精品解析：甘肃兰州市某校2025-2026学年高三下学期诊断考试数学试卷

西北师大附中 2025—2026学年第二学期高三诊断考试试题数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数的虚部为 A. B. C. D. 2. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知等差数列的前项和为.若，，则当取得最大值时，（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 5. 已知正数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正三棱台的高为，则该棱台的侧面积为（ ） A. B. C. 18 D. 7. 点在曲线上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的零点为，过原点作曲线的切线，切点为，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则m与n相交或异面 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则m与n平行或相交或异面 10. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的为（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递减 D. 的图象与的图象关于对称 11. 伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是的双纽线C上一点，下列说法正确的是（ ） A. 若直线交双纽线C于A，B，O三点（O为坐标原点），则 B. 双纽线C上满足的点有1个 C. 的面积的最大值为 D. 的周长的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 13. 已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 14. 将四个半径为的小球放入一个大球中，则这个大球半径的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过点，圆心在直线：上，圆被直线：截得的弦长为， （1）求圆的标准方程； （2）若圆与圆关于直线：对称，过原点的直线交圆于，两点，求弦中点的轨迹方程. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项的和. 17. 已知的内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形且，求面积的取值范围. 18. 如下图所示，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形． （1）证明：； （2）若直线AC与平面ABD所成角为，点E在棱AD上，且，求二面角的大小． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西北师大附中 2025—2026学年第二学期高三诊断考试试题数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数的虚部为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】的共轭复数为，所以虚部为，选D. 2. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别化简集合，利用交集定义求解即可． 【详解】集合 集合， 则， 故选：D 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知等差数列的前项和为.若，，则当取得最大值时，（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由题设，结合等差数列的求和公式及性质可得，，进而得到等差数列为递减数列，且时，，时，，进而求解即可. 【详解】由，即， 由，即， 所以在等差数列中，公差，为递减数列， 且时，，时，， 则取得最大值时，. 故选：C 5. 已知正数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设可得，，进而得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意，为正数，且，则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为. 故选：A 6. 已知正三棱台的高为，则该棱台的侧面积为（ ） A. B. C. 18 D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造直角三角形结合棱台的高求出侧面梯形的高，求出侧面积. 【详解】由题意，设上下底面中心分别为，则， 分别取中点，则为梯形的高， 由可得，， 作，垂足为， 则，， 则， 则. 故选：B. 7. 点在曲线上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据曲线类型以及表达式的几何意义，利用圆心到直线的距离即可得出结果. 【详解】曲线等价于； 可知其表示为圆的右半部分，圆心，半径为2，上顶点， 表示曲线上的点到直线的距离的倍，如下图： 圆心到直线的距离为， 顶点到直线的距离为. 则的最大值为，的最小值为， 故的取值范围为. 故选：B 8. 已知函数的零点为，过原点作曲线的切线，切点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导得到切线方程，将原点代入切线方程，求出，再由，计算出. 【详解】，切点为， 则切线方程为， 因为过原点，所以，解得，则， 由，可得， 故. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则m与n相交或异面 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则m与n平行或相交或异面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面位置关系的判断，逐一判断即可． 【详解】选项A：若，，则m与n相交或异面，A正确． 选项B：若，，则，又，α，β是两个不同的平面，所以，B正确． 选项C：若，，则或，故C错误． 选项D：若，，，则m与n平行或相交或异面，故D正确． 故选：ABD. 10. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的为（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递减 D. 的图象与的图象关于对称 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据左加右减得到的解析式，A选项，根据正切函数最小正周期公式求出A正确；B选项，无意义，B错误；C选项，整体法判断出函数的单调性；D选项，计算出，故D正确. 【详解】由题意得， A选项，的最小正周期为，A正确； B选项，因为正切函数没有对称轴，故不是的对称轴，B错误； C选项，当时，， 由于在上单调递增，故在上单调递增，C错误； D选项，， 故的图象与的图象关于对称，D正确. 故选：AD 11. 伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是的双纽线C上一点，下列说法正确的是（ ） A. 若直线交双纽线C于A，B，O三点（O为坐标原点），则 B. 双纽线C上满足的点有1个 C. 的面积的最大值为 D. 的周长的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由已知，代入坐标整理即可得出方程，即可判断A，令，求出，即可判断B，根据面积公式判断C，首先根据余弦定理，以及基本不等式判断D. 【详解】对于A，由双纽线的定义得：， 即，化简得：， 当时，点P的轨迹方程为， 令，解得或，所以，A正确； 对于B， ，由，得点P在y轴上， 在方程中，令，解得， 则满足的点P为，只有一个，B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，的周长为，设， 则， 当且仅当时取等号，当时，，而点P不能在x轴上，则， 于是 即，则， ，因此的周长的取值范围为，D错误． 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】法1：由已知等式整理得到，法2：应用齐次式法有，进而求得，再应用和角正切公式求值. 【详解】法1：因为，所以，即， 所以； 法2：因为，所以，即， 所以； 故答案为： 13. 已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 【答案】6 【解析】 【分析】由两圆有3条公切线，确定两圆外切，再由圆心距等于半径之和，列出等式求解即可. 【详解】因为圆：，所以，； 圆：，则其标准方程为：，则，， 因为圆和圆有3条公切线， 所以圆和圆外切，则， 即，解得. 故答案为：6 14. 将四个半径为的小球放入一个大球中，则这个大球半径的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】大球的半径是棱长为4的正四面体的外接球半径加小球半径2，求出棱长为4的正四面体的外接球半径，从而得解. 【详解】当大球半径最小时，四个小球两两外切并均与大球内切， 大球的半径是棱长为4的正四面体的外接球半径加小球半径2，如图所示， 把棱长为4的正四面体扩成棱长为的正方体，其中正四面体的棱为正方体各面的对角线，如图所示， 则正四面体的外接球也是正方体的外接球，外接球半径为， 所以这时大球的半径为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛： 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过点，圆心在直线：上，圆被直线：截得的弦长为， （1）求圆的标准方程； （2）若圆与圆关于直线：对称，过原点的直线交圆于，两点，求弦中点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心，求出圆心到直线的距离，再结合弦长，弦心距和半径的关系列方程求出的坐标，进而写出圆的方程； （2）先利用对称性求出的坐标，再由点在为直径的圆上，求出轨迹方程. 【小问1详解】 设圆心，圆心到的距离， 由题意易知半径为， 因为圆经过点， 所以，解得，即， 则圆的标准方程为. 【小问2详解】 设圆心关于的对称点为， 则，解得，则， 因为过原点的直线交圆于，两点，弦中点为， 当点与点都不重合时，，则在以为直径的圆上， 显然点在此圆上，因此此圆的圆心为，即， 此圆的半径为， 则轨迹方程为，即. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项的和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系化简可得，利用等比数列通项公式求法计算即可求解； （2）求得，利用分组求和即可求解. 【小问1详解】 当时，由题意可知， 因为，即， 当时，，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 当时，， 当， ， 因为， 所以， 综上，. 17. 已知的内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件由正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得答案； （2）由正弦定理得，，代入三角形面积公式化简得，结合角的范围求出答案. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 所以， 即， 化简得：，即， 又，所以. 【小问2详解】 由正弦定理得：， 所以，， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以. 18. 如下图所示，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形． （1）证明：； （2）若直线AC与平面ABD所成角为，点E在棱AD上，且，求二面角的大小． 【答案】（1） 如下图所示，取的中点，连接， ， 为等边三角形，， 又，平面， 平面，. （2） 【解析】 【分析】（1）利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，即可证明. （2）设，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，可知坐标，平面的法向量坐标，设平面的一个法向量，通过可求出的具体坐标，二面角的大小即为的夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）不难知道，在平面内，若过作直线的垂线，则该垂线亦为平面ABD的垂线，故直线在平面ABD内的射影为直线， 为直线与平面ABD所成的角，即， 不放设，，为的中点，， 为等边三角形，， 在中，由正弦定理得，即， 由（1）知，，且， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，易得，，，， 则有， 易知为平面的一个法向量， 设为平面的一个法向量， 则，即 则平面的一个法向量为， ， 由下图所示可知，二面角为锐角， 二面角的余弦值为，二面角的大小为. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线在点处的切线方程. （2）问题转化为，从而求参数的取值范围. （3）分情况讨论函数的单调性，得到函数极值的存在情况，再用作差法比较极值的大小. 【小问1详解】 由， 得， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为在上单调递增，所以. 由（1）知， 因为，所以，即在上恒成立， 所以，又，所以， 即的取值范围为. 【小问3详解】 ①当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 所以不存在极值，不合题意； ②当时，，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以无极大值，不合题意； ③当时，的定义域为， 令，得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为，且，不合题意； ④当时，的定义域为，且， 令，得，且， 当时，；当时，；当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，极小值为，且， ， ， 因为，所以，所以， 即，符合题意. 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $