1.6.2 正弦定理 课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

1.6 解三角形-1.6.2 正弦定理 第1章 平面向量及其应用 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 正弦定理 1 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等,即 . 拓展延伸 用正弦定理证明“大角对大边” 在中，设，所对的边分别为，，由正弦函数在区间， 上单调递 增可知： （1）当,都为锐角时,若,则,由正弦定理 知 ；#1.1.1.1.1 . . 6 （2）当,中一个为锐角，另一个为钝角时,不妨设,由于 ,即 ,所以,即,由正弦定理 知 ； （3）当,中一个为直角，另一个为锐角时，不妨设为直角，则 ,所以 ,由正弦定理知 . 综上可知，在中，若,则 .#1.1.1.2 7 2 正弦定理的常见变形 在中，由正弦定理可设，则 , , ，由此可得正弦定理的下列变形： （1）,,,,, ; （2） ; （3） . 8 教材链接 的几何意义 事实上，比值的几何意义就是 外接圆的直径，即 （为 外接圆的半径），（这个结果称为扩充的正弦 定理） 以下是它的两种变形应用： （1）（边化角）,, ; （2）（角化边）,, . . . 9 学思用·典例详解 例1-1 [教材改编P47 T1（1）]在中，角，，所对的边分别是,, ,若 , , ,则 ( ) A A. B.2 C. D. 【解析】由正弦定理可得,即,解得 . 例1-2 的内角，，的对边分别为，，，已知 ，则 ___. 【解析】由正弦定理及，知 ， 因为 ， 所以，即，又，所以 ． 10 例1-3 (2025·甘肃省武威市期中)在中， ,,则 _____. 【解析】利用正弦定理的变形（2），得 . 例1-4 在中，若，,则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】利用正弦定理化简，得 ， ， ．（利用正弦定理角化边） . . 11 知识点2 正弦定理在解三角形中的应用 公式 实际上表示了三个等式： ，， . 上述的每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系,对于每一个等 式,都可以知三求一.于是利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （1）已知两角与任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边 和角）. 12 特别提醒 利用正弦定理解三角形时,经常用到下列结论: （1）三角形内角和定理 . （2）, . （3）在中，，; ； ;; . （4）若为锐角三角形，则,, ; , . 13 学思用·典例详解 例2-5 [教材改编P45例5]在中，若 , ,，则 _____. 【解析】在中， ,则 , 由正弦定理得 , 所以 . 14 例2-6 [教材改编P47 T2（1）]在中，，，，则 __. 【解析】由正弦定理，得.因为，所以 ,则 ,故 . 15 知识点3 三角形的面积公式 1 常用的三角形的面积计算公式 （1）,,分别为边,,上的高 . （2） ，即三角形的面积等于任意两边 与它们夹角的正弦值乘积的一半. . . . . 16 2 三角形的其他面积公式 （1），其中,分别为 的内切圆半径及 的周长. （2）（为 外接圆的半径）. （【教材链接】链接教材第48页例8）#1.2 17 （3）海伦公式：,其中 . 证明 根据余弦定理得 ,所以 . 令，整理得 . （4） （三角形面积公式的向量形式）,其中 , . 证明 ， .#1.4.1 . . 18 （5） （三角形面积公式的向量坐标形式）,其中 , . 证明 由（4）可知 .#1.5.5 . . 19 学思用·典例详解 例3-7 (2025·河北省新乐市第一中学月考)已知的内角，， 所对的边分别 为,,，且, ，则 的面积为( ) C A. B. C. D. 【解析】将与联立,解得 , 则 . 20 例3-8 已知半径为4的圆的内接三角形的面积是，中角，， 所对 的边依次为，，,则 的值为( ) A A.1 B. C.2 D.4 【解析】 由三角形的面积公式,得 . 由正弦定理可知 ， ， . 易知 ， 则 . 21 例3-9 已知三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积 为 ( ) B A. B. C. D.10 【解析】 令 ， 则 . 设边，，所对的角分别为,, ，则依据余弦定理可得 ， 从而，所以三角形的面积 . 22 知识点4 对三角形解的个数的探求 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解,即当三角形的 两角和任意一边确定时,三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、 两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. 因此“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时，需要分析三角形解的 情况，下面以已知,和 解三角形为例进行说明. 23 1 代数角度 （1）若 ，则满足条件的三角形的个数为0，即无解； （2）若 ，则满足条件的三角形的个数为1； （3）若 ，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由可得 有两个值，一个为钝角，一个为锐角，考虑 到“大边对大角”“三角形内角和等于 ”等，此时需进行讨论. 24 2 几何角度 角的类型 为锐角 条件 图形 解的个数 无解 一解 两解 一解 角的类型 为钝角或直角 25 条件 图形 解的个数 一解 无解 续表 26 学思用·典例详解 例4-10 下列对三角形解的个数的判断中正确的是( ) B A.,, ,有两解 B.,, ,有一解 C.,, ,有两解 D.,, ,无解 【解析】对于A，由，得，所以 ，有一解，故A不正 确.对于B，大边对大角，有一解，故B正确.对于C，由 ，得 ，无解，故C不正确.对于D，由，得 ，再 结合及 可知有两解，故D不正确. 27 【想一想丨归纳总结】 三角形解的个数也可由三角形中“大边对大角”来判定.不妨设为锐角，若 ，则 ，从而 为锐角，有一解. 若，则，由正弦定理得.①若 ，则无解；②若 ，则有一解；③若 ，则有两解. 28 例4-11 在中，角，，所对的边分别为,,，已知满足 , 的 三角形有两解，则 的取值范围为_ _______. 【解析】因为三角形有两解， 所以即 解得 , 则的取值范围是 . 29 题型解析 03 题型1 利用正弦定理解三角形 1 已知两角与任意一边解三角形 例12 在中，,,,则 等于( ) D A.72 B. C. D.30 【解析】因为,所以 同理得.（涉及的一组勾股数为 ） 由，得 . 31 名师点评 本题中并没有给出具体的角，而是给出角的三角函数值，这也可以认为是 已知两角和一边. 32 已知两角与任意一边解三角形的方法 事实上，解三角形本质上就是解基于边角的内蕴方程，已知三角形的两角与一边解 三角形时， （1）由三角形内角和定理 （必要时可结合诱导公式）可以计算出 三角形的第三个角; （2）由正弦定理 可计算出三角形的另两边. 33 【学会了吗丨变式题】 1.在中，角,,所对的边分别是,,,, , ,则此三角形 的最大边长为_____. 【解析】根据题意可得 ,此三角形最大边长是，由正弦定理 ,得 ,解得 . 2.在中，若,,,则 ______. 【解析】由,得 由及 ,得 .由题意知，,，由正弦定理 ,得 . 34 2 已知两边与其中一边的对角解三角形 例13 已知中的下列条件，判断 是否有解,有解的解三角形. （1）,, ; 【解析】， ， ,与三角形内角和为 相矛盾，故三角形无解. （2）,, ; 【解析】由正弦定理得 ， 即 ，故三角形无解. 35 （3）,, ; 【解析】由正弦定理得， , 又, , 三角形有一解. , , 36 （4）,, . （参考数据： ） 【解析】由正弦定理得， ， 或 ，均满足条件 , 易错点 POINT 此处易忽略对的讨论，默认 为锐角,从而造成漏解. 三角形有两解. 当 时， ， ; 当 时， , . 故 , ,或 , , . . 37 已知两边及其中一边对角解三角形的步骤 （1）用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值； （2）若所求另一角的正弦值大于0且小于等于1，则当已知的角不是直角时，利用三 角形中“大边对大角”看能否判断另一边所对的角是锐角，当已知的角为大边所对的 角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判 断，此时就有两组解，分别求解即可； （3）由三角形内角和定理求出第三个角； （4）根据正弦定理求出第三条边. 注意：已知两边和其中一边对角时，除了用正弦定理外还可以用余弦定理求解，先 利用余弦定理列出一元二次方程，求出第三边，再利用正弦定理求其他的角. 38 【学会了吗丨变式题】 3.(2025·浙江省温州市期中)设的内角，，的对边分别为，， ，若 ，，，则 ( ) A A.1 B.2 C. D. 【解析】因为，所以 ， 又，所以 ， 所以 ， 由正弦定理知，，所以 ． 39 题型2 利用正、余弦定理实现边角互化 1 利用边角互化解三角形 例14 (2025·江西省南昌市期末)的内角，，的对边分别为，， ，已知 ，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由正弦定理及 ， 知 ， 因为，所以 ， 即，又，所以 ． 40 例15 中，三内角，，所对的边分别为，，，已知 ， ，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由正弦定理及得，， ， 又，由余弦定理得，，即 ， 由余弦定理得 ， 又， . 41 名师点评 解此类边角混合条件的题目时要注重分析条件与结论在式子结构、角度、 函数名称等方面的差异，合理利用正弦定理与余弦定理，以及三角形内角和定理进 行边角转化，将条件统一成边的条件或角的条件． 42 边角互化是利用正、余弦定理解三角形的重要途径.一般地，若条件式含有角的余弦 或角的正弦齐次式，则可用余弦定理或正弦定理化角为边；若条件式含有边的二次 式或条件式等号两边为齐次式，则可利用余弦定理或正弦定理化边为角.通过边角互 化，可使边角关系具体化. 43 【学会了吗丨变式题】 4.在中，角,,的对边分别为,,，已知 ，且 ,则 的值为___. 4 【解析】在中，因为 ，则由正弦定理及余弦定理有 ，化简并整理得 . 又，所以，解得或 （舍去）. 44 2 判断三角形的形状 例16 (2025·广东省广州知识城中学月考)在中，角，，所对的边分别为 , ,，，,则 是( ) D A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 【解析】由可得 , . 又 , . , . 又, , ,, 为等边三角形. 45 判断三角形形状的思路 1.转化为三角形的边来判断： （1）为直角三角形或或 ; （2）为锐角三角形且且 ; （3）为钝角三角形或或 ； （4）按等腰或等边三角形的定义判断. 46 2.转化为角的三角函数（值）来判断： （1）若，则 , 为直角三角形； （2）若，则 为钝角三角形； （3）若且且,则 为锐角三角形； （4）若，则 , 为直角三角形； （5）若或，则, 为等腰三角形； （6）若,则或 , 为等腰三角形或直角三角形. 在具体判断的过程中，应注意灵活地应用正、余弦定理进行边角的转化，究竟是角 化边还是边化角应依具体情况决定. 47 【学会了吗丨变式题】 5.[多选题](2025·广东省华南师范大学附属潮州学校开学考试)在中，角， ， 的对边分别为，，，若（ 为非零实数），则下列结论正确 的是( ) ABC A.当时，是直角三角形 B.当时， 是锐角三角形 C.当时，是钝角三角形 D.当时， 是钝角三角形 48 【解析】对于A，当时，，根据正弦定理不妨设 ， ，，,故 是直角三角形. 对于B，当时，，根据正弦定理不妨设，， ， 显然是等腰三角形,且为最大角，，说明 为锐角，故 是锐角三角形. 对于C，当时，，根据正弦定理不妨设，， ， 可得，说明为钝角，故 是钝角三角形. 对于D，当时，，根据正弦定理不妨设，， ， 此时 ，不能构成三角形，故结论错误． 故选 ． 49 题型3 正、余弦定理下的几何图形的计算 1 三角形的面积问题 例17 在中， ,,,则 的面积等于_____. 思路点拨 既可以先求出角度，再利用三角形的面积公式 求解；也可 以先判断三角形的类型，再利用三角形的面积公式 底 高求解. 50 【解析】 在中，根据正弦定理，得,即 ，解 得 . 因为 ,所以 ，所以 ，所以 的面积 . 在中，根据正弦定理，得，所以 ，解得 .因为 ,所以 ，所以 ，所以 的面积 . 51 例18 (2025·河北省石家庄市期末)在中，内角，,所对的边分别是,, ， 且, . （1）若的面积等于，求, ; 【解析】由余弦定理，得 ①， 又的面积等于 ， 所以，得 ②， 联立①②得方程组解得 52 （2）若，求 的面积. 【解析】由正弦定理及，得 ③， 联立①③得方程组 解得 所以的面积 ． 思路点拨 在分析题目的时候要注意三角形面积公式与余弦定理的特点， 与都含有 ，这正是解题的突破口. 53 例19 已知,,为的三边，且,，则 的面积的最大值为 _____． 【解析】的面积 .（利用三角形的面积公式得到面积的 表达式） 由余弦定理得 . 因为 ，所以 ，（构建关于 的函数，利用二次函数性 质求最值） 当且仅当时，取得最大值，为 , 故的面积的最大值为 . . . . . . . 54 求三角形面积的解题思路 在应用三角形面积公式 求解时，一般是已知哪 个角就使用哪一个公式. 三角形的面积公式众多，在选用三角形面积公式时，应结合题目给出的条件，选择 最便捷的面积公式求解. 55 【学会了吗丨变式题】 6.在平面四边形中， ,,, ，则四边形 的面积为_____. 【解析】连接，因为,,,所以在 中， ,在中， ,又 ,所以,所以 ,所以四边形 的面积为 . 56 7.(2025·四川省成都市期末)在中，，，为 三边，若 ，则 面积的最大值为_ __. 【解析】由三角形面积公式可得的面积 , 可得 , 因为,所以 , 所以 57 , 当且仅当 时等号成立， 所以当时，取得最大值,为 , 故面积的最大值为 . 58 2 三角形的周长问题 例20 (2025·河北省唐县第一中学期末)在中， . （1）求 ; 【解析】因为 ， 所以 ， 因为，所以 ， 所以， . 59 （2）若,且的面积为，求 的周长. 【解析】因为的面积，所以 . 由余弦定理可得，所以 ， 所以的周长为 60 例21 (2025·山东省济南市济北中学月考)记的内角，，的对边分别为 ， ，，已知 ． （1）求角 的大小； 【解析】因为 ,所以 , 故 , 即,故 , 结合,故 . 61 （2）若，求 周长的取值范围． 【解析】因为,所以,即 . 由余弦定理得 , 解得,故,当且仅当 时，等号成立. 综上可知，的周长的取值范围是, . 62 求三角形周长问题的基本思路 求解此类问题，一般需要综合利用正、余弦定理的相关知识求出三边的长或者得到 与三边有关的关系式，然后再结合其他条件求解，解题时注意整体思想的应用. 63 【学会了吗丨变式题】 8.(2025·福建省南平市期末)在中，是，，所对应的边分别为，， ，且 满足 ． （1）求 ； 【答案】因为,由正弦定理可知 , 则,所以 , 即,又 ,所以 . 64 （2）若，的面积为 ，求三角形的周长． 【答案】因为,所以 , 由余弦定理,得 , 所以,又,所以 的周长为 . 65 9.(2025·江西省赣州市期末)的角，，所对的边分别为，，，点在 上， . （1）若，，求 ； 【答案】，, . ， . 在中，由正弦定理得 , 即, . 66 （2）若是的角平分线，，求 周长的最小值． 【答案】 ,是 的角平分线， . 由,可得 ,又 , . 在中，由余弦定理得 , 则 , 67 设的周长,则 , 由基本不等式得，,当且仅当时等号成立， , , 当且仅当 时等号成立， 故周长的最小值为 . 68 ,是 的角平分线， . 由,可得 ,又 , ， 在中，由余弦定理得 , 设的周长,则 . 69 设,则 , 由基本不等式得，,当且仅当时等号成立， ,即 . 根据函数的性质,可得当时， 单调递增， , 故的周长的最小值为 . 70 3 解“共享”边、角的三角形 例22 (2025·江西省上饶市广丰区金桥学校月考)如图1.6.2-1所示,在平面四边形 中,,,, ． 图1.6.2-1 （1）若,求 ； 【解析】由正弦定理得, ,即,解得 ． 71 （2）若,求 ． 【解析】设,则 , 在中,, . 在 中,由余弦定理得, ． 又 , 所以,所以 , 整理得 , 解得或（舍去）,即 ． 72 正、余弦定理是计算三角形中相关量的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找 相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公 共边来进行过渡,会利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角 （或边）的关系的方程. 73 【学会了吗丨变式题】 10.(新高考全国Ⅰ卷)记的内角,,的对边分别为,,.已知,点在边 上, . （1）证明: ; 【答案】因为，所以由正弦定理得,，又 ， 所以 , 又，所以 . 74 （2）若,求 . 【答案】如图D 1.6.2-1所示， 图D 1.6.2-1 过点作交于点 ， 因为 , 所以， ， 所以, . 75 在中， ， 在中， . 因为 ， 所以 , 所以，化简得，方程两边同时除以 ， 得 ， 解得或 . 76 当，即时， ； 当，即时， （舍）. 综上， . 77 题型4 正、余弦定理与向量的综合应用 图1.6.2-2 例23 (2025·安徽省安庆市段考)如图1.6.2-2所示，在同一 平面内，向量,,满足,与 的夹 角为 ，且，与的夹角为 ，若 ，则 ( ) C A.1 B. C. D. 78 图1.6.2-3 【解析】由题意作图如图1.6.2-3， ,在 中， ，， . 在中， , 即,即 , 又， . 79 【学会了吗丨变式题】 11.(2025·江苏省泰州市期中)若中，，其重心满足 ，则 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 【解析】如图D 1.6.2-2，设是 的中点， 图D 1.6.2-2 80 由，得 , 又,且为重心，故,, . 设中角,,的对边分别为,, . 在 中，由余弦定理得 ①, 在中，由余弦定理得 ②, 结合 , 81 可知 , ,可得, , 所以 ③， 在中，易知，即 ， 代入③式可得 ． 82 新考法 情境应用 例24 第十届中国花卉博览会在上海崇明举办，主题是“花开 中国梦”，其标志建筑世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，利用国 际前沿的数字技术，突破物理空间局限，打造了一个万花竞 B A. B. C. D. 放的虚拟绚丽空间，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度达 ．图1.6.2-4为世纪馆真实图，图1.6.2-5是世纪馆的简化图．世纪馆的简化图可 近似看成是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，其中 ，分别为左右两个半圆的圆心，线段 与左右两个半圆 分别交于，，若，， ， ， ，则的长约为 ( ) 83 图1.6.2-6 【解析】如图1.6.2-6所示，过点作的垂线，垂足为 ,则 因为 ,所以 , 所以 . 所以 . 因为 , , 所以 . 因为 , 84 所以 ， 所以 . 在中，由正弦定理可得 , 即 ， 又 ，所以 . 素养提升 本题考查的是正弦定理的应用，体现了数学与建筑的紧密结合，同时也展 现了数学图形中的对称美，对学生的直观想象、数学建模等素养要求较高. 85 考情揭秘 高考对正弦定理的考查主要涉及边角互化，正弦定理和余弦定理一样，都可以用来 研究平面几何中的三角形、四边形问题，高考中，正、余弦定理除直接用来解三角 形外，还是结构不良试题的好载体.各种题型都会出现，以中等难度试题为主. 核心素养：数学运算（求角、求边长、求面积等），直观想象（画出图形，依据图 形构建等式）. 86 考向1 利用正、余弦定理解三角形 例25（1）(2024·全国甲卷)在中，内角，，所对的边分别为,, ，若 ,,则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由正弦定理得,因为，所以 . 由余弦定理得，所以 ， 所以 ， 所以 ， 又，，所以 . 87 （2）(2023·全国甲卷)在中， ，，， 的角 平分线交于,则 ___. 2 【解析】由余弦定理得 , 整理得,得 . 又 ， 所以 , 所以 . 88 （3）(全国乙卷)记的内角,,的对边分别为,,,面积为， ， ，则 _____. 【解析】由题意得，则 ， 所以 ，所以 ，则 . 89 例26 (2025·天津节选)在中,角,,的对边分别为,, .已知 ,, . （1）求 的值； 【解析】因为,所以由正弦定理可得 ,因 为 , 所以,所以,所以 . 又,所以 . 90 （2）求 的值. 【解析】因为,, , 所以由 , 可得 , 化简得，又，故 . 由,得 . 91 考向2 与面积有关的解三角形问题 例27 (2024·新课标Ⅰ卷)记的内角，，的对边分别为，， ，已知 , . （1）求 ； 【解析】由余弦定理得 , 又 ， . , , 又 , . 92 （2）若的面积为，求 . 【解析】由（1）得 ， 由正弦定理，得 ， .（【扫清障碍】 ） 的面积,解得 . 93 例28 (2023·新课标Ⅱ卷)记的内角,,的对边分别为,,,已知 面积为 ,为的中点，且 . （1）若，求 ; 【解析】第1步：由三角形面积公式求 因为为 的中点，所以 , （【提示】三角形的中线平分三角形的面积） 解得，所以， ． 94 第2步：由余弦定理求 因为，所以 ． 在中，由余弦定理，得 , （【方法技巧】已知两边及夹角求第三边时,选用余弦定理） 所以 ． 95 第3步：求, 在 中，由余弦定理，得 ， 所以 ． 在中，由余弦定理，得 ， 所以 . 96 在中，由正弦定理，得 ，（【方法技巧】已知两边及 一边所对的角求另一边所对的角时，选用正弦定理） 所以 ， 所以 . 第4步：由同角三角函数的基本关系求结果 所以 ． 97 （2）若，求, . 【解析】第1步：由余弦定理求 因为为的中点，所以 ． 因为 ， 所以 ， 则在与 中，由余弦定理， 得 ，（【方法技巧】在求边时，常根据两角互补，其余 弦值互为相反数，并结合余弦定理建立方程求解） 得 ， 所以，所以，所以 . 98 因为为的中点，所以 ． 在与中，由余弦定理，得 ,（【方法技巧】 当在一个三角形中不易求解时，可考虑在两个三角形中找到等量关系建立关系式求 解） 整理，得 ， 得，所以 ． 99 第2步：由余弦定理及三角形面积公式求 在中，由余弦定理，得 , 所以，解得 . 第3步：结合已知条件建立方程组求结果 则由解得 ． 100 考向3 三角下的结构不良试题 例29 (2025·北京)在中，内角，,的对边分别为，，， , . （1）求 ; 【解析】因为，,所以 ，由正弦定理知， . 101 （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得 存在, 求 边上的高. 条件 ; 条件 ； 条件的面积为 . 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件 分别解答，按第一个解答计分. 102 【解析】若选择条件 ， 由（1）知,所以 ， 又，所以为钝角， ，此时 不存在，故不能选择条件①. 若选择条件 ， 则，,此时 存在. 103 设边上的高为，则，即边上的高为 . 若选择条件的面积为 ， 因为 ， 所以 . 由余弦定理可得 ，所以 . 设边上的高为 ， 则，得，即边上的高为 . 104 说明 结构良好问题往往条件清晰明确，结论统一.但是，我们在现实当中遇到的问 题可能缺少解决问题的必要条件或者某个条件存在变数，其结论也是多样化的，甚至 在某些特定条件下问题是无解的，问题的解决过程更是千差万别.结构不良试题的引入， 有效地考查了考生构建数学问题的能力、数学探究能力.应引起重视，加强训练. 105 高考新题型专练 1.[多选题](2025·辽宁省实验中学期中)对于 ，下列说法中正确的是( ) CD A.若，则 为等腰三角形 B.若，则 为直角三角形 C.若，则 为钝角三角形 D.若,, ,则的面积为或 106 【解析】对于选项A,若,则或 ,所以 或 ,即 为等腰三角形或直角三角形，所以A错误. 对于选项B,例如 , ,满足,但 不是直角三角形， 所以B错误. 对于选项C,由正弦定理及知 ,所以 ，所以为钝角， 为钝角三角形，即C正确. 107 对于选项D,由正弦定理知，,即,所以 ,因为 ,所以 或 . 当 时，为直角三角形，且 ,所以 ;当 时，为等腰三角形, ,所以 .综上所述，的面积为或 , 所以D正确.故选 . 108 2.新考法 结构不良 (2025·北京市东城区期末)在 ，的面积 这两个条 件中任选一个补充到下面问题中，并作答． 问题：在中，内角，，所对的边分别为，， ，且________． （1）求 ； 【答案】选条件 ， 整理得， ， 利用正弦定理整理得， ， 利用余弦定理得， ， 109 又，故，所以 . 选条件的面积 ， 所以 ， 整理得 , 所以，又,故，所以 . 110 （2）若，且的面积为，求 的周长． 【答案】由题意得，解得，故 ， 所以，解得 ． 故周长 ． 111 知识测评 04 1.在中，, ,则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】, , 由正弦定理 ， 可得,又 , .故选A. 113 2.(2025·福建省莆田市月考)在中，是 的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】由正弦定理知， ， 在中，若，则 ，即充分性成立； 若，则，所以 ，即必要性成立， 所以是 的充要条件． 114 3.(2025·辽宁省锦州市期末)在中， ，是边上一点， ， ，，则 的长为( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意，在中，，， ， 由余弦定理得， ， ， . 在 中，由正弦定理得， . 115 4.(2025·广东省汕头市潮阳区河溪中学期中)在中，内角，， 的对边分别为 ，，，若的面积为，且，，则 外接圆的 面积为( ) B A. B. C. D. 【解析】因为的面积为，且， ， 所以 ， 所以可得 ， 又，所以，故 . 设外接圆的半径为，由正弦定理，可得，所以 外接圆的面积 ． 116 5.［多选题］下列条件中构不成三角形的是( ) BD A.,, B.,, C., D.,, 【解析】对于A，由正弦定理得,所以，又,所以 或 ，所以满足条件的三角形有两个； 对于B， ,构不成三角形； 对于C，,所以 , ，所以满足条件的三角形只有一个； 对于D，,所以,而 ，所以没有满足条件的三角形. 117 6.(2025·山东省烟台市期中)若锐角三角形的面积为,且,,则 等于___． 7 【解析】由已知得的面积为,所以 . 又为锐角三角形,所以 ,由余弦定理得 . 7.(2025·河南省驻马店市期中)设的内角,,的对边分别为,,，且 ， ,，则 ___. 4 【解析】由及正弦定理，得，所以 ． 由余弦定理，得，解得 ． 118 图1.6.2-1 8.如图1.6.2-1所示，已知在四边形中， ， ，， ， ，求 的 长． 【答案】设，在 中，由余弦定理得 ， 即 ， ， 舍去，即 . 在中，由正弦定理得 ， . 119 高考模拟 05 9.在中，角，，所对的边分别为，，， ，， ，若 满足条件的三角形有1个，则 的取值范围是( ) B A. B.或 C.} D. 【解析】由正弦定理可得，，则，因为 的 解只有一个，所以或 则或 . 121 10.(2025·河北省保定市期末)在中，角，，的对边分别是，， ，向量 ，向量，且满足 ，则 角 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 ，由正弦定理 有，即 ，由余弦定理有 ，可得，故 . 122 11.新情境 三斜求积 [多选题](2025·浙江省义乌中学月考)《数书九章》是中国南宋 时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个 问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中 提出了已知三角形三边，， ，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价， 其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减 上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把这段文字写成公式，即 .现有满足，且 的 面积为 ，请运用上述公式判断下列命题中正确的是( ) BD A.的周长为4 B.的内切圆的面积为 C.的外接圆半径为 D. 123 【解析】因为，所以 ． 设，则， ． 将，，，代入，解得． 则，， ， 故 的周长为18，A错误． 124 设内切圆的半径为，由三角形的面积公式知 ,解得 ,则内切圆面积为 ,B正确. 因为，，，由余弦定理知 ,则 ,由正弦定理知外接圆直径 ,则半径为 ，C错误. ,D正确．故选 ． 125 12.在等边三角形中，为内一点，且 ，则 的最小值为_ __. 图D 1.6.2-1 【解析】如图D 1.6.2-1，将绕点顺时针旋转 到 处，易知与全等，所以 . 连接，易得 为等边三角形， 所以 ,所以 . 在 中，应用正弦定理可得 ,当且仅当 时取等号，又 ，所以的最小值为 . 126 13.已知锐角 同时满足下列四个条件中的三个： ，，， ． （1）请指出这三个条件，并说明理由； 【答案】 同时满足①②③．理由如下. 若 同时满足①④， 因为是锐角三角形，所以，所以，结合 ，所 以．与题设矛盾．故同时满足①④不成立，所以 同时满足②③． 因为，所以.若满足④，则，所以 ，与题设矛盾，故此时 不满足④． 所以 同时满足①②③． 127 （2）求 的面积． 【答案】因为 ， 所以，解得或 ． 当时，， 为钝角，与题设矛盾． 所以， ． 128 14.(新高考全国Ⅱ卷)在中，角,,所对的边分别为,,,, . （1）若，求 的面积； 【答案】由 及正弦定理， 得．又，所以, ， 所以 ．由余弦定理的推论，得 ， 又,所以 . 所以 ． 129 （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求 ；若不存在，说明 理由. 【答案】存在. 由题意知 ， 要使为钝角三角形，需 ，得 ． 因为为正整数，所以或 ． 当时，, ，此时不能构成三角形； 当时，, ，满足题意． 综上，存在正整数，使得 为钝角三角形． 130 15.在中，,,则 的面积的最大值为___. 3 【解析】由正弦定理及条件得（其中,分别为角，的对边），则 周 长的一半为 . 由海伦公式得 的面积 131 , 由于,所以当时, 取得最大值，即 , 又在上单调递增，故，当且仅当, 时 取等号. 谢谢观看 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 133 $