专题02 四边形的综合性问题（压轴题专项训练）数学新教材湘教版八年级下册

专题02 四边形的综合性问题 目录 1 类型一、四边形的动点问题 1 类型二、四边形中的线段最值问题 9 类型三、四边形中的新定义问题 15 29 类型一、四边形的动点问题 一、问题分类与特征识别 轨迹类型判断 直线型轨迹：动点受平行条件或中垂线约束（如"点P在BC边上移动"） 圆弧型轨迹：存在定长约束（如"保持AP=2cm"） 复合轨迹：需分段讨论（如梯形内动点触及不同边界） 四边形性质运用 平行四边形：对角线互相平分→可构造全等三角形 梯形：腰长不等时需注意高线变化→影响面积函数定义域 菱形：边长相等特性→简化距离计算 二、核心解题方法 几何变换法 对称变换：当动点问题涉及最短路径时（如将军饮马问题） 旋转变换：适用于存在60°、90°等特殊角的情况 示例：将△ABP绕B点旋转60°构造等边三角形 函数建模法 步骤：设动点坐标→建立几何量函数→求极值 关键：合理选择自变量（通常用时间t或线段比例k） 案例：梯形ABCD中，设BP=x，则面积S=1/2(x+4)h 特殊位置法 端点检验：动点运动至顶点时的临界状态 中点验证：平行四边形对角线交点常为关键点 例1．如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从点，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度．设运动时间为，其中． (1)若，分别是，的中点，则四边形一定是____________（，相遇时除外）． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． 变式1-1．如图，在菱形中，．，两点分别从点，同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿射线方向匀速运动；点以每秒1个单位长度的速度沿边方向向终点匀速运动．当点到达点时停止运动，点也同时停止运动．连接，设点的运动时间为秒的面积为平方单位． (1)菱形的周长为___________． (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当为直角三角形时，直接写出的值． 变式1-2．如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 变式1-3．如图，在中，，，边上的高为12．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒10个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设运动的时间为（秒），连接． (1)当点与点重合时，的值为________． (2)直接写出的长（用含的代数式表示）； (3)当平分面积时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 类型二、四边形中的线段最值问题 一、几何变换法 对称转化 适用场景：折线段和（如"将军饮马"模型） 操作步骤： ① 任取四边形ABCD中定点A，作动点P所在边BC的对称点A' ② 连接A'与另一固定点D，与BC的交点即为所求P点 ③ 最值线段为AP+PD=A'D 示例：矩形ABCD中，AB=4，AD=3，求AP+PD最小值（答案为5） 旋转构造 适用场景：共顶点的等长线段（如正方形中的旋转全等） 关键步骤：将△APB绕点A旋转60°构造等边三角形 二、代数建模法 坐标系法 建立坐标系后，设动点坐标为参数方程 示例：梯形ABCD中建立坐标系，用距离公式表示PE+PF（需注意定义域） 函数思想 将线段关系表示为二次函数，通过顶点求极值 重点：注意自变量取值范围对最值的影响 三、特殊四边形性质 平行四边形：对角线平方和定理（|AC|²+|BD|²=2(AB²+AD²)） 菱形：利用对角线垂直性质，转化为勾股定理问题 梯形：中位线定理与高线的关系 例2．如图，在四边形中，，，E为边上一点．若四边形的面积为24，的最小值为 ． 变式2-1．如图，在矩形中，，，、分别是边、上的动点，连接、，为的中点，为的中点，连接，则的最大值是 ． 变式2-2．如图所示，将两个长为9，宽为3的全等矩形叠合从而得到四边形，求四边形面积的最大值与最小值的差． 变式2-3．如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，求的最小值． 类型三、四边形中的新定义问题 一、理解新定义的核心要点 提取关键信息 例：若题目定义"对角互补四边形"为"一组对角之和为180°"，需立刻联想圆内接四边形性质。 技巧：用不同颜色标注题干中的条件与结论，避免遗漏隐含条件（如边长的特殊关系）。 几何性质转化 将新定义与已知定理挂钩，如"等邻边四边形"可转化为等腰三角形组合问题。 工具：绘制标准图形时，建议使用几何画板动态验证猜想。 二、解题策略的灵活应用 辅助线技巧 对角线分割法：适用于对角线具特殊性质（如垂直、平分）的四边形。 补形法：将四边形补为三角形或平行四边形（例：缺角四边形可延长两边构造全等）。 代数方法 设未知数建立方程：当涉及边长比例或角度关系时，列方程组求解更高效。 坐标系法：对含动点的问题，建立坐标系通过解析几何计算（需注意计算量控制）。 分类讨论 例：定义"旋转对称四边形"时，需考虑旋转角度为90°或180°的不同情况。 关键：制定明确的分类标准（如按对角线数量、对称轴位置划分）。 三、验证与经验总结 解后检验 几何验证：测量工具复核对角线长度、角度是否满足定义。 极端值测试：取菱形、矩形等特殊四边形检验通解正确性。 模型归纳 建立"新定义-旧知识"对应表（如"等积四边形"→同底等高三角形组合）。 记录高频考点：近年考题中"双圆四边形""完美四边形"等概念的常见解法。 例3．定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”． (1)下面的图形中是“字平行四边形”的有：___________； A．正方形    B．矩形    C．有一个角是的菱形 D．有一个角是的平行四边形    E．有一个角是的平行四边形 (2)在“字平行四边形”中，，则_____________； (3)如图，在矩形中，点、分别是边和边上的点，四边形为“字平行四边形”，若，求的值． 变式3-1．定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对补四边形”． 【尝试判断】 （1）在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“对补四边形”的是__________； （2）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则边的长是__________； 【操作探究】如图2，在菱形中，于点E，请在边找一点，使得以点A，E，C，F组成的四边形为“对补四边形”，直接写出的长是__________； 【拓展延伸】如图3，在正方形中，，点E，F，G分别从点B，B，C同时出发，并分别以每秒1，1，2个单位长度的速度，分别沿正方形的边方向运动（保持），再分别过点作的垂线交于点H，连接．