箱是乙厂的”，“取得的一箱是丙厂的”， 则由题，，， ，，， 所以由全概率公式得 ， 所以由贝叶斯公式若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是 . 故答案为：. 例4．（25-26高三上·江苏无锡·月考）某小学举办家长开放日，欢迎家长参加活动，小明母亲参加活动的概率为，若母亲参加，则父亲参加的概率为；若母亲不参加，则父亲参加的概率为，请问小明父亲参加活动的概率为______；在已知小明父亲参加活动的条件下，母亲参加的概率为______. 【答案】 【详解】设事件为小明母亲参加活动，设事件为小明父亲参加活动， 由题意可得, 所以， 因为， 所以在已知小明父亲参加活动的条件下，母亲参加的概率为. 故答案为：； 例5．（24-25高三下·重庆·月考）把若干个红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中，且其中的红球占比依次为、、.现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为，然后从选取的盒子中随机摸出一个球. (1)求摸出的球是红球的概率； (2)若摸出的球是红球，记该红球为“”. （i）求“”是从乙盒摸出的概率； （ii）将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）设“随机选取一个盒子，选中甲盒子”为事件、 “随机选取一个盒子，选中乙盒子”为事件、 “随机选取一个盒子，选中丙盒子”为事件、 “从选取的盒子中随机摸出一个球，该球为红球”为事件， 则 ； （2）（i）； （ii）设“将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，此球为红球”为事件， ， ， 分别记、、为、、， 则 . 例6．（24-25高三上·湖南长沙·月考）如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室．粒子在室不旋转，在室、室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立．粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为．现有两个粒子从室出发，先后经过1号门、2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为． (1)求的分布列和数学期望； (2)设，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率． 【答案】(1)分布列见解析，1 (2) 【详解】（1）由题知的所有可能取值为，时分3类情形， ①两个粒子通过1号门后均处上旋状态，通过2号门后均不改变状态； ②两个粒子通过1号门后一个上旋状态一个下旋状态，通过2号门后上旋状态粒子不改变状态，下旋状态粒子改变状态； ③两个粒子通过1号门后两个均为下旋状态，通过2号门后均改变状态， 所以， 同理， ， 所以所求的分布列为 0 1 2 所求数学期望. （2）设事件“两个粒子通过1号门后处于上旋状态的粒子个数为个”，， 事件“两个粒子通过2号门后处于上旋状态的粒子个数为2个”， 则，， ，，， 由（1）得． 故． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·江苏常州·月考）居民的某疾病发病率为，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（    ） A．0.99 B．0.9 C．0.5 D．0.1 【答案】C 【详解】记事件某人患病，事件化验结果呈阳性， 由题意可知，，， 所以， ， 现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是： . 故选：C. 变式2．（25-26高三上·云南大理·月考）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”， 则，，，， 则， ， 故， 故. 故选：D 变式3．（25-26高三上·天津西青·期末）某社区有“驿站取件”和“上门配送”两种快递服务方式，居民首次选择服务方式时，选择两种服务方式的概率均为0.5.已知：若首次选了“驿站取件”，第二次继续选择“驿站取件”的概率为0.7.若首次选了“上门配送”，第二次换选择“驿站取件”的概率为0.2.则居民第二次选择“驿站取件”的概率为_____________，若已知某居民第二次选择“驿站取件”，则他首次选择是“上门配送”的概率为_____________. 【答案】 【详解】设表示首次选“驿站取件”，则， 表示首次选“上门配送”，则， 表示第二次选“驿站取件”则， 根据全概率公式可得， 第二空根据贝叶斯公式可得. 故答案为：， 变式4．（25-26高三上·福建福州·月考）已知男性中有患色盲，女性中有患色盲，从男女数量相等的人群中任选一人，设“任选一人是男性”为事件，“任选一人是女性”为事件“任选一人患色盲”为事件，如果此人患色盲，则此人是男性的概率_____. 【答案】 【详解】此人患色盲的概率 又， . 故答案为：. 变式5．（24-25高三上·上海·月考）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和. 试解决一下问题： (1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由． 【答案】(1) (2)该航班飞往其他地区的可能性最大． 【详解】（1）设"该航班飞往地"， "该航班飞往地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"， 则，，， ，，， 由全概率公式得， ， 所以该航班准点放行的概率为. （2）， ， ， 因为，所以该航班飞往其他地区的可能性最大． 变式6．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）假设在数字通信中传送信号0与1的概率为0.8和0.2.由于随机干扰，当传送信号0时，接收到信号为0的概率为0.8，当传送信号1时，接收到信号为1的概率为0.9.求： (1)当接收到信号0时，传送的信号是0的概率； (2)在信息传送过程中，当第一个人接收到信息后，将信息发送给第二个人，这样依次传递下去，在n次传递中，0出现的次数为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）记“传送信号0”， “传送信号1”， “接收信号0”. 可知，，，， 由贝叶斯公式得所求的概率为： ， 即当接收到信号0时，传送的信号是0的概率为. （2）在一次传送中，接收到0的概率为， 每次传送都有相同的传送概率和接收概率，则有， 所以. 考点五 全概率公式与数列综合 【例题分析】 例1．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·月考）某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)设第i次降落成功的概率为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设事件“第次降落成功”，则“第次降落未成功”，， 由全概率公式得， 该操作员第二次降落成功的概率为. （2）由题意得， 当时， 即， 整理得， 又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 即， 易知单调递增 所以. 例2．（25-26高三上·广西河池·期末）某篮球教练带领、两名篮球运动员训练篮球的接球与传球.首先由教练第一次传球给、中的某位运动员，然后该运动员再传回给教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了运动员，且教练第次传球传给运动员的概率为. (1)若， （ⅰ）求，； （ⅱ）求的表达式. (2)若.证明： 【答案】(1)（i）；；（ii）. (2)证明见解析. 【详解】（1）（i），，. （ii）由已知可得递推关系， 化简得：，设，解得， 所以，， 又因为， 是以为首项，为公比的等比数列， ，. （2），，化简得：， 设，解得， 所以， 从而得到的表达式：， 因为，所以单调递减且大于零， 从而                                例3．（2026·陕西安康·一模）已知甲､乙两个盒子均装有1个白球和1个黑球，现进行如下操作：从这两个盒子中各取1个球放入对方的盒子中.重复这样的操作，第次操作后甲盒中白球的个数记为. (1)求； (2)证明：是等比数列； 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）初始时甲､乙两盒均装有1个白球和1个黑球，第一次操作时，从两盒中各取一球交换，共有4种等可能情况： 甲取白､乙取白：交换后甲盒白球数为1； 甲取白､乙取黑：交换后甲盒白球数为0； 甲取黑､乙取白：交换后甲盒白球数为2； 甲取黑､乙取黑：交换后甲盒白球数为1. 故. （2）记，则， 由全概率公式得： ① 所以②， ③ 由①和③知，结合初始值， 可得对任意有，代入中， 得：，④ 将④代入②式得： 整理得， 即：，又， 所以数列是公比为的等比数列. 【变式训练】 变式1．（2026·辽宁·模拟预测）2014年，中华人民共和国国务院发布《关于深化考试招生制度改革的实施意见》，启动了高考恢复以来最全面、最深刻的招生考试改革.依据《实施意见》精神，结合新时代高校选才需求和修订后的高中课标，新高考外语科目推进考试内容改革，2017年起在部分新高考省份试点新的试卷结构，其中包括完形填空这一题型.针对这一题型，某高中的李老师提出了经验：“对于完形填空中的一道题，如果你不确定，那么你就不要对第一次选择的答案进行改动，因为根据经验表明，第一次选择的答案正确率为60%．”请根据此话中的数据回答下列题目． (1)现已知有一篇完形填空有道题，小朱在作答完形填空时，有的概率会做，在会做的条件下有的概率因混淆词义做错；有的概率不会做．已知小朱不会放弃任何一次作答机会，那么他“根据经验”进行作答． ①若，，求小朱做对一道完形填空小题的概率； ②在①的条件下，已知，若已知小朱每道完形填空的作答情况不受前一道题目作答情况的影响（即相互独立），设小朱答对的题目数为，求的分布列与期望； (2)现已知有一篇完形填空有道题，小佳同学在做完形填空时，第道题的正确与否与第道题是否答对有关．若第道题没有把握（看作答错），则第道题正确的概率为；若第道题有把握答对（看作答对），则第道题正确的概率为．在（1）①的条件下，设第道题正确的概率为，求． 【答案】(1)①；②分布列见解析，2.1 (2) 【详解】（1）①设小朱会做某题为事件A，混淆词义出错为事件B，蒙对一道题为事件D． 其中，，， 根据全概率公式，有 ，     ②小朱答对的题目数服从二项分布，则 分布列如下： 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 （道） （2）根据全概率公式，有 化简得：    设新数列，满足 解得： 数列是以为首项、为公比的等比数列． 所以 变式2．（25-26高三上·辽宁沈阳·月考）马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是……，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即． 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型． 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为一种是赌金达到预期的元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示． 当赌徒手中有元时，最终欠债元（可以记为该赌徒手中有元）概率为，请回答下列问题： (1)请直接写出与的数值； (2)证明是一个等差数列，并写出公差； (3)当时，分别计算时，的数值，论述当B持续增大时，的统计含义． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)当时，，当时，；论述见解析． 【详解】（1）当时，赌徒已经欠债元，因此． 当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率； （2）记赌徒有n元最后输光的事件，赌徒有n元下一场赢的事件， ，即， 所以， 所以是一个等差数列， 设，则， 累加得，故，得； （3），由（2）， 代入可得，即， 当时，，当时，， 当B增大时，也会增大，即输光欠债的可能性越大，因此可知久赌无赢家， 即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会的概率输光并负债． 变式3．（25-26高三上·山东济南·期中）甲､乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜.假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. (1)时，若两人共进行5局比赛.设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)时，若两人共进行局比赛.记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”.事件表示“甲最终获胜”.请写出的值（直接写出结果即可）； (3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为证明：时，. 【答案】(1)分布列见解析，； (2)； (3)证明见解析； 【详解】（1）（1）解：的可能取值为. ； . 的分布列为 1 3 5 . （2）当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，其概率为； 当时，需要赢剩余2局，其概率为； 当时，需要赢至少1局，其概率； 当时，已满足获胜条件，概率为. 故. （3）（3）证明：由全概率公式得 . 所以. 当时，. . 因为，所以，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $