第1章 平面向量及其应用 章末总结课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

章末总结 第1章 平面向量及其应用 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 知识框图 03 01 02 专题归纳 命题点分析 知识框图 01 4 专题归纳 02 专题1 向量与三角形的“四心” 三角形有“四心”：重心、外心、内心、垂心，可以用向量的运算对它们的性质进行 分析. 设的内角,,所对边的长为,, . （1）重心：设是所在平面内一点，则点是 的重心的条件是 或（其中 为平面内任意一点）. （2）外心：设是所在平面内的一点，则点为 外心的条件是 （即点 到三个顶点的距离相等），或 ,或 . 7 （3）内心：向量所在直线过的内心（在 的平分线所 在的直线上）. 设是所在平面内的一点，为的内心的条件是 或 （其中 为平面内任意一点）. （4）垂心：向量所在的直线过 的垂心 （在边上的高 所在的直线上）. 设是所在平面内的一点，则点是 的垂心的条件是 ，或 .#1.5.1 例1 在四边形中，为的重心，，点在线段 上，则 的最小值为( ) A A. B. C. D.0 9 【解析】如图1-1所示，连接,, , 图1-1 因为,,,且 ， 所以 , 于是 , 又当且仅当 时取等号， 所以 ． 10 例2 设是平面内的一定点，是平面 内的一动点，若 ,则为 的( ) B A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 【解析】由,知（其中为 的中点），所 以,所以在的垂直平分线上.同理，在的垂直平分线上，故 为 的外心. 11 例3 (2025·河北省沧州市五校月考)三个不共线的向量,, ，满足 ，则为 的( ) A A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 【解析】由题意可知，与在的外角平分线上 垂直， 所以在 的平分线上. 同理，在的平分线上，在 的平分线上， 故为 的内心. 12 例4 (2025·海南省海口市段考)点是 所在平面内的一点，满足 ，则点是 的( ) D A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 【解析】由 ， 可得，即 ， 即 , 所以 . 同理可得, , 所以点是三条高的交点，故点为 的垂心. 13 专题2 等和线及其应用 等和线：如图1-2，,不共线，则直线和 均为等和线. 图1-2 “等和”的含义：在直线上任意位置，连接,则,基向量 , 的系数和恒为1. Q在直线上任意位置，连接,则,基向量, 的系数和恒 为 . 14 结论 （1）当等和线恰为直线时， ； （2）当等和线在点和直线之间时， ； （3）当直线在点和等和线之间时， ； （4）当等和线过点时， ； （5）若直线与等和线关于点对称，则 . （6）定值与点到等和线的距离有关, . 15 例5 (2025·广东省深圳市期中)在扇形中，为弧上的一个动点，. 若，则 的取值范围是______. 图1-3 【解析】 如图1-3，在上取一点，使，连接 ， 与交于点，过作，交于点 ，则 ，（转化基向量的目的是凑系数，构造 等和线） 所以（直线和 为等和线，应用等和线的原理）. 当,重合时，最小，为1;当,重合时， 最大，为3（利用极限思想求最值）. 所以的取值范围是 . . . . . . . . . 16 图1-4 （建系法） 设扇形的半径为1，以 为原点，建立 如图1-4所示的平面直角坐标系， 则， ， 设 ,，则 ， ， 即解得 所以 . 17 令 （构造三角函数，利用三角 函数的单调性求最值）， 易知在 上单调递减， 所以 ， 所以的取值范围是 . . . （构造函数法） 设扇形的半径为 ， 因为 ， 所以 ，即 ， 整理得关于的方程 . 易知,， ， 所以 （切记要舍去负根）， 所以 . 令 ，（构造函数，利用函数的单调性求最值） 易知在 上单调递减， 所以 ， 所以的取值范围是 . . . . . 19 例6 已知圆的半径为2，,是圆上两点，且 ，是圆 的一条直径， 若动点满足，且，则 的最小值为____. 【解析】 作的延长线，交圆于点，则 可 化为 ， 即 ， 又，所以,, 三点共线. 因为是圆 的一条直径， 所以 .（三角形中极化恒等式 的应用） . . . . 20 要求的最小值，只需求 的最小值. 连接，易知当时， 最小， 又在中， ，故 ， 所以的最小值为 . . 因为是圆的一条直径，所以， ， 所以 ， 所以当时，取得最小值（利用二次函数求最值），为 . . . 22 专题3 圆内接四边形中的余弦定理及面积公式 教材第53页【习题1.6】第11题给了这样一道习题:如图（图略），已知圆内接四边形 的边长分别为,,,求四边形 的面积. 教材深挖POINT 这是对教材习题的深度挖掘，同学们可以适当了解. 这是一道十分经典的例题，作为对本题的拓展，我们下面研究下圆内接四边形的余 弦定理及面积公式. 设圆内接四边形的边长分别为,,, ,则 , ,#6 , ， 23 且四边形的面积 （被称为圆内接四边形面 积的海伦公式），其中 .#8 图1-5 证明如图1-5，连接，在和 中，分别应用余弦定理， 得 , , 又易知 ,则 , 故 . 由此得 ①, . . . 同理可证 , . 设四边形的面积为 , 则 , 即 ②. 由①得, ③, 得,（ （此处用到了同角三角函数 基本关系）） , 即 , 其中 . 故 . . . 一章一练 例7 新定义 可聚向量(2025·北京市海淀区中关村中学期中)已知, , 为维向量，若,,2, ,，则称 为可聚向量．对 于可聚向量实施变换把的某两个坐标, 删除后，添 加作为最后一个坐标，得到一个维新向量（1），如果 （1）为可聚向 量，可继续实施变换，得到新向量（2）……如此经过 次变换后得到的向量记为 ．特别地，二维可聚向量变换后得到一个实数．若向量 经过若干次变换后结果 为实数，则称该实数为向量 的聚数． 27 （1）设,,，直接写出 （1）的所有可能结果； 【解析】删除0，，添加，则（1） ; 删除0，，添加，则（1） ; 删除，，添加，则（1） . 28 （2）求证：对于任意一个维可聚向量，变换总可以进行 次； 【解析】对维可聚向量实施一次变换 , 设，，则，， ， ， ， ，，所以 ， 29 ，，所以 ， 即 . 所以维可聚向量经过一次变换后得到的维向量 （1）仍然是可聚向量，这样 经过次变换后得到一个实数.所以对于任意一个维可聚向量，变换 总可以进行 次. 30 （3）设,,,,,,,,,，求 的聚数的所有可能结果． 【解析】定义运算 .先证明这个运算满足交换律与结合律： ，即运算“#”满足交换律， 又 ， ， 所以 ，即运算“#”满足结合律. 所以维可聚向量 经过变换后所得聚数与实施的具体操作过程无关， 31 因此可作如下操作： 由#，易得#，#，#，# ， 原来向量记作，则（5），再进行4次变换化为一项 ， 综上可知，的聚数为 . 32 名师点评 本题是综合性很强的问题，解题时需要认真审题，理解新定义，利用定义 来解题．本题的难点是对变换过程中实施运算引入一个符号“#”，即 ，证 明此运算满足交换律和结合律，从而得出变换后所得聚数与中间具体操作过程无关， 从而可利用其中一种简单的变换得出结果. 33 命题点分析 03 命题点1 向量运算 例8 (2025·全国高中数学联赛广西赛区预赛)已知的外心为 ,且 ,则 _ ___. 【解析】不妨设 的外接圆半径为1. 由得 ， , 故 . 35 同理可得， . , 又 , , , , . 例9 (2024·同济大学强基计划)四边形为平面四边形，， ，则 ___. 3 【解析】 , ， 因为，，所以 . 37 例10 (2023·北京大学优秀中学生寒假学堂测试)若是三角形 的外心，且 , ，则实数 的值为( ) A A. B. C. D.其他三个选项均不对 【解析】如图1-6，设的中点为,则 . 图1-6 38 由,得 , 所以向量,共线，又是 的外心， 所以，所以,从而 . 因为 ，所以 ，即四边形 是菱形，于是 , 所以 , 所以 . 39 例11 (2023·全国高中数学联赛一试B卷)平面上五点,,,,满足 , ，,，则 的值为___. 3 【解析】记,.由条件知,，于是 . 40 命题点2 向量的最值问题 例12 (2022·中国数学奥林匹克希望联盟夏令营)已知在中，角,, 所对的边 分别为,,, ,边上一点满足,若,则 的最小值 为_ ____. 【解析】,,且 , 故 , 即 , ,当且仅当 时等号成立. 故的最小值为 . 41 名师点评 鸡爪向量定理：如图1-7，已知,,三点不共线，点是线段 上一点， 若，则 . 图1-7 42 例13 (2022·全国高中数学联赛福建赛区预赛)如图1-8，点，分别在 的边 ，或其延长线上，且，，为线段的中点， 为线段 与的交点.若，则 的最小值为___. 图1-8 43 【解析】依题意有 . 因为,,三点共线，所以 . 所以,即 . 所以 ， 由题意知，，所以 ， 故当时，取得最小值，为 . 44 另解展示 求得 后，我们还可以如此求解： 由柯西不等式知， ， 所以,当且仅当,即,, 时等号成立. 所以的最小值为 . 45 命题点3 解三角形问题 例14 (2024·厦门大学强基计划)单位圆内接，取，， 作边长构 成 ，则( ) C A.能构成，且 B.能构成，且 C.能构成，且 D.不能构成 46 【解析】在中，设角,,对应的边为,, . 由正弦定理，得,, ， 即 ， 故取,,作边长能构成，且 ， 所以 . 47 例15 (2024·北京大学强基计划)在中，若点在线段上，平分 , ,，求 的周长. 【解析】设, ， 由角平分线定理可得，则 ， 由余弦定理的推论得 ， 即 ， 将代入化简得 ， 48 即 ， 解得或舍去 ， 经检验只能,故 ， 所以的周长为 . 49 谢谢观看 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 50 $