解三角形微专题：04边（角）的范围或最值问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教A版高中数学必修二微专题——03边（角）的范围或最值问题 一、题型梳理 题型1、有关“角”的范围问题 题型2、有关“角”的最值问题 题型3、有关“角的三角函数值”的最值问题 题型4、有关“边”的最值或范围问题 题型5、有关“边的多元问题”的范围或最值 二、典例讲解 题型1、有关“角”的范围问题 例1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a为最大边且 则角A的取值范围是 . 例2．不等边三角形中，角的对边分别为，且最大边满足，则角的取值范围是 ． 题型2、有关“角”的最值问题 例3．在中，已知，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为（   ） A． B． C． D． 例4、在中，已知，则内角的最大值为（    ） A． B． C． D． 例5、在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型3、有关“角的三角函数值”的最值问题 例6、已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 例7、已知满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型4、有关“边”的范围或最值问题 例8、是钝角三角形，内角所对的边，则最大边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例9、在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是 ． 例10．在中，，，最长边的边长为1，则最短的边长为 . 例11．在中，分别是角的对边，且满足． （1）求角的大小； （2）若最大边的边长为，且，求最小边长． 题型5、有关“边的多元问题”的范围或最值 例12、的内角所对的边满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例13．在平面四边形ABCD中，，，，当AC的长度最小时，的取值范围是 ． 例14．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 【跟踪训练】 专题03 有关边（角）的范围或最值问题 一、选择题：本题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 2．已知钝角的角，，所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3、已知的内角的对边分别为，且，且的最大内角为，则的最大边等于（   ） A．7 B．7或2 C．8 D．8或5 4．在中，，最大边与最小边之比为，则最大角为（    ） A． B． C． D． 5．在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a，b，c求三角形面积S，即.现有面积为的满足，则最大边的边长为（  ） A． B．4 C． D．8 7．在中，，若最大边的边长为，则最小边的长为（    ） A． B． C． D． 8．在中，已知，若最长的边长为，则最短的边长为（    ） A． B． C． D． 9．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（    ） A． B． C． D． 10．已知非等腰的内角，，的对边分别是，，，且，若为最大边，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11、在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是 ． 12．在中，若，，，则的最小角为 ． 13．在△ABC中，已知，最大边与最小边的比为，则该三角形中最大角的正切值是 ． 14．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会把纸沿某条直线对折．现有一张边长为2的等边三角形纸，点分别在边和上，现将三角形纸沿对折，点恰好落在边上且记为，当最短时， ． 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．在中，内角所对的边为，且. (1)求角的大小； (2)若的最大边的边长为，且，求最小边长. 16．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图所示，要求，长度大于1，且比长0.5米， （1）设，求长？ （2）为了广告牌稳固，要求的长度越短越好，求最短为多少米？且当最短时，长度为多少米？ 17．记的内角、、所对的边分别为、、. (1)证明：若，则； (2)探究：是否存在一个，其三边为三个连续的自然数，且最大角是最小角的两倍？如果存在，试求出最大边的长度；如果不存在，说明理由． 18．设的内角的对边分别为，且的最大边的边长为 （1）求角； （2）求的取值范围. 19．如图，在中，，的角平分线交于，． (1)求的取值范围； (2)已知面积为1，当线段最短时，求实数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高中数学必修二微专题——03边（角）的范围或最值问题 一、题型梳理 题型1、有关“角”的范围问题 题型2、有关“角的大小”的最值问题 题型3、有关“角的三角函数值”的最值问题 题型4、有关“边”的最值或范围问题 题型5、有关“边的多元问题”的范围或最值 二、典例讲解 题型1、有关“角”的范围问题 例1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a为最大边且 则角A的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用余弦定理推出，再根据条件，结合三角形内角和得出，即得角A的取值范围. 【详解】因为 由余弦定理，可得 故 ， 又因为最大边且 ，则有且，故 即故得 例2．不等边三角形中，角的对边分别为，且最大边满足，则角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知边长条件和最大边,求角的范围即可 【详解】因为,所以,所以又因为为最大边且三角形是不等边三角形,所以,所以,即得所以 题型2、有关“角的大小”的最值问题 例3．在中，已知，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设a为最大边，c为最小边，根据正弦定理可得,化简即可求解. 【详解】不妨设a为最大边，c为最小边，由题意，即， 整理，得．所以，所以．故选：B 例4、在中，已知，则内角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由定义法用边和角表示已知条件中的向量数量积，利用余弦定理化简，再利用不等式的性质求的最小值，可得角的最大值. 【详解】中，A，B，C的对边分别为a，b，c，由，得，由余弦定理得，即 则 ，当时，取到最小值， 所以角的最大值为.故选：C 例5、在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】在中，由余弦定理结合得： ，当且仅当，即时等号成立， 由此可知A为锐角，而在上单调递减，故，所以的最大值为.故选：D 题型3、有关“角的三角函数值”的最值问题 例6、已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由余弦定理及基本不等式计算可得. 【详解】由余弦定理得， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为．故选：A. 例7、已知满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量数量积的定义结合余弦定理得，再根据余弦定理求解，结合基本不等式即可得最值. 【详解】由，可得， 由余弦定理得，整理得， 则，当且仅当时取等， 所以的最小值为.故选：C. 题型4、“边”的范围或最值问题 例8、是钝角三角形，内角所对的边，则最大边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件利用余弦定理建立不等关系即可计算作答. 【详解】因是钝角三角形，，且是最大边，则由余弦定理得：， 于是得，，解得，又有，即， 所以最大边的取值范围是：.故选：D 例9、在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合正弦定理，根据三角形有两解的条件列不等式求解即可. 【详解】因为三角形有两个解，所以，即，解得， 例10．在中，，，最长边的边长为1，则最短的边长为 . 【答案】 【分析】利用两角和正切公式求得，根据小角对小边确定最小边长，再由正弦定理计算即可. 【详解】，，因为，即边是最小边长，因为，，解得， 由正弦定理得. 例11．在中，分别是角的对边，且满足． （1）求角的大小； （2）若最大边的边长为，且，求最小边长． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用余弦定理进行求解即可；（2）根据正弦定理，结合（1）的结论进行求解即可. 【详解】（1）， 由余弦定理可知：，所以有； （2） 因为，所以是钝角，因此是三角形最大的内角，而最大边的边长为， 所以有，根据正弦定理由，因此最小边为， 由（1）可知：. 题型5、有关“边的多元问题”的范围或最值 例12、的内角所对的边满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件变形结合余弦定理可得，再利用均值不等式即可求解. 【详解】由得， 根据余弦定理可得，所以，解得， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故选：D 例13．在平面四边形ABCD中，，，，当AC的长度最小时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最小值，再在中，利用正弦定理求出，再结合三角函数即可得解. 【详解】在平面四边形ABCD中，，，在中，由余弦定理得，当且仅当时取等号，所以的最小值为，在中，，由正弦定理得，则，， 故，因为，所以，所以，所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最小值是解决本题的关键. 例14．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 【答案】(1)，1；(2) 【分析】（1）利用正弦定理与和角的正弦公式求出角，再由条件求出边； （2）利用正弦定理求出边，代入所求式，经过三角恒等变换化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得其范围. 【详解】（1）由和正弦定理可得， 化简得，即 因，则，即，因，故． 又由且，可得． （2）由正弦定理，，可得，， 则，（*），因，将其代入（*），可得： ． 因，则，故，则的取值范围是． 【跟踪训练】 专题03 边（角）的范围或最值问题 一、选择题：本题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由大边对大角及余弦定理求最大内角. 【详解】因为三条边中最大，所以最大的内角为， 由余弦定理得，由，所以.故选：C 2．已知钝角的角，，所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件利用余弦定理建立不等关系即可计算作答. 【详解】因是钝角三角形，，，且是最大边，则由余弦定理得：， 于是得，，解得，又有，即，所以最大边的取值范围是：.故选：C 3、已知的内角的对边分别为，且，且的最大内角为，则的最大边等于（   ） A．7 B．7或2 C．8 D．8或5 【答案】A 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由于，故，因此是三角形中最大的边，因此, 由可得， 化简可得，由于，故，故选：A 4．在中，，最大边与最小边之比为，则最大角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设为最大角，则为最小角，由三角恒等变换列方程求得的值即可得解. 【详解】设为最大角，则为最小角，， ， ，．又为锐角，，．故选：C. 5．在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用正弦定理得，再由有唯一一个得出或，即可求解. 【详解】在中利用正弦定理得，则， 若满足上述条件的有且仅有一个，则或， 则或，则边长的取值范围是.故选：C 6．“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a，b，c求三角形面积S，即.现有面积为的满足，则最大边的边长为（  ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】利用正弦定理角化边，再借助给定的面积公式求解. 【详解】在中，由，得，则，因此，解得，所以最大边的边长. 故选：B 7．在中，，若最大边的边长为，则最小边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分为锐角、为钝角讨论，求出，利用正切的两角和的展开式求出可判断出，从而找到最小角、边，再由正弦定理可得答案. 【详解】，若为锐角，则由，所以， 此时，因为，所以，所以为钝角，可得，因为，所以为最小角，边长最小，由正弦定理得，解得；若为钝角，则由，所以，此时，因为，所以为钝角，这样内角和大于，故不是钝角，综上所述，.故选：A. 8．在中，已知，若最长的边长为，则最短的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题意求得，求出，判断出最短边和最长边，利用正弦定理求得答案. 【详解】在中，， 由， 于是，即C为最大角， 故有，，又，最短边为， 于是由正弦定理 ，故选：D. 9．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理对已知式化简变形可求得，再利用正弦定理表示出，，从而可得，求出的取范围，可求得范围． 【详解】因为所以由正弦定理得，，所以， 因为，所以．因为，所以，， 所以 ． 因为，所以，．故．故选：C． 10．已知非等腰的内角，，的对边分别是，，，且，若为最大边，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将，转化为，即，再根据为最大边，得到，然后由余弦定理得到，再利用基本不等式得到即可. 【详解】因为，所以， 即，即，即， 所以，因为为最大边，所以， 由余弦定理得， 所以，即，又，所以，所以.故选：A 三、填空题： 11、在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合正弦定理，根据三角形有两解的条件列不等式求解即可. 【详解】因为三角形有两个解，所以， 即，解得， 12．在中，若，，，则的最小角为 ． 【答案】 【分析】根据边长分析可知最小内角为角，利用余弦定理运算求解即可. 【详解】因为，，，则，可知，即最小内角为角， 且，又因为，所以. 13．在△ABC中，已知，最大边与最小边的比为，则该三角形中最大角的正切值是 ． 【答案】 【分析】由题意结合正弦定理及三角恒等变换即可得解. 【详解】由题意，b不为最大边，也不为最小边，不妨设a为最大边，c为最小边， 由题意有，即， 整理得，. 14．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会把纸沿某条直线对折．现有一张边长为2的等边三角形纸，点分别在边和上，现将三角形纸沿对折，点恰好落在边上且记为，当最短时， ． 【答案】 【分析】设，，在中利用余弦定理求出，再结合基本不等式可求. 【详解】设，， 因为，所以在中利用余弦定理可得，，得， 令，则，且， 当且仅当，即时，等号成立，当最短时，． 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．在中，内角所对的边为，且. (1)求角的大小； (2)若的最大边的边长为，且，求最小边长. 【答案】(1); (2)1. 【分析】（1）由正弦定理将所给等式变形，将边化成正弦值，再由三角恒等变形可得值； （2）由上题可知为最大角，再由正弦定理，将所给等式变形，将正弦值关系转化成边的关系，可判断最小边长，并利用余弦定理可求最小边长． 【详解】（1）由正弦定理，得， ∵，∴. ∴，且∴, ； （2）易知a为最大边，故，由,得.∴最小边为长， 根据余弦定理，有，∴∴，即最小边长为1. 16．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图所示，要求，长度大于1，且比长0.5米， （1）设，求长？ （2）为了广告牌稳固，要求的长度越短越好，求最短为多少米？且当最短时，长度为多少米？ 【答案】（1）；（2）最短为米，当最短时，长度为米. 【分析】（1）运用余弦定理建立函数表达式； （2）分拆分式型函数式，用基本不等式求最值. 【详解】设，则， ∵，∴，整理得 （2）令，∴，∴ (当且仅当，即时取等号)综上，当米时最短，为米. 【点睛】分式型函数分拆后能否用基本不等式，要遵循“一正、二定、三相等”，如果不能取等则转化为函数求最值. 17．记的内角、、所对的边分别为、、. (1)证明：若，则； (2)探究：是否存在一个，其三边为三个连续的自然数，且最大角是最小角的两倍？如果存在，试求出最大边的长度；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，最大边长为． 【分析】（1）由，利用三角恒等变换证明出，再利用正弦定理可证得结论成立； （2）假设存在，其三边为三个连续的自然数、、，设这三边所对的角分别为、、，可得，由（1）中的结论结合余弦定理可求出的值，即可求得最长边的边长. 【详解】（1）证明：若，则 ， 所以，由正弦定理得：． （2）假设存在，其三边为三个连续的自然数、、， 设这三边所对的角分别为、、，则若最大角是最小角的两倍，即． 由（1）知，，即． 由余弦定理知，，所以，， 即，因为，解得，经检验满足条件．于是最大边长为． 因此，存在一个，其三边为三个连续的自然数，最大边长为． 18．设的内角的对边分别为，且的最大边的边长为 （1）求角； （2）求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由已知条件，结合余弦定理求，即可求角； （2）由（1）知，应用正弦定理可得，进而由三角形内角性质及三角恒等变换可得，即可求的范围. 【详解】（1）由题意得，， 由余弦定理得，即. （2）由（1）可知，中角为最大角，由大角对大边知：， 由正弦定理知，， ∴，即， 而，又， ∴，可得，∴. 19．如图，在中，，的角平分线交于，． (1)求的取值范围； (2)已知面积为1，当线段最短时，求实数． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）根据角平分线定理，结合余弦定理进行求解即可； （2）根据三角形面积公式，结合余弦定理，基本不等式，同角三角函数的基本关系进行求解即可. 【详解】（1）设，，则，，由角平分线定理，知， 在中，由余弦定理得:， 在中，由余弦定理得:， 所以， 化简得，即，因为，所以． （2）因为面积为1，所以，即， 在中，由余弦定理得，， 所以 ，当且仅当，即时，取得最小值， 此时，由（1）知，． 学科网（北京）股份有限公司 $