平面向量的数量积5种高频考法讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学讲义通过考点目录表格系统梳理平面向量数量积的5种高频考法，以“定义-性质-运算律-应用”为主线构建知识体系，用分层解析呈现定义、性质、运算律等核心内容，明确重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于“例题+变式”的分层练习设计，如基础题（已知模和夹角求数量积）、综合题（结合几何图形的数量积计算），培养数学思维与运算能力。每个考点配套典型例题与变式题，帮助不同层次学生掌握方法，支持教师精准教学，提升复习效率。

平面向量的数量积5种高频考法讲义 平面向量的数量积5种高频考法讲义 考点目录 平面向量数量积的定义与计算 平面向量的数量积与向量的模 垂直关系的向量表示 向量夹角的计算 投影与投影向量 知识点解析 1.数量积（内积）的定义：. ※为与的夹角，夹角必须有公共起点. 2.数量积（内积）的性质 (1)若，则. (2)当与同向时，；当与反向时，.特别地，，即. (3) 3.数量积（内积）的运算律 (1)交换律：. (2)分配律：. (3)结合律：. ※三个向量不满足结合律，即 4.夹角问题 (1)因为，所以. (2)若与所成之角为锐角，则且与不共线；若与所成之角为钝角，则且与不共线. 5.投影与投影向量 (1)投影：在上的投影为. (2)投影向量：在上的投影向量为. ※注意区分是哪个向量在哪个向量上的投影 考点一 平面向量数量积的定义与计算 【例题分析】 例1．（24-25高一下·福建厦门·月考）已知，，与的夹角为，则（   ） A． B．2 C． D． 例2．（25-26高三上·贵州贵阳·期末）已知点为外接圆的圆心，且，则（   ） A． B． C．7 D．14 例3．（24-25高一下·山西运城·月考）若向量，满足，与的夹角为60°，________． 例4．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知在矩形中，，点是边的中点， 则________. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知向量与的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D．2 变式2．（25-26高三上·湖北襄阳·期末）已知和的夹角为，且，则（    ） A．1 B． C．3 D．-1 变式3．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）如图，在边长为2的菱形中，，，则__________ 变式4．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知单位向量，的夹角为，则_____. 考点二 平面向量的数量积与向量的模 【例题分析】 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量与的夹角为，且，，则（   ） A． B．4 C． D． 例2．（24-25高一下·广东深圳·月考）已知，方向相同，且，，则（   ） A．10 B．100 C．11 D．121 例3．（24-25高一下·山东青岛·月考）若非零向量满足，，则__________． 例4．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知向量、的夹角为，且，，则___________ 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）若平面向量两两的夹角相等，且，则（   ） A．3 B．4 C．3或0 D．4或1 变式2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知，则，设所成的角为，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 变式3．（25-26高三上·山西晋中·期末）已知向量，满足，，则__________. 变式4．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知向量满足，且，则___________ 考点三 垂直关系的向量表示 【例题分析】 例1．（2026·陕西铜川·一模）已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·云南德宏·期末）若向量、满足：，，则（    ） A．1 B． C．10 D． 例3．（24-25高一下·陕西西安·月考）已知，，则与的夹角为_______________． 例4．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数___________． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·江苏苏州·期末）设平面向量满足，，，则（    ） A．3 B．2 C． D．1 变式2．（24-25高一下·河南鹤壁·月考）已知非零向量满足，，则（    ） A．2 B． C． D． 变式3．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知向量与满足，，向量与的夹角为，，则实数=____. 变式4．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知向量，满足，，且，则______. 考点四 向量夹角的计算 【例题分析】 例1．（24-25高一下·浙江杭州·月考）已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一下·江苏常州·月考）若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一下·辽宁大连·月考）已知，则_____，向量与向量的夹角＝______. 例4．（24-25高一下·福建泉州·月考）已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为______． 【变式训练】 变式1．（2026·江西萍乡·一模）已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知空间单位向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一下·湖北武汉·月考）已知，，则与的夹角为________． 变式4．（25-26高二上·云南大理·月考）已知平面向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值等于________． 考点五 投影与投影向量 【例题分析】 例1．（2026·湖南邵阳·一模）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·安徽宿州·一模）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知向量、的夹角为，，，则在上的数量投影为___________ 例4．（24-25高一下·广东东莞·月考）已知，，且与的夹角，则向量在向量上的投影向量的长度为________． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知非零向量的夹角为，若在上的投影向量为，且，则（    ） A． B．2 C．3 D． 变式2．（25-26高三上·广东惠州·月考）已知向量，满足，，在方向上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D． 变式3．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）已知，，且，则在方向上的投影数量为___________． 变式4．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知向量是单位向量，向量在上的投影向量为，向量在上的投影向量为，则的最小值为__________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $平面向量的数量积5种高频考法讲义 平面向量的数量积5种高频考法讲义 考点目录 平面向量数量积的定义与计算 平面向量的数量积与向量的模 垂直关系的向量表示 向量夹角的计算 投影与投影向量 知识点解析 1.数量积（内积）的定义：. ※为与的夹角，夹角必须有公共起点. 2.数量积（内积）的性质 (1)若，则. (2)当与同向时，；当与反向时，.特别地，，即. (3) 3.数量积（内积）的运算律 (1)交换律：. (2)分配律：. (3)结合律：. ※三个向量不满足结合律，即 4.夹角问题 (1)因为，所以. (2)若与所成之角为锐角，则且与不共线；若与所成之角为钝角，则且与不共线. 5.投影与投影向量 (1)投影：在上的投影为. (2)投影向量：在上的投影向量为. ※注意区分是哪个向量在哪个向量上的投影 考点一 平面向量数量积的定义与计算 【例题分析】 例1．（24-25高一下·福建厦门·月考）已知，，与的夹角为，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由数量积公式求解即可. 【详解】由题意得. 故选：A． 例2．（25-26高三上·贵州贵阳·期末）已知点为外接圆的圆心，且，则（   ） A． B． C．7 D．14 【答案】A 【详解】取中点为，连接， 因为点为外接圆的圆心， 所以， 同理可得， 则. 故选：A． 例3．（24-25高一下·山西运城·月考）若向量，满足，与的夹角为60°，________． 【答案】/0.5 【详解】因为，与的夹角为60°， 所以 ． 故答案为： 例4．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知在矩形中，，点是边的中点， 则________. 【答案】 【详解】由题意如图所示： 由，， 因为，所以， 所以 ， 故答案为：. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知向量与的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为向量与的夹角为， 所以. 故选：B. 变式2．（25-26高三上·湖北襄阳·期末）已知和的夹角为，且，则（    ） A．1 B． C．3 D．-1 【答案】D 【详解】因为和的夹角为，，， 所以. 故选：D. 变式3．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）如图，在边长为2的菱形中，，，则__________ 【答案】 【详解】设，，且，， 因为，可得， 所以. 故答案为： 变式4．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知单位向量，的夹角为，则_____. 【答案】0 【分析】根据平面向量的数量积及运算律求解即可. 【详解】由， 则. 故答案为：0. 考点二 平面向量的数量积与向量的模 【例题分析】 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量与的夹角为，且，，则（   ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【详解】， ，则， ． 故选：B 例2．（24-25高一下·广东深圳·月考）已知，方向相同，且，，则（   ） A．10 B．100 C．11 D．121 【答案】A 【详解】由题意可得：因为，同向，所以向量夹角为零.且， 所以. 故选：A. 例3．（24-25高一下·山东青岛·月考）若非零向量满足，，则__________． 【答案】 【详解】因为，所以， 又，所以， 即，即，解得（负值舍去）； 故答案为： 例4．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知向量、的夹角为，且，，则___________ 【答案】4 【详解】， 即，解得或（舍去）， 则． 故答案为：． 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）若平面向量两两的夹角相等，且，则（   ） A．3 B．4 C．3或0 D．4或1 【答案】C 【详解】当的夹角均为时， 则 ， ； 当的夹角均为时， 所以 综上或0； 故选：C 变式2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知，则，设所成的角为，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】因为，所以，即. 又因为，所成的角为，所以，解得. 故选：B. 变式3．（25-26高三上·山西晋中·期末）已知向量，满足，，则__________. 【答案】2 【详解】由题可知，，即 所以. 故答案为：2. 变式4．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知向量满足，且，则___________ 【答案】 【详解】因为，所以.又因为， 所以. 所以. 故答案为： 考点三 垂直关系的向量表示 【例题分析】 例1．（2026·陕西铜川·一模）已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 解得，因，则. 故选：C. 例2．（25-26高三上·云南德宏·期末）若向量、满足：，，则（    ） A．1 B． C．10 D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以，又，所以. 故选：B. 例3．（24-25高一下·陕西西安·月考）已知，，则与的夹角为_______________． 【答案】 【详解】由可得：. 又因为，所以， 即， 又因为，所以， 故答案为：. 例4．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数___________． 【答案】4 【详解】由是夹角为的两个单位向量，得， 由，得，即，所以. 故答案为：4 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·江苏苏州·期末）设平面向量满足，，，则（    ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】C 【详解】， 所以. 故选：C 变式2．（24-25高一下·河南鹤壁·月考）已知非零向量满足，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】，两边平方得， 所以 又，故，即， 所以，故，. 故选：C 变式3．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知向量与满足，，向量与的夹角为，，则实数=____. 【答案】 【详解】由题可知， 因为，所以， 即，解得. 故答案为：. 变式4．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知向量，满足，，且，则______. 【答案】 【详解】由得，， 化简得，因为，， 所以，解得. 故答案为：. 考点四 向量夹角的计算 【例题分析】 例1．（24-25高一下·浙江杭州·月考）已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，， 所以． 故选：D 例2．（24-25高一下·江苏常州·月考）若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是夹角为的两个单位向量， 所以，， 设为的夹角， ， 故选：A. 例3．（24-25高一下·辽宁大连·月考）已知，则_____，向量与向量的夹角＝______. 【答案】 2 【详解】因为，所以， 所以， 即，得. 因为，所以. 设向量与向量的夹角为，则有 ， 因为，所以，即向量与向量的夹角为. 故答案为：2； 例4．（24-25高一下·福建泉州·月考）已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为______． 【答案】/ 【详解】平面向量与均为单位向量，， ， 所以，解得， 设与的夹角为， ， ． 故答案为：． 【变式训练】 变式1．（2026·江西萍乡·一模）已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知， 则， 所以，则. 设与的夹角为，则， 又，故，所以与的夹角为. 故选：C 变式2．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知空间单位向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是空间单位向量，所以， 因为，所以，所以，所以， 设与的夹角为，， 所以. 故选：B. 变式3．（24-25高一下·湖北武汉·月考）已知，，则与的夹角为________． 【答案】/ 【详解】因为， 又因为，所以，所以， 设与的夹角，， 所以，所以. 故答案为：. 变式4．（25-26高二上·云南大理·月考）已知平面向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值等于________． 【答案】/ 【详解】因为，则，则， 因为，则， ， 则， 即向量与的夹角的余弦值等于. 故答案为： 考点五 投影与投影向量 【例题分析】 例1．（2026·湖南邵阳·一模）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 所以. 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 例2．（2026·安徽宿州·一模）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：. 故选：A. 例3．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知向量、的夹角为，，，则在上的数量投影为___________ 【答案】 【详解】在上的数量投影为． 故答案为：． 例4．（24-25高一下·广东东莞·月考）已知，，且与的夹角，则向量在向量上的投影向量的长度为________． 【答案】 【详解】由已知，，， 所以向量在向量上的投影向量的长度为． 故答案为：. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知非零向量的夹角为，若在上的投影向量为，且，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】因为非零向量的夹角为， 所以， 又在上的投影向量为， 所以， 由，得 即， 所以， 故选：A. 变式2．（25-26高三上·广东惠州·月考）已知向量，满足，，在方向上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，，且在方向上的投影向量为， 所以，所以，所以， 解得. 故选：A 变式3．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）已知，，且，则在方向上的投影数量为___________． 【答案】4 【详解】由投影数量的定义可知在方向上的投影数量为． 故答案为：. 变式4．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知向量是单位向量，向量在上的投影向量为，向量在上的投影向量为，则的最小值为__________． 【答案】1 【详解】令，过作的垂线，在上任取一点，则，过作的垂线，在上任取一点，则，则． 故答案为：1 2 学科网（北京）股份有限公司 $