2.1.3 两角和与差的正切公式 课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

2.1 两角和与差的三角函数 2.1.3 两角和与差的正切公式 第2章 三角恒等变换 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 两角和与差的正切公式 1 公式及推导 （ ,即 , 都存在） . 将上式中的 替换成 , 6 则 . 所以，当 ， ， 均不取 时，我们得到如下两角和与差的 正切公式（分别简记为， ）： , . . . . . 7 知识剖析 1.两角和与差的正切公式中， , , , 均不等于 ， 这是由正切函数的定义域决定的. 2.公式 也可以这样推导: ,若 ,则将上式的分子、分母 都除以 ,得 . （【教材链接】此内容回答了教材第72页【? 】中的问题） 8 2 公式的结构特征 公式的右侧为分式形式，其中分子为 与 的和或差，分母为1 与 的差或和. 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 9 知识剖析 ，，通常都叫作和角公式,，， 通常 都叫作差角公式,和差角之间的关系如图2.1.3-1所示. 图2.1.3-1 10 典例详解 例1-1 （1）(全国Ⅰ卷) ( ) D A. B. C. D. 【解析】由正切函数的周期性可知， . （2）(全国Ⅲ卷)已知，则 ( ) D A. B. C.1 D.2 【解析】由已知得,得 . 11 例1-2 [教材改编P76 T10]设 , 是方程 的两个根，则 的值为( ) A A. B. C.1 D.3 【解析】由根与系数的关系可知, ，则 . 12 例1-3 (2025·广东省江门市期中)已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负 半轴重合．若是角 终边上一点，则 ( ) B A. B. C. D.2 【解析】是角 终边上一点， ， 则 ． 13 释疑惑 重难拓展 知识点2 两角和与差的正切公式的逆用及变形 1 公式的逆向应用 （1） . （2） . （3） . （4） . 14 2 公式的变形 （1） . （2） . （3） . （4） . 教材深挖 对教材第75页【练习】第3题进行探究.由公式的变形（1）可知 ,所以只要, ， 就有，即 . 类似的结论还有 . 15 典例详解 例2-4 [教材改编P76 T7（1）] ( ) D A. B. C. D.1 【解析】 . 16 例2-5 的值为_____. 【解析】 , , , , , , …, . 原式 . 17 题型解析 03 题型1 给角化简求值 例6 的值为________. 【解析】原式 （注意观察角之间的和差关系） . 19 题型2 条件求值 1 给值求值 例7 (2025·湖南省长沙市长郡中学开学考试)已知, ,那么 ( ) D A. B. C. D. 【解析】, , . 20 例8 (2025·江西省赣州市期末)已知 , 为锐角，, ，则 ( ) C A.2 B. C. D. 思路点拨 利用同角三角函数基本关系求出 ，再利用两角差的正切 公式可得结果. 21 【解析】因为 , 为锐角，所以 . 因为 ， 所以 ， 因此 . 因为 ， 所以 . 22 2 给值求角 例9 (2025·福建省厦门双十中学开学考试)已知 ,， ， ，则 的值为( ) D A. B. C. D. 23 【解析】由已知得 ， 所以 . 因为且，所以 . 因为且，所以 . 从而，所以 . 24 名师点评 （1）本题是由已知条件先求出 的正切值，然后确定角的大小,解 题的关键在于确定 的范围. （2）通过本题的解法可知,应适当缩小角的范围,若本题不缩小 , 的范围,则得 的范围为,则 可取 ，， ,导致答案出现多解. 25 题型3 两角和与差的正切公式在平面图形中的应用 1 在三角形中的应用 例10 在中，，，分别是角，，所对的边，且 ， ，则实数 的值为______. 【解析】由题意及正弦定理可得, , 所以，，则，所以 . 结合余弦定理可得， ， 所以 . 26 2 在四边形中的应用 图2.1.3-2 例11 (2025·上海市市西中学月考)如图2.1.3-2，正方形 的 边长为1，延长至，使，连接， ，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】由图可知， , 所以 ， 根据同角三角函数关系式，可求出 . 27 题型4 三角恒等式的证明 例12 已知不是直角三角形，求证： . 28 【解析】在中， , 又不是直角三角形，则 , , 即 . , 故 . 29 对两角和与差的正切公式的正用、逆用、变形应用是证明与正切函数有关的恒等式 的基本方法.证明三角恒等式要注意观察角的特点与式子的结构特征，选取恰当的公 式，选择简便的变形方向. 30 【变式题】 在三角形中，求证： . 【答案】在三角形中，由 ，得,且,,, 都不等 于,, , , , . 31 新考法 情境应用 例13 (2025·辽宁省鞍山市月考)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍 历》中建立了晷影长与太阳天顶距 的对应数表，这是世界数学史上 较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距 正切值的乘积，即 ．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高” 的2倍和3倍（所成角记,），则 ____. 【解析】由题可得,， ， . 32 核心素养聚焦 考情揭秘 本节内容在高考中较少单独考查，若考查则是与前面所学知识或后面将要学习的知 识综合，一般考查求值和求角等，题型为选择题或者填空题，试题难度中等. 核心素养：数学运算（利用两角和与差的正切公式求值或求角）. 33 考向 两角和与差的正切公式的应用 例14 (2004· 新课标Ⅱ卷)已知 为第一象限角， 为第三象限角， , ，则 _ _____. 【解析】由题知 ,即 , 又 ， 所以 . 34 由,,, ,得 , . 又，所以 是第四象限角， 故 . 35 例15 (北京高考题)若点与关于 轴对称， 写出一个 的值为_ __________________. （答案不唯一） 【解析】由题意可得, ,所以 , , 两式相加得 ,得 , 36 即 , 所以 , 所以, , 可令,则,故 的一个值为 . 37 知识测评 04 1.[教材改编P76 T8]已知角 的终边经过点，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 角 的终边经过点, ， . 39 2.(2025·福建省莆田市期中)已知 ， 均为锐角，，，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】由于 ， 均为锐角，，，所以 ，又 ,所以 . 40 3.[教材改编P73例8]若是的内角，满足，则 的大小是( ) C A.30 B. C. D. 【解析】由题意知，，又 是 的内角，所以 . 4.函数的零点是 和 ，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】因为函数的零点是 和 ，所以 和 是的两个实数根，所以 ， ，则 . 41 5. ( ) D A. B. C.1 D. 【解析】因为，所以 ，又 ，所以 . 42 6.［多选题］下列四个结论中，正确的是( ) BC A.对任意角 ， B.存在角 和 ，使得 C.存在无穷多个角 和 ，使得 D.对任意角 和 ，都有 【解析】对任意角 ， ，故A错误； 当 ,时，对于任意角 , 成立，故B 正确； 当 ,时，对于任意角 ， 成立，故 C正确； 当 ,时， 不成立，故D错误. 43 7.(2025·山东省聊城第一中学期中)已知，， ， . （1）求 的值； 【答案】因为，，所以 ， 所以 . （2）求的值，并求出 的值. 【答案】 . 又，，所以 ， 所以 . 44 高考模拟 05 8.在中，已知，则 为( ) C A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【解析】由于，所以 ， 由于，，的范围是，所以，，中必有一个钝角，故 为钝角三角形. 46 9.(2025·福建省安溪第八中学月考)若 ， 为锐角，且，则 的最小值为( ) A A. B. C. D. 【解析】已知 ， 为锐角，且 ， 则 ， 即 ，所以 ， 又 ， 即，得，显然 ，所 以，当且仅当 时等号成立， 所以 的最小值为 ． 47 10. ( ) A A. B. C. D. 【解析】[ ， ， .故选A. 48 11.(2025·天津市期中)在四边形中，,, ， 则 ____. 【解析】由题意知，则 , ， 图D 2.1.3-1 故以,所在直线为, 轴，建立平面直角坐标系，如图D 2.1.3-1所示. 设,, ， 则,,, ， 故,, ， 49 由于 ， 故 ， 即即 则在中， ， 同理可得 ， 故 . 50 12.某人在一小斜坡（坡高）上的 点处观看对面一座大楼顶上的广告画， 如图2.1.3-1所示，画高，画所在的大楼高 ，图上所示的山坡坡 面可视为直线，为直线与水平地面的交点，，山坡的坡度为，若点 在直线上，试问：点距水平地面多高时，此人观看广告画的视角 最大？ （不计此人身高） 图2.1.3-1 51 图D 2.1.3-2 【答案】如图D 2.1.3-2，以,所在直线分别为轴、 轴建立 平面直角坐标系，则,, . 设点，则 （山坡坡度为，所以,即 ） 过点作于点，则 ， 设 ，由问题的实际意义知， ． 在中， , 在中， , 52 所以 . 又，当且仅当 ，即 时等号成立,所以当且仅当,时， 有最大值，为 ，且此时 角 取得最大值． 故点距水平地面 时，此人观看广告画的视角最大． 谢谢观看 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 54 $