第二单元 认识三角形和四边形（举一反三讲义）知识梳理+十二大考点讲练+真题演练+难度分层练 共60题-2025-2026学年北师大版数学四年级下册重难点讲义

第二单元 认识三角形和四边形 【原卷版】 （导图+知识梳理+考点讲练+真题演练+难度分层练 共60题） 同学你好，该份讲义用于北师大版四年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点一：三角形的概念与表示 1. 三角形的定义：由3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成：三角形有3条边、3个角和3个顶点。 3. 三角形的表示方法：三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示法。 （1）顶点表示法：顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。例如，三角形ABC表示由点A、点B和点C组成的三角形。 （2）边长表示法：边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，可以用a、b和c表示。 （3）角度表示法：角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二：三角形的性质：三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三：三角形的高 1. 三角形的高和底：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就是这条高所对应的底。 2. 三角形高的画法：因为三角形有3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个三角形都可以作3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不同。（如下图） 知识点四：两点间线段最短与两点间的距离 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五：三角形三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六：三角形的分类 1. 三角形按角分类 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 （2）直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°），其余两个角为锐角。 2. 三角形按边分类 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七：三角形和多边形的内角和 1. 三角形的内角和是180° 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的度数或用180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是360°。 4. 多边形的内角和公式。 （1）多边形的内角和是180°×（边数－2）。 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 知识点八：认识平行四边形 1. 平行四边形：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 知识点九：认识梯形 1. 梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2. 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形两腰相等，两底角相等。 3. 梯形内，夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。 知识点十：平行四边形与梯形的关系 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形。 高频考点一：三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（24-25四年级下·安徽阜阳·期末）生活中有很多应用数学知识解决问题的例子，如图，工人师傅建房时，常用木条固定门框，使其不变形。请用学过的数学知识解释为什么？ 【变式训练1】（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）在2025年5月27日举办的东盟－中国－海合会峰会上，三方区域位置构成三角形。从数学角度看，当三角形三边长度确定，其形状和大小就完全确定，体现了三角形具有______，也象征着三方合作的稳固。 【变式训练2】（24-25四年级下·广东惠州·期中）没有利用三角形的稳定性的是（    ）。 A． B． C． 高频考点二：三角形的分类 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课前预习）如下图，用长3厘米、4厘米、5厘米的三根小棒可以围成一个直角三角形，如果把5厘米长的小棒换成6厘米长的小棒，那么围成的三角形是什么三角形？ 【变式训练1】（25-26四年级下·全国·课前预习）数一数，填一填。 上图中有( )个锐角三角形，( )个钝角三角形和( )个直角三角形。 【变式训练2】（23-24四年级下·安徽安庆·期末）一个等腰三角形的两条边分别是5厘米和4厘米，这个三角形的周长是（    ）。 A．14厘米 B．13厘米 C．14或13厘米 高频考点三：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】（23-24四年级下·陕西咸阳·阶段练习）用一根35厘米长的铁丝恰好可以围成一个等腰三角形，已知这个等腰三角形的底边长是11厘米，则这个等腰三角形的其中一条腰长是（    ）厘米。 A．12 B．13 C．14 D．16 【变式训练1】（23-24四年级下·广东惠州·期末）一根铁丝正好围成一个边长为8分米的等边三角形。如果用这根铁丝围成一个底边为6分米的等腰三角形，那么这个等腰三角形的一条腰长是多少分米？ 【变式训练2】（23-24四年级下·黑龙江大兴安岭·期末）在点子图上按要求画图。 高频考点四：画三角形 【典例精讲】（23-24四年级下·四川成都·期末）画出谜语中提到的两个图形。 我有一个大家族，兄弟姐妹无数个。个个都有稳定性，生活当中应用多。 虽说我们是家人，各有不同的特色，大哥有一个直角，小妹两腰一样多。 【变式训练1】在方格纸上画一个锐角三角形，一个平行四边形和一个直角梯形。 【变式训练2】（25-26四年级下·全国·课后作业）一个三角形的一个内角正好等于其余两个内角之和，它是一个（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 高频考点五：三角形的内角和 【典例精讲】（24-25四年级下·山西运城·期末）城城在超市购买了一个威风凛凛的老鹰风筝，经测量它是一个等腰三角形，已知风筝的底角比直角小20°，那么风筝的顶角是( )°。 【变式训练1】（24-25四年级下·河南郑州·期末）如图，用两把完全相同的三角尺拼出一个四边形，这个四边形的内角和是________度。 【变式训练2】（23-24四年级下·浙江丽水·期末）在一张长方形纸上剪下一个角，剩下图形的内角和可能会发生变化。请根据以下提示画出剪切线，并将剩下图形用阴影表示出来。 高频考点六：多边形的内角和 【典例精讲】（24-25四年级下·甘肃定西·期中）用三角形的三个内角可以拼成一个( )角，四边形的内角和是( )°。 【变式训练1】一个零件如下图，∠1＝32°，∠2＝25°，∠3＝90°才符合要求，工人师傅在检验时，只量了∠4＝145°，他说这个零件不符合要求。你知道是为什么吗？ 【变式训练2】（24-25四年级下·安徽宿州·期末）一个三角形的两条边分别是14厘米和9厘米，第三条边一定比( )厘米长，比( )厘米短。 高频考点七：三角形三边关系 【典例精讲】（24-25四年级下·吉林长春·期末）洋洋有两根小棒，长度分别是8厘米和5厘米。他想剪断其中一根，并用剪后的3根小棒围一个三角形，以下剪法中，可以围成三角形的是（    ）。 A． B． C． 【变式训练1】（24-25四年级下·浙江·期末）如图①是淘气自制的手机支架，制成三角形支架主要是应用了三角形的( )性；如图②这个支架底座上构成的三角形按边分是( )三角形；如果每两个卡扣的间隔为1厘米，从左往右数，手机支架的底端最多可放在第( )个卡扣处。 【变式训练2】（23-24四年级下·福建泉州·期末）下面有9个四边形，按（    ）的标准分类可以得到下图右边的两类。 A．四个角是否都相等 B．邻边是否相等 C．对边是否都互相平行 D．是否为轴对称图形 高频考点八：平行四边形的概念及特点 【典例精讲】（24-25四年级下·广东深圳·期末）（1）在方格纸中画一个梯形（图1）和一个平行四边形（图2）。 （2）在（图1）梯形内画一条线段，将梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 （3）在（图2）平行四边形内画一条线段将平行四边形分成一个直角三角形和一个梯形。 【变式训练1】（23-24四年级下·安徽宿州·期末）画一画。 （1）先画一个平行四边形，再加一条线段把它分成一个直角三角形和一个梯形。 （2）先画一个梯形，再加一条线段把它分成两个三角形。 【变式训练2】（24-25四年级下·山西吕梁·期中）看一看，想一想，标出各角的度数，你有什么发现？ （1）活动一：笑笑用3根同样长的小棒围三角形。 （2）活动二：奇思用4根同样长的小棒围四边形。 （3）对比上面两个活动，你有什么发现？ 高频考点九：平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲】（24-25四年级下·山西运城·期中）如图，将房屋的屋顶架做成三角形，是利用了三角形的( )性，电动伸缩门是利用了( )形容易变形的性质。 【变式训练1】淘气要给自家小菜园围上篱笆，（    ）种围法更牢固些。 A． B． C． 【变式训练2】（25-26四年级下·全国·课前预习）将长方形纸和三角形纸用钉子固定，如图1。 (1)已知∠1＝∠2＝70°，那么∠3＝( )°，图1重叠的阴影部分是( )梯形。 (2)转动三角形，形成图2，图2重叠的阴影部分是( )梯形。 高频考点十：梯形的概念及特点 【典例精讲】（24-25四年级下·辽宁沈阳·期末）把下面点子图中的梯形分成一个平行四边形和一个三角形，再在右面画一个钝角三角形和一个直角梯形。 【变式训练1】（23-24四年级下·陕西铜川·期末）按要求在下面各图中画一条直线。 分成一个钝角三角形和一个锐角三角形       分成一个平行四边形和一个梯形 【变式训练2】（23-24四年级下·安徽安庆·期末）先在下面方格图中画出一个直角梯形，再将梯形分成一个直角三角形和一个平行四边形。 高频考点十一：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】（24-25三年级上·福建泉州·期末）下面的图形都是四边形，都被遮挡了一部分，一定是正方形的是图（    ）。 A．① B．② C．③ D．④ 【变式训练1】（24-25四年级下·广东深圳·期中）按要求分别在下面的图中各画一条线段。 【变式训练2】（24-25四年级下·安徽阜阳·期末）下面的说法错误的是（    ）。 A．正方形和长方形都是特殊的平行四边形 B．用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 高频考点十二：四边形的分类及关系 【典例精讲】（23-24四年级下·陕西咸阳·期中）梯形、平行四边形、四边形有什么样的关系？以下几种表示方法，正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练1】下列关于图形关系的描述，错误的是（    ）。 A．正方形是特殊的长方形 B．等边三角形是特殊的等腰三角形 C．长方形是特殊的平行四边形 D．梯形是特殊的平行四边形 【演练1】（24-25四年级下·广东清远·期中）下图是一个被撕掉两个角的等腰三角形，另外的两个角可能是多少度？算一算，并写出你的想法。 【演练2】（24-25四年级下·广东清远·期中）认真观察，分别计算出∠1和∠A的度数。 ∠1＝( )°        ∠A＝( )° 【演练3】（24-25四年级下·广东深圳·期末）一个等腰三角形的顶角是60°，且它的腰长为5.2cm，它的周长是( )cm。 【演练4】（24-25四年级下·安徽阜阳·期末）奇思用三把完全相同的三角尺拼成了下面的图形，那么∠1＋∠2＋∠3＝( )°＋( )°＋( )°＝( )°，从而得出：三角形内角和等于( )°。 【演练5】（24-25四年级下·山西运城·期末）小芮准备将一张被等分成8份的彩色卡纸条剪成三段，然后首尾相接摆成一个三角形。 （1）如果按照下图所示的方式将这张纸条剪成三段，（    ）摆成三角形。（填“能”或“不能”） （2）如果按照下图所示的方式剪下第一段，第二段和第三段应该从哪个等分点剪开才能摆成一个三角形？请在下图中用竖线画出来，并说明你的理由。 理由： 基础夯实 能力提升 1．（25-26四年级下·全国·课后作业）（    ）组线段不能拼成三角形。 A． B． C． 2．（25-26四年级下·全国·课后作业）在一个三角形中，已知两个内角分别是56°和53°，这个三角形一定是（    ）三角形。 A．锐角 B．钝角 C．直角 3．（25-26四年级下·全国·课后作业）一个三角形的一边是7厘米，另一边是10厘米，第三边可能是（    ）。 A．17厘米 B．2厘米 C．4厘米 4．（25-26四年级下·全国·课后作业）在一个三角形中，如果有两个内角的和小于90°，那么这个三角形一定是（    ）三角形。 A．直角 B．锐角 C．钝角 5．（25-26四年级下·全国·课后作业）有两条边相等的三角形叫作( )三角形。 6．（25-26四年级下·全国·课后作业）钝角三角形中，两个锐角的和( )（填“大于”或“小于”）一个钝角。 7．（25-26四年级下·全国·课后作业）算出下面三角形中未知角的度数。 ，，求。 8．（25-26四年级下·全国·课后作业）爸爸做了一个等腰三角形钢架，底角是62°，这个三角形钢架的顶角是多少度？ 9．（25-26四年级下·全国·课前预习）在三角形ABC中，∠A＝2∠C，∠B＝3∠C，求∠A、∠B、∠C的度数。 10．（25-26四年级下·全国·课前预习）刘洋手里有6根小棒，长度分别是4厘米、7厘米、9厘米、13厘米、17厘米和21厘米。从中选出3根摆成三角形，可以选哪三根？写出所有满足题意的结果。 创新拓展 拔尖冲刺 1．（24-25四年级下·辽宁大连·期末）下列说法不正确的是（    ）。 A．红领巾的形状按角分是钝角三角形 B．直角三角形两个锐角之和小于90° C．比0.1大且比0.2小的数有无数个 D．等腰三角形有可能是直角三角形 2．（24-25四年级下·安徽亳州·期末）小华想制作一个三角形框架，他找到了下面两根木条。小华打算把②号木条截成两段再与①号木条围成三角形，②号木条截成的两段的长度可能是（    ）。 A．3厘米、10厘米 B．6厘米、7厘米 C．2厘米，11厘米 3．（24-25四年级下·安徽亳州·期末）有一个角是50°的等腰三角形，其他两个角的度数是（    ）。 A．50°和80° B．65°和65° C．50°、80°或65°、65° 4．（24-25四年级下·河南鹤壁·期末）在等腰三角形中，已知其中一个内角是76°，另外两个角的度数可能是( )或( )。 5．（24-25四年级下·河南郑州·期末）淘气、笑笑、奇思和妙想在玩猜图形游戏，淘气从下面图形中选出了一个。 笑笑、奇思和妙想围绕图形特征轮流向淘气提问： 笑笑：你选的图形有几条边？         淘气：四条边。 奇思：它有直角吗？                 淘气：没有。 妙想：______________？               淘气：两组。 根据淘气前两次问答，妙想提出的问题是：________________？ 通过淘气的回答，我们可以判断出他所选的是_______号图形。 6．如下图，把正方形剪成一个特殊的三角形。 (1)图中∠1＝( )°，∠2＝( )°。 (2)如果正方形的边长是4cm，那么三角形的周长是( )cm。 7．（24-25四年级下·广东湛江·期末）湛湛想用木条搭建一个稳定的三角形模型，他找到这样两根木条。（图中每个表示1cm） 把其中一根木条锯断，这样就有三根木条，就可以围成一个三角形。 （1）你认为湛湛应该锯断哪根木条？写出你的理由。 （2）湛湛把这根木条锯成长度各是多少的两段（取整厘米数），才能和另外一根围成一个三角形，用“”在图中画出其中一种锯法。 8．（24-25四年级下·福建泉州·期末）下图是一个正六边形，淘气把这个六边形分成了4个三角形，通过三角形的内角和是180°，推出了正六边形的每个内角是120°。图中涂色三角形按角分是什么三角形？请用计算的方法说说你判断的理由。 9．（25-26四年级下·全国·课前预习）如图，用这样的两个三角形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的周长最大是多少厘米？ 10．（24-25四年级下·广东深圳·期末）（1）小华在学习“三角形内角和”一课时发现：可以用三角形内角和来得到其他多边形的内角和。他的方法如图： 请你照样子在五边形内画一画，算一算五边形内角和＝（    ）。 （2）正多边形是指各边、各角都相等的多边形，请你借助上题中内角和知识，求出下面图形中每个角的度数。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 认识三角形和四边形 【解析版】 （导图+知识梳理+考点讲练+真题演练+难度分层练 共60题） 同学你好，该份讲义用于北师大版四年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点一：三角形的概念与表示 1. 三角形的定义：由3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成：三角形有3条边、3个角和3个顶点。 3. 三角形的表示方法：三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示法。 （1）顶点表示法：顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。例如，三角形ABC表示由点A、点B和点C组成的三角形。 （2）边长表示法：边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，可以用a、b和c表示。 （3）角度表示法：角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二：三角形的性质：三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三：三角形的高 1. 三角形的高和底：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就是这条高所对应的底。 2. 三角形高的画法：因为三角形有3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个三角形都可以作3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不同。（如下图） 知识点四：两点间线段最短与两点间的距离 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五：三角形三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六：三角形的分类 1. 三角形按角分类 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 （2）直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°），其余两个角为锐角。 2. 三角形按边分类 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七：三角形和多边形的内角和 1. 三角形的内角和是180° 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的度数或用180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是360°。 4. 多边形的内角和公式。 （1）多边形的内角和是180°×（边数－2）。 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 知识点八：认识平行四边形 1. 平行四边形：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 知识点九：认识梯形 1. 梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2. 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形两腰相等，两底角相等。 3. 梯形内，夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。 知识点十：平行四边形与梯形的关系 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形。 高频考点一：三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（24-25四年级下·安徽阜阳·期末）生活中有很多应用数学知识解决问题的例子，如图，工人师傅建房时，常用木条固定门框，使其不变形。请用学过的数学知识解释为什么？ 【答案】见详解 【思路引导】工人用木条固定长方形门框时，在门框上钉一根斜拉的木条，就和门框的两边构成了一个三角形。由于三角形具有稳定性，这种结构能有效防止门框变形，而原本长方形门框是四边形形态（属于不稳定结构）。据此解答。 【完整解答】答：因为长方形具有不稳定性的特点，而三角形具有稳定性，所以工人师傅建房时，常用木条固定门框。（合理即可） 【变式训练1】（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）在2025年5月27日举办的东盟－中国－海合会峰会上，三方区域位置构成三角形。从数学角度看，当三角形三边长度确定，其形状和大小就完全确定，体现了三角形具有______，也象征着三方合作的稳固。 【答案】稳定性 【思路引导】当三角形的三条边长度确定时，三角形的形状和大小完全被确定，这个性质被称为三角形的稳定性。三角形的稳定性意味着一旦三角形的三边长度固定，其形状和大小就不能改变。这种特性使得三角形在建筑和其他工程领域中非常有用，因为它能够提供稳定和支持。例如，三角形框架、起重机、三角形吊臂、屋顶、三角形钢架和钢架桥等结构都利用了三角形的稳定性。 【完整解答】根据分析可知，三方区域位置构成三角形。从数学角度看，当三角形三边长度确定，其形状和大小就完全确定，体现了三角形具有稳定性，也象征着三方合作的稳固。 【变式训练2】（24-25四年级下·广东惠州·期中）没有利用三角形的稳定性的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，解答此题即可。 【完整解答】 A．利用三角形的稳定性； B．利用三角形的稳定性； C．利用四边形不具有稳定性； 故答案为：C 高频考点二：三角形的分类 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课前预习）如下图，用长3厘米、4厘米、5厘米的三根小棒可以围成一个直角三角形，如果把5厘米长的小棒换成6厘米长的小棒，那么围成的三角形是什么三角形？ 【答案】钝角三角形 【思路引导】角的大小和角两边张口的大小有关，两边张开的越大角越大。根据题意分析，题中的三角形是一个直角三角形，如果把5厘米长的小棒换成6厘米长的小棒，即要将图中的直角的两条边张口再变大些，所以这个直角会变成一个钝角，所以这个三角形是钝角三角形。据此分析解答。 【完整解答】用长3厘米、4厘米、5厘米的三根小棒可以围成一个直角三角形，如果把5厘米长的小棒换成6厘米长的小棒，那么直角的两条边的张口会变大，这个角会变成钝角，所以这时围成的三角形是钝角三角形。 答：围成的三角形是钝角三角形。 【变式训练1】（25-26四年级下·全国·课前预习）数一数，填一填。 上图中有( )个锐角三角形，( )个钝角三角形和( )个直角三角形。 【答案】 1 5 2 【思路引导】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。据此解答。 【完整解答】图中有1个锐角三角形，5个钝角三角形和2个直角三角形。 【变式训练2】（23-24四年级下·安徽安庆·期末）一个等腰三角形的两条边分别是5厘米和4厘米，这个三角形的周长是（    ）。 A．14厘米 B．13厘米 C．14或13厘米 【答案】C 【思路引导】等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，如果两个腰长是5厘米，三角形的周长是三条边长度之和，即2×5＋4；如果两个腰长是4厘米，即2×4＋5，据此分别计算出三角形的周长，即可解答。 【完整解答】2×5＋4 ＝10＋4 ＝14（厘米） 2×4＋5 ＝8＋5 ＝13（厘米） 一个等腰三角形的两条边分别是5厘米和4厘米，这个三角形的周长是14或13厘米。 故答案为：C 高频考点三：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】（23-24四年级下·陕西咸阳·阶段练习）用一根35厘米长的铁丝恰好可以围成一个等腰三角形，已知这个等腰三角形的底边长是11厘米，则这个等腰三角形的其中一条腰长是（    ）厘米。 A．12 B．13 C．14 D．16 【答案】A 【思路引导】等腰三角形的特征是两条腰长度相等，所以用周长35厘米减去底边长是11厘米是两条腰的长度，再除以2是一条腰长。 【完整解答】（35－11）÷2 ＝24÷2 ＝12（厘米） 这个等腰三角形的其中一条腰长是12厘米。 故答案为：A 【变式训练1】（23-24四年级下·广东惠州·期末）一根铁丝正好围成一个边长为8分米的等边三角形。如果用这根铁丝围成一个底边为6分米的等腰三角形，那么这个等腰三角形的一条腰长是多少分米？ 【答案】9分米 【思路引导】等边三角形的三条边的长度都相等，等腰三角形的两条腰长度相等。由题意得，一根铁丝正好围成一个边长为8分米的等边三角形，那么可以用8乘3算出这根铁丝的长度。如果用这根铁丝围成一个底边为6分米的等腰三角形，那么直接用这根铁丝的长度减去底边长即可算出两条腰的长度，再除以2即可算出一条腰的长度。 【完整解答】8×3＝24（分米） （24－6）÷2 ＝18÷2 ＝9（分米） 答：这个等腰三角形的一条腰长是9分米。 【变式训练2】（23-24四年级下·黑龙江大兴安岭·期末）在点子图上按要求画图。 【答案】见详解 【思路引导】根据直角三角形是有一个内角为直角的三角形；平行四边形的意义或特征，平行四边形对边平行且相等，即可画出一个平行四边形；梯形的意义或特征，一组对边平行的四边形是梯形，即可画出一个梯形。 【完整解答】如图： （画法不唯一） 【考点剖析】本题主要考查了直角三角形、平行四边形和梯形的特征，需熟练掌握。 高频考点四：画三角形 【典例精讲】（23-24四年级下·四川成都·期末）画出谜语中提到的两个图形。 我有一个大家族，兄弟姐妹无数个。个个都有稳定性，生活当中应用多。 虽说我们是家人，各有不同的特色，大哥有一个直角，小妹两腰一样多。 【答案】见详解 【思路引导】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。直角三角形中有一个直角，等腰三角形的两条腰相等。则谜语中大哥是直角三角形，小妹是等腰三角形。据此画图。 【完整解答】 （答案不唯一） 【变式训练1】在方格纸上画一个锐角三角形，一个平行四边形和一个直角梯形。 【答案】见详解 【思路引导】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；两组对边平行且相等的四边形是平行四边形；只有一组对边平行的四边形是梯形，画出即可。 【完整解答】根据以上分析画图： （答案不唯一） 【变式训练2】（25-26四年级下·全国·课后作业）一个三角形的一个内角正好等于其余两个内角之和，它是一个（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 【答案】B 【思路引导】先明确三角形内角和为180°，再通过假设法根据题目条件求出该内角的度数，最后判断三角形类型。 【完整解答】题目中提到一个内角正好是其余两个内角之和，假设这个内角的度数看作2份，其余两个内角的度数看作各为1份，则两个内角之和的份数为份。又因为三角形内角和为180°，内角和的总份数为份，那么1份的度数为，这个内角的度数占2份，为。根据三角形按角分类的方法，有一个角是直角（90度）的三角形是直角三角形。因此，一个三角形的一个内角正好等于其余两个内角之和，它是一个直角三角形。 故答案为：B 高频考点五：三角形的内角和 【典例精讲】（24-25四年级下·山西运城·期末）城城在超市购买了一个威风凛凛的老鹰风筝，经测量它是一个等腰三角形，已知风筝的底角比直角小20°，那么风筝的顶角是( )°。 【答案】 40 【思路引导】因为三角形的内角和是180°，直角为90°角；该三角形是等腰三角形，则两个底角相等，根据底角比直角小20°，用90°减去20°则可求出两个底角的度数，再用180°减去两个底角度数，即可解答。 【完整解答】90°－20°＝70° 180°－70°－70° ＝110°－70° ＝40° 所以风筝的顶角是40°。 【变式训练1】（24-25四年级下·河南郑州·期末）如图，用两把完全相同的三角尺拼出一个四边形，这个四边形的内角和是________度。 【答案】360 【思路引导】根据三角形的内角和是180°，这个四边形是由两个三角形组成的，所以它的内角和等于两个三角形内角度数的和，即180°×2。据此解答。 【完整解答】180°×2＝360° 所以，用两把完全相同的三角尺拼出一个四边形，这个四边形的内角和是360度。 【变式训练2】（23-24四年级下·浙江丽水·期末）在一张长方形纸上剪下一个角，剩下图形的内角和可能会发生变化。请根据以下提示画出剪切线，并将剩下图形用阴影表示出来。 【答案】见详解 【思路引导】长方形的内角和是360°，三角形的内角和是180°，五边形的内角和是540°。要使内角和变小，剩下图形应该是三角形，连接长方形的对角线即可。要使内角和不变，剩下图形仍是四边形，连接长方形一个顶点以及这顶点对边的任意一点（顶点除外）即可。要使内角和变大，剩下的图形应该是五边形，连接相邻两条边上的一点（顶点除外）即可。 【完整解答】 （答案不唯一） 高频考点六：多边形的内角和 【典例精讲】（24-25四年级下·甘肃定西·期中）用三角形的三个内角可以拼成一个( )角，四边形的内角和是( )°。 【答案】 平 360 【思路引导】三角形的内角和为180°，正好是一个平角的度数，四边形的对角线可将四边形分成两个三角形，因此，四边形的内角和是2个三角形的内角和的度数，据此即可解答。 【完整解答】180°×2＝360° 用三角形的三个内角可以拼成一个平角，四边形的内角和是360°。 【变式训练1】一个零件如下图，∠1＝32°，∠2＝25°，∠3＝90°才符合要求，工人师傅在检验时，只量了∠4＝145°，他说这个零件不符合要求。你知道是为什么吗？ 【答案】不符合；理由见详解 【思路引导】四边形的内角和是360°，周角为360°，可求出∠4的度数，然后和测量的∠4度数进行比较，即可知道是否合格。 【完整解答】∠4＝360°－（360°－∠1－∠2－∠3） ＝360°－（360°－32°－25°－90°） ＝360°－213° ＝147° 而测得∠4＝145°。 答：这个零件不符合要求。 【变式训练2】（24-25四年级下·安徽宿州·期末）一个三角形的两条边分别是14厘米和9厘米，第三条边一定比( )厘米长，比( )厘米短。 【答案】 5 23 【思路引导】根据三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两条边分别是14厘米和9厘米，则第三条边的长度必须大于这两条边的差，且小于这两条边的和，据此解答。 【完整解答】14－9＝5（厘米） 14＋9＝23（厘米） 因此，一个三角形的两条边分别是14厘米和9厘米，第三条边一定比5厘米长，比23厘米短。 高频考点七：三角形三边关系 【典例精讲】（24-25四年级下·吉林长春·期末）洋洋有两根小棒，长度分别是8厘米和5厘米。他想剪断其中一根，并用剪后的3根小棒围一个三角形，以下剪法中，可以围成三角形的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】根据三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，对每个选项中三根小棒的长度进行分析判断，看是否能围成三角形。 A．将5厘米的小棒剪成1厘米和4厘米两段，此时三根小棒长度分别为1厘米、4厘米、8厘米。两边之和：1＋4＝5（厘米），5厘米＜8厘米，不满足三角形任意两边之和大于第三边的条件，所以不能围成三角形，A选项错误。 B．将5厘米的小棒剪成2厘米和3厘米两段，此时三根小棒长度分别为2厘米、3厘米、8厘米。两边之和：2＋3＝5（厘米），5厘米＜8厘米，不满足三角形任意两边之和大于第三边的条件，所以不能围成三角形，B选项错误。 C．将8厘米的小棒剪成3厘米和5厘米两段，此时三根小棒长度分别为3厘米、5厘米、5厘米。两边之和：3＋5＝8（厘米），8厘米＞5厘米；5＋5＝10（厘米），10厘米＞3厘米，满足三角形任意两边之和大于第三边的条件。两边之差：5－3＝2（厘米），2厘米＜5厘米；5－5＝0（厘米），0厘米＜3厘米，满足三角形任意两边之差小于第三边的条件，所以可以围成三角形，C选项正确。 【完整解答】根据分析可得，将8厘米的小棒剪成3厘米和5厘米两段，此时三根小棒长度分别为3厘米、5厘米、5厘米，可以围成三角形。 故答案为：C 【变式训练1】（24-25四年级下·浙江·期末）如图①是淘气自制的手机支架，制成三角形支架主要是应用了三角形的( )性；如图②这个支架底座上构成的三角形按边分是( )三角形；如果每两个卡扣的间隔为1厘米，从左往右数，手机支架的底端最多可放在第( )个卡扣处。 【答案】 稳定 等腰 7 【思路引导】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点；有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此解答。 【完整解答】由题意得，手机支架制成三角形支架主要是应用了三角形的稳定性。 5厘米＝5厘米，所以图②中支架底座上构成的三角形按边分是等腰三角形。 第三条边＜两边之和，5＋3＝8（厘米），那么第三条边的长度小于8厘米。每两个卡扣的间隔为1厘米，所以手机支架的底端最多可放在第7个卡扣处。 图①是淘气自制的手机支架，制成三角形支架主要是应用了三角形的稳定性；如图②这个支架底座上构成的三角形按边分是等腰三角形；如果每两个卡扣的间隔为1厘米，从左往右数，手机支架的底端最多可放在第7个卡扣处。 【变式训练2】（23-24四年级下·福建泉州·期末）下面有9个四边形，按（    ）的标准分类可以得到下图右边的两类。 A．四个角是否都相等 B．邻边是否相等 C．对边是否都互相平行 D．是否为轴对称图形 【答案】C 【思路引导】由四条边组成的封闭图形叫做四边形，再根据四边形的分类及其关系进行选择即可。只有一组对边平行的四边形叫做梯形；两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，平行四边形的对边相等；四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形，正方形是特殊的平行四边形；长方形两组对边平行且相等，两条对角线相等且互相平分，长方形是特殊的平行四边形。据此逐项解答即可。 【完整解答】A．四个角是否都相等，右侧上面一类的图形四个角都不相等，下面那一类中除了长方形和正方形之外的所有平行四边形四个角也不是都相等。不符合题意； B．邻边是否相等，右侧上面一类中既有邻边相等的四边形，又有邻边不相等的梯形；下面那一类也是既有邻边相等的正方形，又有邻边不相等的长方形和平行四边形。不符合题意； C．对边是否都互相平行，右侧上面一类中有的图形一组对边平行，另一组对边不平行，或者两组对边都不互相平行，下面那一类中的图形两组对边都互相平行，符合题意； D．是否轴对称图形，右侧上面一类中既有对称的等腰梯形，又有不对称的直角梯形；下面那一类中也是既有对称的长方形、正方形，又有不对称的平行四边形。不符合题意。 9个四边形，按对边是否都互相平行的标准分类可以得到右边图的两类。 故答案为：C 高频考点八：平行四边形的概念及特点 【典例精讲】（24-25四年级下·广东深圳·期末）（1）在方格纸中画一个梯形（图1）和一个平行四边形（图2）。 （2）在（图1）梯形内画一条线段，将梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 （3）在（图2）平行四边形内画一条线段将平行四边形分成一个直角三角形和一个梯形。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【思路引导】（1）只有一组对边平行的四边形是梯形；平行四边形的对边平行且相等； （2）从梯形的一个顶点出发，在对边取一点，连线即可； （3）从平行四边形的顶点出发向对边作垂线段即可。 【完整解答】（1）（2）（3）如图所示： （画法不唯一） 【变式训练1】（23-24四年级下·安徽宿州·期末）画一画。 （1）先画一个平行四边形，再加一条线段把它分成一个直角三角形和一个梯形。 （2）先画一个梯形，再加一条线段把它分成两个三角形。 【答案】见详解 【思路引导】（1）平行四边形的两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等。先根据平行四边形的特征画图，再从平行四边形的一个顶点向对边作高即可把平行四边形分成一个直角三角形和一个梯形； （2）只有一组对边平行的四边形叫做梯形。先根据梯形的特征画图，然后连接梯形的一条对角线，即可把梯形分成两个三角形，据此即可解答问题。 【完整解答】如图所示： 【变式训练2】（24-25四年级下·山西吕梁·期中）看一看，想一想，标出各角的度数，你有什么发现？ （1）活动一：笑笑用3根同样长的小棒围三角形。 （2）活动二：奇思用4根同样长的小棒围四边形。 （3）对比上面两个活动，你有什么发现？ 【答案】见详解 【思路引导】（1）（2）量角的步骤：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。据此量出各个角的度数。观察发现，拼成的三角形只有一种，拼成的四边形有有很多种。 （3）通过对比，围绕内角和以及三角形的稳定性、四边形的不稳定性提出合理发现即可。 【完整解答】 （3）对比上面两个活动，我发现用3根同样长的小棒只能拼成一种三角形，而用4根同样长的小棒能拼成很多种四边形。进而可知三角形具有稳定性，而四边形有易变形性。三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°。（答案不唯一） 高频考点九：平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲】（24-25四年级下·山西运城·期中）如图，将房屋的屋顶架做成三角形，是利用了三角形的( )性，电动伸缩门是利用了( )形容易变形的性质。 【答案】 稳定 平行四边 【思路引导】根据平行四边形的特性和三角形的特性：平行四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性；三角形稳定，因为它三条边首尾相接，形成了稳定结构，平行四边形的不稳定性是指当四边形的边长固定时，其形状和大小不能完全确定。因为平行四边形的夹角可以改变，从而形成无数个边长相同但夹角不同的平行四边形。‌所以受力容易变形，据此解答即可。 【完整解答】将房屋的屋顶架做成三角形，是利用了三角形的稳定性，电动伸缩门是利用了平行四边形容易变形的性质。 【变式训练1】淘气要给自家小菜园围上篱笆，（    ）种围法更牢固些。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】三角形的稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点；平行四边形的不稳定性就是指平行四边形边长确定，其形状、大小不能完全确定，据此解答即可。 【完整解答】根据上述分析可得： A．围成的图形为正方形，正方形属于特殊的平行四边形，有容易变形的特点，不符合题意； B．围成的图形为三角形，三角形具有稳定性，所以B的围法更牢固些。 C．围成的图形为平行四边形，而平行四边形具有不稳定性，容易变形，不符合题意。 故答案为：B 【变式训练2】（25-26四年级下·全国·课前预习）将长方形纸和三角形纸用钉子固定，如图1。 (1)已知∠1＝∠2＝70°，那么∠3＝( )°，图1重叠的阴影部分是( )梯形。 (2)转动三角形，形成图2，图2重叠的阴影部分是( )梯形。 【答案】(1) 110 等腰 (2)直角 【思路引导】（1）由图可知，∠1＋∠3＝180°；根据梯形的定义：一组对边平行的四边形是梯形，所以图1重叠的部分是一个梯形，且∠1＝∠2＝70°，说明梯形的两条腰相等； （2）图2重叠的阴影部分中有一个角是直角；据此解答。 【完整解答】由分析可知： （1）∠3＝180°－∠1＝180°－70°＝110° ∠1＝180°-∠3＝180°－110°＝70° ∠1＝∠2 所以∠3＝110°，图1重叠的阴影部分是一个等腰梯形； （2）图2重叠的阴影部分中有一个角是直角，所以图2重叠的阴影部分是一个直角梯形。 高频考点十：梯形的概念及特点 【典例精讲】（24-25四年级下·辽宁沈阳·期末）把下面点子图中的梯形分成一个平行四边形和一个三角形，再在右面画一个钝角三角形和一个直角梯形。 【答案】见详解 【思路引导】根据含义：有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形，两组对边平行且相等的四边形叫作平行四边形，直角梯形是有一组对边平行且两个角是直角的四边形。 【完整解答】如图： （答案不唯一） 【变式训练1】（23-24四年级下·陕西铜川·期末）按要求在下面各图中画一条直线。 分成一个钝角三角形和一个锐角三角形       分成一个平行四边形和一个梯形 【答案】见详解 【思路引导】有一个钝角的三角形叫做钝角三角形，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。过三角形一个顶点以及对边的一点（顶点除外）画一条线段，只要这条线段不是三角形的高即可。 平行四边形的两组对边平行，梯形只有一组对边平行。过梯形上底一点（顶点除外）作腰的平行线即可。 【完整解答】 （答案不唯一） 【变式训练2】（23-24四年级下·安徽安庆·期末）先在下面方格图中画出一个直角梯形，再将梯形分成一个直角三角形和一个平行四边形。 【答案】见详解 【思路引导】根据梯形的特征，梯形是只有一组对边平行的四边形，平行的两边叫做梯形的底边，长的一条底边叫下底，短的一条边叫上底，另外两边叫腰，直角梯形是指有一个角是直角的梯形，首先画一个直角，直角的两条边，一条是梯形的下底，一条是梯形的腰，再画一条梯形的上底，上底的一个端点与腰的一个端点连接，据此，再用一条线段分别连接上下底两个线段的端点，画出直角梯形即可； 要想将一个梯形分成一个直角三角形和一个平行四边形，过梯形直角边上底的顶点，作对边的平行线，即可把梯形分成一个直角三角形和一个平行四边形。 【完整解答】 高频考点十一：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】（24-25三年级上·福建泉州·期末）下面的图形都是四边形，都被遮挡了一部分，一定是正方形的是图（    ）。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【思路引导】四个角都是直角且四条边都相等的四边形是正方形；两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫做长方形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形，一腰垂直于底的梯形叫直角梯形；据此分析每个选项。 【完整解答】 A．，可能是长方形，正方形，直角梯形，不符合； B．，可能是长方形，直角梯形，不符合； C．，一定是正方形；符合； D．，可能是长方形，正方形，直角梯形或者是有一个直角的普通四边形；不符合。 故答案为：C 【变式训练1】（24-25四年级下·广东深圳·期中）按要求分别在下面的图中各画一条线段。 【答案】见详解 【思路引导】左图把等腰梯形分成两个等腰梯形，根据等腰梯形的特征：只有一组对边平行，而且两腰相等，所以在上底和下底之间画一条平行于上下底的线段即可。 右图是一个等腰三角形，两腰相等，只要从底所对的顶点向底边作一条垂直线段，这时线段垂直于底边形成直角，而且左右两个三角形是完全相同的直角三角形。 【完整解答】如图： 【变式训练2】（24-25四年级下·安徽阜阳·期末）下面的说法错误的是（    ）。 A．正方形和长方形都是特殊的平行四边形 B．用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 【答案】C 【思路引导】两组对边分别平行的四边形是平行四边形；只有一组对边平行的四边形是梯形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。据此解答。 【完整解答】A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形。长方形不仅两组对边分别平行，而且四个角都是直角；正方形不仅两组对边分别平行，四个角都是直角，而且四条边都相等。所以正方形是特殊的长方形，也是特殊的平行四边形。该选项说法正确。 B．根据题意作图如下： 由图可知，两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。该选项说法正确。 C．根据题意作图如下： 等腰三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，也可能是钝角三角形。该选项说法错误。 故答案为：C 高频考点十二：四边形的分类及关系 【典例精讲】（23-24四年级下·陕西咸阳·期中）梯形、平行四边形、四边形有什么样的关系？以下几种表示方法，正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】（1）四边形定义：再同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相连组成的封闭图形，叫做四边形。 （2）平行四边形的定义：在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。 （3）梯形的定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 【完整解答】根据分析： A．图中梯形包含了平行四边形，两者应该是相互独立的；不正确； B．图中四边形包含了梯形和平行四边形，梯形和平行四边形相互独立；正确。 C．图中平行四边形和梯形有重叠的部分，两者应该是相互独立的；不正确； D．图中梯形包含了四边形，不正确。 故答案为：B 【变式训练1】下列关于图形关系的描述，错误的是（    ）。 A．正方形是特殊的长方形 B．等边三角形是特殊的等腰三角形 C．长方形是特殊的平行四边形 D．梯形是特殊的平行四边形 【答案】D 【思路引导】 长方形的对边分别平行且相等，四个角都是直角，正方形的四条边都相等，四个角都是直角。两组对边分别平行且相等的四边形叫做平行四边形。只有一组对边平行的四边形叫做梯形。它们的关系如图：两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边相等的三角形是等边三角形。它们的关系如图：。 【完整解答】A．正方形是特殊的长方形，说法正确； B．等边三角形是特殊的等腰三角形，说法正确； C．长方形是特殊的平行四边形，说法正确； D．平行四边形有两组对边分别平行且相等，梯形只有一组对边平行，梯形是特殊的平行四边形，说法错误。 关于图形关系的描述，错误的是梯形是特殊的平行四边形。 故答案为：D 【考点剖析】熟记常见四边形和等腰三角形、等边三角形的特征是解题关键。 【演练1】（24-25四年级下·广东清远·期中）下图是一个被撕掉两个角的等腰三角形，另外的两个角可能是多少度？算一算，并写出你的想法。 【答案】62°和62°或者56°和68° 【思路引导】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和为180°。由题意得，等腰三角形的一个角的度数是56°，那么这个角可能是顶角，也有可能是底角。假设这个角是顶角，那么直接用180°减去这个顶角的度数即可算出两个底角的度数之和，再除以2即可算出一个底角的度数；假设这个角是底角，那么另一个底角的度数也为56°，直接用180°减去两个底角的度数之和即可算出顶角的度数。据此解答。 【完整解答】如果56°的角是顶角： （180°－56°）÷2 ＝124°÷2 ＝62°，即两个底角的度数都是62°。 如果56°的角是底角，那么另一个底角也是56°： 180°－56°－56° ＝124°－56° ＝68°，即顶角的度数是68°。 答：等腰三角形的另外两个角可能是62°和62°或者56°和68°。 【演练2】（24-25四年级下·广东清远·期中）认真观察，分别计算出∠1和∠A的度数。 ∠1＝( )°        ∠A＝( )° 【答案】 50 100 【思路引导】由图可知，∠1和130°的角组成了一个平角，那么直接用180°减去130°算出∠1的度数。三角形的内角和为180°，直接用180°减去∠1的度数再减去∠C的度数即可算出∠A的度数。 【完整解答】∠1＝180°－130°＝50° ∠A＝180°－∠1－∠C ＝180°－50°－30° ＝130°－30° ＝100° 故∠1＝50°，∠A＝100°。 【演练3】（24-25四年级下·广东深圳·期末）一个等腰三角形的顶角是60°，且它的腰长为5.2cm，它的周长是( )cm。 【答案】15.6 【思路引导】要计算等腰三角形的周长，需先明确两个关键：三角形的三边长度（周长＝三边长度之和）。已知条件为“等腰三角形，顶角60°，腰长5.2cm”，核心是利用“等腰三角形＋顶角60°”的特性判断三角形类型，进而确定底边长度。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（等边三角形三条边相等，三个角都是60°）。因此，该等腰三角形实际是等边三角形，三边长度都等于腰长5.2cm。据此解答即可。 【完整解答】已知等腰三角形的顶角是60°，等腰三角形的两个底角相等。   三角形内角和为180°，因此每个底角的度数＝（180°－顶角）÷2＝（180°－60°）÷2＝60°。   三个角都是60°，且等腰三角形的两条腰相等，因此该三角形是等边三角形，三条边长度完全相同。 已知等腰三角形的腰长为5.2cm，等边三角形三条边相等，因此：三条边的长度均为5.2cm。 三角形周长＝第一条边长度＋第二条边长度＋第三条边长度＝5.2cm＋5.2cm＋5.2cm＝15.6cm。 【演练4】（24-25四年级下·安徽阜阳·期末）奇思用三把完全相同的三角尺拼成了下面的图形，那么∠1＋∠2＋∠3＝( )°＋( )°＋( )°＝( )°，从而得出：三角形内角和等于( )°。 【答案】 45 45 90 180 180 【思路引导】一副三角尺由两个三角尺组成，一个三角尺的三个角分别是90°，45°，45°，另一个三角尺的三个角分别是90°，60°，30°。由图可知，这个三角尺的三个角分别是90°，45°，45°，即∠1＝45°，∠2＝45°，∠3＝90°，然后直接把三个角的度数加起来即可算出三角形的内角和。据此解答。 【完整解答】∠1＋∠2＋∠3 ＝45°＋45°＋90° ＝90°＋90° ＝180° 奇思用三把完全相同的三角尺拼成了上面的图形，那么∠1＋∠2＋∠3＝45°＋45°＋90°＝180°，从而得出：三角形内角和等于180°。 【演练5】（24-25四年级下·山西运城·期末）小芮准备将一张被等分成8份的彩色卡纸条剪成三段，然后首尾相接摆成一个三角形。 （1）如果按照下图所示的方式将这张纸条剪成三段，（    ）摆成三角形。（填“能”或“不能”） （2）如果按照下图所示的方式剪下第一段，第二段和第三段应该从哪个等分点剪开才能摆成一个三角形？请在下图中用竖线画出来，并说明你的理由。 理由： 【答案】（1）不能 （2）见详解 【思路引导】（1）观察图可知：一张被等分成8份的彩色卡纸条剪成三段，第一段是4份，第二段是2份，第三段是2份，三角形任意两边之和大于第三边，据此判断； （2）先确定剩余份数，再通过尝试不同分法，找到满足三角形三边关系的剪法即可。 【完整解答】（1）由分析可知：2＋2＝4 不符合三角形任意两边之和大于第三边，所以不能摆成三角形。 （2）纸条共8份，截下第一段后剩余6份。要摆成三角形，需满足任意两边之和大于第三边。将6份分成两段，有下面几种可能： 1份和5份：1＋2＜5，不符合三角形三边关系； 2份和4份：2＋2＝4，不符合三角形三边关系； 3份和3份：2＋3＞3，符合三角形三边关系； 围成三角形的三段长度为2份、3份、3份，所以将6份从中间等分点剪开。 【考点剖析】掌握三角形任意两边之和大于第三边，是解题的关键。 基础夯实 能力提升 1．（25-26四年级下·全国·课后作业）（    ）组线段不能拼成三角形。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边）。 【完整解答】A.（厘米），5.6厘米＞4厘米，即三条线段可以拼成三角形； B.（厘米），4厘米＞2厘米，即三条线段可以拼成三角形； C.（厘米），4厘米＝4厘米，即三条线段不能拼成三角形。 故答案为：C 2．（25-26四年级下·全国·课后作业）在一个三角形中，已知两个内角分别是56°和53°，这个三角形一定是（    ）三角形。 A．锐角 B．钝角 C．直角 【答案】A 【思路引导】三角形的内角和是180°，已知两个内角分别是56°和53°，则第三个内角是，即三个内角都小于90°，都是锐角，所以这个三角形一定是锐角三角形。 【完整解答】在一个三角形中，已知两个内角分别是56°和53°，这个三角形一定是锐角三角形。 故答案为：A 3．（25-26四年级下·全国·课后作业）一个三角形的一边是7厘米，另一边是10厘米，第三边可能是（    ）。 A．17厘米 B．2厘米 C．4厘米 【答案】C 【思路引导】根据在三角形中两边之和大于第三边，或两边之差小于第三边，得出第三边的取值范围即可判断，据此解答。 【完整解答】（厘米） （厘米） 所以3厘米＜第三边＜17厘米， 所以，它的第三边最长是16厘米，最短是4厘米. 故答案为：C 4．（25-26四年级下·全国·课后作业）在一个三角形中，如果有两个内角的和小于90°，那么这个三角形一定是（    ）三角形。 A．直角 B．锐角 C．钝角 【答案】C 【思路引导】三角形的内角和是180°，如果有两个内角的和小于90°，那么第三个内角的度数就等于180°减去这两个内角的和，其结果一定大于90°，大于90°小于180°的角是钝角，有一个钝角的三角形是钝角三角形。 【完整解答】因为三角形内角和为180°，设两个内角和为a，且a<90°，则第三个角为180°−a，由于a<90°，所以180°−a>90°，即第三个角是钝角，所以这个三角形是钝角三角形。 故答案为：C 5．（25-26四年级下·全国·课后作业）有两条边相等的三角形叫作( )三角形。 【答案】等腰 【思路引导】根据三角形的分类知识，有两条边相等的三角形具有特定的名称。 【完整解答】 在三角形中，按照边的关系进行分类，当有两条边长度相等时，这样的三角形被定义为等腰三角形。 答：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。 6．（25-26四年级下·全国·课后作业）钝角三角形中，两个锐角的和( )（填“大于”或“小于”）一个钝角。 【答案】小于 【思路引导】三角形的内角和是180°。钝角三角形中，有一个角是钝角，也就是大于90°且小于180°，那么另外两个锐角的和＝180°−钝角。 因为钝角＞90°，所以180°−钝角<90°，而钝角＞90°，所以两个锐角的和小于一个钝角。 【完整解答】钝角三角形中，两个锐角的和小于一个钝角。 7．（25-26四年级下·全国·课后作业）算出下面三角形中未知角的度数。 ，，求。 【答案】 【思路引导】三角形的内角和是180°，用180°减去已知的∠1和∠2的度数，即可求出∠3的度数。 【完整解答】 答：∠3的度数是100°。 8．（25-26四年级下·全国·课后作业）爸爸做了一个等腰三角形钢架，底角是62°，这个三角形钢架的顶角是多少度？ 【答案】56° 【思路引导】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°，用180°减去两个底角的度数和，即可求出顶角的度数。 【完整解答】 答：这个三角形钢架的顶角是56度。 9．（25-26四年级下·全国·课前预习）在三角形ABC中，∠A＝2∠C，∠B＝3∠C，求∠A、∠B、∠C的度数。 【答案】60°；90°；30° 【思路引导】把∠C看作1份，∠A就是这样的2份，∠B就是这样的3份，三个角的和（即180°）就是这样的（1＋2＋3＝6）份，从而求出1份，即∠C是多少度，进而得到∠A和∠B分别是多少度。 【完整解答】∠C＝180°÷（1＋2＋3） ＝180°÷6 ＝30° ∠A＝30°×2＝60° ∠B＝30°×3＝90° 答：∠A是60°，∠B是90°，∠C是30°。 10．（25-26四年级下·全国·课前预习）刘洋手里有6根小棒，长度分别是4厘米、7厘米、9厘米、13厘米、17厘米和21厘米。从中选出3根摆成三角形，可以选哪三根？写出所有满足题意的结果。 【答案】见详解 【思路引导】三角形任意两边之和大于第三边；从给定的六根小棒中选取三根进行组合，逐一验证这些组合是否满足三角形的三边关系。据此分析解答。 【完整解答】根据分析可知： 4＋7＞9，所以4厘米、7厘米和9厘米可以摆成三角形； 7＋9＞13，所以7厘米、9厘米和13厘米可以摆成三角形； 7＋13＞17，所以7厘米、13厘米和17厘米可以摆成三角形； 7＋17＞21，所以7厘米、17厘米和21厘米可以摆成三角形； 9＋13＞17，所以9厘米、13厘米和17厘米可以摆成三角形； 9＋13＞21，所以9厘米、13厘米和21厘米可以摆成三角形； 9＋17＞21，所以9厘米、17厘米和21厘米可以摆成三角形； 13＋17＞21，所以13厘米、17厘米和21厘米可以摆成三角形； 答：任选3根小棒可以摆成三角形的有：4厘米、7厘米和9厘米；7厘米、9厘米和13厘米； 7厘米、13厘米和17厘米； 7厘米、17厘米和21厘米； 9厘米、13厘米和17厘米； 9厘米、13厘米和21厘米； 9厘米、17厘米和21厘米； 13厘米、17厘米和21厘米。 创新拓展 拔尖冲刺 1．（24-25四年级下·辽宁大连·期末）下列说法不正确的是（    ）。 A．红领巾的形状按角分是钝角三角形 B．直角三角形两个锐角之和小于90° C．比0.1大且比0.2小的数有无数个 D．等腰三角形有可能是直角三角形 【答案】B 【思路引导】红领巾按角分是钝角三角形；直角三角形有个角是90°，那两个锐角加起来该是90°，不是小于90°；0.1和0.2之间有0.11、0.111……能一直写下去，有无数个；等腰直角三角形，就是直角三角形。 【完整解答】A．红领巾有一个角是钝角（大于90°），另外两个是锐角，按角分属于钝角三角形，该说法正确； B．三角形内角和是180°，直角三角形有一个角是90°，所以两个锐角之和是180°－90°＝90°，并非小于90°，该说法不正确； C．比如0.11、0.111、0.1111……这样的数可以无限写下去，有无数个，该说法正确； D．等腰直角三角形（两条直角边相等，顶角是90°）就是等腰三角形，也属于直角三角形，该说法正确。 故答案为：B 2．（24-25四年级下·安徽亳州·期末）小华想制作一个三角形框架，他找到了下面两根木条。小华打算把②号木条截成两段再与①号木条围成三角形，②号木条截成的两段的长度可能是（    ）。 A．3厘米、10厘米 B．6厘米、7厘米 C．2厘米，11厘米 【答案】B 【思路引导】三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。判断三条线段能否围成三角形，把较短的两条线段相加的和与最长的线段相比较，若大于最长的线段，则能围成三角形，反之则不能。据此解答。 【完整解答】根据分析可知： A．3＋6＝9＜10，不符合题意。 B．6＋6＝12＞7，6＋7＝13＞6，符合题意。 C．6＋2＝8＜11，不符合题意。 小华想制作一个三角形框架，他找到了下面两根木条。小华打算把②号木条截成两段再与①号木条围成三角形，②号木条截成的两段的长度可能是6厘米、7厘米。 故答案为：B 3．（24-25四年级下·安徽亳州·期末）有一个角是50°的等腰三角形，其他两个角的度数是（    ）。 A．50°和80° B．65°和65° C．50°、80°或65°、65° 【答案】C 【思路引导】三角形的内角和为180°。等腰三角形的两个底角的度数相等。由题意得，等腰三角形的一个角是50°，那么这个角可能是顶角，也有可能是底角。假设这个角是顶角，那么直接用180°减去这个顶角的度数即可算出两个底角的度数之和，再除以2即可算出一个底角的度数；假设这个角是底角，那么另一个底角的度数也为50°，直接用180°减去两个底角的度数之和即可算出顶角的度数。据此解答。 【完整解答】如果这个50°的角是顶角， （180°－50°）÷2 ＝130°÷2 ＝65°，即两个底角的度数都是65°。 如果这个50°的角是底角，那么另一个角的度数是50°。 180°－50°×2 ＝180°－100° ＝80°，即另外两个角的度数分别是50°或80°。 综上所述，有一个角是50°的等腰三角形，其他两个角的度数是50°、80°或65°、65°。 故答案为：C 4．（24-25四年级下·河南鹤壁·期末）在等腰三角形中，已知其中一个内角是76°，另外两个角的度数可能是( )或( )。 【答案】 52°、52° 76°、28° 【思路引导】等腰三角形的两个底角相等，如果这个内角是底角，另一个底角是76°，根据三角形的内角和是180°可知，顶角是180°－76°－76°。如果这个角是顶角，每个底角是（180°－76°）÷2。据此解答。 【完整解答】180°－76°－76°＝28° （180°－76°）÷2 ＝104°÷2 ＝52° 在等腰三角形中，已知其中一个内角是76°，另外两个角的度数可能是52°、52°或76°、28°。 5．（24-25四年级下·河南郑州·期末）淘气、笑笑、奇思和妙想在玩猜图形游戏，淘气从下面图形中选出了一个。 笑笑、奇思和妙想围绕图形特征轮流向淘气提问： 笑笑：你选的图形有几条边？         淘气：四条边。 奇思：它有直角吗？                 淘气：没有。 妙想：______________？               淘气：两组。 根据淘气前两次问答，妙想提出的问题是：________________？ 通过淘气的回答，我们可以判断出他所选的是_______号图形。 【答案】 它有几组对边互相平行 ② 【思路引导】根据淘气前两次问答可以确定图形的边数及有无直角情况，此时图形可能是平行四边形和梯形，平行四边形有两组对边互相平行，梯形有一组对边互相平行，结合淘气回答的两组，可确定淘气选的是平行四边形。 【完整解答】根据分析，妙想提出的问题是：它有几组对边互相平行？ 通过淘气的回答，我们可以判断出他所选的是②号图形。 6．如下图，把正方形剪成一个特殊的三角形。 (1)图中∠1＝( )°，∠2＝( )°。 (2)如果正方形的边长是4cm，那么三角形的周长是( )cm。 【答案】(1) 30 60 (2)12 【思路引导】   （1）根据折纸过程和图上所示可知：斜折上去的那条边b就是正方形下面那条边c，因为点A在对折的折痕上，所以a和b也相等，也就是a、b、c三条边相等，所以三角形是等边三角形，三个角都是60°。而∠2等于2个∠1，所以，∠1度数是∠2度数的一半，即60°除以2得30°。 （2）如果正方形的边长是4厘米，那么等边三角形的边长也是4厘米，所以三角形的周长就是4乘3得12厘米。据此解答。 【完整解答】（1）∠1＝60°÷2＝30°，∠2＝60° 所以，图中∠1等于30°，∠2等于60°。 （2）4×3＝12（厘米） 所以，三角形的周长是12厘米。 【考点剖析】本题主要考查角的综合计算及周长的计算。要仔细观察图中各边和各角之间的关系， 抓住等边三角形的特点解答问题。 7．（24-25四年级下·广东湛江·期末）湛湛想用木条搭建一个稳定的三角形模型，他找到这样两根木条。（图中每个表示1cm） 把其中一根木条锯断，这样就有三根木条，就可以围成一个三角形。 （1）你认为湛湛应该锯断哪根木条？写出你的理由。 （2）湛湛把这根木条锯成长度各是多少的两段（取整厘米数），才能和另外一根围成一个三角形，用“”在图中画出其中一种锯法。 【答案】（1）木条B；木条B比木条A长，根据三角形的两边之和大于第三边，锯断B木条才可能围成三角形。（答案唯一） （2）见详解 【思路引导】（1）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，13＞6，所以应该锯断木条B。 （2）12＋1＝13（厘米）；11＋2＝13（厘米）；10＋3＝13（厘米）；9＋4＝13（厘米）；8＋5＝13（厘米）；7＋6＝13（厘米）；再根据三边关系进行计算，据此解题。 【完整解答】（1）答：我认为湛湛应该锯断木条B，因为木条B比木条A长，根据三角形的两边之和大于第三边，锯断B木条才可能围成三角形。 （2）12＋1＝13（厘米）；6＋1＝7（厘米）；7厘米＜12厘米，所以12厘米、1厘米、6厘米不能构成三角形； 11＋2＝13（厘米）；6＋2＝8（厘米）；8厘米＜11厘米，所以11厘米、2厘米、6厘米不能构成三角形； 10＋3＝13（厘米）；6＋3＝9（厘米）；9厘米＜10厘米，所以10厘米、3厘米、6厘米不能构成三角形； 9＋4＝13（厘米）；6＋4＝10（厘米）；9厘米＜10厘米，所以9厘米、4厘米、6厘米能构成三角形；如图：。 8＋5＝13（厘米）；6＋5＝11（厘米）；8厘米＜11厘米，所以8厘米、5厘米、6厘米能构成三角形；如图：。 7＋6＝13（厘米）；6＋6＝12（厘米）；7厘米＜12厘米，所以7厘米、6厘米、6厘米能构成三角形；如图：。 8．（24-25四年级下·福建泉州·期末）下图是一个正六边形，淘气把这个六边形分成了4个三角形，通过三角形的内角和是180°，推出了正六边形的每个内角是120°。图中涂色三角形按角分是什么三角形？请用计算的方法说说你判断的理由。 【答案】直角三角形； （180°－120°）÷2 ＝60°÷2 ＝30° 120°－30°＝90° 【思路引导】因为图形是正六边形，它的每条边的长度相等。所以图中左下角三角形是等腰三角形，故该三角形两个锐角的度数相等。因为正六边形的每个内角是120°，三角形三个内角的和是180°。所以，两个锐角的度数分别是（180°－120°）÷2＝30°。已知正六边形的每个内角都是120°，用120°减去左下角锐角的度数30°求出涂色三角形最下面的角的度数，最后再判断三角形的形状。 【完整解答】（180°－120°）÷2 ＝60°÷2 ＝30° 120°－30°＝90° 答：涂色三角形按角分是直角三角形；因为涂色三角形中有一个角是90°（直角），所以涂色三角形是直角三角形。 9．（25-26四年级下·全国·课前预习）如图，用这样的两个三角形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的周长最大是多少厘米？ 【答案】18厘米 【思路引导】观察图形可知，用图中两个三角形拼成一个平行四边形，有三种不同的拼接方式，可以用5厘米和4厘米的边作为平行四边形的边长，也可以用5厘米和3厘米的边作为平行四边形的边长，还有可以用3厘米和4厘米的边作为平行四边形的边长，将三种方法用四个边相加来求出周长，然后进行比较，则可解答此题。 【完整解答】由分析可知： 当5厘米和4厘米的边作为平行四边形的边长时：5＋5＋4＋4＝18（厘米） 当5厘米和3厘米的边作为平行四边形的边长时：5＋5＋3＋3＝16（厘米） 当3厘米和4厘米的边作为平行四边形的边长时：3＋3＋4＋4＝14（厘米） 18厘米＞16厘米＞14厘米 答：拼成的平行四边形的周长最大是18厘米。 10．（24-25四年级下·广东深圳·期末）（1）小华在学习“三角形内角和”一课时发现：可以用三角形内角和来得到其他多边形的内角和。他的方法如图： 请你照样子在五边形内画一画，算一算五边形内角和＝（    ）。 （2）正多边形是指各边、各角都相等的多边形，请你借助上题中内角和知识，求出下面图形中每个角的度数。 【答案】（1）图见详解；540 （2）见详解 【思路引导】（1）根据小华的方法，把五边形分成3个三角形，根据三角形的内角和是180°，用180°乘3即可求出五边形的内角和，据此先分一分，画一画，再算一算； （2）正多边形是指各边、各角都相等的多边形，那么用正n边形的内角和除以角的数量即可解答； 【完整解答】（1）小华在学习“三角形内角和”一课时发现：可以用三角形内角和来得到其他多边形的内角和。他的方法如图，照样子在五边形内画一画，如下图所示： 五边形内角和＝540°。 （2）180°÷3＝60° 360°÷4＝90° 540°÷5＝108° 如下所示： 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $