精品解析：北京师范大学附属实验中学2025-2026学年下学期九年级数学 开学测练试题

北师大附属实验中学2025—2026学年度第二学期 九年级数学开学测练 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 正五边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，逐一判断各选项图形是否符合中心对称图形的特征． 【详解】解： A. 平行四边形是中心对称图形，符合题意； B. 等边三角形不是中心对称图形，不符合题意； C. 直角三角形不是中心对称图形，不符合题意； D. 正五边形不是中心对称图形，不符合题意． 2. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 最大值为4 B. 最小值为4 C. 最大值为6 D. 最小值为6 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数，得到，图象开口向下，函数有最大值，根据顶点坐标，即可得出函数的最大值． 【详解】解：∵二次函数的表达式为， ∴，抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴该二次函数有最大值，最大值为6． 3. 袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球．下列事件是必然事件的是（ ） A. 至少有1个球是黑球 B. 至少有1个球是白球 C. 至少有2个球是黑球 D. 至少有2个球是白球 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了必然事件的概念． 由于白球只有个，摸出个球必然至少有一个黑球，其他选项不一定成立． 【详解】解：∵ 袋子中有个黑球和个白球，共个球， ∴ 摸出个球，白球最多只能摸出个， ∴ 摸出的个球中至少有一个黑球， ∴ 事件“至少有个球是黑球”是必然事件． A、符合题意； B、有可能是个黑球，所以该选项不是必然事件，不符合题意； C、有可能是个白球和个黑球，所以该选项不是必然事件，不符合题意； D、有可能是个黑球，所以该选项不是必然事件，不符合题意； 故选：A ． 4. 将抛物线向右平移一个单位，所得的抛物线的解析式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：抛物线的平移规律：左加右减，上加下减. 将抛物线向右平移一个单位，所得的抛物线的解析式为，故选D. 考点：抛物线的平移 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握抛物线的平移规律，即可完成. 5. 如图，是的内接三角形，于点，若，，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】连接，证明，结合解答即可． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ，， ． 6. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，．若．则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意连接，利用圆周角定理得，再得出，从而判定是等腰三角形，借助条件得，利用内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：连接， ， ∵是的直径， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形判定及性质，三角形内角和定理，圆内接四边形对角互补． 7. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析： 根据抛物线的对称性即可判断出对称轴的范围. 详解：设对称轴为， 由（，）和（，）可知，， 由（，）和（，）可知，， ∴， 故选B． 点睛：考查抛物线的对称性，熟练运用抛物线的对称性质是解题的关键. 8. 如图，、、分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面结论中正确的是（ ） ①该圆的半径为1； ②的长为； ③平分； ④连接，，则与的面积比为． A. ①③ B. ①④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆、圆周角定理、弧长的计算公式，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键． 设圆的圆心是O，半径是，连接、、、，作交延长线于点M，于点N，根据圆内接正六边形的性质易得到是等边三角形，进而得到，根据圆内接正方形和圆内接等边三角形的性质得到，进而得到，根据得到，进而得到，最后利用三角形的面积公式进行解答即可． 【详解】解：设圆的圆心是O，半径是，连接、、、，作交延长线于点M，于点N，如下图： 是圆内接正六边形的一边， 对应的圆心角为， 是等边三角形， ， ， 故①正确； 是圆内接正方形的一边， 对应的圆心角为， 对应的圆心角为， 是圆内接等边三角形的一边， 对应的圆心角为， 对应的圆心角为， ， ， 平分， 的长为， 故②错误； ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 故③④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故选：D． 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键． 10. 若扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则这个扇形的面积为__________ cm2． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：扇形的面积=cm2．故答案为3π． 考点：扇形面积的计算． 11. 如图，矩形绿地的长和宽分别为和．若将该绿地的长、宽各增加，扩充后的绿地的面积为，则y与x之间的函数关系是______．（填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”） 【答案】二次函数关系 【解析】 【分析】根据矩形面积公式求出y与x之间的函数关系式即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ∴y与x之间的函数关系是二次函数关系， 【点睛】本题主要考查了列函数关系式和二次函数的定义，正确列出y与x之间的函数关系式是解题的关键． 12. 2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据： 幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000 幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044 幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______．（结果精确到0.1） 【答案】0.9 【解析】 【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】∵幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.902， ∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9， 故答案为：0.9． 【点睛】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 13. 如图，过外一点作的两条切线，若的半径为5，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设、与的切点为、D，连接，，证明四边形为矩形，再证明四边形为正方形，得出，根据勾股定理求出． 【详解】解：设、与的切点为、D，连接，，如图所示： ∵，是的两条切线， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴根据勾股定理得：． 14. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是____________． 【答案】2（答案不唯一，即可） 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出c的取值范围即可得到答案． 【详解】解：因为方程有两个不相等的实数根， 所以， 解得， 故答案为：2（答案不唯一，即可） 15. 如图，点M在函数图象上，过点M作轴于点A，交函数图象于点N，连接和，如果的面积为1，那么_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解本题的关键．由过点作轴于点，利用反比例函数的几何意义表示出三角形与三角形面积，由三角形面积减去三角形面积表示出三角形面积，将已知三角形面积代入求出的值即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点， ，， ，即， 解得：， 故答案为：1． 16. 有A，B，C，D，E，F六种类型的卡牌，每位同学有三张不同类型的卡牌，作一个“卡牌组合”（不考虑顺序）将n位同学拥有的卡牌按类型分别统计，得到下表： 卡牌类型 A B C D E F 数量（张） 4 10 3 2 1 10 根据以上信息，可知： ①_________________； ②拥有“卡牌组合”________________的人数最少（横线上填出三张卡牌的类型） 【答案】 ①. 10 ②. 【解析】 【分析】先求出所有卡牌的数量，再除以每位同学拥有的卡牌数量即可求出同学人数n；根据卡牌的数量和同学人数分析这些同学所拥有的“卡牌组合”并计算人数，再选择人数最少的即可． 【详解】解：∵所有卡牌的数量为． ∴同学人数为，即． ∵B型卡牌和F型卡牌各有10张，且每位同学有三张不同类型的卡牌， ∴每位同学一定有1张B型卡牌和1张F型卡牌． ∵A型卡牌有4张，C型卡牌牌有3张，E型卡牌有1张，D型卡牌有2张， ∴拥有“卡牌组合”的有4人，拥有“卡牌组合”的有3人，拥有“卡牌组合”的有2人，拥有“卡牌组合”的有1人． ∵， ∴拥有“卡牌组合”的人数最少． 故答案为：10；． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，有理数的加法运算，有理数的除法运算，熟练掌握这些知识点是解题关键． 三、解答题（共44分）（第17，18题各5分，第19，20题8分，第21，22题各9分） 17. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】先移项把方程化为，再配方得到，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 18. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【解析】 【分析】将代入方程中，得，再化简，得到，最后代入数值6，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 19. 在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 【答案】（1） （2）的最小值是； 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）将点代入一次函数解析式即可解决问题． （2）求得时，，代入求得，求得时，，把代入，求得，然后根据图象即可求得． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ； 【小问2详解】 解：如图， 当时，， 把代入，求得， 当时，， 把代入，求得， ∵当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值， ∴的最小值为的取值范围是． 20. 如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F． （1）求证：∠ADC=∠AOF； （2）若sinC=，BD=8，求EF的长． 【答案】 （1）证明：连接OD， ∵CD是⊙O的切线， ∴OD⊥CD， ∴∠ADC+∠ODA=90°， ∵OF⊥AD， ∴∠AOF+∠DAO=90°， ∵OD=OA， ∴∠ODA=∠DAO， ∴∠ADC=∠AOF； （2）2． 【解析】 【分析】（1）连接OD，根据CD是⊙O的切线，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根据OF⊥AD，∠AOF+∠DAO=90°，根据OD=OA，可得∠ODA=∠DAO，即可证明； （2）设半径为r，根据在Rt△OCD中，，可得，AC=2r，由AB为⊙O的直径，得出∠ADB=90°，再根据推出OF⊥AD，OF∥BD，然后由平行线分线段成比例定理可得，求出OE，，求出OF，即可求出EF． 【详解】（1）略 （2）设半径为r， 在Rt△OCD中，， ∴， ∴， ∵OA=r， ∴AC=OC-OA=2r， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， 又∵OF⊥AD， ∴OF∥BD， ∴， ∴OE=4， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90°，灵活运用知识点是解题关键． 21. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点 （1）当时、比较m，n的大小，并说明理由； （2）当时，记抛物线在点M，N之间的部分（含点M，N）为图形G，若在图形G上存在两点A、B（点A在点B左侧），点沿图形G从点A运动到点B的过程中，q随p的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1），理由见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式、对称轴、增减性等性质，以及平面直角坐标系中点的坐标与函数的关系、分类讨论思想的应用；解题的关键是先求出抛物线的对称轴，再根据的正负判断抛物线开口方向和增减性，结合点的横坐标与对称轴的位置关系，分和两种情况，利用的条件及对称点性质确定的范围，同时确保图形上存在满足随. 增大而增大的两点． （1）先将代入抛物线解析式，确定抛物线表达式，再根据的值算出点的横坐标，进而得到两点完整坐标，最后把两点坐标代入抛物线解析式求出的具体数值，通过比较数值大小得出与的关系； （2）首先求出抛物线的对称轴为，再分(抛物线开口向上)和(抛物线开口向下)两种情况，结合抛物线的增减性分析；当时，根据与1的大小关系进一步细分情况，利用的条件和对称点性质求出对应的范围，确保图形上存在两点满足随.增大而增大；当时，同样结合抛物线增减性、的条件及图形的特点，求出符合要求的的范围，最后综合两种情况得出的取值范围． 【小问1详解】 解：，理由如下： ， ， ， ， 【小问2详解】 解：， 抛物线的对称轴为， ①当时，抛物线开口向上，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ， ， 设点横坐标为点横坐标为， 当，即时， ， ， ， ， ， ， 当满足时，点沿图形从运动到的过程中， 随的增大而增大， 符合题意， 当，即时， 设点关于对称轴的对称点为， 则， ， ， ， ， ， ， ， 当满足时，点沿图形从运动到的过程中，随的增大而增大， 符合题意， 当时，符合题意， ②当时，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ， ， 存在点和点(点在点左侧)，点沿图形从运动到的过程中，随的增大而增大， ， ， 设点关于对称轴的对称点为， 则， ， ， ， ， 综上所述，或． 22. 如图，在中，，是中点，点在线段上，以点为中心，将线段逆时针旋转得线段，连接，． （1）比较与大小，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （2）过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）；，证明见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质易证得，进而得到、，结合中点M的性质，从而得到，； （2）过点E作，交于点H，结合（1）中的结论易证得，进而得到，再证得，最后利用平行线分线段成比例的性质得到，从而得到结论． 【小问1详解】 证明：；，证明过程如下： ， ， 由旋转的性质得、， ， ， 在和中， ， ， 、， ， 点是中点， ， ； 【小问2详解】 证明：，证明过程如下： 过点E作，交于点H， 由（1）可知， ， ， ， ， ， 、， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大附属实验中学2025—2026学年度第二学期 九年级数学开学测练 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 正五边形 2. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 最大值4 B. 最小值为4 C. 最大值为6 D. 最小值为6 3. 袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球．下列事件是必然事件的是（ ） A. 至少有1个球是黑球 B. 至少有1个球是白球 C. 至少有2个球是黑球 D. 至少有2个球是白球 4. 将抛物线向右平移一个单位，所得的抛物线的解析式为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，是的内接三角形，于点，若，，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 6. 如图，四边形是内接四边形，是的直径，．若．则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为 A. B. C. D. 8. 如图，、、分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形一边．若，下面结论中正确的是（ ） ①该圆的半径为1； ②的长为； ③平分； ④连接，，则与的面积比为． A. ①③ B. ①④ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________________． 10. 若扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则这个扇形的面积为__________ cm2． 11. 如图，矩形绿地的长和宽分别为和．若将该绿地的长、宽各增加，扩充后的绿地的面积为，则y与x之间的函数关系是______．（填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”） 12. 2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据： 幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000 幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044 幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0902 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______．（结果精确到0.1） 13. 如图，过外一点作的两条切线，若的半径为5，，则的长为______． 14. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是____________． 15. 如图，点M在函数图象上，过点M作轴于点A，交函数图象于点N，连接和，如果的面积为1，那么_______． 16. 有A，B，C，D，E，F六种类型的卡牌，每位同学有三张不同类型的卡牌，作一个“卡牌组合”（不考虑顺序）将n位同学拥有的卡牌按类型分别统计，得到下表： 卡牌类型 A B C D E F 数量（张） 4 10 3 2 1 10 根据以上信息，可知： ①_________________； ②拥有“卡牌组合”________________的人数最少（横线上填出三张卡牌的类型） 三、解答题（共44分）（第17，18题各5分，第19，20题8分，第21，22题各9分） 17. 解方程：． 18. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 19. 在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 20. 如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F． （1）求证：∠ADC=∠AOF； （2）若sinC=，BD=8，求EF的长． 21. 在平面直角坐标系中，，抛物线上两点 （1）当时、比较m，n的大小，并说明理由； （2）当时，记抛物线在点M，N之间的部分（含点M，N）为图形G，若在图形G上存在两点A、B（点A在点B左侧），点沿图形G从点A运动到点B的过程中，q随p的增大而增大，求a的取值范围． 22. 如图，在中，，是中点，点在线段上，以点为中心，将线段逆时针旋转得线段，连接，． （1）比较与大小，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （2）过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $