专题03 平行四边形、矩形、菱形、正方形的折叠与旋转（八大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题03 平行四边形、矩形、菱形、正方形的折叠与旋转 目录 典例讲解 类型一、平行四边形的折叠问题 类型二、平行四边形的旋转问题 类型三、矩形的折叠问题 类型四、矩形的旋转问题 类型五、菱形的折叠问题 类型六、菱形的旋转问题 类型七、正方形的折叠问题 类型八、正方形的旋转问题 压轴专练 类型一、平行四边形的折叠问题 1．如图，将一张纸片沿着折叠，点的对应点恰好落在上，连接，若，，则图中阴影部分（）的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，，，，点E是线段上一个动点，将沿折叠到位置、再将沿行折叠到位置，当落在平行四边形边上时，则的长度为 ． 4．如图，在中，，将折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则 ． 5．在平行四边形中，，，，为边上的高，将沿所在直线翻折后得，那么与四边形重叠部分的面积是 ． 6．如图，点为的边上一点，将沿翻折得到，点落在对角线上，且，若，那么 ． 类型二、平行四边形的旋转问题 7．在综合与实践活动中，同学们以“图形的旋转”为主题展开数学研究性学习．在中，，的垂直平分线分别交，于点，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，．交于点，连接，BF．若，下列结论正确的有（    ） ①；②；③四边形为平行四边形；④若，，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是 ． 9．如图，在四边形中，，，．将沿剪下来，以为旋转中心逆时针旋转，旋转过程中，、与所在的直线的交点分别为、． (1)求证：； (2)当旋转角为时，如图2所示，求重叠部分的面积； (3)在旋转过程中，若，如图3所示，求的长； (4)在旋转过程中，若，请直接写出的长（用含的式子表示）． 10．已知，如图1，在中，，．点D是的中点，点E在延长线上，且．保持不动，将从图1的位置开始，绕点C顺时针旋转得到、D，E的对应点分别为、． (1)求证：； (2)如图2，当点落在边上时，连接，判断此时四边形的形状，并说明理由； (3)在旋转过程中，当时，请直接写出此时旋转角的度数及B，两点间的距离． 类型三、矩形的折叠问题 11．在矩形中，点为边上一点（不与端点重合），连接，将矩形沿折叠，折叠后点与点重合，连接并延长，分别交，于，两点若，，，则的长为 ．    12．如图，在矩形中，点在上，将沿着折叠，使点落在对角线上的点处．如果，，则的值为 ． 13．如图，在矩形中，，，E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，的面积是 ． 14．将矩形的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，已知，，则边 ． 15．如图，在矩形中，，为上一点，将沿折叠，恰与对角线重合，点的对应点为点，再将沿折叠，点的对应点为点，且在上． (1)求证：四边形为菱形； (2)求四边形的面积． 16．在长方形纸片中，，． (1)如图①，将长方形纸片折叠，点B落在对角线上的点E处，则CE的长为______； 类型四、矩形的旋转问题 17．如图，在等腰直角三角形中，，点是的中点．将绕点A旋转得到（点与点对应，点与点对应），当点落在的边所在的直线上时，点到直线的距离为 ． 18．如图，中，，，，，，直线经过点，交边于点，分别过点，作，，垂足分别为，，设线段，的长度分别为，．若直线从与重合位置开始顺时针绕着点旋转，至与压合时停止，在旋转过程中，的最大值为（    ）    A． B．1 C． D． 19．如图，在矩形中，，，点E、F分别是、的中点，将绕点A旋转得到，当点在直线上时，的长为 ．    20．如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，交于点，求证：． 21．在矩形中，对角线，交于点O，把绕点A顺时针旋转，使点B刚好落在线段上的点E处，点C旋转至点F处，交于点G． (1)求证：为等腰三角形； (2)试判断与的关系，并说明理由． 类型五、菱形的折叠问题 22．如图，把菱形沿折叠，点落在边上的处，若，则的大小为 ． 23．如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 24．如图，在菱形纸片中，． （1） ． （2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为 ． 25．如图，菱形纸片，，，将该菱形纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕与边、分别交于点、，则的长为 ． 26．如图，四边形是矩形，E、F分别是线段、上的点，点O是与的交点．若将沿直线折叠，则点与点重合．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的值． 27．如图，有一张矩形纸片， 将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕交边于E，交边于F，连接和． (1)求证：四边形 是菱形． (2)若 的面积为 ，求的周长． 类型六、菱形的旋转问题 28．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，ADx轴，AD＝2，∠A＝60°．将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在y轴上，则旋转后点A的对应点的坐标是（    ）． A．或 B． C． D．或 29．如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连接，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 30．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，，将菱形绕点O旋转任意角度得到菱形，则点的纵坐标的最小值为（    ）    A． B． C． D．1 31．如图，四边形是菱形，，点为平面内一点，连接，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，连接． 点在直线上，，则线段的长为 ． 类型七、正方形的折叠问题 32．在边长为1的正方形中，，连接，将沿折叠得到，交于点，延长交于点，则点到的距离是 ． 33．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接，现在有如下4个结论：①；②；③的周长是一个定值；④连结，的面积等于．在以上4个结论中，正确的是 ． 34．如图，在正方形中，点E是边上一点，将沿着折叠，点B落在点F处，延长交于点G．若，，则的长为 ． 35．如图，四边形为正方形，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为点，延长交线段于点，若，求的长． 36．如图，正方形的边长为8，点E在边上（不与端点重合），将沿翻折，得到，连接，． (1)当平分时，求点F到的距离． (2)求的周长的最小值，并求出此时的长． (3)若为直角三角形，求的长． 类型八、正方形的旋转问题 37．如图，正方形和正方形的边长都是2，正方形绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 38．如图，正方形的边长为 5，将正方形绕点 A 旋转得到正方形，连接，，当为直角三角形时，的长是 ．    39．如图，在中，，，，D为边上一动点，将线段绕点C按逆时针方向旋转得到线段，连接，则的最小值为 ． 40．问题解决： (1)已知在中，，．四边形是正方形．H为所在的直线与的交点，如图1，当点F在上时，请判断和的关系，并说明理由．    (2)如图2将正方形绕点C旋转，当点D在直线右侧时连接，请就图2证明：； (3)将正方形绕点C旋转一周，当时，若．请直接写出线段的长． 1．如图，在矩形中，，将绕点旋转得到，连接，交于点，连接，则的长度为 ． 2．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝2，E为AB的中点，F分别为AD边上的动点，将∠A沿EF折叠，点A落在平面内的点处，且点在∠BAD外部，当折叠后重叠部分为等腰三角形时，则线段DF的长为 ． 3．如图，在Rt中，，点是边上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在点处，当与的边平行时，线段的长为 ．        4．如图所示，将绕点A按逆时针方向旋转，得到（点与点、点与点、点与点分别对应）．若点恰好落在上，则 ． 5．如图，矩形纸片，，，点E在线段上，将沿向上翻折，点C的对应点落在线段上，点M，N分别是线段与线段上的点，将四边形沿向上翻折，点B恰好落在线段的中点处．则线段的长 ． 6．如图，正方形的边长为4，点G是边的中点，点E是边上的动点，连接，将沿翻折得到，连接，则的最小值是 ；此时的长为 ． 7．在菱形中，，边长为8，点M是边上一点，点N是边上一点，将沿翻折，点A的对应点恰好落在菱形的一条边上，若，则的长为 ． 8．平行四边形中，，，，点E在线段上，点F在线段上．沿折叠，使A落在边上的G处（如图），若，求的长． 9．如图，点是矩形内一点，，把绕点按顺时针方向旋转，得到（点对应点，点对应点）．延长交于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，，求． 10．如图，在平行四边形中，，．将一个的的顶点放在点C处，并绕点C旋转，当与交于点M，同时与交于点N，连接． (1)求平行四边形的面积； (2)求证：； (3)求的周长的最小值． 11．综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形的折叠活动．    (1)操作与证明 ①小李将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，如图1，若，则__________； ②小张将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，如图2所示，求证：是等腰三角形； (2)迁移与应用 在（1）②的前提下，连接，如图3所示，若，，求的长． 12．【特例感知】 （1）如图1，为等腰直角三角形．将绕点A逆时针旋转得到，过作交直线于点F，直线与直线交于点G．则的形状为______三角形； 【类比探究】 （2）如图2，将背景图形“等腰直角三角形”换成“矩形”，其余条件均不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，将“旋转”换成“旋转”．请直接写出当是等腰三角形时的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $而学科网·上好课 www.zxxk.com 专题03平行四边形、矩形、 菱形、 与旋转 目录 典例讲解 类型一、平行四边形的折叠问题 类型二、平行四边形的旋转问题 类型三、矩形的折叠问题 类型四、矩形的旋转问题 类型五、菱形的折叠问题 类型六、菱形的旋转问题 类型七、正方形的折叠问题 类型八、正方形的旋转问题 压轴专练 典例详解 类型一、平行四边形的折叠问题 1.如图，将一张口ABCD纸片沿着AE折叠，点B的对应点F恰好落在AD CD=2,则图中阴影部分（△AEF)的面积是(） A.4 B.√6 C.5 D.2 【答案】C 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,AB=CD=2,∠BAD=∠C=120°， 1/73 上好每一堂课 正方形的折叠 上，连接EF,若∠C=120°， 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠B+∠C=180°， .∠B=60°， 由折叠性质可知：∠BAE=∠FAE=!∠BAD=60°，△ABE≌△AFE, ∠B=LBAE=60°，SABE=SAFE, :△ABE是等边三角形， .AB=BE=AE=2, 过A作AH⊥BC于点H, B :BH EH =1, ∴AH=√AB2-BH7=√22-1F=5, S号Ea4h-2x5=5, S.MEF =S4BE=3 故选：C. 2.如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，将ADE沿AE折叠至△AD'E处，AD'与CE交于点 F,若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED'的大小为() D E B D A.20° B.30° C.36° D.40° 【答案】C 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， .∠D=LB=52°， ∠DAE=20°， ∴.∠AED=180°-∠DAE-∠D=180°-20°-52°=108°， ∠AEF=180°-∠AED=180°-108°=72°， 2/73 学科网·上好课 上好每一堂课 由折叠性质得：∠AED'=∠AED=I08°， ∴∠FED'=∠AED'-∠AEC=108°-72°=36°. 故选：C 3.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2,AB=√2，∠ABC=45°，点E是线段BC上一个动点，将 △ABE沿AE折叠到△AB'E位置、再将AAB'E沿行AB'折叠到△AB'E'位置，当E落在平行四边形ABCD边上 时，则BE的长度为 E B.--- E 【答案】2-√2或1 【详解】解：平行四边形ABCD, AD=BC=2,AB=CD=V2,∠B=∠D=45°， 如图，当E落在BC上时， D B B :由对折可得：AE=AE',BE=B'E=B'E',AB=AB=√2，LB=LAB'E=45°， AB'⊥EE',记垂足为Q, .A02+BO2 AB2,EO=B'O, :AB=V2,∠ABC=45°， 40=BO=AB=1 QB'=V2-1=0E, BE=B'E=V2(2-1=2-2, 如图， E D B2--E-℃B 当BE=B'E=B'E'=1,LB=LAB'B=LAB'E=45°，LAEB=∠AEB'=LAE'B'=90°， 3/73 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 此时C,B重合，AB=AB'=√2，∠BAC=90°， .E落在AD上， BE=1, 综上：BE=2-√2或BE=1. 故答案为：2-√2或1 【点晴】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质， 二次根式的运算，作出图形，利用数形结合的方法解题是关键， 4.如图，在口ABCD中，AB=6,AD=8,∠A=60°，将口ABCD折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD, BC分别于点E,F,则AE=一 A B 、E G D 【答案】号 【详解】解：设AE=2x,作EL⊥GD于点L,则LGLE=LDLE=90°， A B E D :AB=6,AD=8,∠A=60° .由折叠可知GD=AB=6,GE=AE=2x,∠G=∠A=60° ∠GEL=90°-60°=30°， .GL=GE=x, 2 .DL=GD-GL=6-x, GE2-GL2 =DE2-DL2=LE2, (2x)2-x2=(8-2x)-(6-x)2, 4/73 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解移子， ·AE=2r=14 故答案为：5 14 【点晴】此题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识， 作高构造直角三角形是解题的关键。 5.在平行四边形ABCD中，AB=4,BC=3√2，LD=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直 线翻折后得△AFE,那么△AFE与四边形AECD重叠部分的面积是 【答案】 【分析】 【详解】解：如图， B E C F :四边形ABCD是平行四边形， AB=CD=4,AD=BC=3√2，∠B=LD=45°， 根据沿直线折叠特点，△AFE≌△ABE, ∠F=∠B=∠D=45°， 在aABE中，∠B=45°，AB=4,则AB=BE=54B=2N2, 2 3m=Sm×2x25=4, CF=EF-EC=BE-(BC-BE)=22-32-22=2, 设CD与AF相交于点P, .在平行四边形ABCD中，CD∥AB, .∠PCF=LB=45°=∠F, :CFP为等腰直角三角形，底边CF=EF-BC=BE-(BC-BE)=25-(3万-2)=万，高为2， 2×2x27 S量0=SE-S.6p=4- 、22 5/73 学科网·上好课 上好每一堂课 故答案为：2 7 6.如图，点E为口ABCD的边AB上一点，将△BCE沿CE翻折得到△FCE,点F落在对角线AC上，且 AE=AF,若∠BAC=28°，那么∠BCD= B D 【答案】76°/76度 【详解】解：：AE=AF,∠BAC=28°， ·∠4EF=∠AFE=180°-280 =76°， .四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD, .∠B+∠BCD=180°， 由折叠得：∠BEC=∠FEC,LBCE=∠FCE, :∠BEC+∠FEC+∠AEF=180°，∠AEF=76°， ∠BEC=∠FEC=52° ∴∠BCE=∠FCE=LAFE-∠FEC=76°-52°=24°， ∠B=180°-∠BCE-∠BEC=104°， ∠BCD=180°-∠B=76. 故答案为：76°. 【点晴】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等内容，解题的 关键是折叠的性质的运用. 类型二、平行四边形的旋转问题 7.在综合与实践活动中，同学们以“图形的旋转”为主题展开数学研究性学习.在ABC中，∠C=90°， AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,将△DBE绕点D按顺时针方向旋转得到△DFG,点B,E的 对应点分别是点F,G,GF交AE于点H,连接DH,BF.若GF∥AB,下列结论正确的有() ①AE=GF;②AE⊥DG;③四边形DHFB为平行四边形；④若AC=6,BC=8,则DG=4. 6/73 命学科网·上好课 WW A.1个 B.2个 C. 【答案】C 【分析】 【详解】解：：DE垂直平分AB, AE=BE,∠ADE=∠BDE=90°，AD=BD, :.RtAADE≌RtABDE (HL, ∴.∠AED=∠BED, 由旋转可知，△BDE≌△FDG, :.GF=BE, AE=GF, 故①正确，符合题意； :∠ADE=90°， .∠A+∠AED=90°， 由旋转可知，∠G=∠BED, .ZG ZAED GF∥AB, LADG=LG=∠AED, .∠A+∠ADG=90°，即AE⊥DG, 故②正确，符合题意； :DE垂直平分AB, .AE =BE,AD BD, ∴.∠EBA=∠EAB, :△DBE绕点D按顺时针方向旋转得到△DFG, .LDFG=LDBE=∠DAE, w.Zxxk.com 3个 D.4个 7/73 澂系一每并丁 函学科网·上好课 :GF∥AB, .∠BDF=∠DFG, ∴.∠BDF=∠DAE, AH∥DF, :GF∥AB, :四边形AHFD为平行四边形， ∴.AD=HF, .BD =HF, 又：GF∥AB, .BD∥FH, 四边形BDHF是平行四边形； 故③正确，符合题意； :∠C=90°，AC=6,BC=8, .AB=10, .AD =BD =5, AE BE 设AE=BE=x, .CE BC-BE=8-x, 在RtAACE中，由勾股定理，得：AE2= x2=62+8-x)2, 25 解得：x=二 4 ·BE=25 4 在Rt△BDE中，DE=VBE2-DB2= 5 ÷DG=DE=15 故④错误，不符合题意. 综上，共有3个正确. 故选：C www.zxxk.com AC2+CE2, 8/73 澂系一每并丁 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【点晴】本题主要考查平行四边形的判定和性质，中垂线的性质，旋转的性质，勾股定理等知识点，解题 的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用. 8.如图，在口ABCD中，AB=4,BC=6,∠ABC=60°，对角线AC与BD交于点O,将直线1绕点O按 顺时针方向旋转，分别交AD、BC于点E、F,则四边形ABFE周长的最小值是一· H F 【答案】10+2√5 【详解】解：如图所示，过点A作AG⊥BC,垂足为G, G .∠AGB=90°， :ABC=60°， ∠BAG=90°-60°=30°， :BG-48=2, .AG=VAB2-BG2=V42-22=2V5, “四边形ABCD是平行四边形， :AD∥BC,AO=C0, .∠EAO=∠FCO, 在△A0E和△COF中， [∠AOE=∠COF A0=CO ∠EAO=∠FCO :△AOE≌COF(ASA), 9/73 画学科网·上好课 上好每一堂课 :AE=CF :AB=4,BC=6, ·四边形ABFE的周长=AB+BF+EF+AE=AB+BF+EF+CF=AB+BC+EF=10+EF, :当EF的值最小时，四边形ABFE的周长最小， ∴.当EF⊥BC时，EF有最小值，此时EF=AG=2V3, :四边形ABFE的周长最小值为10+25， 故答案为：10+2V3. 9.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,LBAC=90°，AB=AC=CD=2√2.将△ACD沿AC剪下来， 以A为旋转中心逆时针旋转α(0°<α<180)，旋转过程中，AD、AC'与BC所在的直线的交点分别为E、 F. D C 图1 图2 D 图3 (I)求证：△ABC≌△CAD; (2)当旋转角为45°时，如图2所示，求重叠部分的面积； (3)在旋转过程中，若CE=1,如图3所示，求CF的长； (4)在旋转过程中，若CE=x,请直接写出BF的长（用含x的式子表示）. 【答案】(1)见解析 (2)2 e (4BF=4x-8 x-4 【分析】 【详解】(1)解：：AB∥CD,AB=CD :.四边形ABCD是平行四边形 .AD BC 10/73