第二单元 认识三角形和四边形（易错笔记）易错知识梳理+十二大易错考点讲练+优选真题拔尖练 共56题-2025-2026学年北师大版数学四年级下册培优讲义

第二单元 认识三角形和四边形 【解析版】 同学你好，该份讲义用于北师大版四年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 1、平面图形的特征是构成图形的所有的点都在同一平面内，而立体图形的特征是占有一定的空间。 2、由四条线段首尾顺次边接组成的封闭图形是四边形。 3、只有三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形。 4、等腰三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形。 5、一个三角形中至少有两个锐角，因此，根据最大的角就能直接判断出三角形的类型。 6、等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 7、一个三角形中最多有一个直角。 8、任意一个三角形的内角和都是180°。 9、只有当任意两边的和大于第三边时，才能围成三角形，等于或者小于第三边都不能围成三角形。 10、当三角形3条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小就完全确定，不会改变。 11、判断3条线段能否围成三角形，要全面比较，只有当任意两边的和大于第三边时，才能围成三角形。 12、只有一组对边平行的四边形是梯形。 高频考点一：三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课前预习）如下图，要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n边形木架呢？ 【答案】1根；2根；3根；（n－3）根。 【易错思路引导】根据三角形具有稳定性，把四边形、五边形、六边形分成三角形，然后根据从同一个顶点出发与和它不相邻的点的连线的条数，即可确定需要再钉上几根木条，可以使该图形不变形。 【完整解答】如图：要使四边形木架不变形，至少要再钉上1根木条；五边形木架至少要再钉上2根木条；六边形木架至少要再钉上3根木条；n边形木架至少要再钉上（n－3）根木条。 【变式训练1】（25-26四年级下·全国·课前预习）篮球架上的三角形（如下图）是利用了三角形的（    ）性。下列物体中，有哪些地方也应用了这一特性？照样子画一画。 【答案】稳定；图见详解 【易错思路引导】篮球架上三角形的使用，是基于三角形的稳定性。三角形的三个顶点一旦固定，就无法在保持角度不变的情况下移动，这使得三角形结构在承受外部力时不易发生形变，因此在许多需要稳定性设计的物体中，都会看到三角形的应用。找这些物体中含有三角形的地方。 【完整解答】篮球架上的三角形（如下图）是利用了三角形的稳定性。 下列物体中，应用了这一特性的地方如下： 【变式训练2】（2025四年级下·全国·专题练习）要使下面这些图形更稳定，至少要在图中增加几条线段？          至少需要( )条。    至少需要( )条。    至少需要( )条。 【答案】 2 3 5 【易错思路引导】由题目可知，根据三角形具有稳定性，图中是多边形图形，为了增加其稳定性，需要通过添加线段来形成三角形。这样，无论图形的其余部分如何变化，这些三角形都会保持其形状，从而增强整个图形的稳定性。据此即可解题。 【完整解答】由分析可知： ，至少需要2条； ，至少需要3条； ，至少需要5条。 高频考点二：三角形的分类 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课前预习）如下图，已知A，B两点是8×8 网格中的两点，若P，A，B三点构成等腰直角三角形，则点P的位置有（    ）个。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【易错思路引导】等腰直角三角形有一个角是直角，且直角所在的两条边相等，可以将AB看作其中一条直角边，也可以将AB看作斜边，据此画出所有符合条件的三角形，找出有几个即可。 【完整解答】在方格纸中，能与A、B两点构成等腰直角三角形的点有6个。 点P的所有可能的位置如图所示，共6种。 故答案为：B 【变式训练1】（25-26四年级下·全国·课前预习）下列说法错误的有（    ）。 ①0.09和0.90的大小相等，计数单位不同。 ②三角形有一个角是80°，则这个三角形一定是锐角三角形。 ③长方形、正方形、等腰梯形、平行四边形、正三角形都是轴对称图形。 ④一个除法算式中，被除数乘5，要使商不变，除数要除以5。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【易错思路引导】①0.09小于0.90，0.09和0.90的计数单位都是0.01，计数单位相同； ②三个角都是锐角的三角形是锐角三角形； ③如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形； ④商不变性质：被除数和除数都乘或除以同一个不为0的数，商不变。 【完整解答】①0.09和0.90的大小不相同，计数单位相同，原题说法错误； ②三角形有一个角是80°不一定是锐角三角形，三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形，原题说法错误； ③平行四边形不是轴对称图形，原题说法错误； ④一个除法算式中，被除数乘5，要使商不变，除数也要乘5，原题说法错误。 所以说法错误的有4个。 故答案为：D 【变式训练2】（2025四年级下·全国·专题练习）先填一填下面每个三角形中最大的角是什么角，再分一分。（填序号） （  ）角  （  ）角  （  ）角  （  ）角     （  ）角   （  ）角 （1）按角分。 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 （2）按边分。 等腰三角形 等边三角形 【答案】锐；直；锐；锐；钝；直；（1）①③④；②⑥；⑤；（2）①③⑥；④ 【易错思路引导】根据三角形的最大内角和边的长度对三角形进行分类。锐角三角形的最大角小于90度，直角三角形有一个角等于90度，钝角三角形有一个角大于90度。有两条边相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的三角形叫等边三角形。由此可解答。 【完整解答】如图： （1）按角分。 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 ①③④ ②⑥ ⑤    （2）按边分。 等腰三角形 等边三角形 ①③⑥ ④ 高频考点三：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】（24-25四年级下·安徽亳州·期末）华华和爸爸一起用2米长的铁丝制作了一个等腰三角形的风筝，风筝的腰长是0.6米，他的底边长是多少米？ 【答案】 0.8米 【易错思路引导】根据等腰三角形的性质，两条腰长度相等，周长等于三条边的总和。已知铁丝总长2米，即等腰三角形的周长为2米，腰长各为0.6米，因此底边长为周长减去两条腰的长度。以此列式计算即可。 【完整解答】根据分析可知： 2－0.6×2 ＝2－1.2 ＝0.8（米） 答：底边长为0.8米。 【变式训练1】（24-25四年级下·陕西榆林·期末）用一根36cm长的铁丝恰好折成一个最大的等边三角形铁框，铁框的边长是( )cm，若恰好折成一个腰长是15cm的等腰三角形铁框，铁框底边长是( )cm。 【答案】 12 6 【易错思路引导】根据题意，等边三角形三边相等，用铁丝总长除以3可得边长；等腰三角形两腰相等，用总长减去两腰长度即为底边长度。列式计算即可。 【完整解答】根据分析可知： 36÷3＝12（cm） 36－15×2 ＝36－30 ＝6（cm） 用一根36cm长的铁丝恰好折成一个最大的等边三角形铁框，铁框的边长是12cm，若恰好折成一个腰长是15cm的等腰三角形铁框，铁框底边长是6cm。 【变式训练2】（24-25四年级下·安徽宿州·期末）乐乐每天上学都认真佩戴红领巾，我们的红领巾，按边分是( )三角形，按角分是( )三角形。 【答案】 等腰 钝角 【易错思路引导】红领巾的形状是三角形，观察其边的特点，有两条边相等，至少有两边相等的三角形是等腰三角形；红领巾的顶角明显向外扩张，角度较大，超过90°，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，所以红领巾按角分是钝角三角形，据此解答即可。 【完整解答】乐乐每天上学都认真佩戴红领巾，我们的红领巾，按边分是等腰三角形，按角分是钝角三角形。 高频考点四：画三角形 【典例精讲】（24-25四年级下·辽宁沈阳·期末）在点子图上按要求画出图形。 （1）在点子图上找到点C和点D，顺次连接A、B、C、D，使四边形ABCD是一个梯形。 （2）在点子图上找到点E，顺次连接A、B、E，使三角形ABE既是等腰三角形又是直角三角形。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【易错思路引导】（1）只有一组对边平行的四边形是梯形，根据梯形定义画图（答案不唯一）； （2）等腰直角三角形的定义是：两条直角边相等的直角三角形，或一个角是直角的等腰三角形。根据等腰直角三角形的定义画图（答案不唯一）。 【完整解答】（1）如图所示： （2）如图所示 【变式训练1】（24-25四年级下·河南商丘·期中）下图是一个锐角三角形的一部分。 （1）将下图中的三角形补充完整。 （2）将补全的三角形用一条线分为两个直角三角形。 【答案】（1）（2）见详解 【易错思路引导】（1）由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，据此特征画图。 （2）有一个角是直角的三角形为直角三角形。从顶点向对边画出合适的线，使这条线与对边形成直角即可。 【完整解答】（1）（2）作图如下： 【变式训练2】（23-24四年级下·山西晋城·期末）下面的方格纸上已画出三角形的一条边，请按要求把它们补充完整。 【答案】见详解 【易错思路引导】等腰钝角三角形：有两条边相等，一个角是钝角的三角形。等腰锐角三角形：有两条边相等，三个角都是锐角的三角形。据此作图。 【完整解答】 高频考点五：三角形的内角和 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课后作业）一个三角形的一个内角正好等于其余两个内角之和，它是一个（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 【答案】B 【易错思路引导】先明确三角形内角和为180°，再通过假设法根据题目条件求出该内角的度数，最后判断三角形类型。 【完整解答】题目中提到一个内角正好是其余两个内角之和，假设这个内角的度数看作2份，其余两个内角的度数看作各为1份，则两个内角之和的份数为份。又因为三角形内角和为180°，内角和的总份数为份，那么1份的度数为，这个内角的度数占2份，为。根据三角形按角分类的方法，有一个角是直角（90度）的三角形是直角三角形。因此，一个三角形的一个内角正好等于其余两个内角之和，它是一个直角三角形。 故答案为：B 【变式训练1】（25-26四年级下·全国·课前预习）在一个三角形中，∠1的度数是∠2的3倍，∠2的度数是∠3的2倍，这个三角形中最大的一个角是多少度？这是一个什么三角形？ 【答案】120°；钝角三角形 【易错思路引导】已知∠1的度数是∠2的3倍，∠2的度数是∠3的2倍。所以，∠2＝2∠3，∠1＝6∠3，先求出∠3的度数，再进一步计算。 【完整解答】因为∠1＝3∠2，∠2＝2∠3， 所以∠1＝6∠3， 所以∠3＝180°÷（1＋2＋6）＝20° 所以∠2＝20°×2＝40° ∠1＝20°×（3×2）＝120° 答：这个三角形中最大的一个角是120°，这是一个钝角三角形。 【变式训练2】（25-26四年级下·全国·课前预习）在一个等腰三角形中，其中一个底角是顶角的4倍，这个三角形的底角和顶角分别是多少度？ 【答案】80°；20° 【易错思路引导】设顶角为1份，则2个底角分别为这样的4份，三角形的内角和一共是这样的9份，据此可以求出顶角的度数，那么底角＝顶角×4。 【完整解答】顶角：180°÷（4＋4＋1） ＝180°÷9 ＝20° 底角：20°×4＝80° 答：这个三角形的底角是80°，顶角是20°。 高频考点六：多边形的内角和 【典例精讲】（24-25四年级下·山西吕梁·期末）我们通过折一折、撕一撕的方法可以得到三角形的内角和是180°，那么四边形的内角和是多少度呢？下面是三位同学的探究过程。 （1）这三位同学的思考过程对吗？在对的里画“√”。 （2）妙想也呈现了自己的探究方法，如下： 180°×4－360°＝360° 你同意妙想的方法吗？请你试着说说她的思路。 【答案】（1）见详解 （2）同意。思路：把四边形看作由4个三角形组成，4个三角形的内角和是180°×4，但这4个三角形的内角和中，中间的周角（360°）是重复计算的，所以用180°×4－360°，即可得到四边形的内角和为360°。 【易错思路引导】（1）笑笑：通过将四边形的四个角折拼，形成一个周角（360°），方法正确，在□里画“√”。 淘气：将四边形分成两个三角形，因为一个三角形内角和是180°，所以两个三角形内角和是180°×2＝360°，方法正确，在□里画“√”。 奇思：将四边形分成三个三角形，三个三角形内角和是180°×3＝540°，但这种分法多算了中间的一个平角（180°），实际四边形内角和不是540°，方法错误。 （2）把四边形看作由4个三角形组成，4个三角形的内角和是180°×4，但这4个三角形的内角和中，中间的周角（360°）是重复计算的，所以用180°×4－360°，即可得到四边形的内角和为360°。 【完整解答】 （1） （2）答：同意妙想的方法。把四边形看作由4个三角形组成，4个三角形的内角和是180°×4，但这4个三角形的内角和中，中间的周角（360°）是重复计算的，所以用180°×4－360°，即可得到四边形的内角和为360°。 【变式训练1】（24-25四年级下·山西运城·期末）探秘多边形的内角和。 （1）回顾反思。这学期我们在探究三角形的内角和时，将三角形的三个内角剪一剪，拼成一个（    ）角（如下图），得到三角形的内角和是（    ）°。 （2）探究发现。在探究“四边形的内角和”时，同学们从不同角度去思考。试试看，你能读懂他们的想法吗？填一填。 四边形的内角和：180°×（    ）＝（    ）° 四边形的内角和：180°×（    ）＝（    ）° （    ）°－360°＝（    ）° （3）迁移应用。请你选择一种方法探究五边形的内角和是多少？在下图中画一画，算一算。 我的思考： 【答案】（1）平；180 （2）见详解 （3）作图见详解；540° 【易错思路引导】（1）图中把三个内角拼成了一个平角，平角的度数是180°； （2）把四边形分成2个三角形，三角形的内角和为180°，所以四边形的内角和为180°×2；右边的同学把四边形分成了4个三角形，但是中间多了一个周角，周角的度数为360°，所以四边形的内角和为180°×4再减360°。 （3）可将五边形分成三个三角形，三角形的内角和为180°，所以五边形的内角和为180°×3。 【完整解答】（1）将三角形的三个内角剪一剪，拼成一个平角，平角的度为是180°，所以得到三角形的内角和是180°。 （2）根据分析： 四边形的内角和：180°×（  2  ）＝（ 360   ）° 四边形的内角和：180°×（  4  ）＝（  720  ）° （ 720  ）°－360°＝（ 360  ）° （3）如图，可将五边形分成3个三角形： 所以五边形的内角和＝180°×3＝540°。 【变式训练2】（24-25四年级下·广东深圳·期末）航航在折纸课上，将一个等边三角形沿如图虚线位置剪掉一个角（如下图），此时∠2＋∠3＝( )°。 【答案】240 【易错思路引导】等边三角形的三个角相等，都是60°。三角形内角和是180°，∠1是60°，等边三角形剩下的两个角的度数和是180°－60°＝120°。而剪去一个三角形，剩下的是一个四边形。四边形的内角和＝（边数－2）×180°。用四边形的内角和减去120°就是∠2＋∠3的度数之和。 【完整解答】180°－60°＝120° （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 360°－120°＝240° 所以，∠2＋∠3＝240°。 高频考点七：三角形三边关系 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课前预习）如下图所示，把一根长8厘米的铁丝剪成3段围成三角形，第一刀不能剪在几厘米处？ 【答案】4厘米 【易错思路引导】如果第一刀从中间位置剪开，第二刀不管如何剪，都会形成较短的两段之和等于最长的一段，不符合三角形任意两边之和大于第三边要求，所以第一刀不能从中间位置剪开，据此即可解答。 【完整解答】8÷2＝4（厘米），所以把一根长8厘米的铁丝剪成3段围成三角形，第一刀不能剪在4厘米处。 答：第一刀不能剪在4厘米处。 【变式训练1】（24-25四年级下·安徽亳州·期末）小华想制作一个三角形框架，他找到了下面两根木条。小华打算把②号木条截成两段再与①号木条围成三角形，②号木条截成的两段的长度可能是（    ）。 A．3厘米、10厘米 B．6厘米、7厘米 C．2厘米，11厘米 【答案】B 【易错思路引导】三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。判断三条线段能否围成三角形，把较短的两条线段相加的和与最长的线段相比较，若大于最长的线段，则能围成三角形，反之则不能。据此解答。 【完整解答】根据分析可知： A．3＋6＝9＜10，不符合题意。 B．6＋6＝12＞7，6＋7＝13＞6，符合题意。 C．6＋2＝8＜11，不符合题意。 小华想制作一个三角形框架，他找到了下面两根木条。小华打算把②号木条截成两段再与①号木条围成三角形，②号木条截成的两段的长度可能是6厘米、7厘米。 故答案为：B 【变式训练2】（24-25四年级下·安徽亳州·期末）风筝之都潍坊，万千风筝扶摇直上！奇思也加入了风筝节的创意比赛，他设计了一款等腰三角形造型的风筝。已知等腰三角形风筝的两条边分别长25厘米和40厘米，那么这个等腰三角形风筝的周长多少厘米？ 【答案】90厘米或105厘米 【易错思路引导】已知等腰三角形的两条边是25厘米和40厘米，如果25厘米的边为三角形的腰，25＋25＝50（厘米），50厘米＞40厘米，符合三角形的要求；如果40厘米的边为三角形的腰，40＋40＝80（厘米），80厘米＞25厘米，也符合三角形的要求。因此三角形的三边之和有两种情况，分别相加即可。 【完整解答】根据分析： 当25厘米的边为三角形的腰时 25＋25＋40＝90（厘米） 当40厘米的边为三角形的腰时 40＋40＋25＝105（厘米） 答：这个等腰三角形风筝的周长是90厘米或105厘米。 高频考点八：平行四边形的概念及特点 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课前预习）下面说法错误的是（    ）。 A．用第①组小棒只能摆出正方形。 B．用第①组小棒能摆出形状不同的平行四边形。 C．用第②组小棒能摆出形状不同的平行四边形。 D．用第③组小棒能摆出等腰梯形。 【答案】A 【易错思路引导】（1）平行四边形两组对边分别平行且相等，正方形为特殊的平行四边形，平行四边形有易变形性。 （2）等腰梯形的上底和下底平行，而且两条腰的长度相同。 【完整解答】A．用第①组小棒不仅能摆出正方形，还能摆出平行四边形，说法错误； B．用第①组小棒能摆出形状不同的平行四边形，说法正确； C．用第②组小棒能摆出形状不同的平行四边形，说法正确； D．用第③组小棒能摆出等腰梯形，说法正确； 故答案为：A 【变式训练1】（2025四年级下·全国·专题练习）拼一拼，填一填。 (1)__________和__________可以拼成一个平行四边形。 (2)__________和__________可以拼成一个梯形。 (3)__________和__________既可以拼成一个长方形又可以拼成一个梯形。 【答案】(1) ①（⑤；⑦） ④（⑥；⑧） (2) ⑦ ⑧ (3) ⑦ ⑧ 【易错思路引导】（1）根据平行四边形的性质，要拼成平行四边形需要两个完全相同的三角形或者梯形，所以需要找出图中完全相同的两组三角形或梯形； （2）根据梯形的特点及给出来的图形，要拼成梯形需要两个完全一样的直角梯形； （3）根据长方形和梯形的特点及给出来的图形，两个完全一样的直角梯形既可以拼成梯形也可以拼成长方形。 【完整解答】（1）①和④是两个完全一样的三角形，所以可以拼成平行四边形；同理⑤和⑥也是两个完全一样的三角形，可以拼成平行四边形；⑦和⑧是两个完全一样的梯形，所以可以拼成平行四边形，三组中选一组作答即可。 （2）⑦和⑧是两个完全一样的直角梯形，可以拼成梯形； （3）⑦和⑧是两个完全一样的直角梯形，可以拼成长方形。 【变式训练2】（24-25四年级下·河南周口·期末）如图，用同样的等腰梯形拼图形。如果用了7个等腰梯形，那么拼成的图形的形状是（    ）。 A．平行四边形 B．梯形 C．长方形 【答案】B 【易错思路引导】通过观察现有的图形，发现规律，奇数个等腰梯形拼成的图形是梯形，偶数个等腰梯形拼成的图形是平行四边形，7是奇数，则拼成的图形是梯形；据此解答。 【完整解答】如图，用同样的等腰梯形拼图形。如果用了7个等腰梯形，那么拼成的图形的形状是梯形。 故答案为：B 高频考点九：平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲】（24-25四年级下·山西吕梁·期中）看一看，想一想，标出各角的度数，你有什么发现？ （1）活动一：笑笑用3根同样长的小棒围三角形。 （2）活动二：奇思用4根同样长的小棒围四边形。 （3）对比上面两个活动，你有什么发现？ 【答案】见详解 【易错思路引导】（1）（2）量角的步骤：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。据此量出各个角的度数。观察发现，拼成的三角形只有一种，拼成的四边形有有很多种。 （3）通过对比，围绕内角和以及三角形的稳定性、四边形的不稳定性提出合理发现即可。 【完整解答】 （3）对比上面两个活动，我发现用3根同样长的小棒只能拼成一种三角形，而用4根同样长的小棒能拼成很多种四边形。进而可知三角形具有稳定性，而四边形有易变形性。三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°。（答案不唯一） 【变式训练1】（24-25四年级下·山西运城·期中）如图，将房屋的屋顶架做成三角形，是利用了三角形的( )性，电动伸缩门是利用了( )形容易变形的性质。 【答案】 稳定 平行四边 【易错思路引导】三角形具有稳定性，不容易变形；平行四边形与三角形不同，容易变形，也就是具有不稳定性。图一是根据三角形具有的稳定性的原理将房屋的屋顶架做成三角形，图二电动伸缩门是根据平行四边形易变行的特征，制作成电动伸缩门。 【完整解答】如图，将房屋的屋顶架做成三角形，是利用了三角形的稳定性，电动伸缩门是利用了平行四边形容易变形的性质。 【变式训练2】（23-24四年级下·广东茂名·期末）花工叔叔要给花园围上篱笆，（    ）种围法最牢固。 A． B． C． D． 【答案】B 【易错思路引导】希望围的篱笆牢固，则需要结合所围成的图形，考虑它们的稳定性。三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，例：埃及金字塔、钢轨、三角形框架等都以三角形形状建造。平行四边形具有不稳定性，生活中也有广泛应用，例如活动挂架。 【完整解答】A．篱笆间形成了正方形，不具有稳定性，因此围成的篱笆不太牢固； B．篱笆间形成了三角形，三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，因此围成的篱笆牢固； C．篱笆间形成了平行四边形，具有不稳定性，因此围成的篱笆不牢固。 D．篱笆间形成了长方形，不具有稳定性，因此围成的篱笆不太牢固； 故答案为：B 高频考点十：梯形的概念及特点 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课前预习）如图，一个等腰梯形被分成一个平行四边形和一个三角形，其中平行四边形的周长是( )厘米。 【答案】22 【易错思路引导】平行四边形的对边相等，等腰梯形的上底＝平行四边形的底，等腰梯形的腰＝平行四边形的腰，所以平行四边形的周长＝（底边＋腰）×2，据此作答即可。 【完整解答】由题图可知，平行四边形的一组对边的长是5厘米，另一组对边的长是6厘米，其周长是： （6＋5）×2 ＝112 ＝22（厘米） 所以其中平行四边形的周长是22厘米。 【变式训练1】（2025四年级下·全国·专题练习）如下图，请你从图中选择一个点，让它和点A，B，C顺次连接成为一个梯形。共有( )种不同的选法。 【答案】5 【易错思路引导】只有一组对边平行的四边形叫做梯形；过C点作AB边的平行线，此时有3个点可与点A、B、C依次连接成为一个梯形；过A点作BC边的平行线，此时有2个点可与点A、B、C依次连接成为一个梯形；据此解答。 【完整解答】作图如下： （种） 则共有5种不同的选法。 【变式训练2】（25-26四年级下·全国·课前预习）将长方形纸和三角形纸用钉子固定，如图1。 (1)已知∠1＝∠2＝70°，那么∠3＝( )°，图1重叠的阴影部分是( )梯形。 (2)转动三角形，形成图2，图2重叠的阴影部分是( )梯形。 【答案】(1) 110 等腰 (2)直角 【易错思路引导】（1）由图可知，∠1＋∠3＝180°；根据梯形的定义：一组对边平行的四边形是梯形，所以图1重叠的部分是一个梯形，且∠1＝∠2＝70°，说明梯形的两条腰相等； （2）图2重叠的阴影部分中有一个角是直角；据此解答。 【完整解答】由分析可知： （1）∠3＝180°－∠1＝180°－70°＝110° ∠1＝180°-∠3＝180°－110°＝70° ∠1＝∠2 所以∠3＝110°，图1重叠的阴影部分是一个等腰梯形； （2）图2重叠的阴影部分中有一个角是直角，所以图2重叠的阴影部分是一个直角梯形。 高频考点十一：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课前预习）至少要（    ）个相同的等边三角形才能拼成1个等腰梯形。 A．2 B．3 C．4 【答案】B 【易错思路引导】 根据题意，如图：2个相同的等边三角形能拼成平行四边形，3个相同的等边三角形才能拼成等腰梯形。以此选择即可。 【完整解答】根据分析可知： 至少要3个相同的等边三角形才能拼成1个等腰梯形。 故答案为：B 【变式训练1】（23-24四年级下·安徽安庆·期末）先在下面方格图中画出一个直角梯形，再将梯形分成一个直角三角形和一个平行四边形。 【答案】见详解 【易错思路引导】根据梯形的特征，梯形是只有一组对边平行的四边形，平行的两边叫做梯形的底边，长的一条底边叫下底，短的一条边叫上底，另外两边叫腰，直角梯形是指有一个角是直角的梯形，首先画一个直角，直角的两条边，一条是梯形的下底，一条是梯形的腰，再画一条梯形的上底，上底的一个端点与腰的一个端点连接，据此，再用一条线段分别连接上下底两个线段的端点，画出直角梯形即可； 要想将一个梯形分成一个直角三角形和一个平行四边形，过梯形直角边上底的顶点，作对边的平行线，即可把梯形分成一个直角三角形和一个平行四边形。 【完整解答】 【变式训练2】（23-24四年级下·山西运城·期末）用两个完全一样的等腰梯形拼成一个平行四边形，已知每个梯形的周长都是40厘米，梯形的一条腰长8厘米，则平行四边形的周长是多少厘米？（先根据题意画出示意图，再解答） 【答案】图见详解；64厘米 【易错思路引导】两个梯形拼成一个平行四边形后，它们的一条腰会重叠，其余边正好围成一个平行四边形，所以平行四边形的周长＝梯形的周长×2－梯形的腰长×2，据此作答。 【完整解答】示意图如图所示： 40×2－8×2 ＝80－16 ＝64（厘米） 答：平行四边形的周长是64厘米。 高频考点十二：四边形的分类及关系 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课前预习）依次连接方格纸上A、B、C 三个点，再连接①、②、③、④中的某一个点围成四边形。要使围成的四边形是梯形，可以有（    ）种不同的围法。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【易错思路引导】梯形的上底和下底是平行的，所以围成的图形中有一组平行线，看哪些图形符合进行选择。 【完整解答】 根据图可知，连①是四边形，连②也是四边形，连③是平行四边形，只有连④才是梯形，所以只有1种； 故答案为：A 【变式训练1】（24-25四年级下·广东佛山·期末）淘气画了如下图表示四边形、正方形、梯形、平行四边形和长方形五者之间的关系，那么③号是( )，⑤号是( )。 【答案】 梯形 正方形 【易错思路引导】两组对边分别平行的四边形是平行四边形；长方形不仅两组对边分别平行，而且四个角都是直角，所以长方形是特殊的平行四边形；正方形不仅两组对边分别平行，四个角都是直角，而且四条边都相等，所以正方形是特殊的长方形，也是特殊的平行四边形；只有一组对边平行的四边形是梯形。据此解答。 【完整解答】由分析可知，正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形。而梯形和平行四边形是两种完全不同的四边形。图中，②包含了④，④包含了⑤，而③和②相互独立。 故③号是梯形，⑤号是正方形。 【变式训练12】（23-24四年级下·广东深圳·期中）我们学习的数学知识有着密切的联系。用序号填一填，表示出图形之间的关系。 【答案】见详解 【易错思路引导】只有一组对边平行的四边形是梯形。两组对边分别平行的四边形是平行四边形。长方形不仅两组对边分别平行且四个角都是直角，所以长方形是特殊的平行四边形。正方形不仅两组对边分别平行、四个角都是直角且四条边都相等，所以正方形是特殊的长方形。据此解答。 【完整解答】 1．（25-26四年级下·全国·课后作业）在一个三角形中，如果有两个内角的和小于90°，那么这个三角形一定是（    ）三角形。 A．直角 B．锐角 C．钝角 【答案】C 【易错思路引导】三角形的内角和是180°，如果有两个内角的和小于90°，那么第三个内角的度数就等于180°减去这两个内角的和，其结果一定大于90°，大于90°小于180°的角是钝角，有一个钝角的三角形是钝角三角形。 【完整解答】因为三角形内角和为180°，设两个内角和为a，且a<90°，则第三个角为180°−a，由于a<90°，所以180°−a>90°，即第三个角是钝角，所以这个三角形是钝角三角形。 故答案为：C 2．（25-26四年级下·全国·课前预习）下图中有（    ）个平行四边形。 A．7 B．8 C．9 【答案】C 【易错思路引导】两组对边分别平行的四边形是平行四边形。由图可知，单独的小平行四边形有5个，由2个小平行四边形组成的大平行四边形有3个，由3个小平行四边形组成的大平行四边形有1个，即一共有9个平行四边形。 【完整解答】由分析可得，图中一共有9个平行四边形。 故答案为：C 3．（25-26四年级下·全国·课前预习）小军将一根长10厘米的铁丝分成三段，再首尾相连组成一个三角形。下面图（    ）的方法一定能围成一个三角形。 A． B． C． D． 【答案】C 【易错思路引导】根据三角形任意两边之和大于第三边，即可判断哪个图能围成三角形，哪些图不能围成三角形。 【完整解答】A．三角形三边长分别为：2厘米，2厘米，6厘米；2厘米＋2厘米＝4厘米＜6厘米，所以图A的方法不能围成三角形。 B．三角形三边长分别为：2厘米，3厘米，5厘米；2＋3＝5（厘米），所以图B的方法不能围成三角形。 C．三角形三边长分别为：2厘米，4厘米，4厘米；2＋4＝6（厘米），6厘米＞4厘米，所以图C的方法能围成三角形。 D．三角形三边长分别为：2厘米，3厘米，5厘米；2＋3＝5（厘米），所以图D的方法不能围成三角形。 小军将一根长10厘米的铁丝分成三段，再首尾相连组成一个三角形。下面图的方法一定能围成一个三角形。 故答案为：C 4．（25-26四年级下·全国·课前预习）将一根20cm长的木条截成三段围成一个三角形，下列截法正确的是（    ）。 A．13cm、6cm、1cm B．10cm、3cm、7cm C．8cm、5cm、7cm D．9cm、10cm、1cm 【答案】C 【易错思路引导】判断能不能围成三角形的方法：三角形两条短边之和必须大于第三边，将较短的两条线段长度相加，与第三条线段比较即可。。 【完整解答】A．1＋6＝7＜13，围不成三角形； B．3＋7＝10，围不成三角形； C．5＋7＝12＞8，能围成三角形； D．9＋1＝10，围不成三角形。 故答案为：C 5．（2025四年级下·全国·专题练习）一个等腰三角形的两条边的长度分别是11厘米和5厘米，那么第三条边的长度是（    ）厘米。 A．11 B．7 C．5 【答案】A 【易错思路引导】等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形。根据已知边长可能作为腰或底边的情况，分两种可能性分析。由三角形任意两边之和大于第三边排除不满足条件的情况。若假设两条相等的边为5厘米，则无法满足三角形三边关系，因此只能以11厘米为腰长，5厘米为底边。验证：，满足任意两边之和大于第三边的条件。 【完整解答】选项A：三边长为11厘米、11厘米、5厘米，满足等腰三角形的条件且满足任意两边之和大于第三边的条件，选项正确； 选项B：三边长为11厘米、5厘米、7厘米，不满足等腰三角形的条件，选项错误； 选项C：三边长为11厘米，5厘米，5厘米，满足等腰三角形的条件，但，不满足任意两边之和大于第三边的条件，选项错误。 故答案选：A 【考点剖析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的应用，结合相应知识点得出答案。 6．（2025四年级下·全国·专题练习）按要求选一选，填一填。（填序号） 能围成三角形的3根小棒是（    ）； 能围成等腰三角形的3根小棒是（    ）； 能围成平行四边形的4根小棒是（    ）。 【答案】①②③；③④⑤；①②③④（前两空答案不唯一） 【易错思路引导】三角形三边需满足 “任意两边之和大于第三边”，如：，，所以①②③能围成三角形；，，所以②③④能围成三角形； 等腰三角形需2边长度相等，同时满足三角形三边关系，如：，，所以③④⑤能围成等腰三角形；，，所以②③④能围成等腰三角形； 平行四边形需 “两组对边分别相等”，①和②都是2米，③和④都是3米，所以①②③④能围成平行四边形。 【完整解答】能围成三角形的3根小棒是①②③；（答案不唯一） 能围成等腰三角形的3根小棒是③④⑤；（答案不唯一） 能围成平行四边形的4根小棒是①②③④。 7．（25-26四年级下·全国·课后作业）数一数。 (1)有( )个三角形。 (2)有( )个四边形。 【答案】(1)10 (2)3 【易错思路引导】（1）三角形是由三条线段首尾相接组成的封闭图形，通过观察图形，找出所有符合条件的三角形； （2）四边形是由四条边组成的封闭图形，通过观察图形，找出所有符合条件的四边形。 【完整解答】（1）从最小的三角形数起：由一个小三角形组成的有4个，由两个小三角形组成的有3个，由三个小三角形组成的有2个，由四个小三角形组成的有1个，，所以一共有10个。 有10个三角形。 （2）由1个小四边形组成的有2个，由2个小四边形组成的有1个，，所以一共有3个。 有3个四边形。 8．（25-26四年级下·全国·课前预习）如图，乐乐要把一根14 cm长的铁丝剪成三段，再首尾相接围成一个三角形，第一剪不能落在点( )上。 【答案】B 【易错思路引导】根据三角形的性质，三角形两边之和大于第三边，分别求出两边之和的长，再比较，据此求解。 【完整解答】A．如果第一剪落在A点，那么第一段长是6cm，剩下的两段长度和＝14－6＝8（cm），那么8＞6，可以构成三角形的； B．如果第一剪落在B点，那么第一段长是7cm， 剩下的两段长度和2＋5＝7（cm），两边之和不大于第三边，所以不能构成三角形，即符合题意； C．如果第一剪落在C点，即前两段长是12cm，剩下的一段长度为：14－12＝2（cm），12＞2，可以构成三角形。 故答案为：B 9．（25-26四年级下·全国·课前预习）一个等腰三角形其中一个角是70°，那么这个三角形其他两个角的度数分别是( )和( )，也可能是( )和( )，按角分类这个三角形是( )三角形。 【答案】 70° 40° 55° 55° 锐角 【易错思路引导】根据题意，等腰三角形的两个底角相等；三角形的内角和等于180°。题意没有说明70° 角是顶角还是底角，需分情况讨论。无论哪种情况，所有的角都是锐角，因此为锐角三角形。以此答题即可。 【完整解答】根据分析可知： 当70°为底角时： 180°－70°×2 ＝180°－140° ＝40° 此时三个角为：70°、70°、40° 当70°为顶角时： （ 180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 此时三个角分别为：70°、55°、55° 一个等腰三角形其中一个角是70°，那么这个三角形其他两个角的度数分别是70°和40°，也可能是55°和55°，按角分类这个三角形是锐角三角形。 10． （2024四年级下·辽宁·专题练习） 图中带眼睛的梯形共有( )个。 【答案】16 【易错思路引导】以一个小梯形为单位，分别计算。（1）1个小梯形组成的带眼睛的梯形有1个。（2）2个小梯形组成的带眼睛的梯形有4个。（3）3个小梯形组成的带眼睛的梯形有2个。（4）4个小梯形组成的带眼睛的梯形有4个。（5）6个小梯形组成的带眼睛的梯形有4个。（6）9个小梯形组成的带眼睛的梯形有1个。 【完整解答】1＋4＋2＋4＋4＋1 ＝5＋2＋4＋4＝1 ＝7＋4＋4＋1 ＝11＋4＋1 ＝15＋1 ＝16（个） 图中带眼睛的梯形共有16个。 11．（25-26四年级下·全国·课前预习）如下图，把长方形纸的一个角折起，∠1＝31°。( )（判断对错） 【答案】√ 【易错思路引导】折叠前后的两个图形关于折线轴对称；根据三角形的内角和是180°可知，直角三角形的两个锐角相加等于90°。 【完整解答】由分析可知，图中三角形是直角三角形，已知其中一个锐角是59°，求∠1，可得： ∠1＝90°－59° ＝31° 所以原题干说法正确。 故答案为：√ 12．（25-26四年级下·全国·课前预习）用3cm，3cm，3cm的三根小棒，可以拼成一个三角形。( )（判断对错） 【答案】√ 【易错思路引导】根据三角形的三边关系：任意两边之和必须大于第三边。用3cm、3cm、3cm的三根小棒，需验证每两组边长之和是否大于第三边。 【完整解答】根据分析可知： 因为3＋3＝6＞3，3＋3＝6＞3，3＋3＝6＞3，任意两边之和均大于第三边，满足三角形的三边关系，因此可以拼成一个三角形。原题说法正确。 故答案为：√ 13．（24-25四年级下·安徽六安·期末）锐角三角形的内角和小于直角三角形的内角和。( )（判断对错） 【答案】× 【易错思路引导】根据三角形的性质，任意三角形的内角和都是180°，所以不论是锐角三角形还是直角三角形，它们的内角和都相等，据此判断。 【完整解答】根据分析可得： 锐角三角形与直角三角形内角和都是180°，没有谁大谁小的区别，所以原题说法错误。 故答案为：× 14．（25-26四年级下·全国·课后作业）笑笑去上学有几条路线？哪条路线最近？哪条路线最远？最近的路线与最远的路线相差几千米？ 【答案】笑笑去上学有3条路线，笑笑家直接到学校最近，笑笑家经过文化宫到学校最远，最近的路线与最远的路线相差0.9千米 【易错思路引导】由题意可知，从笑笑家到学校有三条路线，第一条：笑笑家经过文化宫到学校；第二条：笑笑家经过公园再到学校；第三条：笑笑家直接到学校；根据三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，所以从笑笑家直接到学校最近；分别计算每条路线的长度，再将最远的路线与最近的路线作差，即可求出相差多少千米，据此解答。 【完整解答】由分析可得：从笑笑家到学校有三条路线，第一条：笑笑家经过文化宫到学校；第二条：笑笑家经过公园再到学校；第三条：笑笑家直接到学校。 第一条：（千米） 第二条：（千米） 第三条：2.5千米 2.5千米<2.6千米<3.4千米 相差：（千米） 答：笑笑去上学有3条路线，笑笑家直接到学校最近，笑笑家经过文化宫到学校最远，最近的路线与最远的路线相差0.9千米。 15．（25-26四年级下·全国·课前预习）刘洋手里有6根小棒，长度分别是4厘米、7厘米、9厘米、13厘米、17厘米和21厘米。从中选出3根摆成三角形，可以选哪三根？写出所有满足题意的结果。 【答案】见详解 【易错思路引导】三角形任意两边之和大于第三边；从给定的六根小棒中选取三根进行组合，逐一验证这些组合是否满足三角形的三边关系。据此分析解答。 【完整解答】根据分析可知： 4＋7＞9，所以4厘米、7厘米和9厘米可以摆成三角形； 7＋9＞13，所以7厘米、9厘米和13厘米可以摆成三角形； 7＋13＞17，所以7厘米、13厘米和17厘米可以摆成三角形； 7＋17＞21，所以7厘米、17厘米和21厘米可以摆成三角形； 9＋13＞17，所以9厘米、13厘米和17厘米可以摆成三角形； 9＋13＞21，所以9厘米、13厘米和21厘米可以摆成三角形； 9＋17＞21，所以9厘米、17厘米和21厘米可以摆成三角形； 13＋17＞21，所以13厘米、17厘米和21厘米可以摆成三角形； 答：任选3根小棒可以摆成三角形的有：4厘米、7厘米和9厘米；7厘米、9厘米和13厘米； 7厘米、13厘米和17厘米； 7厘米、17厘米和21厘米； 9厘米、13厘米和17厘米； 9厘米、13厘米和21厘米； 9厘米、17厘米和21厘米； 13厘米、17厘米和21厘米。 16．（25-26四年级下·全国·课前预习）一个等腰三角形的周长是128厘米，一条腰长30厘米。乐乐说的这个三角形存在吗？请说明理由。 【答案】不存在；三角形的两条短边的和小于第三边，构不成三角形。 【易错思路引导】我们先根据已知的周长和腰长，求出三角形的底边长，即等腰三角形的底边长＝等腰三角形的周长－一条腰长×2；再根据能否围成三角形的判定方法：三角形两条短边之和必须大于第三边进行判断。 【完整解答】根据分析，底边长＝128－30－30＝68（厘米） 30厘米＋30厘米＜68厘米 答：乐乐说的这个三角形不存在，理由是三角形的两条短边的和小于第三边，构不成三角形。 17．（25-26四年级下·全国·课前预习）小明从家到学校，走哪条路最远？走哪条路最近？最近的路与最远的路相差多少米？ 【答案】从家经过宾馆再到学校的路；从家直接到学校的路；300米 【易错思路引导】根据题意可知，小明家到学校有3条路，分别是小明从家经过博物馆再到学校、小明从家直接到学校、小明从家经过宾馆再到学校。可以看出图中3条路分别围成了两个三角形，根据三角形两边之和大于第三边，可知从家直接到学校那条路最近；分别计算剩下2条路的距离后，进行比较，得出最远的路；然后用最远的减去最近的即可解此题。 【完整解答】800＋1200＝2000（米） 1100＋1000＝2100（米） 2100＞2000＞1800 2100－1800＝300（米） 答：小明从家经过宾馆再到学校的路最远，小明从家直接到学校的路最近，相差300米。 18．（25-26四年级下·全国·课后作业）木匠王叔叔要用木条做一个等腰三角形的框架，它的一条边长是5分米，另一条边长是9分米。王叔叔至少需要多长的木条？ 【答案】19分米 【易错思路引导】先确定等腰三角形的腰长和底边长的两种可能情况，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，最后计算两种情况下，需要木条的总长度并比较得出最小值。 等腰三角形两条腰长度相等，情况一：若腰长为5分米，则另一条腰长也为5分米，底边长为9分米。根据三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边）判断能否构成三角形，再计算木条的总长度。三条边长度分别为5分米，5分米，9分米，因为（分米），，满足两边之和大于第三边，再把三条边的长度相加即可算出木条的总长度； 情况二：若腰长为9分米，则另一条腰长也为9分米，底边长为5分米。同样根据三角形三边关系判断能否构成三角形，三条边长度分别为9分米，9分米，5分米，因为（分米），，满足两边之和大于第三边，再把三条边的长度相加即可算出木条的总长度，据此解答。 【完整解答】情况一：木条的总长度为： （分米） 情况二：木条的总长度为： （分米） 答：王叔叔至少需要19分米的木条。 【考点剖析】先确定等腰三角形的腰长和底边长的两种可能情况，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算木条的总长度，是解题的关键。 19．（25-26四年级下·全国·课后作业）下面的图形用剪刀只剪一次，能按要求完成吗？请你画出用剪刀剪过的痕迹。 一个梯形和 一个三角形 一个平行四边形和 一个三角形 两个梯形 【答案】见详解 【易错思路引导】两组对边分别平行的四边形是平行四边形；只有一组对边平行的四边形是梯形；由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形是三角形。据此画图并解答。 【完整解答】根据分析，画图如下： 一个梯形和 一个三角形 一个平行四边形和 一个三角形 两个梯形 所以，能按要求完成。 20．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）已知方格纸中每个小正方形的边长为1厘米，请在方格纸上画图。 （1）画一个一组对边分别是6厘米的平行四边形。 （2）画一个上底为3厘米，下底为5厘米的梯形，并把这个梯形画上一条线段，分成一个钝角三角形和一个梯形。 【答案】见详解 【易错思路引导】（1）画两组对边分边平行的四边形，且有一组对边为6厘米即可； （2）只有一组对边平行的四边形为梯形；画一个梯形，且这个梯形的上底为3厘米，下底为5厘米；要想将梯形分成一个梯形和一个钝角三角形，可过上底的一个顶点，往下作直线，并保证分割的三角形为钝角三角形即可。 【完整解答】根据分析作图如下： 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 认识三角形和四边形 【原卷版】 同学你好，该份讲义用于北师大版四年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 1、平面图形的特征是构成图形的所有的点都在同一平面内，而立体图形的特征是占有一定的空间。 2、由四条线段首尾顺次边接组成的封闭图形是四边形。 3、只有三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形。 4、等腰三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形。 5、一个三角形中至少有两个锐角，因此，根据最大的角就能直接判断出三角形的类型。 6、等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 7、一个三角形中最多有一个直角。 8、任意一个三角形的内角和都是180°。 9、只有当任意两边的和大于第三边时，才能围成三角形，等于或者小于第三边都不能围成三角形。 10、当三角形3条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小就完全确定，不会改变。 11、判断3条线段能否围成三角形，要全面比较，只有当任意两边的和大于第三边时，才能围成三角形。 12、只有一组对边平行的四边形是梯形。 高频考点一：三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课前预习）如下图，要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n边形木架呢？ 【变式训练1】（25-26四年级下·全国·课前预习）篮球架上的三角形（如下图）是利用了三角形的（    ）性。下列物体中，有哪些地方也应用了这一特性？照样子画一画。 【变式训练2】（2025四年级下·全国·专题练习）要使下面这些图形更稳定，至少要在图中增加几条线段？          至少需要( )条。    至少需要( )条。    至少需要( )条。 高频考点二：三角形的分类 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课前预习）如下图，已知A，B两点是8×8 网格中的两点，若P，A，B三点构成等腰直角三角形，则点P的位置有（    ）个。 A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练1】（25-26四年级下·全国·课前预习）下列说法错误的有（    ）。 ①0.09和0.90的大小相等，计数单位不同。 ②三角形有一个角是80°，则这个三角形一定是锐角三角形。 ③长方形、正方形、等腰梯形、平行四边形、正三角形都是轴对称图形。 ④一个除法算式中，被除数乘5，要使商不变，除数要除以5。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练2】（2025四年级下·全国·专题练习）先填一填下面每个三角形中最大的角是什么角，再分一分。（填序号） （  ）角  （  ）角  （  ）角  （  ）角     （  ）角   （  ）角 （1）按角分。 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 （2）按边分。 等腰三角形 等边三角形 高频考点三：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】（24-25四年级下·安徽亳州·期末）华华和爸爸一起用2米长的铁丝制作了一个等腰三角形的风筝，风筝的腰长是0.6米，他的底边长是多少米？ 【变式训练1】（24-25四年级下·陕西榆林·期末）用一根36cm长的铁丝恰好折成一个最大的等边三角形铁框，铁框的边长是( )cm，若恰好折成一个腰长是15cm的等腰三角形铁框，铁框底边长是( )cm。 【变式训练2】（24-25四年级下·安徽宿州·期末）乐乐每天上学都认真佩戴红领巾，我们的红领巾，按边分是( )三角形，按角分是( )三角形。 高频考点四：画三角形 【典例精讲】（24-25四年级下·辽宁沈阳·期末）在点子图上按要求画出图形。 （1）在点子图上找到点C和点D，顺次连接A、B、C、D，使四边形ABCD是一个梯形。 （2）在点子图上找到点E，顺次连接A、B、E，使三角形ABE既是等腰三角形又是直角三角形。 【变式训练1】（24-25四年级下·河南商丘·期中）下图是一个锐角三角形的一部分。 （1）将下图中的三角形补充完整。 （2）将补全的三角形用一条线分为两个直角三角形。 【变式训练2】（23-24四年级下·山西晋城·期末）下面的方格纸上已画出三角形的一条边，请按要求把它们补充完整。 高频考点五：三角形的内角和 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课后作业）一个三角形的一个内角正好等于其余两个内角之和，它是一个（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 【变式训练1】（25-26四年级下·全国·课前预习）在一个三角形中，∠1的度数是∠2的3倍，∠2的度数是∠3的2倍，这个三角形中最大的一个角是多少度？这是一个什么三角形？ 【变式训练2】（25-26四年级下·全国·课前预习）在一个等腰三角形中，其中一个底角是顶角的4倍，这个三角形的底角和顶角分别是多少度？ 高频考点六：多边形的内角和 【典例精讲】（24-25四年级下·山西吕梁·期末）我们通过折一折、撕一撕的方法可以得到三角形的内角和是180°，那么四边形的内角和是多少度呢？下面是三位同学的探究过程。 （1）这三位同学的思考过程对吗？在对的里画“√”。 （2）妙想也呈现了自己的探究方法，如下： 180°×4－360°＝360° 你同意妙想的方法吗？请你试着说说她的思路。 【变式训练1】（24-25四年级下·山西运城·期末）探秘多边形的内角和。 （1）回顾反思。这学期我们在探究三角形的内角和时，将三角形的三个内角剪一剪，拼成一个（    ）角（如下图），得到三角形的内角和是（    ）°。 （2）探究发现。在探究“四边形的内角和”时，同学们从不同角度去思考。试试看，你能读懂他们的想法吗？填一填。 四边形的内角和：180°×（    ）＝（    ）° 四边形的内角和：180°×（    ）＝（    ）° （    ）°－360°＝（    ）° （3）迁移应用。请你选择一种方法探究五边形的内角和是多少？在下图中画一画，算一算。 我的思考： 【变式训练2】（24-25四年级下·广东深圳·期末）航航在折纸课上，将一个等边三角形沿如图虚线位置剪掉一个角（如下图），此时∠2＋∠3＝( )°。 高频考点七：三角形三边关系 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课前预习）如下图所示，把一根长8厘米的铁丝剪成3段围成三角形，第一刀不能剪在几厘米处？ 【变式训练1】（24-25四年级下·安徽亳州·期末）小华想制作一个三角形框架，他找到了下面两根木条。小华打算把②号木条截成两段再与①号木条围成三角形，②号木条截成的两段的长度可能是（    ）。 A．3厘米、10厘米 B．6厘米、7厘米 C．2厘米，11厘米 【变式训练2】（24-25四年级下·安徽亳州·期末）风筝之都潍坊，万千风筝扶摇直上！奇思也加入了风筝节的创意比赛，他设计了一款等腰三角形造型的风筝。已知等腰三角形风筝的两条边分别长25厘米和40厘米，那么这个等腰三角形风筝的周长多少厘米？ 高频考点八：平行四边形的概念及特点 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课前预习）下面说法错误的是（    ）。 A．用第①组小棒只能摆出正方形。 B．用第①组小棒能摆出形状不同的平行四边形。 C．用第②组小棒能摆出形状不同的平行四边形。 D．用第③组小棒能摆出等腰梯形。 【变式训练1】（2025四年级下·全国·专题练习）拼一拼，填一填。 (1)__________和__________可以拼成一个平行四边形。 (2)__________和__________可以拼成一个梯形。 (3)__________和__________既可以拼成一个长方形又可以拼成一个梯形。 【变式训练2】（24-25四年级下·河南周口·期末）如图，用同样的等腰梯形拼图形。如果用了7个等腰梯形，那么拼成的图形的形状是（    ）。 A．平行四边形 B．梯形 C．长方形 高频考点九：平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲】（24-25四年级下·山西吕梁·期中）看一看，想一想，标出各角的度数，你有什么发现？ （1）活动一：笑笑用3根同样长的小棒围三角形。 （2）活动二：奇思用4根同样长的小棒围四边形。 （3）对比上面两个活动，你有什么发现？ 【变式训练1】（24-25四年级下·山西运城·期中）如图，将房屋的屋顶架做成三角形，是利用了三角形的( )性，电动伸缩门是利用了( )形容易变形的性质。 【变式训练2】（23-24四年级下·广东茂名·期末）花工叔叔要给花园围上篱笆，（    ）种围法最牢固。 A． B． C． D． 高频考点十：梯形的概念及特点 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课前预习）如图，一个等腰梯形被分成一个平行四边形和一个三角形，其中平行四边形的周长是( )厘米。 【变式训练1】（2025四年级下·全国·专题练习）如下图，请你从图中选择一个点，让它和点A，B，C顺次连接成为一个梯形。共有( )种不同的选法。 【变式训练2】（25-26四年级下·全国·课前预习）将长方形纸和三角形纸用钉子固定，如图1。 (1)已知∠1＝∠2＝70°，那么∠3＝( )°，图1重叠的阴影部分是( )梯形。 (2)转动三角形，形成图2，图2重叠的阴影部分是( )梯形。 高频考点十一：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课前预习）至少要（    ）个相同的等边三角形才能拼成1个等腰梯形。 A．2 B．3 C．4 【变式训练1】（23-24四年级下·安徽安庆·期末）先在下面方格图中画出一个直角梯形，再将梯形分成一个直角三角形和一个平行四边形。 【变式训练2】（23-24四年级下·山西运城·期末）用两个完全一样的等腰梯形拼成一个平行四边形，已知每个梯形的周长都是40厘米，梯形的一条腰长8厘米，则平行四边形的周长是多少厘米？（先根据题意画出示意图，再解答） 高频考点十二：四边形的分类及关系 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课前预习）依次连接方格纸上A、B、C 三个点，再连接①、②、③、④中的某一个点围成四边形。要使围成的四边形是梯形，可以有（    ）种不同的围法。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1】（24-25四年级下·广东佛山·期末）淘气画了如下图表示四边形、正方形、梯形、平行四边形和长方形五者之间的关系，那么③号是( )，⑤号是( )。 【变式训练12】（23-24四年级下·广东深圳·期中）我们学习的数学知识有着密切的联系。用序号填一填，表示出图形之间的关系。 1．（25-26四年级下·全国·课后作业）在一个三角形中，如果有两个内角的和小于90°，那么这个三角形一定是（    ）三角形。 A．直角 B．锐角 C．钝角 2．（25-26四年级下·全国·课前预习）下图中有（    ）个平行四边形。 A．7 B．8 C．9 3．（25-26四年级下·全国·课前预习）小军将一根长10厘米的铁丝分成三段，再首尾相连组成一个三角形。下面图（    ）的方法一定能围成一个三角形。 A． B． C． D． 4．（25-26四年级下·全国·课前预习）将一根20cm长的木条截成三段围成一个三角形，下列截法正确的是（    ）。 A．13cm、6cm、1cm B．10cm、3cm、7cm C．8cm、5cm、7cm D．9cm、10cm、1cm 5．（2025四年级下·全国·专题练习）一个等腰三角形的两条边的长度分别是11厘米和5厘米，那么第三条边的长度是（    ）厘米。 A．11 B．7 C．5 6．（2025四年级下·全国·专题练习）按要求选一选，填一填。（填序号） 能围成三角形的3根小棒是（    ）； 能围成等腰三角形的3根小棒是（    ）； 能围成平行四边形的4根小棒是（    ）。 7．（25-26四年级下·全国·课后作业）数一数。 (1)有( )个三角形。 (2)有( )个四边形。 8．（25-26四年级下·全国·课前预习）如图，乐乐要把一根14 cm长的铁丝剪成三段，再首尾相接围成一个三角形，第一剪不能落在点( )上。 9．（25-26四年级下·全国·课前预习）一个等腰三角形其中一个角是70°，那么这个三角形其他两个角的度数分别是( )和( )，也可能是( )和( )，按角分类这个三角形是( )三角形。 10． （2024四年级下·辽宁·专题练习） 图中带眼睛的梯形共有( )个。 11．（25-26四年级下·全国·课前预习）如下图，把长方形纸的一个角折起，∠1＝31°。( )（判断对错） 12．（25-26四年级下·全国·课前预习）用3cm，3cm，3cm的三根小棒，可以拼成一个三角形。( )（判断对错） 13．（24-25四年级下·安徽六安·期末）锐角三角形的内角和小于直角三角形的内角和。( )（判断对错） 14．（25-26四年级下·全国·课后作业）笑笑去上学有几条路线？哪条路线最近？哪条路线最远？最近的路线与最远的路线相差几千米？ 15．（25-26四年级下·全国·课前预习）刘洋手里有6根小棒，长度分别是4厘米、7厘米、9厘米、13厘米、17厘米和21厘米。从中选出3根摆成三角形，可以选哪三根？写出所有满足题意的结果。 16．（25-26四年级下·全国·课前预习）一个等腰三角形的周长是128厘米，一条腰长30厘米。乐乐说的这个三角形存在吗？请说明理由。 17．（25-26四年级下·全国·课前预习）小明从家到学校，走哪条路最远？走哪条路最近？最近的路与最远的路相差多少米？ 18．（25-26四年级下·全国·课后作业）木匠王叔叔要用木条做一个等腰三角形的框架，它的一条边长是5分米，另一条边长是9分米。王叔叔至少需要多长的木条？ 19．（25-26四年级下·全国·课后作业）下面的图形用剪刀只剪一次，能按要求完成吗？请你画出用剪刀剪过的痕迹。 一个梯形和 一个三角形 一个平行四边形和 一个三角形 两个梯形 20．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）已知方格纸中每个小正方形的边长为1厘米，请在方格纸上画图。 （1）画一个一组对边分别是6厘米的平行四边形。 （2）画一个上底为3厘米，下底为5厘米的梯形，并把这个梯形画上一条线段，分成一个钝角三角形和一个梯形。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $