第二单元 长方体（一） 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）-2025-2026学年北师大版数学五年级下册

第二单元 长方体（一） 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、长方体和正方体的认识 1 二、长方体和正方体的棱长总和 1 三、长方体和正方体的表面积 2 四、常用的长度单位和面积单位及进率 2 考点讲练 3 考点一：长方体和正方体的认识及特征 3 考点二：长方体和正方体有关棱长的应用 4 考点三：长方体和正方体的展开图 6 考点四：长方体表面积的计算 8 考点五：长方体表面积的应用 10 考点六：正方体表面积的计算 13 考点七：正方体表面积的应用 16 考点八：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 18 考点九：表面涂色的正方体 21 考点十：组合体的表面积（长方体、正方体） 23 综合训练 25 知识梳理 一、长方体和正方体的认识 1.长方体的特征 面：有6个面，一般情况下6个面都是长方形（特殊情况有2个相对的面是正方形）。相对的面完全相同，即面积相等。 棱：有12条棱，相对的棱长度相等。可分为3组，每组4条棱长度相等，分别是长、宽、高。 顶点：有8个顶点。 2.正方体的特征 面：有6个面，6个面都是完全相同的正方形。 棱：有12条棱，12条棱的长度都相等。 顶点：有8个顶点。 3.长方体和正方体的关系：正方体是长、宽、高都相等的特殊长方体。 二、长方体和正方体的棱长总和 1.长方体的棱长总和 公式：长方体棱长总和 = 4×(长 + 宽 + 高)，用字母表示为 ( L = 4(a + b + h) )（其中( a )表示长，( b )表示宽，( h )表示高）。 示例：一个长方体的长为5cm，宽为4cm，高为3cm，其棱长总和为 ( 4×(5 + 4 + 3) = 4×12 = 48 )cm。 2.正方体的棱长总和 公式：正方体棱长总和 = 12×棱长，用字母表示为 ( L = 12a )（其中( a )表示棱长）。 示例：一个正方体的棱长为6dm，其棱长总和为 ( 12×6 = 72 )dm。 三、长方体和正方体的表面积 1.表面积的定义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2.长方体的表面积 公式：长方体表面积 = 2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)，用字母表示为 ( S = 2(ab + ah + bh) )。 推导过程：长方体有6个面，其中上面和下面的面积都是长×宽，前面和后面的面积都是长×高，左面和右面的面积都是宽×高，所以表面积为这6个面的面积之和，即( 2ab + 2ah + 2bh = 2(ab + ah + bh) )。 示例：一个长方体长5m，宽3m，高2m，表面积为 ( 2×(5×3 + 5×2 + 3×2) = 2×(15 + 10 + 6) = 2×31 = 62 )m²。 3.正方体的表面积 公式：正方体表面积 = 6×棱长×棱长，用字母表示为 ( S = 6a² )。 推导过程：正方体6个面完全相同，每个面的面积都是棱长×棱长，所以表面积为6个面的面积之和，即( 6×a×a = 6a² )。 示例：一个正方体棱长为4cm，表面积为 ( 6×4×4 = 6×16 = 96 )cm²。 4.特殊情况的表面积计算：在实际生活中，有些物体并不是完整的长方体或正方体，如无盖的鱼缸、抽屉等，计算表面积时需要根据实际情况少算一个面的面积。例如，一个无盖的长方体鱼缸，长8dm，宽5dm，高6dm，其表面积为 ( 8×5 + 2×(8×6 + 5×6) = 40 + 2×(48 + 30) = 40 + 2×78 = 40 + 156 = 196 )dm²。 四、常用的长度单位和面积单位及进率 1.长度单位：常用的长度单位有毫米（mm）、厘米（cm）、分米（dm）、米（m）、千米（km）。 进率：1千米 = 1000米，1米 = 10分米，1分米 = 10厘米，1厘米 = 10毫米。 2.面积单位：常用的面积单位有平方毫米（mm²）、平方厘米（cm²）、平方分米（dm²）、平方米（m²）、平方千米（km²）。 进率：1平方千米 = 1000000平方米，1平方米 = 100平方分米，1平方分米 = 100平方厘米，1平方厘米 = 100平方毫米。 注意：在计算长方体和正方体的棱长总和时使用长度单位，计算表面积时使用面积单位，要注意单位的统一和换算。 考点讲练 考点一：长方体和正方体的认识及特征 【典例精讲】正方体可以看成是长、宽、高都相等的特殊的长方体。( ) 【答案】√ 【分析】由6个长方形（也可能两个相对的面是正方形）所围成的立体图形叫做长方体。 由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫立方体，是特殊的长方体。 【详解】正方体可以看成是长、宽、高都相等的特殊的长方体。 原题说法正确。 故答案为：√ 【变式训练】一个家电的形状近似长方体，其长是60cm，宽50cm，高180cm，它最有可能是（    ）。 A．电脑 B．电视机 C．洗衣机 D．电冰箱 【答案】D 【分析】1厘米大概相当于一个成年人的指甲盖的宽度，1分米大概相当于1张身份证的长度，1米大概相当于1块地板砖的长度，1米＝100厘米，根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位。 【详解】一个家电的形状近似长方体，其长是60cm，宽50cm，高180cm，它最有可能是电冰箱。 故答案为：D 【变式训练】如图所示的正方体，每个面上均有一个互不相同的自然数，且每两个相对面上的数字之和相等，若看不见的面上的数都是质数，则这三个质数的和是( )。 【答案】20 【分析】设17对面的数为a，12对面的数为b，8对面的数为c，a、b、c均为质数（除2均为奇数），根据“奇数＋偶数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数”，即17＋a，12＋b，8＋c均为奇数，由此即可分析。 【详解】设17对面的数为a，12对面的数为b，8对面的数为c。 17＋a，12＋b，8＋c是奇数，即a为偶数，b、c为奇数，由于质数中只有2为偶数，所以a＝2，17＋a＝17＋2＝19，由此可得12＋b＝8＋c＝19， 所以：b＝19－12＝7，c＝19－8＝11，则这三个质数的和是：2＋7＋11＝20； 综上可得：这三个质数的和是20。 【点睛】根据“奇数＋偶数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数”并且质数除了2均为奇数即可分析。 【变式训练】下图是一个( )体，棱长是( )dm，每个面都是边长为( )dm的正方形，搭建它一共需要( )dm的小棒。 【答案】 正方 4 4 48 【分析】用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正方体，正方体是特殊的长方体， 正方体有8个顶点；正方体有6个面，每个面都为正方形且边长相等；正方体有12条棱，每条棱长度相等；棱长之和等于一条棱长的长度乘12，正方体相邻的两条棱互相垂直。据此进行分析。 【详解】（dm） 如图是一个正方体，棱长是4dm，每个面都是边长为4dm的正方形，搭建它一共需要48dm的小棒。 考点二：长方体和正方体有关棱长的应用 【典例精讲】长方体相交于一点的三条棱的长度分别是10cm、9cm、8cm，这个长方体的棱长总和是（    ）cm。 A．54 B．72 C．102 D．108 【答案】D 【分析】长方体相交于一点的三条棱代表长方体的长、宽和高，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入相应数值计算即可。 【详解】（10＋9＋8）×4 ＝27×4 ＝108（cm） 因此这个长方体的棱长总和是108cm。 故答案为：D 【变式训练】王老师给同学们准备了一些小棒，数量如图。从中选用部分小棒搭成一个长方体框架（小棒不裁剪），这个长方体框架的棱长总和是( )cm。 【答案】52 【分析】长方体有4个长、4个宽和4个高，而8cm长的小棒只有3根，所以做长方体框架时不能用8cm长的小棒，只能用8根4cm长的小棒和4根5cm长的小棒；再根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，求出长方体框架的棱长总和即可。 【详解】相交于同一个顶点的三条棱分别长4cm、4cm、5cm。 （4＋4＋5）×4 ＝（8＋5）×4 ＝13×4 ＝52（cm） 这个长方体框架的棱长总和是52cm。 【变式训练】一个长、宽、高的长方体木块，最多能切割成（    ）个棱长为的小正方体。 A．128 B．64 C．32 D．16 【答案】D 【分析】长方体的长是8cm，小正方体的棱长是2cm，那么长方向能切割的个数为8÷2＝4（个）。长方体的宽是4cm，宽方向能切割的个数为4÷2＝2（个）。长方体的高是4cm，高方向能切割的个数为4÷2＝2（个）。将长、宽、高方向能切割的小正方体个数相乘，即可得到总的个数。 【详解】8÷2＝4（个） 4÷2＝2（个） 4÷2＝2（个） 4×2×2＝16（个） 所以最多能切割成16个棱长为2cm的小正方体。 故答案为：D 【变式训练】李叔叔做了一个棱长是5分米的正方体无盖玻璃鱼缸，用玻璃胶在拼接处做了防水处理，涂玻璃胶的长度是（    ）分米。 A．60 B．45 C．40 D．20 【答案】C 【分析】一个完整的正方体有12条棱边（每条棱长5分米），但鱼缸无盖，因此顶面的4条棱边没有玻璃板拼接，不需要涂玻璃胶。所以，需要涂玻璃胶的棱边数量12－4＝8条，用8×5，即可解答。 【详解】（12－4）×5 ＝8×5 ＝40（分米） 李叔叔做了一个棱长是5分米的正方体无盖玻璃鱼缸，用玻璃胶在拼接处做了防水处理，涂玻璃胶的长度是40分米。 故答案为：C 考点三：长方体和正方体的展开图 【典例精讲】下图是一个正方体纸盒的展开图，数字“6”和数字“2”相对。( ) 【答案】√ 【分析】正方体的展开图，相对面要隔一列或一行，左右隔 1列，上下隔1行，据此规律即可解答。 【详解】“1”和“4”面相对，“2”和“6”面相对，“3”和“5”面相对。 故答案为：√ 【变式训练】如果从左面看到B面，前面看到F面，则C面是下面。( ) 【答案】× 【分析】从左面看到B面，说明B面是左侧面；从前面看到F面，说明F面是前面。当B是左面、F是前面时，C面与B、F都相邻，此时C面对应的是上面。E在下面。 【详解】如果从左面看到是B面，前面看到的是F面，则C面是上面，而非下面。原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练】将如图的展开图围成一个正方体后，与“您”字相对的是( )。 【答案】“乐” 【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1－3－2”型，折成正方体后，汉字“快”与“健”相对，“康”与“祝”相对，“您”与“乐”相对。 【详解】根据分析：与“您”字相对的是“乐”。 【变式训练】下图所示图形可以折成一个长方体，这个长方体的长是( )，宽是( )，高是( )。（单位：厘米） 【答案】 9cm/9厘米 3cm/3厘米 3cm/3厘米 【分析】长方体中相交于一个顶点的三条棱的长度，分别叫做长方体的长、宽、高。一般情况下，正对着我们的那条横的棱叫长，竖着的棱叫高，左右两边横着的棱叫宽。 【详解】由图可知，这个长方体的长是9厘米，宽是3厘米，高是3厘米。 考点四：长方体表面积的计算 【典例精讲】计算下面图形的表面积。（单位：cm） 【答案】1900cm2 【分析】该图形是一个长方体，长为，宽为，高为，代入长方体表面积公式计算即可。 【详解】 【变式训练】计算下面立体图形的表面积。（单位：cm） 【答案】164cm2 【分析】长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答即可。 【详解】 （平方厘米） 所以立体图形的表面积是164平方厘米。 【变式训练】下面是一个长方体盒子的平面展开图，计算原长方体的棱长总和及表面积。 【答案】96厘米；280平方厘米 【分析】由图可知，长方体的长是16厘米，宽是6厘米，高是2厘米，长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，把数据代入公式计算，据此解答。 【详解】棱长总和：（16＋6＋2）×4 ＝24×4 ＝96（厘米） 表面积：（16×6＋16×2＋6×2）×2 ＝（96＋32＋12）×2 ＝140×2 ＝280（平方厘米） 所以，原长方体的棱长总和是96厘米，表面积是280平方厘米。 【变式训练】计算下面长方体的表面积。     【答案】158cm2 【分析】已知长方体长5cm，宽3cm，高8cm，根据“长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”可计算出长方体的表面积。 【详解】（5×3＋5×8＋3×8）×2 ＝（15＋40＋24）×2 ＝（55＋24）×2 ＝79×2 ＝158（cm2） 所以长方体的表面积是158cm2。 考点五：长方体表面积的应用 【典例精讲】一个长方体饮料盒，长8厘米、宽6厘米、高15厘米。现在要在盒子四周贴一圈商标纸（上、下底面不贴），这张商标纸的面积至少是多少平方厘米？ 【答案】 420平方厘米 【分析】要求商标纸的面积，即求长方体前、后、左、右四个面的面积之和。这四个面中，前后面面积均为长×高，左右面面积均为宽×高，因此根据“长×高×2 ＋宽×高×2”即可求出商标纸的面积。 【详解】8×15×2＋6×15×2 ＝120×2＋90×2 ＝240＋180 ＝420（平方厘米） 答：这张商标纸的面积至少是420平方厘米。 【变式训练】有A、B、C三种规格的纸板各四张（如下图），请你从中选出六张纸板做成一个长方体，说说你选择这六张纸板的理由，再求出：这个长方体的表面积是多少？ 【答案】理由见详解；190平方分米 【分析】长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 从图中可知，三种规格的纸板分别是“7×5”、“7×6”、“5×5”，其中“7×6”的纸板无法与其他规格的纸板做成长方体，所以只能选择“7×5”的纸板4张、“5×5”的纸板2张，做成一个两个面是正方形的长方体。 根据长方形的面积＝长×宽，求出6个面的面积，相加即是这个长方体的表面积。 【详解】选4张A纸板、2张C纸板可做成一个长方体。 5×7×4＋5×5×2 ＝140＋50 ＝190（平方分米） 答：选择这六张纸板的理由：根据长方体的特征，相对的面完全相同，结合三种规格纸板的尺寸，需要选择4张A纸板、2张C纸板才能做成一个长方体。这个长方体的表面积是190平方分米。 【变式训练】学校准备粉刷五年级三个班教室的墙壁和屋顶，每间教室长10米、宽6米、高3米，每间教室门窗和黑板面积是8平方米，三间教室需要粉刷的面积一共是多少平方米？ 【答案】444平方米 【分析】根据题意，粉刷教室的墙壁和屋顶，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，然后减去门窗和黑板的面积，即是每间教室需粉刷的面积，再乘3，求出三间教室需粉刷的总面积。 【详解】10×6＋10×3×2＋6×3×2 ＝60＋60＋36 ＝156（平方米） 156－8＝148（平方米） 148×3＝444（平方米） 答：三间教室需要粉刷的面积一共是444平方米。 【变式训练】学校要修建一个长30米、宽20米、深1.5米的游泳池，需要在游泳池的四壁和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 【答案】750平方米 【分析】在游泳池的四壁和底面贴上瓷砖，就是计算长方体游泳池的侧面积和一个底面积，即贴瓷砖的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算。 【详解】 （平方米） 答：贴瓷砖的面积是750平方米。 考点六：正方体表面积的计算 【典例精讲】计算下面立体图形的表面积。（单位：cm） 【答案】384cm2 【分析】该立体图形是正方体，正方体的表面积公式为“棱长×棱长×6”，因为正方体有6个完全相同的正方形面。 【详解】先计算一个面的面积：（平方厘米） 再计算6个面的总面积：（平方厘米） 所以立体图形的表面积384平方厘米。 【变式训练】计算下面图形的表面积。 【答案】94cm2；150dm2 【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此列式计算。 【详解】（5×3＋5×4＋3×4）×2 ＝（15＋20＋12）×2 ＝47×2 ＝94（cm2） 5×5×6＝150（dm2） 【变式训练】求下面物体的表面积。（单位：dm） 【答案】188dm2；768dm2；600dm2；244dm2 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算求出各立体图形的表面积。 【详解】（1）（12×2＋12×5＋2×5）×2 ＝（24＋60＋10）×2 ＝94×2 ＝188（dm2） 长方体的表面积是188dm2。 （2）（8×8＋8×20＋8×20）×2 ＝（64＋160＋160）×2 ＝384×2 ＝768（dm2） 长方体的表面积是768dm2。 （3）10×10×6＝600（dm2） 正方体的表面积是600dm2。 （4）（16×5＋16×2＋5×2）×2 ＝（80＋32＋10）×2 ＝122×2 ＝244（dm2） 长方体的表面积是244dm2。 【变式训练】求下列图形的表面积。 （1）         （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】根据长方体的表面积＝（长宽长高宽高），即可求出长方体的表面积； 根据正方体的表面积＝边长边长6，即可求出正方体的表面积。 【详解】 即这个长方体的表面积为； 即这个正方体的表面积为。 考点七：正方体表面积的应用 【典例精讲】用一根60分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，若要在这个框架的表面焊上一层铁皮，至少需要多少平方分米的铁皮？ 【答案】150平方分米 【分析】铁丝长度相当于正方体棱长总和，根据正方体棱长＝棱长总和÷12，正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式解答即可。 【详解】60÷12＝5（分米） 5×5×6＝150（平方分米） 答：至少需要150平方分米的铁皮。 【变式训练】做一个棱长为8分米的无盖正方体玻璃鱼缸，至少需要多大面积的玻璃？ 【答案】320平方分米 【分析】求做一个无盖正方体玻璃鱼缸需要玻璃的面积，就是求正方体5个面的面积之和，根据“棱长×棱长×5”，代入数据计算即可求解。 【详解】8×8×5 ＝64×5 ＝320（平方分米） 答：至少需要320平方分米的玻璃。 【变式训练】用硬纸做两个盒子，一个是长方体，它的长是1分米，宽8厘米，高6厘米。另一个是正方体，它棱长是8厘米，计算一下，哪个盒子用的材料多？多多少？ 【答案】正方体；多8平方厘米。 【分析】先换算成统一单位，1分米厘米，将数值代入长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，然后进行比较即可。 【详解】1分米厘米 （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 答：正方体盒子用料多，多8平方厘米。 【点睛】此题主要考查正方体、长方体的表面积公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式。 【变式训练】制作一个棱长为35厘米的正方体无盖玻璃鱼缸，至少需要多大面积的玻璃？ 【答案】6125平方厘米 【分析】根据题意，求正方体无盖玻璃鱼缸需要多大面积的玻璃，就是求这个正方体的5个面的和，根据正方体表面积公式：边长×边长×5，代入数据，即可解答。 【详解】35×35×5 ＝1225×5 ＝6125（平方厘米） 答：至少需要6125平方厘米的玻璃。 考点八：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】如图所示：把一个长8cm，宽5cm，高4cm的长方体分割成3个小长方体，则表面积增加( )。 【答案】80 【分析】由图可知，沿一个长方体的长将长方体分割成3个小长方体，表面积增加了4个相同的面，这个面是长为长方体的宽，宽为长方体的高，则根据长方形的面积＝长×宽，代入数据，即可求出这样的一个面的面积，再乘4即可解答。 【详解】5×4×4 ＝20×4 ＝80（cm2） 如图所示：把一个长8cm，宽5cm，高4cm的长方体分割成3个小长方体，则表面积增加80。 【变式训练】将两个棱长都是10cm的正方体拼成一个长方体包装在一起，此时与两个正方体独立包装相比，节省了（    ）cm2的包装纸。（接口处不计） A．100 B．200 C．400 【答案】B 【分析】与两个正方体独立包装相比，节省了2个面的面积；棱长×棱长＝一个面的面积；一个面的面积×2＝2个面的面积。 【详解】（） （） 所以节省了200的包装纸。 故答案为：B 【变式训练】用4个棱长是6cm的小正方体拼成1个大长方体，大长方体的表面积可能是( )cm2，也可能是( )cm2。 【答案】 648 576 【分析】用4个棱长6cm的小正方体可以拼成一个长方体，长方体的长宽高可能是24cm、6cm、6cm，也可能是12cm、6cm、12cm，再根据长方体的表面积公式求解即可。 【详解】 （） （） 所以用4个棱长是6cm的小正方体拼成1个大长方体，大长方体的表面积可能是648，也可能是576。 【变式训练】乐乐的妈妈去广东出差，回来前给她和表妹、表弟每人买了2盒广东省的一种传统小吃——裹蒸粽。包装盒的长是30cm，宽是20cm，高是10cm。要把这几盒裹蒸粽包成一包，怎样包装最节省包装纸？最少需要多大的包装纸？（画出草图，接口处不计） 【答案】 图见详解；7200平方厘米 【分析】将该长方体中最大的面重合叠放最节省包装纸，再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算即可。 【详解】（平方厘米），（平方厘米），（平方厘米） 所以将的面重叠包装最节省包装纸，如下图： （厘米） （平方厘米） 答：将的面重叠包装最节省包装纸，最少需要7200平方厘米的包装纸。 考点九：表面涂色的正方体 【典例精讲】如图是由125个大小相同的小正方体拼成的大正方体模型。将其表面涂上红色，两面涂色的小正方体有( )个，一面涂色的小正方体有( )个。 【答案】 36 54 【分析】正方体中，两面涂色的正方体的个数＝（大正方体的每条边有小正方体的个数－2）×12；一面涂色的正方体的个数＝（大正方体的每条边有小正方体的个数－2）×（大正方体的每条边有小正方体的个数－2）×6。据此解答。 【详解】（5－2）×12 ＝3×12 ＝36（个） （5－2）×（5－2）×6 ＝3×3×6 ＝9×6 ＝54（个） 所以两面涂色的小正方体有36个，一面涂色的小正方体有54个。 【变式训练】如图，笑笑把这个立体图形摆在桌子上，并把立体图形表面露出的每个面都涂上色。（底面不涂）3个面涂色的有( )个小正方体，4个面涂色的有( )个小正方体，5个面涂色的有( )个小正方体。 【答案】 1 2 1 【分析】3个面涂色的是下层左数第二块小正方体；4个面涂色的是下层左右两端的正方体；5个面涂色的是最上层的小正方体。据此解答。 【详解】如图，笑笑把这个立体图形摆在桌子上，并把立体图形表面露出的每个面都涂上色。（底面不涂）3个面涂色的有1个小正方体，4个面涂色的有2个小正方体，5个面涂色的有1个小正方体。 【变式训练】下图中，堆在墙角的每个小正方体的棱长都是2厘米，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )平方厘米。 【答案】 11 44 【分析】由图可知，从正面可以看到3个小正方形，从右面可以看到4个小正方形，从上面可以看到4个小正方形，相加求出看到小正方形的总数量就是露在外面面的数量，最后乘一个小正方形的面积，即可求得露在外面的面积，据此解答。 【详解】3＋4＋4 ＝7＋4 ＝11（个） 2×2×11 ＝4×11 ＝44（平方厘米） 所以，有11个面露在外面，露在外面的面积是44平方厘米。 【变式训练】在智能模型搭建活动中，淘气用棱长为1dm的正方体搭建了一个模型，并堆放在墙角处（如图）。一共有( )个面露在外面，露在外面的面的面积为( )dm2。 【答案】 12 12 【分析】从正面看，有5个面露在外面；从上面看，有3个面露在外面；从右面看，有4个面露在外面；所以露在外面的面的总个数为5＋3＋4＝12个。 因为正方体的棱长为1dm，所以每个面的面积为1×1＝1dm2；露在外面的面有12个，所以露在外面的面的面积为1×12＝12dm2。 【详解】5＋3＋4 ＝8＋4 ＝12（个） 1×1×12 ＝1×12 ＝12（dm2） 因此，一共有12个面露在外面，露在外面的面的面积为12dm2。 考点十：组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】如图是由棱长为2cm的小正方体在墙角堆成的，露在外面的面共有( )个，露在外面的面积是( )cm2。 【答案】 13 52 【分析】从图观察知道，露在外面的面共有的个数＝前面露出面的个数＋右面露出面的个数＋上面露出面的个数，前面露出的面有3个，右面露出的面有5个，上面露出的面有5个，所以露在外面总的个数是3＋5＋5的和；露在外面的面积＝正方体每个面的面积×露在外面的面共有的个数，正方体每个面的面积是2×2＝4（cm2），乘总的个数即为露在外面的面积。 【详解】3＋5＋5＝13（个） 2×2×13 ＝4×13 ＝52（cm2）。 所以，如图是由棱长为2cm的小正方体在墙角堆成的，露在外面的面共有13个，露在外面的面积是52cm2。 【变式训练】计算下面图形的表面积。（单位：cm） 【答案】376平方厘米 【分析】看图可知，在长方体的顶点挖去一个长方体，看上去表面积少了3个面，里面又出现了同样的3个面，因此这个立体图形的表面积就是完整的长方体表面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可。 【详解】 （平方厘米） 它的表面积是376平方厘米。 【变式训练】如下图，6个棱长为10cm的正方体纸盒放在墙角处，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )cm2。 【答案】 12 1200 【分析】分别从前面，上面和右面观察露在外面的正方形个数，再用一个面的面积×正方形的个数＝露在外面的面积，据此解答。 【详解】从上面数，有4个面露在外面，从前面数，有5个面露在外面，从右面数，有3个面露在外面，一共有（个）面露在外面； 露在外面的面积：（平方厘米）； 综上所述，有12个面露在外面，露在外面的面积是1200平方厘米。 【变式训练】将棱长为2分米的小正方体按如图所示靠墙进行摆放，第（3）个图形露在外面的面有( )个，第（5）个图形露在外面的面积是( )平方分米。 【答案】 8 48 【分析】看图可知，第（1）个图形露在外面的面有4个，4＝1×2＋2；第（2）个图形露在外面的面有6个，6＝2×2＋2；第（3）个图形露在外面的面有8个，8＝3×2＋2…由此可知，露在外面的面的数量＝第几个图形就用几×2＋2，正方形面积＝边长×边长，正方形面积×露在外面的面的数量＝露在外面的面积。 【详解】3×2＋2 ＝6＋2 ＝8（个） 5×2＋2 ＝10＋2 ＝12（个） 2×2×12＝48（平方分米） 第（3）个图形露在外面的面有8个，第（5）个图形露在外面的面积是48平方分米。 综合训练 1．一个长方体的底面是边长为2m的正方形，它的侧面展开图也是一个正方形，这个长方体的侧面积是（    ）。 A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】D 【分析】因为侧面展开是正方形，所以长方体的高等于长方体的底面周长。用底面边长乘4求出底面周长，也就是高，用底面周长乘高求出侧面积即可。 【详解】2×4＝8（m） 8×8＝64（） 所以，这个长方体的侧面积是64。 故答案为：D 2．如图有27个相同的小正方体拼成一个大正方体，从中取出一块小正方体，要使剩下的图形表面积最大，应该（    ）。 A．取走①号 B．取走②号 C．取走③号 D．取走④号 【答案】A 【分析】观察取出一块小正方体后增加小正方体面的个数，增加面的个数最多时，增加的表面积最大。由此判断。 【详解】A．取走①号后减少了小正方体1个面的面积，增加了上下左右后5个小正方体面的面积，相当于增加了4个小正方体面的面积。 B．取走②号后减少了小正方体3个面的面积，增加了上右后3个小正方体面的面积，相当于没变。 C．取走③号后减少了小正方体2个面的面积，增加了上左右后4个小正方体面的面积，相当于增加了2个小正方体面的面积。 D．取走④号后减少了小正方体3个面的面积，增加了上下左右后3个小正方体面的面积，相当于没变。 所以取走①号后剩下的表面积最大。 故答案为：A 3．文文和明明分别用7个相同的小正方体搭成两个立体图形，他俩搭的立体图形露在外面的面（    ）。 A．文文的比较多 B．明明的比较多 C．一样多 D．无法比较 【答案】B 【分析】与地面接触的部分不是露在外面的面。文文搭的图形上面、左右面、前后面露在外面的都是4个面；明明搭的图形前后面分别露在外面6个；左右面分别露在外面4个，上面露在外面4个；由此分别判断露在外面面的个数，再比较即可。 【详解】文文：4×5＝20（个） 明明：6×2＋4×2＋4 ＝12＋8＋4 ＝20＋4 ＝24（个） 20＜24 所以明明的比较多。 故答案为：B 4．某产品说明书上标注的包装尺寸为457毫米×395毫米×271毫米。根据这组数据，联系生活实际想象一下，这个产品最有可能是（    ）。 A．一部手机 B．一台笔记本电脑 C．一台微波炉 D．一台冰箱 【答案】C 【分析】1厘米＝10毫米，所以包装尺寸：457毫米×395毫米×271毫米，也就是45.7厘米×39.5厘米×27.1厘米，然后根据实际情况判断这个产品即可。 【详解】A．一部手机的典型尺寸约为长15厘米、宽7~8厘米、厚0.7~1厘米，远小于给定尺寸； B．一台笔记本电脑的典型尺寸约为长30~50厘米、宽20~30厘米、厚1~3厘米，厚度远小于给定尺寸； C．一台微波炉的典型尺寸约为长30~50厘米、宽30~50厘米、高20~30厘米，与给定尺寸接近； D．一台冰箱的典型尺寸约为长50~60厘米、宽50~60厘米、高150~180厘米，高度远大于给定尺寸。 故答案为：C 5．鹏鹏用学具棒搭一个长方体框架，搭了其中的三根，下列不能决定这个长方体的形状与大小的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要确定长方体的形状与大小，只需要明确长方体的长、宽、高，据此逐项分析。 【详解】 A. 通过这个图能明确这个长方体的长、宽、高，能决定这个长方体的形状与大小，不符合题意； B． 通过这个图能明确这个长方体的长、宽、高，能决定这个长方体的形状与大小，不符合题意； C． 通过这个图能明确这个长方体的长、宽、高，能决定这个长方体的形状与大小，不符合题意； D． 只能通过这个图明确这个长方体的长、高，不能决定这个长方体的形状与大小，符合题意； 故答案为：D 6．下图为正方体展开图，折叠正方体后，与“我”字相对的是“（    ）”字。 A．爱 B．家 C．乡 D．远 【答案】D 【分析】正方体展开图中，相对的面在折叠后不相邻，且中间相隔一个面。观察展开图，“爱”字所在的面与“乡”字所在的面相对，“家”字所在的面与“清”字所在的面相对，“我”字所在的面与“远”字所在的面相对。 【详解】观察展开图，“我”字所在的面与“远”字所在的面，在折叠成正方体后是相对的面。 所以与“我”字相对的是“远”字。 故答案为：D 7．如图是正方体的展开图，数字1的对面是数字( )，数字( )的对面是数字6。 【答案】 3 5 【分析】根据正方体的展开图“相对不相邻”可知，1和3相对；2和4相对；5和6相对，由此解答。 【详解】由分析可知： 数字1的对面是数字3，数字5的对面是数字6。 8．一个正方体6个面上分别写着A，B，C，D，E，F，根据下面三种情况，判断每个字母的对面的字母是什么？ 与A相对的面是( )；与B相对的面是( )；与C相对的面是( )。 【答案】 E F D 【分析】通过观察正方体不同视图中字母的相邻关系，利用正方体相对面不相邻的性质来判断每个字母的相对面。 【详解】（1）从第二个图可知A与D、F相邻，从第三个图可知A与B、C相邻，所以A与B、C、D、F都相邻，那么与A相对的面只能是E。 （2）从第一个图可知B与D、E相邻，从第三个图可知B与A、C相邻，所以B与A、C、D、E都相邻，那么与B相对的面只能是F。 （3）已经确定A与E相对，B与F相对，那么剩下的C就与D相对。 因此，与A相对的面是E；与B相对的面是F；与C相对的面是D。 9．如图，把一个正方体平均分成两个一样的长方体，其中一个长方体的表面积是48平方厘米，原来的正方体表面积是( )平方厘米。 【答案】72 【分析】根据题意可得：其中一个长方体的表面积是正方体的4个面的面积，其中一个长方体的表面积÷4＝正方体一个面的面积，正方体一个面的面积×6＝正方体的表面积。 【详解】48÷4＝12（平方厘米） 12×6＝72（平方厘米） 原来的正方体表面积是72平方厘米。 10．一大正方体由若干个棱长为1厘米的小正方体组成，在大正方体的表面涂色，其中只有一面涂色的小正方体有24个，大正方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】96 【分析】在大正方体的表面涂色，可知大正方体有6个面，因此每个面只有一面涂色的小正方体有24÷6＝4（个）；这4个单面小正方体是不包括棱上和顶角上的，所以不包括棱上和顶角上，每个面单面涂色的小正方体有2个，再加上2个，就是大正方体每条边上的小正方体个数4个，因为小正方体棱长为1，所以大正方体棱长为4厘米，根据大正方体表面积公式“6×棱长×棱长”，即可计算结果。 【详解】24÷6＝4（个），即单面涂色的小正方体有2个，2＋2＝4（个） 1×4×4×6＝96（平方厘米）。 则大正方体的表面积是96平方厘米。 11．下图是一个长方体纸盒的展开图（单位：），它的表面积是( )。 【答案】158 【分析】观察图形可知，长方体的长是8cm，宽是5cm，高是3cm；长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此代入长方体表面积公式，即可解答。 【详解】（8×5＋8×3＋5×3）×2 ＝（40＋24＋15）×2 ＝（64＋15）×2 ＝79×2 ＝158（cm2） 它的表面积是158cm2。 12．如图，一堆棱长1dm的小正方体堆放在墙角处，这堆小正方体共有( )个，露在外面的面积是( )。 【答案】 8 15 【分析】观察图可知，有3层小正方体。露在外面的有6个，最上面的那层正方体正下方有2个（中间1个，最下层1个）。所以这堆小正方体共有6＋2＝8个。 这堆小正方体从正面看有6个面露在外面，从上面看有4个面露在外面，从右面看有5个面露在外面，所以共有6＋4＋5＝15个面露在外面，已知小正方体的棱长是1dm，所以它一个面的面积是1×1＝1dm2，那么15个面的面积就是1×15＝15dm2。 【详解】这堆小正方体露在外面的有6个，最上面的那层正方体正下方有2个。 6＋2＝8（个） 从正面看有6个面，从上面看有4个面，从右面看有5个面。 6＋4＋5＝15（个） 1×1＝1（dm2） 1×15＝15（dm2） 这堆小正方体共有8个，露在外面的面积是15dm2。 13．计算下面图形的表面积。（单位：cm） 【答案】486cm2 【分析】正方体表面积的计算，需运用正方体表面积公式：正方体表面积＝棱长×棱长×6。 【详解】（cm2） 14．计算下面图形的表面积。（单位：cm） 【答案】180cm2 【分析】本题考查长方体表面积的计算，需运用长方体表面积公式：（其中a为长，b为宽，h为高）。 【详解】 （cm2） 15．儿童节前夕，某校小学生自制饼干要送给幼儿园的小朋友。购买的正方体饼干盒棱长12厘米。如果围着饼干盒贴上一圈彩纸（上下面不贴），一个饼干盒至少需要彩纸多少平方厘米？ 【答案】576平方厘米 【分析】正方体饼干盒的上下面不贴，需要贴彩纸的面只有4个。计算正方体棱长×棱长×4即可计算得出答案。 【详解】一个饼干盒至少需要彩纸的面积为： 12×12×4 ＝144×4 ＝576（平方厘米） 答：一个饼干盒至少需要彩纸576平方厘米。 16．一间教室长9米，宽6米，高3米，门窗面积为11.6平方米，如果每平方米用涂料0.5千克，粉刷教室的四周和顶面需要涂料多少千克？ 【答案】66.2千克 【分析】根据题意，要粉刷教室的顶面和墙壁，即粉刷的是长方体的顶面和4个侧面，求出顶面和4个侧面的面积和，再减去门窗面积，求出需要粉刷的面积，再乘每平方米需要的涂料数量即可。 【详解】需要粉刷的面积：9×6＋9×3×2＋6×3×2－11.6 ＝54＋27×2＋18×2－11.6 ＝54＋54＋36－11.6 ＝108＋36－11.6 ＝144－11.6 ＝132.4（平方米） 132.4×0.5＝66.2（千克） 答：粉刷这间教室共需涂料66.2千克。 17．在一个正方体木块的6个面都涂上红色后，把它分割成若干个棱长是1厘米的小正方体木块，有两面涂红色的共有108个，那么只有一面涂红色的小正方体共有多少个？提示：根据两面涂红色的个数，可推算出一条棱上有多少个两面是涂红色的。 【答案】486个 【分析】用n（n≥3）表示正方体每条棱上小正方体的个数，两面涂红色的小正方体位于棱上，每条棱上有（n－2）个，共有12×（n－2）个，有两面涂红色的共有108个，即12×（n－2）＝108，据此可求出n。将n代入6×（n－2）2即可求出一面涂红色的小正方体的个数。 【详解】用n（n≥3）表示正方体每条棱上小正方体的个数，则12×（n－2）＝108。 108÷12＋2 ＝9＋2 ＝11（个） （11－2）2×6 ＝92×6 ＝81×6 ＝486（个） 答：只有一面涂红色的小正方体共有486个。 18．笑笑家有一个长方体蚊帐（如图），长2米，宽1.5米，高1.8米。蚊帐的顶和四周由钢管固定（地面的四周没有钢管）。固定这样一个蚊帐至少需要多长的钢管？ 【答案】14.2米 【分析】由题意知：蚊帐的顶和四周由钢管固定（地面的四周没有钢管），则钢管的长度等于4条高和2条长与2条宽的和，即需要的钢管长度＝2×长＋2×宽＋4×高，代入数据计算即可。 【详解】2×2＋1.5×2＋1.8×4 ＝4＋3＋7.2 ＝7＋7.2 ＝14.2（米） 答：固定这样一个蚊帐至少需要14.2米长的钢管。 19．用一根铁丝刚好焊接成一个棱长为8cm的正方体框架。如果用这根铁丝焊接成一个长13cm、高4cm的长方体框架，铁丝将剩余4cm，那么这个长方体的宽应该为多少厘米？（接头处不计） 【答案】6厘米 【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，据此求出铁丝的长度，用铁丝的长度－4求出长方体的棱长总和，再除以4求出长、宽、高之和，减去长和高，即可。 【详解】 （厘米） （厘米） 答：这个长方体的宽应该为6厘米。 20．妈妈给冬冬买了一套故事书，有上、中、下三册（每册书的大小如下图），如果用彩色的包装纸将这套故事书包成一包，至少需要多少平方厘米的包装纸？ 【答案】1046平方厘米 【分析】将这套故事书包成一包，包成的这包书近似看作是一个长方体，其中长方体的长是16厘米，宽是22厘米，高是（1.5×3）厘米；要求至少需要多少平方厘米的包装纸，也就是求这个长方体的表面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入相应数值计算，所得结果即为至少需要多少平方厘米的包装纸。 【详解】1.5×3＝4.5（厘米） （16×22＋16×4.5＋22×4.5）×2 ＝（352＋72＋99）×2 ＝523×2 ＝1046（平方厘米） 答：至少需要1046平方厘米的包装纸。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 长方体（一） 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、长方体和正方体的认识 1 二、长方体和正方体的棱长总和 1 三、长方体和正方体的表面积 2 四、常用的长度单位和面积单位及进率 2 考点讲练 3 考点一：长方体和正方体的认识及特征 3 考点二：长方体和正方体有关棱长的应用 4 考点三：长方体和正方体的展开图 6 考点四：长方体表面积的计算 8 考点五：长方体表面积的应用 10 考点六：正方体表面积的计算 13 考点七：正方体表面积的应用 16 考点八：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 18 考点九：表面涂色的正方体 21 考点十：组合体的表面积（长方体、正方体） 23 综合训练 25 知识梳理 一、长方体和正方体的认识 1.长方体的特征 面：有6个面，一般情况下6个面都是长方形（特殊情况有2个相对的面是正方形）。相对的面完全相同，即面积相等。 棱：有12条棱，相对的棱长度相等。可分为3组，每组4条棱长度相等，分别是长、宽、高。 顶点：有8个顶点。 2.正方体的特征 面：有6个面，6个面都是完全相同的正方形。 棱：有12条棱，12条棱的长度都相等。 顶点：有8个顶点。 3.长方体和正方体的关系：正方体是长、宽、高都相等的特殊长方体。 二、长方体和正方体的棱长总和 1.长方体的棱长总和 公式：长方体棱长总和 = 4×(长 + 宽 + 高)，用字母表示为 ( L = 4(a + b + h) )（其中( a )表示长，( b )表示宽，( h )表示高）。 示例：一个长方体的长为5cm，宽为4cm，高为3cm，其棱长总和为 ( 4×(5 + 4 + 3) = 4×12 = 48 )cm。 2.正方体的棱长总和 公式：正方体棱长总和 = 12×棱长，用字母表示为 ( L = 12a )（其中( a )表示棱长）。 示例：一个正方体的棱长为6dm，其棱长总和为 ( 12×6 = 72 )dm。 三、长方体和正方体的表面积 1.表面积的定义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2.长方体的表面积 公式：长方体表面积 = 2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)，用字母表示为 ( S = 2(ab + ah + bh) )。 推导过程：长方体有6个面，其中上面和下面的面积都是长×宽，前面和后面的面积都是长×高，左面和右面的面积都是宽×高，所以表面积为这6个面的面积之和，即( 2ab + 2ah + 2bh = 2(ab + ah + bh) )。 示例：一个长方体长5m，宽3m，高2m，表面积为 ( 2×(5×3 + 5×2 + 3×2) = 2×(15 + 10 + 6) = 2×31 = 62 )m²。 3.正方体的表面积 公式：正方体表面积 = 6×棱长×棱长，用字母表示为 ( S = 6a² )。 推导过程：正方体6个面完全相同，每个面的面积都是棱长×棱长，所以表面积为6个面的面积之和，即( 6×a×a = 6a² )。 示例：一个正方体棱长为4cm，表面积为 ( 6×4×4 = 6×16 = 96 )cm²。 4.特殊情况的表面积计算：在实际生活中，有些物体并不是完整的长方体或正方体，如无盖的鱼缸、抽屉等，计算表面积时需要根据实际情况少算一个面的面积。例如，一个无盖的长方体鱼缸，长8dm，宽5dm，高6dm，其表面积为 ( 8×5 + 2×(8×6 + 5×6) = 40 + 2×(48 + 30) = 40 + 2×78 = 40 + 156 = 196 )dm²。 四、常用的长度单位和面积单位及进率 1.长度单位：常用的长度单位有毫米（mm）、厘米（cm）、分米（dm）、米（m）、千米（km）。 进率：1千米 = 1000米，1米 = 10分米，1分米 = 10厘米，1厘米 = 10毫米。 2.面积单位：常用的面积单位有平方毫米（mm²）、平方厘米（cm²）、平方分米（dm²）、平方米（m²）、平方千米（km²）。 进率：1平方千米 = 1000000平方米，1平方米 = 100平方分米，1平方分米 = 100平方厘米，1平方厘米 = 100平方毫米。 注意：在计算长方体和正方体的棱长总和时使用长度单位，计算表面积时使用面积单位，要注意单位的统一和换算。 考点讲练 考点一：长方体和正方体的认识及特征 【典例精讲】正方体可以看成是长、宽、高都相等的特殊的长方体。( ) 【变式训练】一个家电的形状近似长方体，其长是60cm，宽50cm，高180cm，它最有可能是（    ）。 A．电脑 B．电视机 C．洗衣机 D．电冰箱 【变式训练】如图所示的正方体，每个面上均有一个互不相同的自然数，且每两个相对面上的数字之和相等，若看不见的面上的数都是质数，则这三个质数的和是( )。 【变式训练】下图是一个( )体，棱长是( )dm，每个面都是边长为( )dm的正方形，搭建它一共需要( )dm的小棒。 考点二：长方体和正方体有关棱长的应用 【典例精讲】长方体相交于一点的三条棱的长度分别是10cm、9cm、8cm，这个长方体的棱长总和是（    ）cm。 A．54 B．72 C．102 D．108 【变式训练】王老师给同学们准备了一些小棒，数量如图。从中选用部分小棒搭成一个长方体框架（小棒不裁剪），这个长方体框架的棱长总和是( )cm。 【变式训练】一个长、宽、高的长方体木块，最多能切割成（    ）个棱长为的小正方体。 A．128 B．64 C．32 D．16 【变式训练】李叔叔做了一个棱长是5分米的正方体无盖玻璃鱼缸，用玻璃胶在拼接处做了防水处理，涂玻璃胶的长度是（    ）分米。 A．60 B．45 C．40 D．20 考点三：长方体和正方体的展开图 【典例精讲】下图是一个正方体纸盒的展开图，数字“6”和数字“2”相对。( ) 【变式训练】如果从左面看到B面，前面看到F面，则C面是下面。( ) 【变式训练】将如图的展开图围成一个正方体后，与“您”字相对的是( )。 【变式训练】下图所示图形可以折成一个长方体，这个长方体的长是( )，宽是( )，高是( )。（单位：厘米） 考点四：长方体表面积的计算 【典例精讲】计算下面图形的表面积。（单位：cm） 【变式训练】计算下面立体图形的表面积。（单位：cm） 【变式训练】下面是一个长方体盒子的平面展开图，计算原长方体的棱长总和及表面积。 【变式训练】计算下面长方体的表面积。     考点五：长方体表面积的应用 【典例精讲】一个长方体饮料盒，长8厘米、宽6厘米、高15厘米。现在要在盒子四周贴一圈商标纸（上、下底面不贴），这张商标纸的面积至少是多少平方厘米？ 【变式训练】有A、B、C三种规格的纸板各四张（如下图），请你从中选出六张纸板做成一个长方体，说说你选择这六张纸板的理由，再求出：这个长方体的表面积是多少？ 【变式训练】学校准备粉刷五年级三个班教室的墙壁和屋顶，每间教室长10米、宽6米、高3米，每间教室门窗和黑板面积是8平方米，三间教室需要粉刷的面积一共是多少平方米？ 【变式训练】学校要修建一个长30米、宽20米、深1.5米的游泳池，需要在游泳池的四壁和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 考点六：正方体表面积的计算 【典例精讲】计算下面立体图形的表面积。（单位：cm） 【变式训练】计算下面图形的表面积。 【变式训练】求下面物体的表面积。（单位：dm） 【变式训练】求下列图形的表面积。 （1）         （2） 考点七：正方体表面积的应用 【典例精讲】用一根60分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，若要在这个框架的表面焊上一层铁皮，至少需要多少平方分米的铁皮？ 【变式训练】做一个棱长为8分米的无盖正方体玻璃鱼缸，至少需要多大面积的玻璃？ 【变式训练】用硬纸做两个盒子，一个是长方体，它的长是1分米，宽8厘米，高6厘米。另一个是正方体，它棱长是8厘米，计算一下，哪个盒子用的材料多？多多少？ 【变式训练】制作一个棱长为35厘米的正方体无盖玻璃鱼缸，至少需要多大面积的玻璃？ 考点八：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】如图所示：把一个长8cm，宽5cm，高4cm的长方体分割成3个小长方体，则表面积增加( )。 【变式训练】将两个棱长都是10cm的正方体拼成一个长方体包装在一起，此时与两个正方体独立包装相比，节省了（    ）cm2的包装纸。（接口处不计） A．100 B．200 C．400 【变式训练】用4个棱长是6cm的小正方体拼成1个大长方体，大长方体的表面积可能是( )cm2，也可能是( )cm2。 【变式训练】乐乐的妈妈去广东出差，回来前给她和表妹、表弟每人买了2盒广东省的一种传统小吃——裹蒸粽。包装盒的长是30cm，宽是20cm，高是10cm。要把这几盒裹蒸粽包成一包，怎样包装最节省包装纸？最少需要多大的包装纸？（画出草图，接口处不计） 考点九：表面涂色的正方体 【典例精讲】如图是由125个大小相同的小正方体拼成的大正方体模型。将其表面涂上红色，两面涂色的小正方体有( )个，一面涂色的小正方体有( )个。 【变式训练】如图，笑笑把这个立体图形摆在桌子上，并把立体图形表面露出的每个面都涂上色。（底面不涂）3个面涂色的有( )个小正方体，4个面涂色的有( )个小正方体，5个面涂色的有( )个小正方体。 【变式训练】下图中，堆在墙角的每个小正方体的棱长都是2厘米，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )平方厘米。 【变式训练】在智能模型搭建活动中，淘气用棱长为1dm的正方体搭建了一个模型，并堆放在墙角处（如图）。一共有( )个面露在外面，露在外面的面的面积为( )dm2。 考点十：组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】如图是由棱长为2cm的小正方体在墙角堆成的，露在外面的面共有( )个，露在外面的面积是( )cm2。 【变式训练】计算下面图形的表面积。（单位：cm） 【变式训练】如下图，6个棱长为10cm的正方体纸盒放在墙角处，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )cm2。 【变式训练】将棱长为2分米的小正方体按如图所示靠墙进行摆放，第（3）个图形露在外面的面有( )个，第（5）个图形露在外面的面积是( )平方分米。 综合训练 1．一个长方体的底面是边长为2m的正方形，它的侧面展开图也是一个正方形，这个长方体的侧面积是（    ）。 A．4 B．8 C．16 D．64 2．如图有27个相同的小正方体拼成一个大正方体，从中取出一块小正方体，要使剩下的图形表面积最大，应该（    ）。 A．取走①号 B．取走②号 C．取走③号 D．取走④号 3．文文和明明分别用7个相同的小正方体搭成两个立体图形，他俩搭的立体图形露在外面的面（    ）。 A．文文的比较多 B．明明的比较多 C．一样多 D．无法比较 4．某产品说明书上标注的包装尺寸为457毫米×395毫米×271毫米。根据这组数据，联系生活实际想象一下，这个产品最有可能是（    ）。 A．一部手机 B．一台笔记本电脑 C．一台微波炉 D．一台冰箱 5．鹏鹏用学具棒搭一个长方体框架，搭了其中的三根，下列不能决定这个长方体的形状与大小的是（    ）。 A． B． C． D． 6．下图为正方体展开图，折叠正方体后，与“我”字相对的是“（    ）”字。 A．爱 B．家 C．乡 D．远 7．如图是正方体的展开图，数字1的对面是数字( )，数字( )的对面是数字6。 8．一个正方体6个面上分别写着A，B，C，D，E，F，根据下面三种情况，判断每个字母的对面的字母是什么？ 与A相对的面是( )；与B相对的面是( )；与C相对的面是( )。 9．如图，把一个正方体平均分成两个一样的长方体，其中一个长方体的表面积是48平方厘米，原来的正方体表面积是( )平方厘米。 10．一大正方体由若干个棱长为1厘米的小正方体组成，在大正方体的表面涂色，其中只有一面涂色的小正方体有24个，大正方体的表面积是( )平方厘米。 11．下图是一个长方体纸盒的展开图（单位：），它的表面积是( )。 12．如图，一堆棱长1dm的小正方体堆放在墙角处，这堆小正方体共有( )个，露在外面的面积是( )。 13．计算下面图形的表面积。（单位：cm） 14．计算下面图形的表面积。（单位：cm） 15．儿童节前夕，某校小学生自制饼干要送给幼儿园的小朋友。购买的正方体饼干盒棱长12厘米。如果围着饼干盒贴上一圈彩纸（上下面不贴），一个饼干盒至少需要彩纸多少平方厘米？ 16．一间教室长9米，宽6米，高3米，门窗面积为11.6平方米，如果每平方米用涂料0.5千克，粉刷教室的四周和顶面需要涂料多少千克？ 17．在一个正方体木块的6个面都涂上红色后，把它分割成若干个棱长是1厘米的小正方体木块，有两面涂红色的共有108个，那么只有一面涂红色的小正方体共有多少个？提示：根据两面涂红色的个数，可推算出一条棱上有多少个两面是涂红色的。 18．笑笑家有一个长方体蚊帐（如图），长2米，宽1.5米，高1.8米。蚊帐的顶和四周由钢管固定（地面的四周没有钢管）。固定这样一个蚊帐至少需要多长的钢管？ 19．用一根铁丝刚好焊接成一个棱长为8cm的正方体框架。如果用这根铁丝焊接成一个长13cm、高4cm的长方体框架，铁丝将剩余4cm，那么这个长方体的宽应该为多少厘米？（接头处不计） 20．妈妈给冬冬买了一套故事书，有上、中、下三册（每册书的大小如下图），如果用彩色的包装纸将这套故事书包成一包，至少需要多少平方厘米的包装纸？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $