第二单元 认识三角形和四边形 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）-2025-2026学年北师大版数学四年级下册

第二单元 认识三角形和四边形 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、三角形的认识与特性 2 二、三角形的分类 2 三、三角形三边关系 2 四、三角形内角和 2 五、四边形的认识与特性 3 六、四边形的分类 3 七、图形拼组 3 考点讲练 3 考点一：三角形的稳定性及应用 3 考点二：三角形的分类 4 考点三：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 5 考点四：画三角形 6 考点五：三角形的内角和 7 考点六：多边形的内角和 8 考点七：三角形的三边关系 8 考点八：平行四边形的概念及特点 9 考点九：平行四边形的不稳定性及应用 10 考点十：梯形的概念及特点 11 考点十一：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 12 考点十二：四边形的分类及关系 13 综合训练 15 知识梳理 一、三角形的认识与特性 1.定义：由3条线段首尾相连围成的封闭图形叫做三角形。 2.各部分名称：三角形有3个顶点、3条边和3个角。顶点用大写字母表示（如顶点A、B、C），边用顶点字母组合表示（如边AB、BC、AC），角用“∠”加顶点字母表示（如∠A、∠B、∠C）。 3.特性：三角形具有稳定性（不易变形），生活中应用广泛，如自行车车架、屋顶桁架、起重机吊臂等。 二、三角形的分类 （一）按角分类 1.锐角三角形：3个角都是锐角（每个角都小于90°）的三角形。 2.直角三角形：有1个角是直角（等于90°）的三角形，另外两个角是锐角。直角所对的边叫做斜边，斜边是直角三角形中最长的边。 3.钝角三角形：有1个角是钝角（大于90°且小于180°）的三角形，另外两个角是锐角。 （二）按边分类 1.不等边三角形（普通三角形）：3条边都不相等的三角形。 2.等腰三角形：有2条边相等的三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰所对的角叫做底角，底边所对的角叫做顶角，等腰三角形的两个底角相等。 3.等边三角形（正三角形）：3条边都相等的三角形，3个角也相等，每个角都是60°。等边三角形是特殊的等腰三角形。 三、三角形三边关系 1.核心结论：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 2.应用：判断三条线段能否组成三角形，需满足较短两条线段的和大于最长线段。 例：线段3cm、4cm、5cm：3+4>5，3+5>4，4+5>3，能组成三角形；线段1cm、2cm、4cm：1+2=3<4，不能组成三角形。 四、三角形内角和 1.结论：三角形的内角和是180°。 2.推导方法： 撕拼法：将三角形的3个角撕下来，顶点重合拼在一起，可组成一个平角（180°）。 折叠法：将三角形的3个角向同一顶点折叠，也能组成一个平角。 3.应用：已知三角形两个角的度数，可求第三个角的度数。 例：直角三角形中一个锐角是30°，另一个锐角为180°-90°-30°=60°。 五、四边形的认识与特性 1.定义：由4条线段首尾相连围成的封闭图形叫做四边形。 2.各部分名称：有4个顶点、4条边和4个角。 3.特性：四边形具有不稳定性（容易变形），生活中应用如伸缩门、升降机、折叠衣架等。 六、四边形的分类 （一）按是否有平行边分类 1.一般四边形：4条边中没有平行边的四边形。 2.平行四边形：两组对边分别平行的四边形，对边相等、对角相等，相邻角之和是180°。 长方形：特殊的平行四边形，4个角都是直角（90°），对边相等，邻边互相垂直。 正方形：特殊的长方形，4条边都相等，4个角都是直角，是特殊的平行四边形。 3.梯形：只有一组对边平行的四边形，平行的一组对边叫做上底和下底，不平行的一组对边叫做腰。 等腰梯形：两腰相等的梯形，同一底上的两个角相等。 直角梯形：有一个角是直角的梯形，直角旁边的一条腰垂直于上底和下底。 七、图形拼组 1.三角形拼组： 两个相同的三角形可以拼成一个平行四边形；两个相同的直角三角形可以拼成长方形或正方形；三个相同的三角形可以拼成一个梯形（或更大的三角形）。 2.四边形拼组： 多个相同的平行四边形可以密铺平面；多个相同的梯形或三角形也可以密铺平面（密铺：图形无重叠、无空隙地铺满平面）。 考点讲练 考点一：三角形的稳定性及应用 【典例精讲】小桌子的腿松动了，按图（    ）加固比较稳固。 A． B． C． 【变式训练】学校传达室的门坏了，下面（    ）种修理方案可以使这扇门最牢固。 A． B． C． D． 【变式训练】摄影师会将照相机放置在三脚架上拍照，三脚架运用了三角形的（    ）的特征。 A．稳定性 B．有三条边 C．易变形 【变式训练】自行车的框架往往设计成如图样式，这是因为( )。 考点二：三角形的分类 【典例精讲】钝角三角形中没有锐角。( ) 【变式训练】有两个角是锐角的三角形，一定是钝角三角形。( ) 【变式训练】按要求给三角形分类。（填序号） 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 等腰三角形 等边三角形 【变式训练】如下图，用长3厘米、4厘米、5厘米的三根小棒可以围成一个直角三角形，如果把5厘米长的小棒换成6厘米长的小棒，那么围成的三角形是什么三角形？ 考点三：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】在学校“变废为宝”活动中，小明用铁丝围成边长6厘米的正方形当作品底座的外边。老师建议改成更稳的等边三角形，且铁丝长度不变，那改成后的等边三角形边长是多少厘米？ 【变式训练】如图，正三角形被分成了甲、乙两部分。比较甲、乙两个部分的周长，正确的结论是（    ）。 A．甲周长较长 B．乙周长较长 C．甲、乙周长相等 D．不能确定 【变式训练】用一根铁丝可以折成一个边长为15.2厘米的等边三角形，如果把它折成一个宽5.6厘米的长方形，求长方形的长为多少厘米？ 【变式训练】图中被遮住的三角形一定不是（    ）。    A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 考点四：画三角形 【典例精讲】以AB为一条边，画一个∠A＝50°的三角形。 【变式训练】画一个等腰直角三角形。 【变式训练】以下边图中的一条线段为底边画一个等腰三角形。 【变式训练】在点子图上按要求画出图形。 （1）在点子图上找到点C和点D，顺次连接A、B、C、D，使四边形ABCD是一个梯形。 （2）在点子图上找到点E，顺次连接A、B、E，使三角形ABE既是等腰三角形又是直角三角形。 考点五：三角形的内角和 【典例精讲】在一个三角形中，已知两个内角分别是56°和53°，这个三角形一定是（    ）三角形。 A．锐角 B．钝角 C．直角 【变式训练】算出下面三角形中未知角的度数。 ，，求。 【变式训练】钝角三角形中，两个锐角的和( )（填“大于”或“小于”）一个钝角。 【变式训练】一个三角形的内角和是( )°，从其一个顶点向对边画一条线段，把它分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是( )°。 考点六：多边形的内角和 【典例精讲】把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是( )。两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的内角和是( )。 【变式训练】把长方形剪掉一个角（如图），那么新图形①的内角和是( )。 【变式训练】笑笑将任意一个四边形分成了两个三角形（如图），那么四边形的内角和是多少度？请写下你的想法。 【变式训练】明明用剪刀在一张正方形纸片上剪去一个角（如图所示），剩下这个图形的内角和是（    ）。 A．270° B．360° C．540° 考点七：三角形的三边关系 【典例精讲】（    ）组线段不能拼成三角形。 A． B． C． 【变式训练】一个三角形的一边是7厘米，另一边是10厘米，第三边可能是（    ）。 A．17厘米 B．2厘米 C．4厘米 【变式训练】笑笑去上学有几条路线？哪条路线最近？哪条路线最远？最近的路线与最远的路线相差几千米？ 【变式训练】在能拼成三角形的那组小棒下画“√”。      （    ）                        （    ） 考点八：平行四边形的概念及特点 【典例精讲】将下面的图形进行分类，与其他三个不同一类的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】如图，数一数，梯形有( )个，平行四边形有( )个。 【变式训练】很多数学知识之间有着密切的联系。下图中，如果A表示任意三角形，B表示等腰三角形，那么C可以表示( )。如果A表示平行四边形，那么B表示( )，C表示( )。 【变式训练】如图，一个图形被遮住了一部分，这个图形不可能是（    ）。 A．直角三角形 B．平行四边形 C．梯形 考点九：平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲】谁的篱笆更牢固，为什么？ 【变式训练】用4根木条钉一个长方形木框，拉一拉，你会得到一个( )形，得到的新图形与原图形相比，各边的长度( )（填“变了”或“不变”）。 【变式训练】下列物体中，（    ）利用了三角形的稳定性。 A． B． C． D． 【变式训练】为丰富校园生活，学校四年级开展自制手工艺品义卖活动。小丽想做一只木制托盘（框架如图），如果想加一根木条使托盘更加稳定，下面方法最好的是（    ）。 A． B． C． D． 考点十：梯形的概念及特点 【典例精讲】请将图形补充完整，使它成为一个梯形。 【变式训练】下面( )和( )既能拼成平行四边形，又能拼成梯形。 【变式训练】．动手做一做。按照下图剪出3张梯形纸，把每张梯形纸的四个角撕下来拼在一起，拼成的角是一个什么角？你能得出什么结论？ 【变式训练】画一画，分一分。 （1）请在下面的方格图中画出一个锐角三角形。 （2）请画出一条线段，将下面方格图中的正方形分成一个三角形和一个梯形。 考点十一：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】将长方形纸和三角形纸用钉子固定，如图1。 (1)已知∠1＝∠2＝70°，那么∠3＝( )°，图1重叠的阴影部分是( )梯形。 (2)转动三角形，形成图2，图2重叠的阴影部分是( )梯形。 【变式训练】下面说法错误的是（    ）。 A．用第①组小棒只能摆出正方形。 B．用第①组小棒能摆出形状不同的平行四边形。 C．用第②组小棒能摆出形状不同的平行四边形。 D．用第③组小棒能摆出等腰梯形。 【变式训练】．如图，在梯形中，线段与线段( )互相平行，线段( )和线段互相垂直，量一量，( )°。 【变式训练】在方格纸上按要求画图。 三角形      平行四边形      等腰梯形 考点十二：四边形的分类及关系 【典例精讲】下面表示各图形之间的关系中，正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】只剪一刀，剪出符合要求的两个图形。（画线段表示） 【变式训练】同学们在研究图形之间的关系时，画了下面四幅图，你认为不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】用下面的图表示各图形之间的关系，不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 综合训练 1．下列图形中一定有平行线的是（    ）。 A．三角形 B．四边形 C．梯形 D．圆形 2．两根小棒，长度分别为5cm和10cm，再选一根长（    ）cm的小棒就能拼成一个等腰三角形。 A．4 B．5 C．10 D．15 3．小军将一根长10厘米的铁丝分成三段，再首尾相连组成一个三角形。下面图（    ）的方法一定能围成一个三角形。 A． B． C． D． 4．有7根小棒，长度分别是3cm，3cm，3cm，4cm，4cm，5cm，6cm，用其中的3根做三角形的边，可以搭出（    ）种不同的等腰三角形。（不考虑等边三角形） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，妙想要把一根16cm长的铁丝剪成三段，再首尾相接成一个三角形，她第一剪不能从（    ）处剪开。 A．① B．② C．③ D．④ 6．4个小朋友分别给一块地围上篱笆，（    ）种围法更牢固些。 A． B． C． D． 7．四边形的四个顶点用数对表示分别为（1，1），（4，1），（5，3），（2，3），这个四边形是( )。 8．有两条边相等的三角形叫作( )三角形。 9．红领巾的形状，按角分类，它属于( )三角形；按边分类，它属于( )三角形。 10．我国古代劳动人民用风铃来判断风向。一个风铃的上半部分是一个等腰三角形，其中一个底角是40°，它的顶角是( )°。 11．如图，一块直角三角形纸片像这样剪下一个小直角三角形，根据内角和知识，剩下的这个阴影部分图形的内角和是( )°。 12．用一根36cm长的铁丝恰好折成一个最大的等边三角形铁框，铁框的边长是( )cm，若恰好折成一个腰长是15cm的等腰三角形铁框，铁框底边长是( )cm。 13．刘洋手里有6根小棒，长度分别是4厘米、7厘米、9厘米、13厘米、17厘米和21厘米。从中选出3根摆成三角形，可以选哪三根？写出所有满足题意的结果。 14．如果一个等腰三角形的底角是40°，那么它的顶角是多少度？按角分，它是什么三角形？ 15．下图是一个正六边形，淘气把这个六边形分成了4个三角形，通过三角形的内角和是180°，推出了正六边形的每个内角是120°。图中涂色三角形按角分是什么三角形？请用计算的方法说说你判断的理由。 16．手工课上，奇思和妙想分别拿出一样长的彩绳围自己喜欢的图形。妙想能围成她所说的三角形吗？请用计算说明理由。（彩绳刚好用完） 17．如下面这个三角形的两条边相等，∠B＝58°。请你想一想另外两个角分别是多少度，把想法写出来。 18．如下图，三角形ABC是等腰三角形，三角形ABD是直角三角形，求∠1的度数。 19．在装修房屋时，黄师傅要制作一个三角形的装饰架。这个三角形装饰架的其中一个内角是40度，另一个内角的度数刚好是它的2倍。这个三角形装饰架的第三个角是多少度？ 20．春天到了，我们去放风筝吧。一根铁丝可以围成一个两条边的长分别是1.2分米和2.4分米的等腰三角形的风筝框架。如果用这根铁丝围成一个等边三角形框架，等边三角形的边长是多少厘米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 认识三角形和四边形 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、三角形的认识与特性 2 二、三角形的分类 2 三、三角形三边关系 2 四、三角形内角和 2 五、四边形的认识与特性 3 六、四边形的分类 3 七、图形拼组 3 考点讲练 3 考点一：三角形的稳定性及应用 3 考点二：三角形的分类 5 考点三：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 7 考点四：画三角形 10 考点五：三角形的内角和 12 考点六：多边形的内角和 14 考点七：三角形的三边关系 15 考点八：平行四边形的概念及特点 18 考点九：平行四边形的不稳定性及应用 20 考点十：梯形的概念及特点 22 考点十一：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 24 考点十二：四边形的分类及关系 27 综合训练 30 知识梳理 一、三角形的认识与特性 1.定义：由3条线段首尾相连围成的封闭图形叫做三角形。 2.各部分名称：三角形有3个顶点、3条边和3个角。顶点用大写字母表示（如顶点A、B、C），边用顶点字母组合表示（如边AB、BC、AC），角用“∠”加顶点字母表示（如∠A、∠B、∠C）。 3.特性：三角形具有稳定性（不易变形），生活中应用广泛，如自行车车架、屋顶桁架、起重机吊臂等。 二、三角形的分类 （一）按角分类 1.锐角三角形：3个角都是锐角（每个角都小于90°）的三角形。 2.直角三角形：有1个角是直角（等于90°）的三角形，另外两个角是锐角。直角所对的边叫做斜边，斜边是直角三角形中最长的边。 3.钝角三角形：有1个角是钝角（大于90°且小于180°）的三角形，另外两个角是锐角。 （二）按边分类 1.不等边三角形（普通三角形）：3条边都不相等的三角形。 2.等腰三角形：有2条边相等的三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰所对的角叫做底角，底边所对的角叫做顶角，等腰三角形的两个底角相等。 3.等边三角形（正三角形）：3条边都相等的三角形，3个角也相等，每个角都是60°。等边三角形是特殊的等腰三角形。 三、三角形三边关系 1.核心结论：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 2.应用：判断三条线段能否组成三角形，需满足较短两条线段的和大于最长线段。 例：线段3cm、4cm、5cm：3+4>5，3+5>4，4+5>3，能组成三角形；线段1cm、2cm、4cm：1+2=3<4，不能组成三角形。 四、三角形内角和 1.结论：三角形的内角和是180°。 2.推导方法： 撕拼法：将三角形的3个角撕下来，顶点重合拼在一起，可组成一个平角（180°）。 折叠法：将三角形的3个角向同一顶点折叠，也能组成一个平角。 3.应用：已知三角形两个角的度数，可求第三个角的度数。 例：直角三角形中一个锐角是30°，另一个锐角为180°-90°-30°=60°。 五、四边形的认识与特性 1.定义：由4条线段首尾相连围成的封闭图形叫做四边形。 2.各部分名称：有4个顶点、4条边和4个角。 3.特性：四边形具有不稳定性（容易变形），生活中应用如伸缩门、升降机、折叠衣架等。 六、四边形的分类 （一）按是否有平行边分类 1.一般四边形：4条边中没有平行边的四边形。 2.平行四边形：两组对边分别平行的四边形，对边相等、对角相等，相邻角之和是180°。 长方形：特殊的平行四边形，4个角都是直角（90°），对边相等，邻边互相垂直。 正方形：特殊的长方形，4条边都相等，4个角都是直角，是特殊的平行四边形。 3.梯形：只有一组对边平行的四边形，平行的一组对边叫做上底和下底，不平行的一组对边叫做腰。 等腰梯形：两腰相等的梯形，同一底上的两个角相等。 直角梯形：有一个角是直角的梯形，直角旁边的一条腰垂直于上底和下底。 七、图形拼组 1.三角形拼组： 两个相同的三角形可以拼成一个平行四边形；两个相同的直角三角形可以拼成长方形或正方形；三个相同的三角形可以拼成一个梯形（或更大的三角形）。 2.四边形拼组： 多个相同的平行四边形可以密铺平面；多个相同的梯形或三角形也可以密铺平面（密铺：图形无重叠、无空隙地铺满平面）。 考点讲练 考点一：三角形的稳定性及应用 【典例精讲】小桌子的腿松动了，按图（    ）加固比较稳固。 A． B． C． 【答案】A 【分析】三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性。在对小桌子腿进行加固时，需要利用三角形的稳定性来使桌子更加稳固。据此逐项分析。 【详解】A．图中加固的部分形成了三角形结构，利用了三角形的稳定性，能够使小桌子的腿更加稳固。 B．图中加固的部分形成的是四边形结构，四边形不具有稳定性，无法有效加固小桌子使其稳固。 C．图中加固的部分形成的也是四边形结构，同样不具有稳定性，不能很好地加固小桌子。 故答案为：A。 【变式训练】学校传达室的门坏了，下面（    ）种修理方案可以使这扇门最牢固。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形具有稳定性，这是其独特的性质，在生活中有诸多应用，比如建筑结构加固等。它的三条边相互制约，一旦三边长度确定，其形状和大小就固定下来，不易变形，只需在选项中找到三角形即可。 【详解】 A．是长方形结构，容易变形。 B．也是长方形结构，容易变形。 C．中有三角形，符合稳定性的要求。 D．是长方形结构，容易变形。 所以选项C中的修理方案可以使这扇门最牢固。 故答案为：C 【变式训练】摄影师会将照相机放置在三脚架上拍照，三脚架运用了三角形的（    ）的特征。 A．稳定性 B．有三条边 C．易变形 【答案】A 【分析】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，例：埃及金字塔、钢轨、三角形框架、起重机、三角形吊臂、屋顶、三角形钢架、钢架桥和埃菲尔铁塔都以三角形形状建造。紧扣三角形具有稳定性的性质，即可解答。 【详解】三脚架的三条腿，构成了三角形，这是利用了三角形的稳定性。 故答案为：A 【变式训练】自行车的框架往往设计成如图样式，这是因为( )。 【答案】三角形的稳定性 【分析】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，生活中很多物品的设计都利用这一特性设计的，据此作答。 【详解】根据上述分析可得：自行车的框架往往设计成如图样式，这是因为三角形的稳定性。 考点二：三角形的分类 【典例精讲】钝角三角形中没有锐角。( ) 【答案】× 【分析】根据三角形的定义，三角形内角和为180度。钝角三角形有一个钝角（大于90度），则其余两个角的和小于90度，因此这两个角都是锐角（小于90度）。所以钝角三角形中有锐角。 【详解】钝角三角形中有一个钝角，根据三角形内角和定理，内角和为180度，钝角大于90度，因此其余两个角的和小于90度，且每个角都小于90度，所以这两个角都是锐角。故钝角三角形中没有锐角的说法是错误的。 故答案为：× 【变式训练】有两个角是锐角的三角形，一定是钝角三角形。( ) 【答案】× 【分析】根据三角形的内角和为180°，一个三角形中至少有两个锐角。有两个锐角的三角形可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，不一定是钝角三角形。 【详解】一个三角形中，如果两个角是锐角，则第三个角可能是锐角、直角或钝角。例如： 三个角分别为60°、60°、60°的三角形是锐角三角形； 三个角分别为45°、45°、90°的三角形是直角三角形； 三个角分别为30°、30°、120°的三角形是钝角三角形。 因此，有两个角是锐角的三角形不一定是钝角三角形。原说法错误。 故答案为：√ 【变式训练】按要求给三角形分类。（填序号） 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 等腰三角形 等边三角形 【答案】②⑥⑩；①③⑤⑧⑨；④⑦；②③⑤⑦⑧⑨；③⑧⑨ 【分析】直角三角形：有一个角是直角（90°）的三角形。 锐角三角形：三个角都是锐角（小于 90°）的三角形。 钝角三角形：有一个角是钝角（大于 90°）的三角形。 等腰三角形：至少有两条边长度相等的三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。 等边三角形：三条边长度都相等的三角形，属于锐角三角形和等腰三角形的特例。 【详解】 【变式训练】如下图，用长3厘米、4厘米、5厘米的三根小棒可以围成一个直角三角形，如果把5厘米长的小棒换成6厘米长的小棒，那么围成的三角形是什么三角形？ 【答案】钝角三角形 【分析】角的大小和角两边张口的大小有关，两边张开的越大角越大。根据题意分析，题中的三角形是一个直角三角形，如果把5厘米长的小棒换成6厘米长的小棒，即要将图中的直角的两条边张口再变大些，所以这个直角会变成一个钝角，所以这个三角形是钝角三角形。据此分析解答。 【详解】用长3厘米、4厘米、5厘米的三根小棒可以围成一个直角三角形，如果把5厘米长的小棒换成6厘米长的小棒，那么直角的两条边的张口会变大，这个角会变成钝角，所以这时围成的三角形是钝角三角形。 答：围成的三角形是钝角三角形。 考点三：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】在学校“变废为宝”活动中，小明用铁丝围成边长6厘米的正方形当作品底座的外边。老师建议改成更稳的等边三角形，且铁丝长度不变，那改成后的等边三角形边长是多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】正方形的周长＝边长×4，据此将数据带入求出铁丝的长度，再根据等边三角形三边相等，用铁丝的长度除以3即可求出等边三角形的边长。 【详解】6×4＝24（厘米） 24÷3＝8（厘米） 答：改成后的等边三角形边长是8厘米。 【变式训练】如图，正三角形被分成了甲、乙两部分。比较甲、乙两个部分的周长，正确的结论是（    ）。 A．甲周长较长 B．乙周长较长 C．甲、乙周长相等 D．不能确定 【答案】A 【分析】正三角形的三条边相等，从图中得出甲、乙的周长分别由哪些线段和曲线组成，再比较这些线段、曲线的长度，得出哪个图形的周长更长。 【详解】如图： 甲的周长＝AB＋BD＋曲线AD 乙的周长＝AC＋CD＋曲线AD AB＝AC，BD＞CD AB＋BD＋曲线AD＞ AC＋CD＋曲线AD 则甲的周长＞乙的周长 比较甲、乙两个部分的周长，甲周长较长。 故答案为：A 【变式训练】用一根铁丝可以折成一个边长为15.2厘米的等边三角形，如果把它折成一个宽5.6厘米的长方形，求长方形的长为多少厘米？ 【答案】17.2厘米 【分析】根据题意，计算铁丝总长度（等边三角形周长）：等边三角形边长为15.2厘米，用边长乘3，求出铁丝的长度；确定长方形周长与铁丝长度相同；利用长方形周长＝（长＋宽）÷2，求长方形的长：长方形的周长×2－宽，已知宽为5.6厘米，代入数据，求出长方形的长即可。 【详解】根据分析可知： 15.2×3＝45.6（厘米） 45.6÷2＝22.8（厘米） 22.8－5.6＝17.2（厘米） 答：长方形的长为17.2厘米。 【变式训练】图中被遮住的三角形一定不是（    ）。    A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】等腰三角形的两条腰的长度相等，两个底角的度数相等；三边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个角都是60°；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；据此解答即可。 【详解】A．露出的角小于60°，是锐角，如果三角形被遮住的两个角是锐角，则这个三角形就是锐角三角形； B．露出的角小于60°，是锐角，如果三角形被遮住的两个角中有一个是直角，则这个三角形就是直角三角形； C．等腰三角形两个角相等，如果三角形被遮住的两个角中有一个角和露出角相等，则这个三角形就是等腰三角形； D．等边三角形的三个角都等于60°，这个三角形露出的角小于60°，所以这个三角形一定不是等边三角形。 故答案为：D 考点四：画三角形 【典例精讲】以AB为一条边，画一个∠A＝50°的三角形。 【答案】见详解 【分析】利用量角器以点A为顶点，AB为一边画出50°的角，再确定三角形的第三个顶点，从而画出三角形。将量角器的中心与点A重合，0刻度线与AB重合，在量角器50°的刻度线的地方点一个点，记为点C；连接点A和刚才所点的点C，此时∠BAC的度数为50°；连接点B和点C，这样就以AB为一条边，∠A为50°，据此画出三角形ABC。 【详解】如图所示：（答案不唯一，只要是以AB为一边且∠A为50°的三角形即可） 【变式训练】画一个等腰直角三角形。 【答案】见详解 【分析】等腰直角三角形的两条腰相等，有1个直角，其余两个锐角相等。据此画图。 【详解】 （答案不唯一） 【变式训练】以下边图中的一条线段为底边画一个等腰三角形。 【答案】图见详解； 【分析】题目给定了图中的一条线段作为底边。以底边的中点为垂足，作底边的垂线。在垂线上任选一点作为等腰三角形的顶点。连接顶点与底边的两个端点，这样就得到了一个等腰三角形。因为等腰三角形的定义是两腰相等，通过作底边的垂线并在垂线上取点作为顶点，能保证连接顶点与底边两端点所形成的两条边长度相等。 【详解】按照上述方法可以画出以给定线段为底边的等腰三角形。 （答案不唯一） 【变式训练】在点子图上按要求画出图形。 （1）在点子图上找到点C和点D，顺次连接A、B、C、D，使四边形ABCD是一个梯形。 （2）在点子图上找到点E，顺次连接A、B、E，使三角形ABE既是等腰三角形又是直角三角形。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【分析】（1）只有一组对边平行的四边形是梯形，根据梯形定义画图（答案不唯一）； （2）等腰直角三角形的定义是：两条直角边相等的直角三角形，或一个角是直角的等腰三角形。根据等腰直角三角形的定义画图（答案不唯一）。 【详解】（1）如图所示： （2）如图所示 考点五：三角形的内角和 【典例精讲】在一个三角形中，已知两个内角分别是56°和53°，这个三角形一定是（    ）三角形。 A．锐角 B．钝角 C．直角 【答案】A 【分析】三角形的内角和是180°，已知两个内角分别是56°和53°，则第三个内角是，即三个内角都小于90°，都是锐角，所以这个三角形一定是锐角三角形。 【详解】在一个三角形中，已知两个内角分别是56°和53°，这个三角形一定是锐角三角形。 故答案为：A 【变式训练】算出下面三角形中未知角的度数。 ，，求。 【答案】 【分析】三角形的内角和是180°，用180°减去已知的∠1和∠2的度数，即可求出∠3的度数。 【详解】 答：∠3的度数是100°。 【变式训练】钝角三角形中，两个锐角的和( )（填“大于”或“小于”）一个钝角。 【答案】小于 【分析】三角形的内角和是180°。钝角三角形中，有一个角是钝角，也就是大于90°且小于180°，那么另外两个锐角的和＝180°−钝角。 因为钝角＞90°，所以180°−钝角<90°，而钝角＞90°，所以两个锐角的和小于一个钝角。 【详解】钝角三角形中，两个锐角的和小于一个钝角。 【变式训练】一个三角形的内角和是( )°，从其一个顶点向对边画一条线段，把它分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是( )°。 【答案】 180 180 【分析】三角形的内角和是固定的180°，这是三角形的基本性质。当从一个顶点向对边画一条线段分成两个小三角形时，每个小三角形依然满足内角和是180°的性质。 【详解】三角形内角和定理表明，任意三角形的内角和都是180°。无论三角形的大小、形状如何，其内角和恒定为180°。所以一个三角形的内角和是180°，分成的每个小三角形内角和也是180°。 所以一个三角形的内角和是180°，每个小三角形的内角和是180°。 考点六：多边形的内角和 【典例精讲】把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是( )。两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的内角和是( )。 【答案】 180° 360° 【分析】根据三角形的内角和是180°可知，把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是180°；把两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的内角和就是两个三角形内角的度数总和，即180°＋180°＝360°。据此解答。 【详解】根据分析可知： 把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是180°。两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的内角和是360°。 【变式训练】把长方形剪掉一个角（如图），那么新图形①的内角和是( )。 【答案】540°/540度 【分析】由图可知，长方形剪掉一个角后，变为了一个五边形。 如图，这个五边形可以分割成3个三角形，三角形的内角和为180°，那么五边形的内角和就等于3个三角形的内角之和。据此解答。 【详解】180°×3＝540° 故新图形①的内角和是540°。 【变式训练】笑笑将任意一个四边形分成了两个三角形（如图），那么四边形的内角和是多少度？请写下你的想法。 【答案】360°；想法见详解 【分析】看图可知四边形分成了两个三角形，根据三角形内角和是180°用一个三角形内角和乘2，即可求出么四边形的内角和。据此解答即可。 【详解】180°×2＝360° 答：两个三角形的内角和就是四边形的内角和，四边形的内角和是360°。 【变式训练】明明用剪刀在一张正方形纸片上剪去一个角（如图所示），剩下这个图形的内角和是（    ）。 A．270° B．360° C．540° 【答案】C 【分析】明明用剪刀在一张正方形纸片上剪去一个角，则图形变成五边形，利用多边形内角和公式（n－2）×180°计算即可。 【详解】（5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 剩下这个图形的内角和是540°。 故答案为：C 考点七：三角形的三边关系 【典例精讲】（    ）组线段不能拼成三角形。 A． B． C． 【答案】C 【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边）。 【详解】A.（厘米），5.6厘米＞4厘米，即三条线段可以拼成三角形； B.（厘米），4厘米＞2厘米，即三条线段可以拼成三角形； C.（厘米），4厘米＝4厘米，即三条线段不能拼成三角形。 故答案为：C 【变式训练】一个三角形的一边是7厘米，另一边是10厘米，第三边可能是（    ）。 A．17厘米 B．2厘米 C．4厘米 【答案】C 【分析】根据在三角形中两边之和大于第三边，或两边之差小于第三边，得出第三边的取值范围即可判断，据此解答。 【详解】（厘米） （厘米） 所以3厘米＜第三边＜17厘米， 所以，它的第三边最长是16厘米，最短是4厘米. 故答案为：C 【变式训练】笑笑去上学有几条路线？哪条路线最近？哪条路线最远？最近的路线与最远的路线相差几千米？ 【答案】笑笑去上学有3条路线，笑笑家直接到学校最近，笑笑家经过文化宫到学校最远，最近的路线与最远的路线相差0.9千米 【分析】由题意可知，从笑笑家到学校有三条路线，第一条：笑笑家经过文化宫到学校；第二条：笑笑家经过公园再到学校；第三条：笑笑家直接到学校；根据三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，所以从笑笑家直接到学校最近；分别计算每条路线的长度，再将最远的路线与最近的路线作差，即可求出相差多少千米，据此解答。 【详解】由分析可得：从笑笑家到学校有三条路线，第一条：笑笑家经过文化宫到学校；第二条：笑笑家经过公园再到学校；第三条：笑笑家直接到学校。 第一条：（千米） 第二条：（千米） 第三条：2.5千米 2.5千米<2.6千米<3.4千米 相差：（千米） 答：笑笑去上学有3条路线，笑笑家直接到学校最近，笑笑家经过文化宫到学校最远，最近的路线与最远的路线相差0.9千米。 【变式训练】在能拼成三角形的那组小棒下画“√”。      （    ）                        （    ） 【答案】（√）（    ） 【分析】由图片可知长度，根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，对每组小棒进行判断。 【详解】 左侧图：，，，满足三角形三边关系，能拼成三角形。 右侧图：，不满足三角形三边关系，不能拼成三角形。 考点八：平行四边形的概念及特点 【典例精讲】将下面的图形进行分类，与其他三个不同一类的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一组对边平行的四边形叫梯形，根据图示，选项A、选项C和选项D，只有一组对边平行，它们都是梯形；选项B，两组对边分别平行，是平行四边形，据此解答即可。 【详解】 与其他三个不同一类的是。 故答案为：B 【变式训练】如图，数一数，梯形有( )个，平行四边形有( )个。 【答案】 4 1 【分析】单独的梯形有2个，两个图形组成的梯形有2个，共有2＋2＝4个梯形。 单独的平行四边形有1个，共有1个平行四边形。 【详解】如图，数一数，梯形有（4）个，平行四边形有（1）个。 【变式训练】很多数学知识之间有着密切的联系。下图中，如果A表示任意三角形，B表示等腰三角形，那么C可以表示( )。如果A表示平行四边形，那么B表示( )，C表示( )。 【答案】 等边三角形 长方形 正方形 【分析】根据题意，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形包括等边三角形；所以，A表示任意三角形，B表示等腰三角形，那么C可以表示等边三角形；长方形是平行四边形的一种，而正方形是长方形的一种，因此在平行四边形这一分类下，B表示长方形，C表示正方形。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 很多数学知识之间有着密切的联系。下图中，如果A表示任意三角形，B表示等腰三角形，那么C可以表示等边三角形。如果A表示平行四边形，那么B表示长方形，C表示正方形。 【变式训练】如图，一个图形被遮住了一部分，这个图形不可能是（    ）。 A．直角三角形 B．平行四边形 C．梯形 【答案】B 【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形；两组对边分别平行的四边形叫平行四边形；只有一组对边平行的四边形是梯形。分别根据直角三角形、平行四边形、梯形的定义，结合图中露出的部分通过想象、比较来作出判断。 【详解】A．从图中可以看到露出了一个直角，另一条边和一条直角边组成一个锐角，所以这个图形有可能是直角三角形。 B．两条对边分别平行的四边形叫平行四边形，观察图中露出的部分，找不到两组对边分别平行且相等的特征，所以这个图形不可能是平行四边形。 C．只有一组对边平行的四边形叫梯形。从图中露出的部分虽然看出没有一组对边平行，但是遮住的部分可能有一条边和露出的一条边平行，所以这个图形有可能是梯形。 所以，这个图形不可能是平行四边形。 故答案为：B 考点九：平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲】谁的篱笆更牢固，为什么？ 【答案】小王的篱笆更牢固，因为三角形具有稳定性。 【分析】根据三角形的特性：三角形具有稳定性；据此进行分析。 【详解】小张的篱笆是由多个长方形组成的，小王的篱笆是由多个三角形组成的，三角形具有稳定性，所以小王的篱笆更牢固。 答：小王的篱笆更牢固，因为三角形具有稳定性。 【变式训练】用4根木条钉一个长方形木框，拉一拉，你会得到一个( )形，得到的新图形与原图形相比，各边的长度( )（填“变了”或“不变”）。 【答案】 平行四边 不变 【分析】四边形具有不稳定性，用手捏住长方形木框两个对角，向相反方向拉一拉，会得到一个平行四边形，这时长方形的长相当于平行四边形的底，长方形的宽相当于平行四边形底边的邻边，据此解答。 【详解】根据分析可知， 用4根木条钉一个长方形木框，拉一拉，你会得到一个平行四边形，得到的新图形与原图形相比，各边的长度不变。 【变式训练】下列物体中，（    ）利用了三角形的稳定性。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据三角形具有稳定性：三角形具有稳固、坚定、耐压的特点，进行分析。 【详解】A. 此选项中的物体结构中有三角形，利用了三角形的稳定性 ； B.此选项中的物体结构主要是长方形，长方形具有不稳定性，没有利用三角形的稳定性； C.篮球架结构中没有三角形，不具有三角形的稳定性； D. 此选项中的物体结构主要是平行四边形，平行四边形具有不稳定性，没有利用三角形的稳定性。 故答案为：A 【变式训练】为丰富校园生活，学校四年级开展自制手工艺品义卖活动。小丽想做一只木制托盘（框架如图），如果想加一根木条使托盘更加稳定，下面方法最好的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性；沿着正方形相对的两个顶点加一根木条，形成两个三角形，可利用三角形的稳定性加固木制托盘，据此解答。 【详解】A．将底部框架分成了两个长方形，长方形是四边形，四边形具有不稳定性，不符合题意； B．将底部框架分成了两个长方形，长方形是四边形，四边形具有不稳定性，不符合题意； C．将底部分成了两个三角形，三角形具有稳定性，符合题意； D．将底部框架分成了两个梯形，梯形是四边形，四边形具有不稳定性，不符合题意。 故答案为：C 考点十：梯形的概念及特点 【典例精讲】请将图形补充完整，使它成为一个梯形。 【答案】见详解 【分析】根据题意，要使图形成为梯形，需要有一组对边彼此平行。根据题图上方那条水平线，可以在右下端点处向左画一条与上边平行的水平线，然后右下端点往左数3个点画点，与上边的线段的左边的端点连接起来，便可完成一个梯形。以此画图即可。 【详解】根据分析画图如下： （画法不唯一） 【变式训练】下面( )和( )既能拼成平行四边形，又能拼成梯形。 【答案】 ① ③ 【分析】本题可以逆向思考，考虑平行四边形和梯形可以分割成哪些形状，发现两个完全相同的直角梯形既能拼成一个平行四边形，又能拼成一个梯形；据此作答。 【详解】两个完全相同的直角梯形既能拼成一个平行四边形，又能拼成一个梯形，因此①和③符合题意。 【变式训练】．动手做一做。按照下图剪出3张梯形纸，把每张梯形纸的四个角撕下来拼在一起，拼成的角是一个什么角？你能得出什么结论？ 【答案】周角；结论见详解 【分析】通过实际操作将梯形的四个角拼合，根据周角定义，即等于360°的角是周角，判断拼成角的类型，并由拼成角的度数推出梯形内角和的度数。 【详解】把每张梯形纸的四个角撕下来拼在一起，刚好拼成一个360°的角；因为周角的度数是360°，所以拼成的角是周角；由于这四个角是梯形的四个内角，所以可得出梯形的内角和是360°的结论。 把每张梯形纸的四个角撕下来拼在一起，拼成的角是周角，说明梯形的内角和是360°。 【变式训练】画一画，分一分。 （1）请在下面的方格图中画出一个锐角三角形。 （2）请画出一条线段，将下面方格图中的正方形分成一个三角形和一个梯形。 【答案】见详解 【分析】（1）三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，先画出一条线段，再在线段距离4格的位置点个点，再连接点和线段的两端，即可画出锐角三角形； （2）把正方形分成一个三角形和梯形，过正方形的一个顶点，在正方形的内部画一条线段，线段的另一个端点在另一条底边上，且这条线段与正方形的边不平行，这样就把正方形分成了一个梯形和一个三角形。 【详解】（1）（2）作图如下： （画法不唯一） 考点十一：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】将长方形纸和三角形纸用钉子固定，如图1。 (1)已知∠1＝∠2＝70°，那么∠3＝( )°，图1重叠的阴影部分是( )梯形。 (2)转动三角形，形成图2，图2重叠的阴影部分是( )梯形。 【答案】(1) 110 等腰 (2)直角 【分析】（1）由图可知，∠1＋∠3＝180°；根据梯形的定义：一组对边平行的四边形是梯形，所以图1重叠的部分是一个梯形，且∠1＝∠2＝70°，说明梯形的两条腰相等； （2）图2重叠的阴影部分中有一个角是直角；据此解答。 【详解】由分析可知： （1）∠3＝180°－∠1＝180°－70°＝110° ∠1＝180°-∠3＝180°－110°＝70° ∠1＝∠2 所以∠3＝110°，图1重叠的阴影部分是一个等腰梯形； （2）图2重叠的阴影部分中有一个角是直角，所以图2重叠的阴影部分是一个直角梯形。 【变式训练】下面说法错误的是（    ）。 A．用第①组小棒只能摆出正方形。 B．用第①组小棒能摆出形状不同的平行四边形。 C．用第②组小棒能摆出形状不同的平行四边形。 D．用第③组小棒能摆出等腰梯形。 【答案】A 【分析】（1）平行四边形两组对边分别平行且相等，正方形为特殊的平行四边形，平行四边形有易变形性。 （2）等腰梯形的上底和下底平行，而且两条腰的长度相同。 【详解】A．用第①组小棒不仅能摆出正方形，还能摆出平行四边形，说法错误； B．用第①组小棒能摆出形状不同的平行四边形，说法正确； C．用第②组小棒能摆出形状不同的平行四边形，说法正确； D．用第③组小棒能摆出等腰梯形，说法正确； 故答案为：A 【变式训练】．如图，在梯形中，线段与线段( )互相平行，线段( )和线段互相垂直，量一量，( )°。 【答案】 DC AD 40 【分析】根据梯形的概念可知，有一组对边平行另一组对边不平行，线段AB是梯形的上底，线段DC是梯形的下底，这两条线段互相平行；直角梯形有两个角是直角，线段CD是下底，与腰AD垂直；量角的步骤是：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 【详解】如图，在梯形ABCD中，线段AB与线段DC互相平行，线段AD和线段CD互相垂直，量一量，∠1＝40°。 【变式训练】在方格纸上按要求画图。 三角形      平行四边形      等腰梯形 【答案】见详解 【分析】根据三角形、平行四边形的特点，画出图形即可；根据等腰梯形的含义：两个腰相等的梯形叫等腰梯形，据此画出即可。 【详解】（答案不唯一） 三角形           平行四边形                     等腰梯形 【点睛】掌握三角形、平行四边形和等腰梯形的特点是解题的关键。 考点十二：四边形的分类及关系 【典例精讲】下面表示各图形之间的关系中，正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据各图形的特征，用集合图表示，逐项分析判断，得出结论。 【点睛】A.梯形分为：普通梯形、等腰梯形、直角梯形；等腰梯形和直角梯形是平行关系，而原题中等腰梯形包含直角梯形，所以原题表示错误； B.四边形包括平行四边形和梯形，其中长方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形，所以平行四边形包含长方形，长方形包含正方形；原题表示正确； C.三角形按角分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形；这三种三角形组成所有的三角形，而原题中“三角形”与其它三种三角形是平行关系，原题表示错误； D.三角形按边分为普通三角形、等腰三角形；因为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形包含等边三角形；而原题中等腰三角形和等边三角形是平行关系，原题表示错误。 故答案为：B 【变式训练】只剪一刀，剪出符合要求的两个图形。（画线段表示） 【答案】见解析 【分析】连接平行四边形的一个顶点和它对边上的一点（非顶点），这样就可以把平行四边形分割成一个三角形和一个四边形。 在三角形的两条边上各取一点（非顶点），连接这两个点，就能把三角形分割成一个三角形和一个梯形。 在长方形的一条边上取一点（非顶点），连接这个点与这条边所对的顶点，可将长方形分割成一个梯形和一个三角形。 连接正方形的不相邻的两个顶点，就可以把正方形分割成两个三角形。 【详解】如图所示： 【变式训练】同学们在研究图形之间的关系时，画了下面四幅图，你认为不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形按边分类，等腰三角形是至少有两边相等的三角形，等边三角形是三条边都相等的三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 四边形包括平行四边形、梯形等，平行四边形是两组对边分别平行的四边形，梯形是只有一组对边平行的四边形。 三角形按角分类，可分为锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。 平行四边形是两组对边分别平行的四边形，长方形是四个角都是直角的平行四边形，所以长方形是特殊的平行四边形；正方形是四条边都相等的长方形，所以正方形是特殊的长方形。 【详解】A．等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形是三角形的一部分，该图的包含关系是正确的。 B．四边形包括平行四边形、梯形等，平行四边形和梯形是不同的类型，该图的分类关系是正确的。 C．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，这三种三角形涵盖了所有三角形的类型，该图的分类关系是正确的。 D．正方形是特殊的长方形，应该是正方形包含于长方形，长方形包含于平行四边形，而图中长方形和正方形不是包含关系，这种关系是错误的。 故答案为：D 【变式训练】用下面的图表示各图形之间的关系，不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的分类；四边形的分类进行逐项分析解答。 【详解】A．，三角形包括等腰三角形；等边三角形是特征的等腰三角形，这个关系正确； B．，四边形包括平行四边形和梯形，这个关系正确； C．，三角形分为锐角三角形，直角三角形，和钝角三角形，这个关系正确； D．，长方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形；这个关系不正确。 故答案为：D 【点睛】利用三角形之间的关系，四边形之间的关系进行解答。 综合训练 1．下列图形中一定有平行线的是（    ）。 A．三角形 B．四边形 C．梯形 D．圆形 【答案】C 【分析】根据各图形的特征进行判断。三角形是由三条线段首尾顺次连接所围成的封闭图形；四边形是由四条线段首尾顺次连接所围成的封闭图形；梯形是只有一组对边平行的四边形，圆形是由一条曲线围成的封闭图形。据此选择。 【详解】A．三角形中没有平行线； B．四边形中不一定有平行线； C．梯形中一定有一组平行线。 D．圆形是由一条曲线围成的封闭图形，其边缘为曲线，不存在直线段，更没有平行线。 所以一定有平行线的是梯形。 故答案为：C 2．两根小棒，长度分别为5cm和10cm，再选一根长（    ）cm的小棒就能拼成一个等腰三角形。 A．4 B．5 C．10 D．15 【答案】C 【分析】等腰三角形要求至少两条边长度相等。已知两根小棒长度分别为5cm和10cm，不相等，因此第三根小棒的长度必须等于5cm或10cm，才能满足等腰条件。结合三角形的任意两边之和大于第三边，分情况进行讨论即可解答。 【详解】如果选取小棒的长度是5cm： 5＋5＝10（cm） 此时不能构成三角形，所以不能选5cm的小棒。 如果选取第三边的长度是10cm： 10＋10＞5 能构成等腰三角形。 所以再选一根长10cm的小棒就能拼成一个等腰三角形。 故答案为：C 3．小军将一根长10厘米的铁丝分成三段，再首尾相连组成一个三角形。下面图（    ）的方法一定能围成一个三角形。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，即可判断哪个图能围成三角形，哪些图不能围成三角形。 【详解】A．三角形三边长分别为：2厘米，2厘米，6厘米；2厘米＋2厘米＝4厘米＜6厘米，所以图A的方法不能围成三角形。 B．三角形三边长分别为：2厘米，3厘米，5厘米；2＋3＝5（厘米），所以图B的方法不能围成三角形。 C．三角形三边长分别为：2厘米，4厘米，4厘米；2＋4＝6（厘米），6厘米＞4厘米，所以图C的方法能围成三角形。 D．三角形三边长分别为：2厘米，3厘米，5厘米；2＋3＝5（厘米），所以图D的方法不能围成三角形。 小军将一根长10厘米的铁丝分成三段，再首尾相连组成一个三角形。下面图的方法一定能围成一个三角形。 故答案为：C 4．有7根小棒，长度分别是3cm，3cm，3cm，4cm，4cm，5cm，6cm，用其中的3根做三角形的边，可以搭出（    ）种不同的等腰三角形。（不考虑等边三角形） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意：搭成等腰三角形，特点是有两条边相等，可将3cm，3cm，4cm为一组，3cm，3cm，5cm一组，3cm，3cm，6cm一组，3cm，4cm，4cm一组，4cm，4cm，5cm一组，4cm，4cm，6cm一组，再根据三角形任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边进行选择即可。 【详解】3cm，3cm，4cm，3＋3＝6＞4，可以围成； 3cm，3cm，5cm，3＋3＝6＞5，可以围成； 3cm，3cm，6cm，3＋3＝6，不能围成三角形； 3cm，4cm，4cm，3＋4＝7＞4，可以围成； 4cm，4cm，5cm，4＋4＝8＞5，可以围成； 4cm，4cm，6cm，4＋4＝8＞6，可以围成； 可以搭成5种。 故答案为：C 5．如图，妙想要把一根16cm长的铁丝剪成三段，再首尾相接成一个三角形，她第一剪不能从（    ）处剪开。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此可知，要先把这根铁丝剪成三段，最长的那段应小于这根铁丝长度的一半，即最长的那段小于8cm，最大是7cm。据此解答。 【详解】A．若从①处剪开，一段长3cm，其余两段可以为7cm和6cm，能围成一个三角形； B．若从②处剪开，一段长5cm，其余两段可以为4cm和7cm，能围成一个三角形； C．若从③处剪开，一段长8cm，余下的最长的一段最大是7cm，则不能围成一个三角形； D．若从④处剪开，一段长4cm，其余两段可以为7cm和5cm，能围成一个三角形。 所以，她第一剪不能从③处剪开。 故答案为：C 6．4个小朋友分别给一块地围上篱笆，（    ）种围法更牢固些。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形稳定性是指三角形三边长度一定时，它的形状，大小就不变了，生活中常运用三角形稳定性解决实际问题。而四边形没有稳定性。 【详解】 A．围成四边形，不牢固； B．围成四边形，不牢固； C．围成三角形，牢固； D．围成四边形，不牢固。 故答案为：C 7．四边形的四个顶点用数对表示分别为（1，1），（4，1），（5，3），（2，3），这个四边形是( )。 【答案】平行四边形 【分析】已知四边形的四个顶点用数对表示分别为（1，1），（4，1），（5，3），（2，3），根据数对画出该图形进行判断即可。 【详解】 根据以上分析作图可知，这个四边形的对边平行且相等，所以这个图形是平行四边形。 8．有两条边相等的三角形叫作( )三角形。 【答案】等腰 【分析】根据三角形的分类知识，有两条边相等的三角形具有特定的名称。 【详解】 在三角形中，按照边的关系进行分类，当有两条边长度相等时，这样的三角形被定义为等腰三角形。 答：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。 9．红领巾的形状，按角分类，它属于( )三角形；按边分类，它属于( )三角形。 【答案】 钝角 等腰 【分析】三角形按角可分为锐角三角形（三个角都是锐角），直角三角形（有一个角是直角），钝角三角形（有一个角是钝角）。红领巾的三个角中，有一个角是钝角，另外两个角是锐角，因此按角分类属于钝角三角形。 三角形按边可分为不等边三角形（三条边都不相等），等腰三角形（至少有两条边相等），等边三角形（三条边都相等）。红领巾有两条边长度相等，底边较长，因此按边分类属于等腰三角形。 【详解】由分析可知，红领巾的形状，按角分类，它属于钝角三角形；按边分类，它属于等腰三角形。 10．我国古代劳动人民用风铃来判断风向。一个风铃的上半部分是一个等腰三角形，其中一个底角是40°，它的顶角是( )°。 【答案】100 【分析】等腰三角形的两个底角相等，其中一个底角是40°，则另一个顶角也是40°，根据三角形内角和为180°，用180°－40°－40°可算出项角的度数。 【详解】180°－40°－40° ＝140°－40° ＝100° 所以它的顶角是100°。 11．如图，一块直角三角形纸片像这样剪下一个小直角三角形，根据内角和知识，剩下的这个阴影部分图形的内角和是( )°。 【答案】360 【分析】由题意得，一块直角三角形纸片按图中的方式剪下一个小直角三角形，剩下的图形是一个四边形。四边形可以分成两个三角形，三角形的内角和为180°，直接用180°乘2即可算出阴影部分图形的内角和。 【详解】180°×2＝360° 故剩下的这个阴影部分图形的内角和是360°。 12．用一根36cm长的铁丝恰好折成一个最大的等边三角形铁框，铁框的边长是( )cm，若恰好折成一个腰长是15cm的等腰三角形铁框，铁框底边长是( )cm。 【答案】 12 6 【分析】根据题意，等边三角形三边相等，用铁丝总长除以3可得边长；等腰三角形两腰相等，用总长减去两腰长度即为底边长度。列式计算即可。 【详解】根据分析可知： 36÷3＝12（cm） 36－15×2 ＝36－30 ＝6（cm） 用一根36cm长的铁丝恰好折成一个最大的等边三角形铁框，铁框的边长是12cm，若恰好折成一个腰长是15cm的等腰三角形铁框，铁框底边长是6cm。 13．刘洋手里有6根小棒，长度分别是4厘米、7厘米、9厘米、13厘米、17厘米和21厘米。从中选出3根摆成三角形，可以选哪三根？写出所有满足题意的结果。 【答案】见详解 【分析】三角形任意两边之和大于第三边；从给定的六根小棒中选取三根进行组合，逐一验证这些组合是否满足三角形的三边关系。据此分析解答。 【详解】根据分析可知： 4＋7＞9，所以4厘米、7厘米和9厘米可以摆成三角形； 7＋9＞13，所以7厘米、9厘米和13厘米可以摆成三角形； 7＋13＞17，所以7厘米、13厘米和17厘米可以摆成三角形； 7＋17＞21，所以7厘米、17厘米和21厘米可以摆成三角形； 9＋13＞17，所以9厘米、13厘米和17厘米可以摆成三角形； 9＋13＞21，所以9厘米、13厘米和21厘米可以摆成三角形； 9＋17＞21，所以9厘米、17厘米和21厘米可以摆成三角形； 13＋17＞21，所以13厘米、17厘米和21厘米可以摆成三角形； 答：任选3根小棒可以摆成三角形的有：4厘米、7厘米和9厘米；7厘米、9厘米和13厘米； 7厘米、13厘米和17厘米； 7厘米、17厘米和21厘米； 9厘米、13厘米和17厘米； 9厘米、13厘米和21厘米； 9厘米、17厘米和21厘米； 13厘米、17厘米和21厘米。 14．如果一个等腰三角形的底角是40°，那么它的顶角是多少度？按角分，它是什么三角形？ 【答案】100°；钝角三角形 【分析】根据题意，等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和是180°，用180°减去两个40°就是顶角的度数。有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此解答。 【详解】180°－40°×2 ＝180°－80° ＝100° 100°是钝角。 答：它的顶角是100°，按角分，它是钝角三角形。 15．下图是一个正六边形，淘气把这个六边形分成了4个三角形，通过三角形的内角和是180°，推出了正六边形的每个内角是120°。图中涂色三角形按角分是什么三角形？请用计算的方法说说你判断的理由。 【答案】直角三角形； （180°－120°）÷2 ＝60°÷2 ＝30° 120°－30°＝90° 【分析】因为图形是正六边形，它的每条边的长度相等。所以图中左下角三角形是等腰三角形，故该三角形两个锐角的度数相等。因为正六边形的每个内角是120°，三角形三个内角的和是180°。所以，两个锐角的度数分别是（180°－120°）÷2＝30°。已知正六边形的每个内角都是120°，用120°减去左下角锐角的度数30°求出涂色三角形最下面的角的度数，最后再判断三角形的形状。 【详解】（180°－120°）÷2 ＝60°÷2 ＝30° 120°－30°＝90° 答：涂色三角形按角分是直角三角形；因为涂色三角形中有一个角是90°（直角），所以涂色三角形是直角三角形。 16．手工课上，奇思和妙想分别拿出一样长的彩绳围自己喜欢的图形。妙想能围成她所说的三角形吗？请用计算说明理由。（彩绳刚好用完） 【答案】不能；理由见详解 【分析】用边长×4可以算出彩绳的长度，等腰三角形的腰长相等，两条腰都是8厘米，用彩绳的长度减去两条腰可以算出底的长度。再根据三角形三边关系：两边之和大于第三边判断是否能围成三角形。 【详解】9×4＝36（厘米） 8＋8＝16（厘米） 36－16＝20（厘米） 16厘米＜20厘米 答：妙想不能围成她所说的三角形。 17．如下面这个三角形的两条边相等，∠B＝58°。请你想一想另外两个角分别是多少度，把想法写出来。 【答案】当∠B是底角时，另外两个角分别是58°、64°；当∠B是顶角时，另外两个角分别是61°、61° 【分析】因为等腰三角形的两条边相等，所以这个三角形是等腰三角形；等腰三角形的底角是相等的，且等腰三角形的三个角的和是180°；当∠B是底角时，用三角形的内角和减去2个底角的度数就是顶角的度数；当∠B是顶角时，用三角形的内角和减去顶角的度数就是两个底角的度数和，再除以2，就是底角的度数；据此解答。 【详解】三角形的两条边相等，所以这个三角形是等腰三角形； 当∠B是底角时，顶角是： 当∠B是顶角时，底角是： 答：当∠B是底角时，另外两个角分别是58°、64°；当∠B是顶角时，另外两个角分别是61°、61°。 18．如下图，三角形ABC是等腰三角形，三角形ABD是直角三角形，求∠1的度数。 【答案】10° 【分析】等腰三角形的两个底角相等。三角形的内角和为180°。有一个角是直角的三角形是直角三角形。由题意得，三角形ABC是等腰三角形，∠B＝40°，那么∠C＝∠B＝40°。可以直接用180°减去∠B和∠C的度数算出∠BAC的度数。在直角三角形ABD中，∠BAD＝90°。直接用∠BAC的度数减去∠BAD的度数即可算出∠1的度数。 【详解】180°－40°－40° ＝140°－40° ＝100° ∠1＝100°－90°＝10° 答：∠1的度数是10°。 19．在装修房屋时，黄师傅要制作一个三角形的装饰架。这个三角形装饰架的其中一个内角是40度，另一个内角的度数刚好是它的2倍。这个三角形装饰架的第三个角是多少度？ 【答案】60度 【分析】三角形的内角和为180度。由题意得，三角形装饰架的其中一个内角是40度，另一个内角的度数刚好是它的2倍，可以先用40度乘2算出这个内角的度数。接着再用180度减去已知的两个内角的度数即可算出第三个内角的度数。 【详解】40×2＝80（度） 180－80－40 ＝100－40 ＝60（度） 答：这个三角形装饰架的第三个角是60度。 20．春天到了，我们去放风筝吧。一根铁丝可以围成一个两条边的长分别是1.2分米和2.4分米的等腰三角形的风筝框架。如果用这根铁丝围成一个等边三角形框架，等边三角形的边长是多少厘米？ 【答案】20厘米 【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”来判断等腰三角形的腰长。若腰长为1.2分米，那么两腰长之和为1.2＋1.2＝2.4分米，与第三边长度相等，不满足三边关系，所以这种情况不成立；若腰长为2.4分米，此时2.4＋2.4＝4.8分米，4.8＞1.2，2.4＋1.2＝3.6分米，3.6＞2.4，满足三边关系，所以该等腰三角形的腰长为2.4分米。等腰三角形的周长等于三边长度之和，所以该等腰三角形的周长三条边的长度和；因为这根铁丝的长度不变，所以用它围成等边三角形时，等边三角形的周长也为6分米。由于等边三角形三边相等，所以等边三角形的边长等于周长除以3，最后把分米换算成厘米。 【详解】2.4×2＋1.2 ＝4.8＋1.2 ＝6（分米） 6÷3＝2（分米） 2分米＝20厘米 答：如果用这根铁丝围成一个等边三角形框架，等边三角形的边长是20厘米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $