数学好玩 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）-2025-2026学年北师大版数学四年级下册

数学好玩 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、密铺 1 二、奥运中的数学 2 三、优化 2 考点讲练 3 考点一：图形的密铺 3 考点二：奥运中的数学 5 考点三：沏茶问题 6 考点四：烙饼问题 8 综合训练 10 知识梳理 一、密铺 1.定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺（又称镶嵌）。 2.密铺条件：拼接点处所有图形的内角和为360°（即围绕一点的几个角相加等于360°）。 3.常见能密铺的图形： 三角形：任意三角形（内角和180°，6个三角形可围绕一点拼成360°）； 四边形：任意四边形（内角和360°，4个四边形可围绕一点拼成360°）； 正多边形：正三角形（每个内角60°，6×60°=360°）、正方形（每个内角90°，4×90°=360°）、正六边形（每个内角120°，3×120°=360°）。 4.不能密铺的图形： 正五边形（每个内角108°，3×108°=324°＜360°，4×108°=432°＞360°，无法整除360°）； 圆形（边缘为曲线，拼接时会留空隙）； 不规则图形（内角和或边长不满足密铺条件）。 二、奥运中的数学 1.数据收集与整理： 结合奥运场景（如比赛成绩、奖牌榜、参赛人数等），学习收集、记录数据（如用统计表整理各国奖牌数）。 2.小数运算的应用： 计算比赛成绩：如跳水比赛得分（去掉一个最高分和最低分后求平均分）、跑步比赛时间差（如100米决赛中选手的成绩比较，计算时间差）； 计算奖牌数量：如某国获得金牌a枚、银牌b枚、铜牌c枚，求奖牌总数（a+b+c）或金牌占比（a÷(a+b+c)）。 3.图表分析： 解读条形统计图：根据奥运奖牌条形图，比较不同国家的奖牌数量，分析数据差异； 折线统计图应用：通过选手训练成绩折线图，预测比赛趋势。 三、优化 1.沏茶问题（合理安排时间）： 核心思想：在完成多项任务时，合理安排顺序，让可以同时进行的任务并行，以节省总时间。 步骤：①明确完成任务的所有步骤及各自所需时间；②找出可以同时进行的步骤（不互相干扰）；③计算最短总时间（关键步骤时间+无法并行的步骤时间）。 示例：洗水壶（1分钟）→接水（1分钟）→烧水（8分钟，同时洗茶杯、找茶叶）→沏茶（1分钟），总时间=1+1+8+1=11分钟。 2.烙饼问题（最少时间计算）： 核心思想：每次尽量让锅放满饼，减少空锅时间。 公式：总时间=饼的张数×2÷每次烙的张数×每面所需时间（若结果为小数，向上取整）。 示例：烙3张饼，每次烙2张，每面3分钟。步骤：①烙1正、2正（3分钟）；②烙1反、3正（3分钟）；③烙2反、3反（3分钟），总时间=3×3=9分钟（套用公式：3×2÷2×3=9分钟）。 3.排队问题（最短等待时间）： 核心思想：让用时短的人先完成，减少所有人的总等待时间。 方法：按任务用时从少到多排序，依次完成。 示例：3人排队接水，用时分别为1分钟、2分钟、3分钟，最优顺序为1分钟→2分钟→3分钟，总等待时间=1×2（第二、三人等待第一人）+2×1（第三人等待第二人）=4分钟。 考点讲练 考点一：图形的密铺 【典例精讲】下列图形中，可以密铺的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】一个图形能密铺，需要它的内角和能整除，所以分别分析各个图形即可。 【详解】A．我们可以把平行四边形想象成“斜着的长方形”。 它的角能两两配对，拼在一起时，几个角加起来刚好是一个“周角”（），所以能密铺； B．正五边形每个内角是，不能整除°，不能密铺； C．正八边形的内角和是：，每个内角是：，正八边形的每个内角都是，而不是的整数倍，在每个拼接点处的内角不能保证没有空隙或没有重叠现象，所以用正八边形不能密铺。 故答案为：A 【变式训练】在长方形、三角形、平行四边形、梯形、正五边形中能密铺的有4个。( ) 【答案】√ 【分析】密铺是指图形之间没有空隙也不重叠地铺满平面。一个图形能否单独密铺，取决于其内角和是否能整除360°（即360°除以内角和的结果为整数）。因此，需要熟知长方形、三角形、平行四边形、梯形、正五边形的内角和，并分别计算是否能整除360°。 【详解】长方形的内角和为360°，360°÷ 360°＝1，结果为整数，所以长方形能密铺。 三角形的内角和为180°，360°÷180°＝2，结果为整数，所以三角形能密铺。 平行四边形的内角和为360°，360° ÷ 360°＝1，结果为整数，所以平行四边形能密铺。 梯形的内角和为360°，360° ÷ 360°＝1，结果为整数，所以梯形能密铺。 正五边形的内角和为540°，540° ÷ 360°＝1.5，结果不是整数，所以正五边形不能密铺。 因此，能密铺的图形有长方形、三角形、平行四边形、梯形，共有4个。 故答案为：√ 【变式训练】下面两个图形，一个能密铺，一个不能密铺，说明密铺时在同一个顶点上的几个角的度数和正好是（    ）。 A．180° B．360° C．540° 【答案】B 【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺；观察题图可知第二幅图能密铺，将图二中的同一个顶点上的几个角的度数相加，即可得出这几个角的度数之和；据此解答。 【详解】80°＋90°＋60°＋130° ＝170°＋60°＋130° ＝230°＋130° ＝360° 所以密铺时在同一个顶点上的几个角的度数和正好是360°。 故答案为：B 【变式训练】悦悦家计划重新装修客厅，商家提供了四种地砖。如果悦悦家只选择其中一种地砖铺地，她家有几种选择？请在可以选择的地砖旁边的（    ）里画“√”，不能选择的画“×”。 ( )    ( )    ( )    ( ) 【答案】 √ √ × √ 【分析】密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。判断一种图形能否密铺，关键看围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起是否能组成一个周角360°。 【详解】正方形的四个内角都是直角，直角为90°，4个90°相加为90°×4＝360°，所以正方形可以密铺。正方形地砖可以选择。在旁边的括号里画“√”。 正三角形的每个内角是60°，360°÷60°＝6，即6个正三角形的内角拼在一起能组成360°，可以密铺，在旁边的括号里画“√”。 正五边形的每个内角是108°，360°÷108°＝3……36°，不能整除，这意味着正五边形不能在拼接时彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，所以正五边形地砖不能选择，在旁边的括号里画“×”。 正六边形的每个内角是120°，360°÷120°＝3，3个正六边形的内角拼在一起能组成360°，可以密铺，在旁边的括号里画“√”。 所以，（√）（√）（×）（√） 考点二：奥运中的数学 【典例精讲】某场女足比赛中，中国队与巴西、瑞典、南非分在同一组，中国队首场输给巴西后，次场比赛以2比0战胜南非，最后一场比赛逼平了瑞典。根据规则，胜一场得3分，平一场得1分，输不得分，中国队最后的得分是( )分。 【答案】4 【分析】本题可根据中国队每场比赛的胜负平情况以及对应的得分规则，分别计算每场比赛的得分，再将得分相加，即可得到中国队最后的总得分。 首场比赛：中国队首场输给巴西，根据“输不得分”的规则，这场比赛中国队得0分。 次场比赛：中国队次场比赛以2比0战胜南非，由“胜一场得3分”可知，这场比赛中国队得3分。 最后一场比赛：中国队最后一场比赛逼平了瑞典，依据“平一场得1分”，这场比赛中国队得1分。 将中国队三场比赛的得分相加，可得总得分。 【详解】0＋3＋1 ＝3＋1 ＝4（分） 某场女足比赛中，中国队与巴西、瑞典、南非分在同一组，中国队首场输给巴西后，次场比赛以2比0战胜南非，最后一场比赛逼平了瑞典。根据规则，胜一场得3分，平一场得1分，输不得分，中国队最后的得分是4分。 【变式训练】在2022年冬奥会自由式滑雪女子U型场地技巧项目中，中国前三名选手的成绩如下：谷爱凌获得95.50分，张可欣获得86.50分，李方慧获得84.75分，谷爱凌比张可欣高11.75分。( ) 【答案】× 【分析】用谷爱凌的分数减去张可欣的分数即可。 【详解】95.50－86.50＝9（分） 则谷爱凌比张可欣高9分，原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题主要考查了小数减法的应用，要熟练掌握。 【变式训练】北京2022年冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛在首钢大跳台展开角逐，中国选手谷爱凌以188.25分夺冠，为中国女子雪上项目实现冬奥会金牌“零的突破”。188.25中的“5”在_____位上，表示______个_____。 【答案】 百分 5 0.01 【分析】小数点右边第一位是十分位，计数单位是十分之一，十分位上是几就表示几个0.1，小数点右边第二位是百分位，计数单位是百分之一，百分位上是几就表示几个百分之一。 【详解】188.25中的“5”在百分位上，表示5个0.01。 北京2022年冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛在首钢大跳台展开角逐，中国选手谷爱凌以188.25分夺冠，为中国女子雪上项目实现冬奥会金牌“零的突破”。188.25中的“5”在百分位上，表示5个0.01。 【点睛】此题考查小数的意义和计数单位，要熟练掌握。 【变式训练】在2022年冬奥会单板滑雪男子大跳台项目中，中国选手苏翊鸣最终得分182.50分，俄罗斯奥委会选手蒙斯·勒伊斯书兰最终得分171.75分，加拿大选手马克斯·帕罗特最终得分170.25分，冠军和季军的最终得分相差( )分。 【答案】12.25 【分析】先将这三名选手的得分比较大小，再用最高得分减去最低得分解答。 【详解】182.50＞171.75＞170.25 182.50－170.25＝12.25（分） 则冠军和季军的最终得分相差12.25分。 【点睛】本题考查小数比较大小的方法以及小数减法的计算，关键是找出冠军和季军的得分。 考点三：沏茶问题 【典例精讲】奶奶用高压锅做粥需要10分钟，减压需要3分钟，炒菜需要8分钟，用电磁炉热馒头需要3分钟，奶奶最快( )分钟就可以让家人吃饭。 【答案】13 【分析】高压锅做粥的10分钟加热时间里，可同时用电磁炉热馒头（3分钟）＋炒菜（8分钟），热馒头和炒菜总耗时8分钟，能在煮粥的10分钟内完成；煮粥结束后还需单独算3分钟减压时间。 【详解】煮粥10分钟。同时完成热馒头＋炒菜。 10＋3＝13（分钟） 奶奶最快13分钟就可以让家人吃饭。 【变式训练】园园每晚睡觉前背诵成语需6分，烧开水需10分，用开水热牛奶需3分，喝牛奶需5分，则园园( )的同时可以( )，做完这些事至少需( )分。 【答案】 烧开水 背诵成语 18 【分析】由题意可知：烧开水的同时可以背诵成语，然后用开水热牛奶，最后喝牛奶，所以总时间是烧开水的时间、热牛奶的时间和喝牛奶的时间加起来，据此解答。 【详解】（分） 所以，园园烧开水的同时可以背诵成语，做完这些事至少需要18分。 【变式训练】小军周六早晨起床后要做以下事情：洗漱5分、吃早饭15分、听新闻15分、扫地3分、擦桌子2分。他做完这些事最少要用25分。( ) 【答案】√ 【分析】由题意得，要使做完这些事情所用的总时间最少，小军需要合理安排做这些事情的顺序。小军可以先洗漱，然后在吃早饭的同时听新闻。最后再扫地和擦桌子。据此解答。 【详解】5＋15＋3＋2 ＝20＋3＋2 ＝23＋2 ＝25（分），即小军做完这些事最少要用25分。原题说法正确。 故答案为：√ 【变式训练】周末，妈妈准备做完家务后去超市购物，浇花5分，整理厨房15分，拖地10分，用洗衣机洗衣服25分，晾衣服5分。妈妈8时整开始做家务，最早( )从家里出发。 【答案】8：35 【分析】根据题意，因为15＋10＝25（分钟），妈妈先用洗衣机洗衣服，在洗衣机洗衣服的同时，拖地、整理厨房，然后再浇花、晾衣服；最少用（25＋5＋5）分钟。又已知8时整开始做家务，则用开始整理家务的时刻加上整理家务最少用时，即可求出最早从家里出发的时刻。依此解答。 【详解】由分析可得： 25＋5＋5＝35（分钟） 8：00＋35分钟＝8：35 即周末，妈妈准备做完家务后去超市购物，浇花5分，整理厨房15分，拖地10分，用洗衣机洗衣服25分，晾衣服5分。妈妈8时整开始做家务，最早8：35从家里出发。 考点四：烙饼问题 【典例精讲】李阿姨开了一家手抓饼店，如果她每次只能煎2张饼，两面都要煎，每面煎3分钟，那么她煎5张饼至少需要( )分钟。 【答案】15 【分析】根据烙饼问题公式：总时间＝饼数×2÷每锅的可烙的数量×烙每面的时间，代入数据即可解题。 【详解】根据分析可知： 5×2÷2×3 ＝10÷2×3 ＝5×3 ＝15（分钟） 李阿姨开了一家手抓饼店，如果她每次只能煎2张饼，两面都要煎，每面煎3分钟，那么她煎5张饼至少需要15分钟。 【变式训练】游乐场上有射箭和套圈两个场地，每个场地每次只能一个人玩。射箭、套圈玩一次各需要3分钟，如果2个人两种项目都要玩，最少需要用时( )分；如果3个人两种项目都要玩，最少需要用时( )分。 【答案】 6 9 【分析】2个人：2个人分别玩不同的游戏，然后再交换玩另一个游戏即可，需要（3＋3）分钟。 3个人：要求每个场地每次只能一个人玩，第一次2个人分别玩一种游戏，另外一人等待；第二次换下一人等待，则第一次未等待的人已完成2项游戏；第三次，剩余两人分别玩之前没玩过的游戏，时间最省，需要（3＋3＋3）分钟。 【详解】3＋3＝6（分钟） 3＋3＋3 ＝6＋3 ＝9（分钟） 如果2个人两种项目都要玩，最少需要用时6分；如果3个人两种项目都要玩，最少需要用时9分。 【变式训练】妈妈用空气炸锅烤烧饼，每面需要烤5分钟（两面都要烤），空气炸锅中每次最多可以放2个烧饼，烤熟5个烧饼最少需要( )分钟。 【答案】25 【分析】先烤前2张烧饼，需要（2×5）分钟。剩下的三张烧饼分别为a、b、c；第一次烤a、b的正面；第二次烤a的反面和c的正面；第三次烤b、c的反面。所以烤剩下的三张烧饼需要（3×5）分钟。这样烤5张烧饼至少需要（2×5＋3×5）分钟。据此解答。 【详解】2×5＋3×5 ＝10＋15 ＝25（分钟） 即妈妈用空气炸锅烤烧饼，每面需要烤5分钟（两面都要烤），空气炸锅中每次最多可以放2个烧饼，烤熟5个烧饼最少需要25分钟。 【变式训练】笑笑家的锅一次最多能煎2张饼，每张饼需要煎2面，每一面需要煎2分钟。笑笑想给爷爷、奶奶、爸爸、妈妈和自己各煎一张饼，至少需要煎( )分钟。 【答案】10 【分析】笑笑想给爷爷、奶奶、爸爸、妈妈和自己各煎一张饼，共需5张饼，先煎前2张饼，共需（2×2）分钟，剩下的三张饼分别为a、b、c；前2分钟煎a、b的正面，中间2分钟煎a的反面和c的正面，这样a煎好了，后2分钟煎b、c的反面，2×3＝6（分钟）也就煎好了，最后加一起即可。据此解答。 【详解】2×2＋2×3 ＝4＋6 ＝10（分钟） 笑笑家的锅一次最多能煎2张饼，每张饼需要煎2面，每一面需要煎2分钟。笑笑想给爷爷、奶奶、爸爸、妈妈和自己各煎一张饼，至少需要煎10分钟。 综合训练 1．下面图形中，是密铺的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】密铺的定义是 “用形状、大小完全相同的图形拼接，不留空隙、不重叠地铺成一片”，图形能通过拼接填满平面，内角和为 360°，或边能完全契合。 【详解】第一个图形（波浪形）：边缘为曲线，但四个图形都相同，便能够契合，能密铺。 第二个图形（四边形类）：任意四边形的内角和为 360°，可围绕一点拼接，能密铺。 第三个图形（组合形状）：形状不规则，凹、凸部分无法完全契合，拼接会有空隙，不能密铺。 第四个图形（菱形类）：菱形属于平行四边形，但摆放没有密铺，有重叠。 第五个图形（复合图形）：由六边形和菱形组合而成，图形之间紧密衔接，没有缝隙，是密铺。 ①、②、⑤能密铺，有3个。 故答案为C。 2．田田准备烙3张饼，如果每张饼的正反两面都要烙，且每面都需要3分钟，锅每次最多能同时烙2张饼。那么田田烙完这3张饼至少要（    ）分钟。 A．9 B．10 C．11 D．8 【答案】A 【分析】由题意得，要使烙饼的时间最少，那么每一次烙饼时锅里面都必须有2张饼。 田田烙3张饼时， 第一次：烙第1张饼的正面和第2张饼的正面，用时3分钟。 第二次：烙第1张饼的反面和第3张饼的正面，用时3分钟。 第三次：烙第2张饼的反面和第3张饼的反面，用时3分钟。 综上所述，一共需要3个3分钟。 【详解】根据分析： 3×3＝9（分钟） 即田田烙完这3张饼至少要9分钟。 故答案为：A 3．淘气准备下厨为妈妈做一条红烧鱼，杀鱼、洗鱼5分钟，烧鱼10分钟，淘米2分钟，电饭煲煮米饭16分钟。妈妈至少（    ）分钟能吃上红烧鱼和米饭。 A．16 B．17 C．18 D．23 【答案】C 【分析】要使需要的时间最短，应先淘米，然后用电饭煲煮米饭，在完成煮米饭这项任务的同时，可完成杀鱼、洗鱼和烧鱼这三项任务，一共需要（2＋16）分钟。 【详解】2＋16＝18（分钟） 则妈妈至少18分钟能吃上红烧鱼和米饭。 故答案为：C 4．妈妈感冒了，笑笑准备为妈妈冲感冒颗粒。找感冒药1分钟，烧水4分钟，倒水冲药1分钟，洗杯子2分钟，她至少需要（    ）分钟完成。 A．8 B．6 C．7 D．5 【答案】D 【分析】笑笑烧水的同时可以找感冒药和洗杯子，所以只需要计算出烧水和倒水冲药一共的时间，即是她至少需要的时间。据此解答。 【详解】笑笑冲感冒颗粒的流程和时间如下： 烧水4分钟（找感冒药1分钟，洗杯子2分钟）→倒水冲药1分钟 4＋1＝5（分钟） 所以，她至少需要5分钟完成。 故答案为：D 5．下列图形中，不能密铺的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平面镶嵌（密铺）问题，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在－起恰好组成一个周角（360°）。分别求出各图形的内角和，如果多边的内角和能除360°（或能被360°整除），这个图形就能密铺，否则，不能密铺。 【详解】A．三角形内角和是180°，可以密铺。 B．五边形内角和是：（5－2）×180°＝3×180°＝540°，五边形不可以密铺。 C．梯形的内角和是360°，可以密铺。 D．长方形的内角和是360°，可以密铺。 故答案为：B 6．淘淘一家周末经常安排家庭活动，上周星期六，淘淘7：20起床，做完下列事情后和爸爸妈妈去科技馆：洗漱6分，整理房间10分，用电饭锅煮粥20分，吃早饭10分。他们最早可以出发去科技馆的时间是（    ）。 A．7：40 B．7：46 C．7：50 D．8：06 【答案】C 【分析】要求出最早可以出发的时间，就要求出干完这些事情用的最短时间，最后加上起床的时间即可。他可以先用电饭锅煮粥，煮粥的同时去整理房间，整理房间后洗漱，洗漱完后再吃早饭。据此计算即可。 【详解】20＋10＝30（分钟） 7时20分＋30分＝7时50分 他们最早可以出发去科技馆的时间是7：50。 故答案为：C 7．2千克60克＝( )千克    3元6角＝( )元 9.2米＝( )米( )分米    1元5角7分＝( )元＝( )分。 【答案】 2.06 3.6 9 2 1.57 157 【分析】根据1千克＝1000克，1元＝10角，1角＝10分，1米＝10分米；进行单位换算即可。据此解答。 【详解】60克＝0.06千克，2千克60克＝（2.06）千克； 6角＝0.6元， 3元6角＝（3.6）元； 0.2米＝2分米，9.2米＝（9）米（2）分米； 5角＝0.5元，7分＝0.07元， 1元5角7分＝（1.57）元， 1元＝100分，5角＝50分，1元5角7分＝（1.57）元＝（157）分。 8．下面哪些是密铺？画“√”。 （    ）        （    ）     （    ）      （    ）      （    ）     （    ） 从上面可以看出：相同的（    ）、（    ）、（    ）和（    ）能密铺，密铺拼接处的角的度数和是（    ）°，（    ）和（    ）不能密铺。 【答案】（√）（√）（    ）（√）（√）（    ）； 平行四边形；梯形；正六边形；三角形；360；正五边形；圆 【分析】密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。判断图形能否密铺，关键看拼接处几个角的度数和是否为360°。 【详解】平行四边形：内角和为360°，每个内角可通过拼接使和为360°，能密铺。   梯形：内角和为360°，同样可通过拼接满足密铺条件，能密铺。   正五边形：每个内角约108°，，，无法拼成360°，不能密铺。   正六边形：每个内角为120°，3个120°相加为360°（），能密铺。    三角形：内角和180°，6个三角形的6个内角可拼成360°，能密铺。    圆：边缘是曲线，拼接时会有空隙，不能密铺。     答：根据密铺的定义和上述分析，①、②、④、⑤能密铺。 从上面可以看出：相同的平行四边形、梯形、正六边形和三角形能密铺，密铺拼接处的角的度数和是360°，正五边形和圆不能密铺。 9．有一种益智小游戏，玩一局需要6分，可以单人玩，也可以双人玩。小宇和爸爸、妈妈一起玩，每人玩两局，至少需要( )分。 【答案】18 【分析】每人玩两局，可以单独玩，可以双人玩，当单独玩的时候，局数是：局，当双人玩的时候局数是：局，局数在到局之间， 要时间最少，则玩局，需要时间是：分。 【详解】单独玩，每人玩两局，一共玩（局） 双人玩，每人两局：小宇与爸爸、小宇与妈妈、爸爸与妈妈，一共是3局。 一局需要6分钟，需要最少时间，用最少局数乘每局时间，即（分）。 有一种益智小游戏，玩一局需要6分，可以单人玩，也可以双人玩。小宇和爸爸、妈妈一起玩，每人玩两局，至少需要18分。 10．2024年巴黎奥运会男子10米气步枪决赛中，第二阶段第六组射击后，A选手的总积分是231.1环，B选手的总积分是230.5环。两人最后一组两枪的射击环数如下表所示。 A选手 10.5环 10.6环 B选手 10.3环 10.6环 第六组射击后，A选手比B选手领先( )环；最后一组射击后，A选手比B选手领先( )环。 【答案】 0.6 0.8 【分析】根据题意，用第六组射击后A选手的总积分减去B选手的总积分，即可求出A选手比B选手领先多少环； 最后一组射击后，用第六组射击后的总积分加上最后一组两枪的射击环数，分别求出A、B两位选手的总积分，再将两人积分相减，求出最后一组射击后A选手比B选手领先多少环，据此解答。 【详解】①（环） ②A选手的总积分：（环） B选手的总积分：（环） （环） 因此，第六组射击后，A选手比B选手领先0.6环；最后一组射击后，A选手比B选手领先0.8环。 11．妙想今天的实践作业是“煎鸡蛋”，一口平底锅每次最多能煎2个鸡蛋，两面都要煎，每煎一面需要2分钟，煎5个鸡蛋最少需要( )分钟。 【答案】10 【分析】煎5个鸡蛋：先同时煎两个，正反面共需2×2＝4分钟；再煎后三个，先煎第一个与第二的正面需2分钟，然后煎第一个的反面与第三个的正面需要2分钟，最后煎第二个的反面与第三个的反面需2分钟，煎完3个共需3×2＝6分钟，5个共需4＋6＝10分钟。 【详解】2×2＝4（分钟） 3×2＝6（分钟） 4＋6＝10（分钟） 妙想今天的实践作业是“煎鸡蛋”，一口平底锅每次最多能煎2个鸡蛋，两面都要煎，每煎一面需要2分钟，煎5个鸡蛋最少需要10分钟。 12．一只平底锅一次只能煎2条小鱼，用它煎1条小鱼需要4分钟（正反面各2分钟），煎5条这样的小鱼至少需要__________分钟。 【答案】 10 【分析】先煎2条鱼，正方面都煎需4分钟。剩下的三条鱼分别为a、b、c；第一次煎a、b的正面；第二次煎a的反面和c的正面；第三次煎b、c的反面。所以煎剩下的三条鱼需要2×3＝6分钟。这样煎5条小黄鱼至少需要4＋6＝15分钟。 【详解】4＋2×3 ＝4＋6 ＝10（分钟） 一只平底锅一次只能煎2条小鱼，用它煎1条小鱼需要4分钟（正反面各2分钟），煎5条这样的小鱼至少需要10分钟。 13．小梅每天早上起床后要做下面几件事，小梅怎样做才能最节省时间？最少需要多少时间？ 起床穿衣 3分钟 整理被褥 2分钟 刷牙 2分钟 洗脸 1分钟 热牛奶 6分钟 吃早餐 6分钟 【答案】见详解 【分析】根据题意，小梅先起床穿衣，需要3分钟，再热牛奶需要6分钟，同时可以整理被褥、刷牙、洗脸，可以节约2＋2＋1＝5分钟；再吃早餐需要6分钟。 【详解】3＋6＋6＝15（分钟） 答：小梅先起床穿衣，需要3分钟，再热牛奶需要6分钟，同时可以整理被褥、刷牙、洗脸，可以节约2＋2＋1＝5分钟；再吃早餐需要6分钟。一共需要15分钟。 【点睛】此类问题的关键是奔着既节约时间又不使每道程序相互矛盾即可。 14．观察如图的密铺图形，它们是由哪些图形密铺形成的？在每幅图中描出一个基本图形。 【答案】见详解 【分析】图1是由梯形密铺形成的，描出一个梯形即可； 图2是由三角形密铺形成的，描出一个三角形即可； 图3是由三角形和六边形密铺形成的，描出一个三角形即可； 图4是由正方形和平行四边形密铺形成的，描出一个正方形即可； 图5是由正方形和梯形密铺形成的，描出一个正方形即可； 图6是由正方形、六边形密铺形成的，描出一个正方形即可； 【详解】图1是由梯形密铺形成的； 图2是由三角形密铺形成的； 图3是由三角形和六边形密铺形成的； 图4是由正方形和平行四边形密铺形成的； 图5是由正方形和梯形密铺形成的； 图6是由正方形、六边形密铺形成的。 【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），关键是明确各种平面图形的特征。 15．妈妈烙饼：要烙熟一个饼的两面各需五分钟，一口锅一次只能放两个饼。爸爸、妈妈、小红每人要吃一个饼，那么怎样才能使全家人尽快吃上饼呢？小红说：“烙一个饼要10分钟，烙3个要30分钟”。爸爸说：“先烙两个，再烙一个，这样烙3个饼需要20分钟”。妈妈说：“我烙三个饼只要15分钟”。小红想了一会，开心的对妈妈说：“还是妈妈最棒”。你们说说妈妈能在15分钟内烙熟三个饼吗？妈妈又是怎样烙饼的？ 【答案】可以；第1次先把2张饼同时下锅，5分钟时，将其中一张盛上来，另外一张翻面，同时，再放第三张饼； 第二次，第一次放的那张饼可以出锅了，最后放的那张饼翻面，同时将盛起来的饼翻面放下去； 第三次，就全部可以出锅了。 【分析】为了便于说明问题把三张饼分别编号为1、2、3号，可以采用交替烙的办法，先放1、2号，5分钟后把其中的一个取出，比如把2号取出，再把3号放入，1号烙反面；5分钟后，1号熟了取出，再把2号放入，3号烙反面；再过5分钟，2、3都熟了；这样一共用了5×3＝15分钟。据此即可得解。 【详解】3张可以这样烙： 第1次先把2张饼同时下锅，5分钟时，将其中一张盛上来，另外一张翻面，同时，再放第三张饼； 第二次，第一次放的那张饼可以出锅了，最后放的那张饼翻面，同时将盛起来的饼翻面放下去； 第三次，就全部可以出锅了；用了5×3＝15（分）。 按照上述烙法，妈妈可以在15分钟内烙熟3张饼。 【点睛】本题需要采用交替烙的办法，这样使锅里始终没有空位，能比先烙2个后烙一个要节省时间。 16．学校组织348个同学去春游，准备租48座和36座的汽车，在不允许有空位的情况下，应当怎样租车？请你用列表的方法设计一种租车方案。 租48座的汽车数（辆） 租36座的汽车数（辆） 一共可坐的人数（人） 【答案】见详解 【分析】根据学过的尝试与猜测，一共是348人，租车有48座和36座，首先我们先租7辆48座的车1辆36座的车，7×48＋3×36＝372座位，比348人座位多了，不合理； 租6辆48座车和2辆36座的车，即6×48＋2×36＝360座位，还是比348人座位多了，不合理； 租5辆48座的车和3辆36座位的车，即5×48＋3×36＝348座位，正好和348人相符，合理； 租4辆48座位的车和5辆36座位的车，即4×48＋4×36＝336座位，比348人少，不合理； 只有5辆48座位车和3辆36座位的车最合理，即可解答。 【详解】 租48座的汽车数（辆） 租36座的汽车数（辆） 一共可坐的人数（人） 7 1 372 6 2 360 5 3 348 4 4 336 答：租5辆48座的车和3辆36座的车最合理。 【点睛】本题主要考查尝试与猜测，根据可乘人数来调整不同车的数量，直至可乘人数与现有人数相等即可。 17．国庆节那天，爸爸的同事来到小明家，爸爸让小明给客人烧水泡茶。小明开始做事：接水1分钟，洗茶杯2分钟，沏茶1分钟，取茶叶1分钟，烧开水6分钟。小明最少要用几分钟才能让客人都喝上茶？ 【答案】8分钟 【分析】要使需要的时间最短，应先接水，然后烧开水，在完成烧开水这项任务的同时，可完成洗茶杯和取茶叶这两项任务，最后沏茶。则一共需要1＋6＋1分钟。 【详解】1＋6＋1＝8（分钟） 答：小明最少要用8分钟才能让客人都喝上茶。 【点睛】本题考查优化问题，要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序，注意同时进行的两项任务应互不干扰。 18．在2004年雅典奥运会女子三米板跳水比赛中，郭晶晶以领先第二名帕卡琳娜37.38分的优势进入到最后一跳，吴敏霞则落后帕卡琳娜1.32分，排名第三．下面是以上三名运动员最后一跳的得分： 郭晶晶：65.25分　 帕卡琳娜：80.10分   吴敏霞：82.80分 (1)最后一跳前，吴敏霞落后郭晶晶多少分？ (2)谁是冠军，谁是亚军，谁是季军？ 【答案】(1)答：最后一跳前，吴敏霞落后郭晶晶38.7分． (2)答：郭晶晶是冠军，吴敏霞是亚军，帕卡琳娜是季军？ 【详解】略 19．复印5张文字资料，正、反面都要复印．如果一次最多复印两张，那么你认为最少要复印多少次？ 【答案】5次 【分析】设共有A，B，C，D，E，5张资料，正反面分别用1和2表示；每次印2张的一面，逐步进行求解． 【详解】解：设共有A，B，C，D，E，5张资料，正反面分别用1和2表示． 第一次 A1和B1， 第二次 A2和C1， 第三次 B2和C2， 第四次 D1和E1， 第五次 D2和E2， 一共需要印5次． 20．小华一家在16分钟内要做好3张饼，然后去赶火车，可是要烙熟一张饼的两面各要5分钟，一口锅一次只能烙2张，烙熟3张饼要20分钟，这可急坏了小华一家人。你有什么好办法呢？ 【答案】见详解 【详解】答：三张饼分别用序号1、2、3表示： 第一次：1正，2正，需5分钟。 第二次：1反，3正，需5分钟。 第三次：2反，3反，需5分钟。 共需要5×3＝15（分钟） 即可在16分钟内烙完3张饼。 【点睛】要想时间最短，尽量使每次都有2张饼在烙，由此进行合理安排即可解决问题。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学好玩 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、密铺 1 二、奥运中的数学 2 三、优化 2 考点讲练 3 考点一：图形的密铺 3 考点二：奥运中的数学 3 考点三：沏茶问题 4 考点四：烙饼问题 4 综合训练 4 知识梳理 一、密铺 1.定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺（又称镶嵌）。 2.密铺条件：拼接点处所有图形的内角和为360°（即围绕一点的几个角相加等于360°）。 3.常见能密铺的图形： 三角形：任意三角形（内角和180°，6个三角形可围绕一点拼成360°）； 四边形：任意四边形（内角和360°，4个四边形可围绕一点拼成360°）； 正多边形：正三角形（每个内角60°，6×60°=360°）、正方形（每个内角90°，4×90°=360°）、正六边形（每个内角120°，3×120°=360°）。 4.不能密铺的图形： 正五边形（每个内角108°，3×108°=324°＜360°，4×108°=432°＞360°，无法整除360°）； 圆形（边缘为曲线，拼接时会留空隙）； 不规则图形（内角和或边长不满足密铺条件）。 二、奥运中的数学 1.数据收集与整理： 结合奥运场景（如比赛成绩、奖牌榜、参赛人数等），学习收集、记录数据（如用统计表整理各国奖牌数）。 2.小数运算的应用： 计算比赛成绩：如跳水比赛得分（去掉一个最高分和最低分后求平均分）、跑步比赛时间差（如100米决赛中选手的成绩比较，计算时间差）； 计算奖牌数量：如某国获得金牌a枚、银牌b枚、铜牌c枚，求奖牌总数（a+b+c）或金牌占比（a÷(a+b+c)）。 3.图表分析： 解读条形统计图：根据奥运奖牌条形图，比较不同国家的奖牌数量，分析数据差异； 折线统计图应用：通过选手训练成绩折线图，预测比赛趋势。 三、优化 1.沏茶问题（合理安排时间）： 核心思想：在完成多项任务时，合理安排顺序，让可以同时进行的任务并行，以节省总时间。 步骤：①明确完成任务的所有步骤及各自所需时间；②找出可以同时进行的步骤（不互相干扰）；③计算最短总时间（关键步骤时间+无法并行的步骤时间）。 示例：洗水壶（1分钟）→接水（1分钟）→烧水（8分钟，同时洗茶杯、找茶叶）→沏茶（1分钟），总时间=1+1+8+1=11分钟。 2.烙饼问题（最少时间计算）： 核心思想：每次尽量让锅放满饼，减少空锅时间。 公式：总时间=饼的张数×2÷每次烙的张数×每面所需时间（若结果为小数，向上取整）。 示例：烙3张饼，每次烙2张，每面3分钟。步骤：①烙1正、2正（3分钟）；②烙1反、3正（3分钟）；③烙2反、3反（3分钟），总时间=3×3=9分钟（套用公式：3×2÷2×3=9分钟）。 3.排队问题（最短等待时间）： 核心思想：让用时短的人先完成，减少所有人的总等待时间。 方法：按任务用时从少到多排序，依次完成。 示例：3人排队接水，用时分别为1分钟、2分钟、3分钟，最优顺序为1分钟→2分钟→3分钟，总等待时间=1×2（第二、三人等待第一人）+2×1（第三人等待第二人）=4分钟。 考点讲练 考点一：图形的密铺 【典例精讲】下列图形中，可以密铺的是（    ）。 A． B． C． 【变式训练】在长方形、三角形、平行四边形、梯形、正五边形中能密铺的有4个。( ) 【变式训练】下面两个图形，一个能密铺，一个不能密铺，说明密铺时在同一个顶点上的几个角的度数和正好是（    ）。 A．180° B．360° C．540° 【变式训练】悦悦家计划重新装修客厅，商家提供了四种地砖。如果悦悦家只选择其中一种地砖铺地，她家有几种选择？请在可以选择的地砖旁边的（    ）里画“√”，不能选择的画“×”。 ( )    ( )    ( )    ( ) 考点二：奥运中的数学 【典例精讲】某场女足比赛中，中国队与巴西、瑞典、南非分在同一组，中国队首场输给巴西后，次场比赛以2比0战胜南非，最后一场比赛逼平了瑞典。根据规则，胜一场得3分，平一场得1分，输不得分，中国队最后的得分是( )分。 【变式训练】在2022年冬奥会自由式滑雪女子U型场地技巧项目中，中国前三名选手的成绩如下：谷爱凌获得95.50分，张可欣获得86.50分，李方慧获得84.75分，谷爱凌比张可欣高11.75分。( ) 【变式训练】北京2022年冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛在首钢大跳台展开角逐，中国选手谷爱凌以188.25分夺冠，为中国女子雪上项目实现冬奥会金牌“零的突破”。188.25中的“5”在_____位上，表示______个_____。 【变式训练】在2022年冬奥会单板滑雪男子大跳台项目中，中国选手苏翊鸣最终得分182.50分，俄罗斯奥委会选手蒙斯·勒伊斯书兰最终得分171.75分，加拿大选手马克斯·帕罗特最终得分170.25分，冠军和季军的最终得分相差( )分。 考点三：沏茶问题 【典例精讲】奶奶用高压锅做粥需要10分钟，减压需要3分钟，炒菜需要8分钟，用电磁炉热馒头需要3分钟，奶奶最快( )分钟就可以让家人吃饭。 【变式训练】园园每晚睡觉前背诵成语需6分，烧开水需10分，用开水热牛奶需3分，喝牛奶需5分，则园园( )的同时可以( )，做完这些事至少需( )分。 【变式训练】小军周六早晨起床后要做以下事情：洗漱5分、吃早饭15分、听新闻15分、扫地3分、擦桌子2分。他做完这些事最少要用25分。( ) 【变式训练】周末，妈妈准备做完家务后去超市购物，浇花5分，整理厨房15分，拖地10分，用洗衣机洗衣服25分，晾衣服5分。妈妈8时整开始做家务，最早( )从家里出发。 考点四：烙饼问题 【典例精讲】李阿姨开了一家手抓饼店，如果她每次只能煎2张饼，两面都要煎，每面煎3分钟，那么她煎5张饼至少需要( )分钟。 【变式训练】游乐场上有射箭和套圈两个场地，每个场地每次只能一个人玩。射箭、套圈玩一次各需要3分钟，如果2个人两种项目都要玩，最少需要用时( )分；如果3个人两种项目都要玩，最少需要用时( )分。 【变式训练】妈妈用空气炸锅烤烧饼，每面需要烤5分钟（两面都要烤），空气炸锅中每次最多可以放2个烧饼，烤熟5个烧饼最少需要( )分钟。 【变式训练】笑笑家的锅一次最多能煎2张饼，每张饼需要煎2面，每一面需要煎2分钟。笑笑想给爷爷、奶奶、爸爸、妈妈和自己各煎一张饼，至少需要煎( )分钟。 综合训练 1．下面图形中，是密铺的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．田田准备烙3张饼，如果每张饼的正反两面都要烙，且每面都需要3分钟，锅每次最多能同时烙2张饼。那么田田烙完这3张饼至少要（    ）分钟。 A．9 B．10 C．11 D．8 3．淘气准备下厨为妈妈做一条红烧鱼，杀鱼、洗鱼5分钟，烧鱼10分钟，淘米2分钟，电饭煲煮米饭16分钟。妈妈至少（    ）分钟能吃上红烧鱼和米饭。 A．16 B．17 C．18 D．23 4．妈妈感冒了，笑笑准备为妈妈冲感冒颗粒。找感冒药1分钟，烧水4分钟，倒水冲药1分钟，洗杯子2分钟，她至少需要（    ）分钟完成。 A．8 B．6 C．7 D．5 5．下列图形中，不能密铺的是（    ）。 A． B． C． D． 6．淘淘一家周末经常安排家庭活动，上周星期六，淘淘7：20起床，做完下列事情后和爸爸妈妈去科技馆：洗漱6分，整理房间10分，用电饭锅煮粥20分，吃早饭10分。他们最早可以出发去科技馆的时间是（    ）。 A．7：40 B．7：46 C．7：50 D．8：06 7．2千克60克＝( )千克    3元6角＝( )元 9.2米＝( )米( )分米    1元5角7分＝( )元＝( )分。 8．下面哪些是密铺？画“√”。 （    ）        （    ）     （    ）      （    ）      （    ）     （    ） 从上面可以看出：相同的（    ）、（    ）、（    ）和（    ）能密铺，密铺拼接处的角的度数和是（    ）°，（    ）和（    ）不能密铺。 9．有一种益智小游戏，玩一局需要6分，可以单人玩，也可以双人玩。小宇和爸爸、妈妈一起玩，每人玩两局，至少需要( )分。 10．2024年巴黎奥运会男子10米气步枪决赛中，第二阶段第六组射击后，A选手的总积分是231.1环，B选手的总积分是230.5环。两人最后一组两枪的射击环数如下表所示。 A选手 10.5环 10.6环 B选手 10.3环 10.6环 第六组射击后，A选手比B选手领先( )环；最后一组射击后，A选手比B选手领先( )环。 11．妙想今天的实践作业是“煎鸡蛋”，一口平底锅每次最多能煎2个鸡蛋，两面都要煎，每煎一面需要2分钟，煎5个鸡蛋最少需要( )分钟。 12．一只平底锅一次只能煎2条小鱼，用它煎1条小鱼需要4分钟（正反面各2分钟），煎5条这样的小鱼至少需要__________分钟。 13．小梅每天早上起床后要做下面几件事，小梅怎样做才能最节省时间？最少需要多少时间？ 起床穿衣 3分钟 整理被褥 2分钟 刷牙 2分钟 洗脸 1分钟 热牛奶 6分钟 吃早餐 6分钟 14．观察如图的密铺图形，它们是由哪些图形密铺形成的？在每幅图中描出一个基本图形。 15．妈妈烙饼：要烙熟一个饼的两面各需五分钟，一口锅一次只能放两个饼。爸爸、妈妈、小红每人要吃一个饼，那么怎样才能使全家人尽快吃上饼呢？小红说：“烙一个饼要10分钟，烙3个要30分钟”。爸爸说：“先烙两个，再烙一个，这样烙3个饼需要20分钟”。妈妈说：“我烙三个饼只要15分钟”。小红想了一会，开心的对妈妈说：“还是妈妈最棒”。你们说说妈妈能在15分钟内烙熟三个饼吗？妈妈又是怎样烙饼的？ 16．学校组织348个同学去春游，准备租48座和36座的汽车，在不允许有空位的情况下，应当怎样租车？请你用列表的方法设计一种租车方案。 租48座的汽车数（辆） 租36座的汽车数（辆） 一共可坐的人数（人） 17．国庆节那天，爸爸的同事来到小明家，爸爸让小明给客人烧水泡茶。小明开始做事：接水1分钟，洗茶杯2分钟，沏茶1分钟，取茶叶1分钟，烧开水6分钟。小明最少要用几分钟才能让客人都喝上茶？ 18．在2004年雅典奥运会女子三米板跳水比赛中，郭晶晶以领先第二名帕卡琳娜37.38分的优势进入到最后一跳，吴敏霞则落后帕卡琳娜1.32分，排名第三．下面是以上三名运动员最后一跳的得分： 郭晶晶：65.25分　 帕卡琳娜：80.10分   吴敏霞：82.80分 (1)最后一跳前，吴敏霞落后郭晶晶多少分？ (2)谁是冠军，谁是亚军，谁是季军？ 19．复印5张文字资料，正、反面都要复印．如果一次最多复印两张，那么你认为最少要复印多少次？ 20．小华一家在16分钟内要做好3张饼，然后去赶火车，可是要烙熟一张饼的两面各要5分钟，一口锅一次只能烙2张，烙熟3张饼要20分钟，这可急坏了小华一家人。你有什么好办法呢？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $