1.4 向量的分解与坐标表示课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

1.4 向量的分解与坐标表示 第1章 平面向量及其应用 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 平面向量基本定理 1 平面向量基本定理 设， 是平面上两个不共线向量，则 （1）平面上每个向量都可以分解为,的实数倍之和，即 ,其 中， 是实数. （2）实数,由 唯一（基给定时，分解形式唯一）决定.也就是: 如果,则， . . . 6 平面上不共线的两个向量, 组成的集合称为平面上的一组基｛, ｝（构成 一组基的向量叫作基向量,且基不唯一.）,分解式与共线时，; 与共线时，;时， 中的系数,组成的有序实数组，称为 在这组基下的坐标. 取定了平面上一组基{,之后，可以将平面上每个向量 用它在这组基下的 坐标来表示，记为 . . . 7 2 定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基｛， 的条件下进行分 解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是 平面向量基本定理的实质． 3 定理的功能 由平面向量基本定理可知，若,不共线，则由， 的所有线性组合构成的 集合，}就是平面内的全体向量，其中{, 叫作表示这一平面内 所有向量的一组基.这个定理体现了转化与化归的数学思想方法，在用向量解决几何 问题时，我们可以适当地选择基，将问题涉及的向量向基转化，使问题得以解决. 8 4 平面向量基本定理的拓展 由平面向量基本定理，我们得到：个不共线的向量，， ，与 个实数 ，， ，所组成的向量 叫作向量的线性组合，当向 量是向量，， ，的线性组合，即 时，我们称 向量可以分解成向量，， ，的线性组合，其中{，， ， 是关于 向量 的一组基. 9 学思用·典例详解 例1-1 [多选题]如果, 是同一平面内的两个不共线的向量，那么下列说法中正确 的是( ) AD A. 可以表示该平面内的所有向量 B.对于平面内的任一向量，使的实数 , 有无穷多对 C.若向量与共线，则有且只有一个实数 ，使得 D.{, 可以作为该平面的一组基 10 【解析】由平面向量基本定理可知A是正确的. 对于B，由平面向量基本定理可知，如果一个平面的基底确定，那么平面内任意一个 向量在此基底下的分解式是唯一的,故B不正确. 对于C，当与均为零向量，即 时，符合 题意的 有无数个，故C不正确. 对于D，假设，则.又, 不共线，故假设不成立，即 与不共线，即{, }可以作为该平面的一组基 （不共线的两个向量 可构成一组基），故D正确. . . 11 例1-2 已知，是同一平面内的两个不共线向量，， ， ，试用向量和表示 ． 【解析】由题意，可知，不共线， 可设 ，则 ． ，不共线， , 解得 故 ． 12 知识点2 平面向量的正交分解与坐标表示 1 正交分解 图1.4-1 在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形.把一 个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解. （正交分解中的两个基向量互相垂直，构成正交基） 由平面向量基本定理知，对于平面内的任一向量 ， 均可以分解为不共线的两个向量和 ，使 .当与垂直时，就分解成为两个互相垂直的向量，叫作把 正 交分解.如图1.4-1，重力 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解. . . . . 13 2 标准正交基 一般地，平面上相互垂直的单位向量组成的基称为标准正交基，记作{， }. 3 向量的坐标表示 平面上每个向量可以写成基向量,的实数倍之和，即, 是向量 在基{,}下的坐标，记作 . 特别地，基向量的坐标, 在平面直角坐标系中，我们默认轴正方向和 轴正方向上的单位向量分别为 ,，则{, }组成标准正交基. 对于平面上任一向量，由平面向量基本定理可知 ,则 为的坐标，也是向量终点 的坐标. 14 辨析比较 点的坐标与向量的坐标的区别与联系 区别 表示形 式不同 向量中间用等号连接，而点 中间没有等号. 意义 不 同 点的坐标表示点 在平面直角坐标系中的位置， 的坐标 既表示向量的大小，也表示向量的方向.另 外,既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点 或 向量 . 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点 时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 15 4 向量坐标表示的另一种形式 设单位向量，的夹角， ，非零向量的模 ，设 为坐标原点，,不重合，,的方向分别为轴、 轴的正方向， ，则 . . . 16 学思用·典例详解 例2-3 [教材改编P25例3]如图1.4-3所示，若,分别是与轴， 轴方向相同的单位 向量，请写出向量,在基｛, ｝下的坐标（每个小方格的边长为1）. 图1.4-3 【解析】因为的始点在原点，所以由的终点坐标可知 . 又，所以 . 17 点评 求平面上向量的坐标的方法 若两个单位向量, 构成正交基，求平面上向量的坐标时，有如下两种方法： （1）将向量用单位向量， 表示出来; （2）将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标. 18 例2-4 在平面内,以点的正东方向为轴的正方向，正北方向为 轴的正方向建立平 面直角坐标系.质点在平面内做直线运动,求出下列位移向量在基｛,, }是分别与 轴，轴方向相同的两个单位向量 下的坐标: （1）向量 表示沿东北方向移动了2个单位长度; （2）向量表示沿北偏西 方向移动了3个单位长度; （3）向量表示沿南偏东 方向移动了4个单位长度. 19 【解析】设,, ,则 , ; , ; , . 因此,,,， 20 知识点3 向量线性运算的坐标表示 1 两个向量和（差）的坐标表示 两个向量, 的和（或差）的坐标等于这两个向量相应坐标 的和（或差），即 . 2 向量数乘的坐标表示 一个实数 与向量 的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标，即 . 21 3 任一向量的坐标 已知，，坐标原点为 ，则 .于是，在平面直角坐标系中， 向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标 ，即 （向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的 具体位置无关）. 特别提醒 1.当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后， 其坐标不变. 2.求一个点的坐标时，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标. . . 22 学思用·典例详解 例3-5 已知, ,求: （1） ; 【解析】 . （2） . 【解析】 . 23 例3-6 已知四点，，，，试用向量， 表示 . 【解析】， ， , 设 , 则解得 . 24 知识点4 向量共线的坐标表示 已知向量, ， 则 . 知识剖析 （1）当时, ，该式子对任意两个平行向量均成立. （2）当,时，则 ,即两个不平行于坐标轴的共线向量 的对应坐标成比例. 25 学思用·典例详解 例4-7 (2025·广东省佛山市期中)已知平面向量,,且 ,则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由,,且,得,解得 ,所以 ,所以 . 26 释疑惑 重难拓展 知识点5 定比分点的坐标表示 1 线段定比分点的定义 图1.4-2 如图1.4-2，设，是直线上两点，点是上不同于， 的任 意一点，则存在一个实数 ,使， 叫作点 分线 段所成的比，点叫作线段以定比为 的定比分点. 教材深挖 POINT 该知识点是对教材第28页【例6】的深挖， 27 2 定比分点的坐标表示 设为坐标原点，若（,（起点坐标.））,（,（终点坐标.））, （,（分点坐标.））,,则, 故点的坐标为（, （注意起、终点坐标的位置））. 特别提醒 在使用定比分点坐标公式时，应明确,, 的意义，它们分 别为分点、起点、终点的坐标，在具体问题的计算中，往往是自行确定起点、分点、 终点，并且这些点必须与定比分点公式中的起点、分点、终点相对应. . . . . . . . . 28 学思用·典例详解 例5-8 已知,,点在直线上，且，求点 的坐标. 【解析】①当点在线段 上时， ,设点的坐标为, , 解得 故点的坐标为 . 29 由定比分点的坐标公式及得，点 的坐标为 , 即， . ②当点在线段的延长线上时， ,（此情况易忽略.注意题目给出的 是“点在直线上”，而非“点在线段 上”） . . 30 设点的坐标为 , , 解得 故点的坐标为 . 综上可得,点的坐标为或 . 快解 POINT 同理把代入定比分点坐标公式即得点 的坐标. 31 3 点位置与的取值范围之间的对应关系（为线段 的中点） 点位 置 的延 长线上 的延长 线上 与 重合 之间 与 重合 之 间 与 重合 的范 围 不存在 外分点 内分点 32 4 定比分点的两种特殊情况 （1）中点坐标公式：设，的中点为，则 , . （2）重心坐标公式：在中，,,,则 的重心 的坐标为 . . . . . 33 题型解析 03 题型1 基的判断及应用 1 基的判断 例9 [多选题]已知向量,,,与 不共线，则 下面能构成基的一组向量是( ) ABD A.与 B.与 C.与 D.与 【解析】设,即 , 则无解，故与 不共线，能构成基； 同理可得，与,与 均不共线，均能构成基. , 与 共线，不能构成基. 35 判断所给的两个向量能否作为一组基的方法 由基的定义可知，要判断两个向量， 能否作为一组基，只需判断两向量是否共线， 而判断向量是否共线就要看是否存在，使 成立.另外，作为基的向量必 为非零向量. 36 2 用基表示向量 图1.4-4 例10 如图1.4-4,在平行四边形 中，设对角线上的向量 ，，试用基{，}表示， . 【解析】 （由向量线性运算的几何意义,直接寻求向量间的关系） 设 , 交于点，则有， ,所以 , . 37 （用，表示,，构建方程组，反解出， ） 设,，则 ， 又 所以 解得 即, . 38 例11 如图1.4-5，在梯形中，，，分别是，的中点， 与 相交于点，设， ． 图1.4-5 （1）用，表示 ； 【解析】 ， ，又，分别是， 的中点， . 39 （2）用，表示 ． 【解析】，， 三点共线， ，又，， 三点共 线，，解得 . ， ， ． 40 用基表示向量的两种基本方法 用基表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算将待求向量不断地转 化,直至用基表示为止；另一种是通过不同的路径表示同一向量，再由基表示向量的 唯一性求解,即利用若,且，, 不共线，则 来构建方程（组），使得问题获解. 41 【学会了吗丨变式题】 1.如图1.4-6，在梯形中，,,分别是，的中点，且 ,设 ,,用基,表示向量，， . 图1.4-6 42 【答案】 ,, . ， . 又，且, , . 43 过点作，交于点，交于点 . 同方法1得 . 则 , . 同方法1得,.连接， ， 由得 . 44 2.如图1.4-7所示，在中,是的中点，且,与相交于点 ，设 ，，试用基｛,｝表示向量 . 图1.4-7 45 【答案】易得， ， 由，，三点共线可知，存在实数使得,则 , 得 . 由，，三点共线可知，存在实数使得,则 , 得 . 所以.由于{,}为基，所以 解得 所以 . 46 题型2 平面向量基本定理的逆向探索 1 求参数的值 例12 (2025·上海市吴淞中学期中)在平行四边形中，点满足 ， ，则 ( ) A A. B. C. D.1 【解析】 ，所以 解得 所以 ． 47 母题 致经典·母题探究 三点共线定理的应用 因为向量具有代数形式与几何形式（有向线段）的双重特点，所以不少平面向量试 题都强调几何背景和代数性质的结合，要求考生综合运用逻辑推理和运算求解能力 解决实际问题，综合培养学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养. 在与向量有关的几何问题中，三点共线是常见的情形，有时需要进行转化，构造出 三点共线的情形，因此熟练掌握三点共线定理能够帮助我们在客观题中快速解题. 48 例13 (2025·江苏省淮安市月考)如图1.4-8，在中，点是的中点，过点 的 直线分别交直线,于不同的两点,.若, ，则 的值为___. 2 图1.4-8 49 【解析】 连接,是 的中点， . 由于,,则 . 令 ,则 . 又，不共线， 整理得 . 50 连接,是 的中点, . 又,, . ,,三点共线, （由三点共线定理直接得出系数和为1）， . . . 51 子题 子题1 在梯形中，已知，，，分别为， 的中 点．若，则 __． 【解析】 连接,，,分别为, 的中点， ， 则 . 52 ，, , ，则 . 又， 不共线， 解得 . 53 图1.4-9 如图1.4-9所示，连接并延长交的延长线于点 . 由已知易得， ，即 ,，，三点共线， , . 54 子题2 在平行四边形中，点是边的中点，与相交于点 ，若 ,则 的值是____. 【解析】 根据题意可知 , ,故 , . 55 图1.4-10 如图1.4-10, , , , ,,三点共线，, . 56 【学会了吗丨变式题】 图1.4-11 3.(2025·福建省泉州市南安一中测试)如图1.4-11， 是 的重心，是边上一点，且 ， ，则 ( ) A A. B. C. D. 57 【解析】延长,与交于点 ，如图D 1.4-1所示. 图D 1.4-1 又是的重心,则为的中点，则 , 又是上一点，且，则是的中点，则有 , 则 , 又，则,,故 . 58 4.(2025·四川省成都市统考)如图1.4-12，经过的重心的直线与， 分别交 于点，，设，，，，则 的值为___． 3 图1.4-12 59 【解析】 设， ， 由题意知 ， ， ， 由，，三点共线得，存在实数 ，使得 ， 即 ， 从而消去 ,得 . 由题意知 , 因为，，三点共线，所以,即 . 60 2 求参数的最值或取值范围 例14 (2025·河南省开封市期末)已知在中， ,,, 为线 段上的点，且，则 的最大值为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】为线段 上的点， 存在实数 使得 , ,又 , （配方法求最 值） ，当且仅当时，等号成立，故 的最大值是3. . . 61 例15 在中，点满足，当点在线段 （不包含端点）上移动 时，，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 62 【解析】 ， ， 又点在线段 （不含端点）上移动， 设，， ， 又， ． 在 上单调递减， 的取值范围为 . 63 【学会了吗丨变式题】 图1.4-13 5.如图1.4-13，在中，点在边上，且．过点 的直线分别交射线、射线于不同的两点， ，若 ， ． （1）求 的值； 【答案】连接，因为,, , 所以 . 因为,, 共线， 所以,则 . 64 （2）若恒成立，求实数 的最小整数值． 【答案】显然,所以等价于,即 . 因为,当且仅当 ,即 ,时,取到最小值，为 , 于是, . 故实数 的最小整数值是2. 65 题型3 平面向量基本定理在平面几何中的应用 1 证明问题 例16 用向量法证明三角形的三条中线交于一点. 图1.4-14 【解析】如图1.4-14，设，，,, 分别为三角形 三边的中点，则，， . 设与相交于点，且， ， 则， . 66 因为 ， 所以 解得 即 . 再设与相交于点 ， 同理可得，故点,重合，即,, 相交于同一点,故三角形的三条 中线交于一点. 67 2 确定点的位置 例17 如图1.4-15所示，中，，，交于 点，则 ___． 图1.4-15 68 【解析】设，，则 ， . 因为,,三点共线，所以可设，即 ，所以 . 因为,,三点共线，所以可设，即 ， 由平面向量基本定理中的唯一性，得 解得 所以，，所以 . 69 确定点在线段上的位置，可设（若点在直线 上，则 ），并选择恰当的基底，利用向量的线性运算表示同一向量或一对共线的向量， 由平面向量基本定理中的唯一性即可构建关于 的方程（组），求出 的值即得点 的位置. 70 【学会了吗丨变式题】 6.[教材改编P30 T13](2025·河南省郑州市模拟)如图1.4-16，在中，是 边 的中点，且点满足，延长交于点，则 __. 图1.4-16 【解析】因为 ①， ②， 71 由，得，所以 （或者由定比分点的 结论直接得 ）， 设 , 因为,, 三点共线， 所以 （三点共线定理）， 解得，所以（可以据此由定比分点的结论直接得到 ）， 所以,所以 . . . . . . . 72 题型4 向量线性运算的坐标表示的应用 1 向量坐标运算的直接运用 例18 已知向量，，若满足，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】，，且满足 ， ． 73 2 利用向量坐标运算求点的坐标 例19 已知，，，且，，求点， 的坐标． 【解析】 ，， ， ， ． ， ， ， ． 74 设，， ， ， 解得 ， ． 75 设为坐标原点，则由， ，可得 ， ， ， ． （起点为原点的向量的坐标即其终点的坐标）， ． ， ． . . . . 76 3 利用向量坐标运算表示向量 例20 已知是内一点， ， ，设 ， ，，且，，，试用，表示 ． 图1.4-17 【解析】如图1.4-17，以为原点，向量所在的直线为 轴建立平 面直角坐标系．， ． 设， , , , . 同理可得 . 77 设（待定系数法的运用） , , 解得 . . . 利用向量线性运算的坐标表示解决有关问题的基本思路 1.向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有 向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外 解题过程中要注意方程思想的运用． 2.利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通 过列方程（组）进行求解． 3.利用坐标运算求向量的基表示，一般先求出基向量和被表示向量的坐标，再用待 定系数法求出相应系数． 79 4 利用向量坐标运算求参数 例21 (2025·甘肃省兰州西北中学月考)已知点,, ,且 ,试问: （1）为何值时,点在轴上?点在轴上?点 在第二象限? 【解析】若点在轴上,则,解得 ; 若点在轴上,则,解得 ; 若点在第二象限,则 解得 . 80 （2）四边形能否为平行四边形?若能,求出相应的 值;若不能,请说明理由. 【解析】不能.理由如下. 由题意知 . 若四边形是平行四边形,则,所以 方程组显然无解,故四边形 不能为平行四边形. 【解析】由题意知,, , ,故点的坐标为 . 思路点拨 因为,,为定点,所以与都为已知向量,故必随着 的变化而变 化,因此的变化影响了点的位置,故找到点的坐标与 的关系是求解本题的关键. 81 【学会了吗丨变式题】 7.已知点，，，若，试求当点 在第三象 限时 的取值范围. 【答案】由已知得 , （此时切勿把向量的坐标当作点的坐标，由解得 ，从而得错误 答案： 的取值范围为 ） 设点，则 ． 82 于是，即 又点在第三象限，所以解得 ． 故 的取值范围为 . 题型5 向量共线的坐标表示的应用 1 向量共线（平行）的判断与证明 例22 已知，，三点的坐标分别为，，， ， ，求证： . 【解析】第一步：用坐标表示， . 设， ． 由题意知，， ， , ， 84 , . , . . 第二步：利用向量共线的条件进行证明. , . 2 根据向量共线求参数的值 例23（1）(全国乙卷)已知向量,,若,则 _ _. 【解析】因为，所以，解得 . （2）(全国Ⅲ卷)已知向量,,.若,则 _ _. 【解析】由题意知，，因为，且 ，所以 ，即 . 86 （3）(2025·江西省南昌市期中)已知向量， ，若 与共线，则 ( ) A A. B.2 C. D. 【解析】 由已知条件可得 ， ． 因为与共线，所以，即 ，所以 . 87 注意到向量，不共线，因此可以将, 视为基底， 于是有（与共线的本质是对应的系数成比例），即 . . 88 （4）已知平面内的三点，，，若，则 ( ) A A.6 B. C.3 D. 【解析】由题意得，， ， 因为，所以，解得 ． 89 3 求线段上点的坐标 例24 如图1.4-18所示，已知中，，，， ， ，与相交于点，求点 的坐标． 图1.4-18 90 91 【解析】因为点，， ， 所以， . 又，所以点的坐标为 . 又,所以点的坐标为 . 设点的坐标为，则 . 92 由题意知,,三点共线，所以 ， 又，所以，即 . 由题意知,,三点共线，所以 ， 又，，所以，即 . 由解得 所以点的坐标为 . 93 题型6 向量的线性坐标运算与平面几何交汇 例25 已知在直角梯形中,,,过点作于 , M为 的中点,用向量的方法证明: （1） ; （2）,, 三点共线. 【解析】 由已知得四边形 为正方形,设, . , . ,,即 . （2）连接,,, , ,又与有公共点,所以,, 三点共线. 94 图1.4-19 如图1.4-19,以为原点,所在直线为轴,所在直线为 轴建立平面直角坐标系,连接, . 令,则, ,且 , 四边形 为正方形. 可求得各点的坐标分别为,,, . , , ,, 即 . 为的中点, , , . , .又与有公共点 ,,, 三点共线. 95 用向量方法解决几何问题的一般思路 （1）基底法.选取合适的基底,将题中涉及的向量用基底表示,再通过相应的向量运算 去完成. （2）坐标法.当问题中存在坐标或易建坐标系时,可以利用平面向量的坐标表示,实现 向量坐标化,将问题中的长度、平行等问题转化为代数问题,然后进行计算. 注意:解题时,要学会灵活运用向量的线性运算,同时要掌握好共线、模等常用知识. 96 知识测评 04 1.(2025·江苏省常州市期中)已知向量，，若，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 向量，，，， ，则 . 98 2.在中，,,若点满足,以{,}为一组基，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】因为,所以 , 所以 . 3.已知向量，，，则可用与 表示为( ) A A. B. C. D. 【解析】设，，，则 ， 解得 . 99 图1.4-1 4.(2025·湖南省岳阳市第一中学期末)如图1.4-1，在 中，为边上的中线，为 的中点，若 ，则实数对 ( ) A A. B. C. D. 【解析】因为在中，为边上的中线，为 的 中点，所以 ,又,故, . 100 图1.4-2 5.(2025·山西省运城市月考)如图1.4-2，在平行四边形 中， 对角线与相交于点,为 的重心，若 ，则 ( ) A A. B. C. D. 图D 1.4-1 【解析】如图D 1.4-1，延长与相交于点，可得为 的中点，则，即 ，即 ，因为为 的重心，所以 ，又 , 所以,，可得 .故选A. 101 6.［多选题］(2025·广东省广州市天河外国语学校月考)设｛, ｝是平面内所有向 量的一组基，则下面四组向量中，能构成基的是( ) ABD A.和 B.， C.， D.， 【解析】，是平面内所有向量的一组基，, 不共线.易知A,B,D中的向量 均不共线，故可以构成基,C中，,故和 共线，不能构成基，故选 . 102 7.(2025·安徽省合肥市期中)已知两点和，点满足 ，则 点 的坐标为_________. 【解析】 设点的坐标为 ， 由，得 , 即 . 所以解得 所以点的坐标为 . 103 设点的坐标为 . 由，知，即 ， 所以为 的中点，根据中点坐标公式，得 解得 所以点的坐标为 . 104 8.新考法 结构不良 已知平行四边形的三个顶点分别为， ， ，且，，， 按逆时针方向排列． （1）求 点的坐标． 【答案】设， ， , 因为，所以解得故 ． 105 （2）在， 这两个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上， 并解答． 问题：已知，___ ，且与平行，求 的值． 【答案】选择，则 ，又 ， 所以由题意得，解得 . 选择 ，则 ， 又 ， 所以由题意得，解得 ． 106 高考模拟 05 9.(2025·甘肃省庆阳市期中)在平面直角坐标系中，已知，，点 在 第二象限内，，且，若,则 ， 的值分别是 ( ) D A.，1 B.1， C.， D. ，1 【解析】设, 点在第二象限，且， ， , , , . 又, , 即,, . 108 图1.4-3 10.新情境 八卦 (2025·辽宁省沈阳市期中)古代典籍《周 易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1.4-3 （1）是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在图1.4- 3（2）所示的正八边形 中，若 ，则 ( ) C A. B. C. D.3 109 【解析】正八边形的每一个内角为 ，如图D 1.4-2，作 ，，则， 为等腰直角三角形， 图D 1.4-2 ， . ， ， ，，则 ． 110 11.［多选题］(2025·湖南省常德市月考)已知 ，， ， ， ，那么( ) AC A. B.若，则， C.若是的中点，则，两点重合 D.若点，，共线，则 【解析】，， ， ， ， ，故A正确； 若，则，推不出， ，故B错误； 111 ，是 的中点， ， ， 解得，，， 两点重合，故C正确； 若点，，共线，则，而 ， ，， ，且 ，而时，此时，重合，， 不一定是1，故 D错误.故选 ． 112 图1.4-4 12.[多选题](2025·四川省绵阳中学月考)如图1.4-4，在 中，是靠近的三等分点，是的中点，与 交于 点，且有， ,，过作直线 分别交线段,于点,，设 ， ，则( ) ACD A. B. C. D. 的最小值为2 113 【解析】对于A，B，因为 ， 依题意将，代入，得 因为,,三点共线，且,, 三点共线， 所以得 故A正确，B错误； 由可得 ， 故 ，故C正确； 114 对于D，，， ， 则 ， 因为，， 三点共线， 所以，即 ， 由 ， 当且仅当即 时取得等号,故D正确． 故选 ． 115 13.如图1.4-5，四边形是边长为1的正方形，延长至，使得 ．动 点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 点，若 ，则 的取值范围为______. 图1.4-5 【解析】建立如图D 1.4-3所示的平面直角坐标系， 图D 1.4-3 116 则， ， ． 当点在上时，则 ; 当点在上时，则 ; 当点在上时，则 ; 当点在上时，则 . 综上可得, 的取值范围为 ． 117 图1.4-6 14.(2025·四川省达州市第一中学校月考)如图1.4-6，在 中， ,,与交于点 . 118 （1）若,求 的值； 【答案】由题意知，,,三点共线，则存在实数使得 ,则 ,即 . 同理由,,三点共线,可得 . 由平面向量基本定理可得, 解得,, , . （2）设的面积为，的面积为,求 的值. 【答案】如图D 1.4-4,延长与相交于点,设 . 图D 1.4-4 由,,三点共线,可设,则 ，即 , , 又,,,解得 ， . 120 15.为平行四边形所在平面上一点， , ,则 的值是____. 图D 1.4-5 【解析】如图D 1.4-5，分别取,的中点,，连接，, ， 则, . 因为,所以,所以,, 三点共线. 延长到,使，以,为邻边作平行四边形，连接 ,则 ,因为,所以,所以,, 三点共线，所以 设与交于点,则为的中点，且为 的中点. 121 为与的交点.延长交的延长线于点，则 , ,又,所以,则 , 所以 ， 所以,，则 . 又与的方向相反，所以 . 谢谢观看 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 123 $