试说明：四边形为“对补四边形”； 【实践应用】某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对补四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余，请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长． 变式3-2．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为． （1）发现：由勾股定理得___________，___________． （2）猜想：___________．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，，相交于点． （3）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 变式3-3．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中是“神奇四边形”的是________；（填序号） (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连接，． ①判定四边形是否为“神奇四边形”； ②如图2，点M，N，P，Q分别是，，，的中点，则四边形________“神奇四边形”；（填“是”或“不是”） (3)如图3，点F，R分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O．若，正方形的边长为9，求线段的长． 1．如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，边长为的正方形内有一动点，满足，为边上的动点，连接，． （1）当点为边的中点时，长的最小值为 ； （2）的最小值为 ． 3．如图，在菱形中，、交于点，点为边上的一个动点，点为对角线上的一个动点，过点分别作于点，作于点，连接．已知，则菱形的面积为 ；在点的运动过程中，的最小值为 ． 4．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上运动，且，连接，过点作交于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 5．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．以点为顶点的四边形是平行四边形时值为 秒． 6．定义：一组对角互补且对角线平分四边形其中一个内角，这样的四边形称为余缺四边形．如图1，在四边形中，，平分，则四边形为余缺四边形． 【概念理解】 （1）用____________（填序号）可以拼成余缺四边形． ①两个全等的直角三角形，②两个全等的等边三角形； 【迁移应用】 如图2，已知，的平分线与的垂直平分线交于点，连接． （2）求证：四边形为余缺四边形； （3）若，则的值为____________．        7．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形；    B．矩形；    C．菱形；    D．正方形． 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①______；②______． 问题解决：如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． （1）连结，，问，的数量关系和位置关系是什么？请说明理由． （2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”） 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点． （3）试探索与的数量关系，并说明理由． （4）若的最小值是，则的长度为______．（不需要解答过程） 8．阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1） 如图 1 ，已知四边形是“等对角四边形”， ，，． 求的度数 ． 问题解决： （2） 如图 2 ，在中，，为斜边边上的中线， 过点作交于点，证明： 四边形是“等对角四边形” ． 拓展应用： （3） 如图 3 ，已知在“等对角四边形” 中，，，，，求对角线的长 ． 9．我们定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻边四边形”． (1)如图1、点A，B，C在网格格点上，请你在网格图甲和乙中画出2个不同形状的等邻边四边形，要求顶点D在网格格点上； (2)如图2，矩形中，，，点E在边上，连接 ，作于点F，若，找出图中的等邻边四边形，并说明理由； (3)如图3，在中，，，，D是的中点，点M是边上一点（不与A，B重合），当四边形是等邻边四边形且为相等的邻边之一时，的长为 ． 10．定义图形 如图1，在四边形中，M、N分别是边、的中点，连接．若两侧的图形面积相等，则称为四边形的“对中平分线”      提出问题 有对中平分线的四边形具有怎样的性质呢? 分析问题 （1）如图2，为四边形的“对中平分线”，连接，，由M为的 中点，知与的面积相等，则，有怎样的位置关系呢?请说明理由． （2）在（1）的基础上，小明提出了下列三个命题，其中假命题的是_____（请把你认为假命题的序号都填上） ①若，则四边形是平行四边形； ②若，则四边形是菱形； ③若，则四边形是矩形． 深入探究 如图3，四边形有两条对中平分线，分别是，，且相交于点O，若．请探索四边形的形状并说明理由． 11．【问题发现】 （1）如图1，在矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，则： ①______，______，______，______； ②______填“”“”或“； 【类比探究】 （2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，的反向延长线于点，，②中的结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，是外一点，，，，请求出的最小值． 12．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒（）．过点作于点，连接，．    (1)当为何值时，四边形是菱形？请说明理由； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 13．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点，运动的时间为． (1)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． (2)从运动开始，当取何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是正方形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 14．如图，已知平行四边形的对角线、相交于点，、，两动点、同时分别以的速度从点、出发在线段相对运动． (1)求证：当、运动过程中不与点重合时，四边形一定为平行四边形； (2)当、运动时间为何值时，四边形为矩形？ 15．已知：如图，在矩形中，，．在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上．          (1)当四边形是正方形时，求的长； (2)当四边形是菱形时，求证：； (3)面积的最大值为________；此时的长为________； (4)在点运动的过程中，请直接写出点运动的路线长为________． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 四边形的综合性问题 目录 1 类型一、四边形的动点问题 1 类型二、四边形中的线段最值问题 9 类型三、四边形中的新定义问题 15 29 类型一、四边形的动点问题 一、问题分类与特征识别 轨迹类型判断 直线型轨迹：动点受平行条件或中垂线约束（如"点P在BC边上移动"） 圆弧型轨迹：存在定长约束（如"保持AP=2cm"） 复合轨迹：需分段讨论（如梯形内动点触及不同边界） 四边形性质运用 平行四边形：对角线互相平分→可构造全等三角形 梯形：腰长不等时需注意高线变化→影响面积函数定义域 菱形：边长相等特性→简化距离计算 二、核心解题方法 几何变换法 对称变换：当动点问题涉及最短路径时（如将军饮马问题） 旋转变换：适用于存在60°、90°等特殊角的情况 示例：将△ABP绕B点旋转60°构造等边三角形 函数建模法 步骤：设动点坐标→建立几何量函数→求极值 关键：合理选择自变量（通常用时间t或线段比例k） 案例：梯形ABCD中，设BP=x，则面积S=1/2(x+4)h 特殊位置法 端点检验：动点运动至顶点时的临界状态 中点验证：平行四边形对角线交点常为关键点 例1．如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从点，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度．设运动时间为，其中． (1)若，分别是，的中点，则四边形一定是____________（，相遇时除外）． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． 【答案】(1)平行四边形 (2)2或8 【分析】（1）根据矩形的性质结合平行线的性质可得到，，通过中点可证明，进而证明，利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解． 【详解】（1）解：平行四边形． 由题意得：, ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，分别是，中点， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图①，连接． ，分别是，的中点，四边形是矩形， 四边形是矩形， ． 分以下两种情况讨论： ①如图①，当四边形是矩形时，． ，，， ． ， ， ； ②如图②，当四边形是矩形时，，． ， ， ． 综上所述，四边形为矩形时，的值为2或8． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用． 变式1-1．如图，在菱形中，．，两点分别从点，同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿射线方向匀速运动；点以每秒1个单位长度的速度沿边方向向终点匀速运动．当点到达点时停止运动，点也同时停止运动．连接，设点的运动时间为秒的面积为平方单位． (1)菱形的周长为___________． (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)16 (2) (3)的值为或 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质和勾股定理． （1）利用菱形周长公式求解即可； （2）作交延长线于点，分当点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，利用三角形面积公式求解即可； （3）分当和时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵菱形中，， ∴菱形的周长为， 故答案为：16； （2）解：作交延长线于点， 由题意得，则，， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴，， 当点在线段上即时，， 当点在线段的延长线上即时，， 综上，； （3）解：当时， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得； 当时， 同理，，即， 解得； 综上，的值为或． 变式1-2．如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 【答案】(1)， (2)a的值为2或 【分析】（1）先根据点P运动的速度与时间，用t表示出，再根据，用t表示出； （2）分、两种情况讨论，分别求出a的值． 【详解】（1）解：点P在线段上以的速度由B点向点C运动，运动的时间为t秒， ， ， ， 故答案为：2t，； （2）当时， 此时，， 则有，， 此时，． 当时， 此时，， 则有，， 此时，． 综上所述，a的值为2或． 【点睛】本题考查了列代数式，全等三角形的性质，根据正方形的性质求线段长，（特殊）平行四边形的动点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 变式1-3．如图，在中，，，边上的高为12．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒10个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设运动的时间为（秒），连接． (1)当点与点重合时，的值为________． (2)直接写出的长（用含的代数式表示）； (3)当平分面积时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1)6 (2) (3)12或4 (4)2或或8 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质，进行分类讨论是解题的关键． （1）由题意可得，即可； （2）分点点出发沿运动和点出发沿运动两种情况讨论即可； （3）分两种情况，结合梯形的面积公式分别求出t的值即可． （4）分两种情况，结合矩形的性质、平行四边形的性质分别求出t的值即可． 【详解】（1）解：点Q与点C重合时， 由题意得：， 解得：， 即点Q与点C重合时，t的值为6； （2）解：当点Q沿运动时，； 由题意得：； 当点Q沿运动时，， ∴， 即； （3）解：∵面积为， ∴梯形的面积为 分两种情况： 当点Q沿运动时，如图， ∴， 解得：； 当点Q沿运动时，如图， 同理：， 解得：， 此时，两点重合，两点重合； 综上所述，当平分面积时，t的值为12或； （4）解：分两种情况： 点Q沿运动时， 如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点Q沿运动时， 如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，当点Q在点H右侧时， 同理， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在点H左侧时，如图，则四边形是矩形，即， ∴， 解得：； 综上所述，当时，t的值为2或或． 类型二、四边形中的线段最值问题 一、几何变换法 对称转化 适用场景：折线段和（如"将军饮马"模型） 操作步骤： ① 任取四边形ABCD中定点A，作动点P所在边BC的对称点A' ② 连接A'与另一固定点D，与BC的交点即为所求P点 ③ 最值线段为AP+PD=A'D 示例：矩形ABCD中，AB=4，AD=3，求AP+PD最小值（答案为5） 旋转构造 适用场景：共顶点的等长线段（如正方形中的旋转全等） 关键步骤：将△APB绕点A旋转60°构造等边三角形 二、代数建模法 坐标系法 建立坐标系后，设动点坐标为参数方程 示例：梯形ABCD中建立坐标系，用距离公式表示PE+PF（需注意定义域） 函数思想 将线段关系表示为二次函数，通过顶点求极值 重点：注意自变量取值范围对最值的影响 三、特殊四边形性质 平行四边形：对角线平方和定理（|AC|²+|BD|²=2(AB²+AD²)） 菱形：利用对角线垂直性质，转化为勾股定理问题 梯形：中位线定理与高线的关系 例2．如图，在四边形中，，，E为边上一点．若四边形的面积为24，的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点A作，交的延长线于点F，连接，作关于的对称线段，连接，先证明四边形是正方形，同时求出，进一步推得，然后证明，得出，再根据轴对称的性质得到，所以，同时可证明，，从而，根据两点之间线段最短，即可利用勾股定理求解． 【详解】解：过点A作，交的延长线于点F，在上取点M，使，连接，过点M作，交于点N，作关于的对称线段，连接， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 和关于对称， ，F、C、G三点共线， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 当点M在上时，最小，即取得最小值， 在中，，， ， 最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的最值问题，轴对称的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是关键． 变式2-1．如图，在矩形中，，，、分别是边、上的动点，连接、，为的中点，为的中点，连接，则的最大值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理和三角形中位线定理，关键是利用三角形中位线定理将求的最大值转化为求的最大值，通过分析动点的位置确定的最大值． 【详解】解：连接、， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵，， ∴由勾股定理可得； ∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线， 根据三角形中位线定理得， ∴当有最大值时，有最大值； ∵点是边上的动点， ∴当点与点重合时，的长度等于的长度，此时取得最大值，则的最大值为． 故答案为：5． 变式2-2．如图所示，将两个长为9，宽为3的全等矩形叠合从而得到四边形，求四边形面积的最大值与最小值的差． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平行四边形，菱形以及正方形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 作于点于点，根据平行四边形的性质以及等面积可得平行四边形是菱形，然后求出四边形面积的最大值和最小值即可． 【详解】解：如图①所示，作于点于点， ， ∴四边形是平行四边形， ∵两个矩形的宽都是3， ， ， ， 平行四边形是菱形； 如图②所示，当菱形的一条对角线为矩形的对角线时， 四边形的面积最大．设，则， ， ， 解得． 四边形面积的最大值是． 当四边形的边长最小时，其面积有最小值， 此时四边形是正方形，其最小面积为 所求四边形面积的最大值与最小值的差是． 变式2-3．如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质、轴对称的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理，关键是利用轴对称将折线段转化为直线段，将求的最小值问题转化为求线段的长度问题，再结合特殊四边形的性质求出构成直角三角形的两条直角边长度，最后用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，． ∵为线段上的动点， ∴如图，可以看作是定线段沿菱形在方向上水平运动， 点的运动轨迹为线段，过点作关于线段的对称点． 由对称性，得， ∴， 如图，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 设与交于点，交于点，延长交延长线于点，菱形中，，， ∴，，． 由题意可得， ∴由对称性可得，∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 类型三、四边形中的新定义问题 一、理解新定义的核心要点 提取关键信息 例：若题目定义"对角互补四边形"为"一组对角之和为180°"，需立刻联想圆内接四边形性质。 技巧：用不同颜色标注题干中的条件与结论，避免遗漏隐含条件（如边长的特殊关系）。 几何性质转化 将新定义与已知定理挂钩，如"等邻边四边形"可转化为等腰三角形组合问题。 工具：绘制标准图形时，建议使用几何画板动态验证猜想。 二、解题策略的灵活应用 辅助线技巧 对角线分割法：适用于对角线具特殊性质（如垂直、平分）的四边形。 补形法：将四边形补为三角形或平行四边形（例：缺角四边形可延长两边构造全等）。 代数方法 设未知数建立方程：当涉及边长比例或角度关系时，列方程组求解更高效。 坐标系法：对含动点的问题，建立坐标系通过解析几何计算（需注意计算量控制）。 分类讨论 例：定义"旋转对称四边形"时，需考虑旋转角度为90°或180°的不同情况。 关键：制定明确的分类标准（如按对角线数量、对称轴位置划分）。 三、验证与经验总结 解后检验 几何验证：测量工具复核对角线长度、角度是否满足定义。 极端值测试：取菱形、矩形等特殊四边形检验通解正确性。 模型归纳 建立"新定义-旧知识"对应表（如"等积四边形"→同底等高三角形组合）。 记录高频考点：近年考题中"双圆四边形""完美四边形"等概念的常见解法。 例3．定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”． (1)下面的图形中是“字平行四边形”的有：___________； A．正方形    B．矩形    C．有一个角是的菱形 D．有一个角是的平行四边形    E．有一个角是的平行四边形 (2)在“字平行四边形”中，，则_____________； (3)如图，在矩形中，点、分别是边和边上的点，四边形为“字平行四边形”，若，求的值． 【答案】(1)C (2)或 (3)或 【分析】（1）根据“字平行四边形”的定义逐一判断即可； （2）由平行四边形是“字平行四边形”， ，可得，推出，得到，推出，即可求解； （3）过点作于点，过点作于点，两种情况：①当时，②当时，结合相关知识求解即可． 【详解】（1）解：A．正方形的对角线为边长的倍，故不满足； B、矩形的对角线长不等于其中一条边的长，故不满足； C、有一个角是的菱形，有一条对角线的长等于其中一条边的长，故满足； D、有一个角是的平行四边形的对角线，不一定等于其中一条边的长，故不满足； E．有一个角是的平行四边形，不一定等于其中一条边的长，故不满足； 故答案为：C； （2）解：当时，如图所示： 平行四边形是“字平行四边形”， ， ， ， ， ； 当时，如图所示： 平行四边形是“字平行四边形”， ，， ， ， ， ； 综上，或． （3）解：过点作于点，过点作于点，如图所示： 四边形为矩形， ，，， 四边形为平行四边形， ，， ，， 即． 四边形为字平行四边形， 又，． 有以下两种情况： ①当时， ， 为的中点， ． 在矩形中，， 又， ， ， ， ；                                    ②当时， ， 为的中点， ， 设， 则，，． ， ． ， ， ， ， 由可得． ， ． 综上，或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识，并分类讨论． 变式3-1．定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对补四边形”． 【尝试判断】 （1）在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“对补四边形”的是__________； （2）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则边的长是__________； 【操作探究】如图2，在菱形中，于点E，请在边找一点，使得以点A，E，C，F组成的四边形为“对补四边形”，直接写出的长是__________； 【拓展延伸】如图3，在正方形中，，点E，F，G分别从点B，B，C同时出发，并分别以每秒1，1，2个单位长度的速度，分别沿正方形的边方向运动（保持），再分别过点作的垂线交于点H，连接．试说明：四边形为“对补四边形”； 【实践应用】某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对补四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余，请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长． 【答案】[判断尝试]（1）②④；（2）；[操作探究]；[拓展延伸]见解析；[实践应用] 或或或3 【分析】[判断尝试]（1）根据相关四边形的性质判断即可； （2）连接，根据勾股定理求得结果； [操作探究]连接，则，是等边三角形，故取的中点，进而得出结果； [拓展延伸]延长，交于，可证得，从而，进而得出，进一步得出结论； [实践应用]分四种情况进行讨论求解即可． 【详解】[判断尝试]解：（1）矩形和正方形的四个角都是直角， 矩形和正方形是“对补四边形”， 故答案为：②④； （2）如图，连接， 四边形是对补四边形，， ， ， ， ， 故答案为：； [操作探究]解：在菱形中，，，， ，， ，均为等边三角形， ， ， ，， ， 如图，取的中点，连接， 则， 同理：，， ，， 四边形是“对补四边形”， 为等边三角形， ， 故答案为：； [拓展延伸]证明：如图，延长，交于， 四边形是正方形， ，， ，， ， 四边形是矩形， 点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度运动， ， 四边形是正方形， ， ， 同理可得：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形为“对补四边形”； [实践应用]解：①如图，作于，作于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是“对补四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， ； ②如图，作于，作于， 同上可知，四边形是“对补四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， ， ③如图，作，交于，作于， 则四边形是“对补四边形”， 由上知， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ④如图，以为底边作等腰直角三角形，连接，作，交的延长线于点，交于， ，，四边形是“对补四边形”， ，， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 和是边长相等的等腰三角形， ， ， 综上，等腰三角形的腰长为或或或3． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，主要考查正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是掌握新定义和分类讨论的思想． 变式3-2．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为． （1）发现：由勾股定理得___________，___________． （2）猜想：___________．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，，相交于点． （3）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 【答案】（1），；（2）；（3）①四边形是垂美四边形；理由见解析；②． 【分析】（1）根据勾股定理进行求解即可； （2）由勾股定理列出等式即可求解； （3）①先证明可得，再根据三角形内角和定理列式整理可得，然后根据垂美四边形定义进行求解即可；②根据勾股定理，结合，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴，． 故答案为：，． （2）在和中，根据勾股定理得：，， ，， ∴． 故答案为：． （3）①如图2：四边形是垂美四边形；理由如下： ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴； ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形． ②∵，，， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， 根据解析（2）可知：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查四边形的综合应用，掌握垂美四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理等知识点，正确理解垂美四边形的定义并灵活运用勾股定理是解题的关键． 变式3-3．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中是“神奇四边形”的是________；（填序号） (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连接，． ①判定四边形是否为“神奇四边形”； ②如图2，点M，N，P，Q分别是，，，的中点，则四边形________“神奇四边形”；（填“是”或“不是”） (3)如图3，点F，R分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O．若，正方形的边长为9，求线段的长． 【答案】(1)④； (2)①是；②是 (3) 【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （2）①证，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论；②由三角形中位线定理得出，则四边形为平行四边形，再证四边形是正方形，则可得出结论； （3）在取折叠时点的对应点，连接，可以证明，，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，即可解决问题． 【详解】（1）平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等 正方形是“神奇四边形” 故答案为：④ （2）①是 证明：四边形是正方形 在和中 又 四边形是“神奇四边形” ②解：四边形是“神奇四边形”， 理由如下： 为的中点， 为的中位线， 同理：，， ，， ，， ， 四边形为平行四边形 ， ， 平行四边形为菱形 ， ， ， ， ， 四边形为正方形 四边形是“神奇四边形” （3）解：如图，在上取折叠时点的对应点，连接， ∴， 又∵， ∴、在同一直线上，是与的交点， 由翻折的性质可知，，，，， 四边形是正方形，边长为， ，， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， 即线段的长为 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义“神奇四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，本题综合性强理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 1．如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点，易证四边形是平行四边形，推出，此时取得最小值，再根据矩形的性质证明，推出，再证明，进而证明，推出，利用勾股定理求出，结合，求出，证明，推出，由勾股定理求出，再根据，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 此时取得最小值， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，合理作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 2．如图，边长为的正方形内有一动点，满足，为边上的动点，连接，． （1）当点为边的中点时，长的最小值为 ； （2）的最小值为 ． 【答案】 / / 【分析】（1）取的中点，连接，，根据直角三角形的性质可得，为定值．由线段公理可得，，用勾股定理计算出即可； （2）作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为，根据轴对称的性质，，因此．由线段公理可得，，用勾股定理计算出即可． 【详解】解：（1）如图，取的中点，连接，， 在正方形中，，， ∵， ∴是直角三角形， 又∵点是的中点， ∴为定值， ∵点为边的中点， ∴， 在直角中，， 由线段公理可得，， ∴，当点、、三点共线时，取到最小值； （2）如图，作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为， 在正方形中，，， 由轴对称的性质可得，，，， ∴点、 、三点共线， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在直角中，， 由线段公理可得，， ∴，当点、、、四点共线时，取到最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：；． 【点睛】本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，线段最值问题，轴对称的性质以及勾股定理，根据动点的特征判断运动轨迹是解题关键． 3．如图，在菱形中，、交于点，点为边上的一个动点，点为对角线上的一个动点，过点分别作于点，作于点，连接．已知，则菱形的面积为 ；在点的运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 4 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、轴对称求最短路径及面积法的应用． （1）菱形面积为对角线乘积的一半，先利用勾股定理求出对角线的长度，再代入面积公式计算． （2）先利用面积法证明为定值；再利用菱形的轴对称性，将转化为，从而将的最小值转化为点到的距离(菱形的高)；将定值与最小值相加得到最终结果． 【详解】（1）解：∵菱形中，对角线，， ∴． 在中，，， 由勾股定理得， ∴． ∴菱形的面积； 故答案为：． （2）解：如图，连接． 由， 得， ∵， 得到． ∵菱形关于对角线对称， ∴点关于的对称点为，故， ∴． 当、、三点共线且时，最小， 此时为菱形的高， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为； 故答案为：． 4．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上运动，且，连接，过点作交于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】延长交的延长线于点，连接，，容易证明，则．结合正方形的性质可得，，则点是直角斜边上的中点，因此是定值．由可知，当点、、三点共线时，最短，计算此时的长即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，连接，， 在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即点为的中点， 在直角中，点是斜边的中点， ∴， 在直角中，， ∵， ∴当点、、三点共线时，取到最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，线段最值问题与勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 5．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．以点为顶点的四边形是平行四边形时值为 秒． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒） ∵，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动， 到达的时间为（秒）， ∴当在点以及点的左边时，即时， 则， 当在的右边时，即时， 则， 以点为顶点的四边形是平行四边形时， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 6．定义：一组对角互补且对角线平分四边形其中一个内角，这样的四边形称为余缺四边形．如图1，在四边形中，，平分，则四边形为余缺四边形． 【概念理解】 （1）用____________（填序号）可以拼成余缺四边形． ①两个全等的直角三角形，②两个全等的等边三角形； 【迁移应用】 如图2，已知，的平分线与的垂直平分线交于点，连接． （2）求证：四边形为余缺四边形； （3）若，则的值为____________．        【答案】（1）①；（2）见解析；（3）15 【分析】（1）根据余缺四边形的定义，结合折叠的思想去思考拼图解答即可； （2）根据的平分线这一条件，判定以满足了一个条件，只需证明或即可； （3）根据勾股定理，三角形全等解答即可． 【详解】（1）解：②两个全等的等边三角形为成的四边形是菱形，而菱形的对角是相等的，故拼不成余缺四边形； ①将直角三角形沿着斜边折叠，得到四边形符合余缺四边形的条件， 故答案为：①． （2）证明：如图3， ∵的平分线，是四边形的一个内角， ∴对角线平分四边形其中一个内角成立； 过点P作于点E，交的延长线于点G， ∵平分， ∴， ∵的平分线与的垂直平分线交于点， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴四边形为余缺四边形． （3）解：如图3，过点P作于点E，交的延长线于点G， ∵平分， ∴，， ∵的平分线与的垂直平分线交于点， ∴， ∴． ∴， ∵ ∴． ∴， 根据勾股定理，得 ， ∵， ∴． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了新定义问题，线段的垂直平分线性质，角的平分线性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 7．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形；    B．矩形；    C．菱形；    D．正方形． 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①______；②______． 问题解决：如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． （1）连结，，问，的数量关系和位置关系是什么？请说明理由． （2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”） 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点． （3）试探索与的数量关系，并说明理由． （4）若的最小值是，则的长度为______．（不需要解答过程） 【答案】概念理解：D  性质探究： 问题解决：（1） （2）原四边形是“中方四边形”  拓展应用：（3）   （4） 【分析】概念理解：根据三角形中位线定理，以及正方形判定和性质可得答案； 性质探究：由中位线的性质可得：，结合正方形的性质可得结论； 问题解决：（1）如图，取四边形各边中点分别为并顺次连接成四边形， 连接交于， 连接交于，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得 ，推出是菱形， 再由可得菱形是正方形，即可证得结论； 拓展应用：（3）如图， 记的中点分别为，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论； （4）如图， 记的中点分别为，连接交于， 连接， 当点在上 (即共线) 时，最小，最小值为的长，再结合性质探究与拓展应用（3）的结论即可求得答案. 【详解】概念理解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，正方形的对角线相等且互相垂直， ∴一定是“中方四边形”的是正方形； 故答案为：； 性质探究：∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ， ， ∵分别是的中点， ， ， 故答案为：； 问题解决：（1）证明： 如图， 设四边形的边的中点分别为， 连接交于， 连接交于， ∵四边形各边中点分别为， ∴分别是 的中位线， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴. 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴. ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”. 拓展应用：（3）； 理由如下： 如图3， 记的中点分别为， 连接， ∵四边形是“中方四边形”， 分别是的中点， ∴四边形是正方形， ， ， ∵分别是的中点， ， ； （4）如图， 令与的交点为， 连接， 当点在上 (即共线) 时， 最小，最小值为的长， 的最小值， 由性质探究知： 又∵分别是的中点， ， ， 的最小值， 由拓展应用（3）知：， ； ． 故答案为： 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键. 8．阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1） 如图 1 ，已知四边形是“等对角四边形”， ，，． 求的度数 ． 问题解决： （2） 如图 2 ，在中，，为斜边边上的中线， 过点作交于点，证明： 四边形是“等对角四边形” ． 拓展应用： （3） 如图 3 ，已知在“等对角四边形” 中，，，，，求对角线的长 ． 【答案】（1）  （2）证明见解析  （3） 【分析】此题是四边形综合题， 主要考查了新定义“等对角四边形”的理解和应用， 矩形的判定和性质， 勾股定理， 正确作出辅助线是解本题的关键 ． （1） 利用“等对角四边形”的定义借助四边形的内角和定理即可得出结论； （2） 先判断出，进而判断出，最后判断出，即可得出结论； （3） 先构造直角三角形求出和，最后用勾股定理即可得出结论 ． 【详解】解： （1）四边形是“等对角四边形“，， ， ， ， ， 根据四边形内角和定理得，； （2） 在中，为斜边的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是“等对角四边形”； （3） 如图 3 ，过点作于，于， ，， ， ， 根据勾股定理得，， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，． 9．我们定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻边四边形”． (1)如图1、点A，B，C在网格格点上，请你在网格图甲和乙中画出2个不同形状的等邻边四边形，要求顶点D在网格格点上； (2)如图2，矩形中，，，点E在边上，连接 ，作于点F，若，找出图中的等邻边四边形，并说明理由； (3)如图3，在中，，，，D是的中点，点M是边上一点（不与A，B重合），当四边形是等邻边四边形且为相等的邻边之一时，的长为 ． 【答案】(1)见详解； (2)四边形，是等邻边四边形，理由见解析； (3)3 【分析】（1）根据等邻边四边形的定义画出两个不同形状的等邻边四边形； （2）根据题意求出，根据勾股定理求出，计算得到，根据等邻边四边形的定义判断即可； （3）根据条件画出等邻边四边形，再利用等腰三角形的性质与勾股定理求解即可 【详解】（1）等邻边四边形如图所示： （2）四边形,是等邻边四边形，理由如下: 四边形是矩形， ，， 四边形,是等邻边四边形 （3），，， ， D是的中点， 四边形是等邻边四边形且为相等的邻边之一， 如图，四边形是等邻边四边形且 过点D作，垂足为N 在中， 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，理解“等邻边四边形”的定义是本题的关键． 10．定义图形 如图1，在四边形中，M、N分别是边、的中点，连接．若两侧的图形面积相等，则称为四边形的“对中平分线”      提出问题 有对中平分线的四边形具有怎样的性质呢? 分析问题 （1）如图2，为四边形的“对中平分线”，连接，，由M为的 中点，知与的面积相等，则，有怎样的位置关系呢?请说明理由． （2）在（1）的基础上，小明提出了下列三个命题，其中假命题的是_____（请把你认为假命题的序号都填上） ①若，则四边形是平行四边形； ②若，则四边形是菱形； ③若，则四边形是矩形． 深入探究 如图3，四边形有两条对中平分线，分别是，，且相交于点O，若．请探索四边形的形状并说明理由． 【答案】（1）；理由见解析；（2）①；（3）四边形为菱形；理由见解析 【分析】分析问题：（1）过点A作于点E，过点D作于点F，得出，根据，，得出，即，得出，证明四边形为平行四边形，即可得出结论； （2）①根据平行四边形的判定和性质，进行证明即可； ②根据四边形为平行四边形时，，即可说明此命题是假命题； ③根据四边形为等腰梯形时，，说明此命题为假命题； （3）根据解析（1）可得：，，证明四边形为平行四边形，再证明，，得出，说明四边形为菱形． 【详解】解：分析问题：（1）；理由如下： 过点A作于点E，过点D作于点F，如图所示：    ∵，， ∴， ∵为四边形的“对中平分线”， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 即； （2）①∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵M、N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，故①是真命题；    ②当四边形为平行四边形时，，， ∵M、N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴当四边形为平行四边形，而不是菱形时，，故②是假命题； ③当四边形为等腰梯形时，延长、交于点E，如图所示：    ∵四边形为等腰梯形， ∴， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴四边形为等腰梯形，， ∴时，四边形不一定是矩形，故③是假命题； 综上分析可知：真命题为①． （3）四边形为菱形；理由如下： ∵四边形有两条对中平分线，分别是，， ∴根据解析（1）可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵M、N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可得：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，等腰三角形的判定与性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握特殊四边形的判定方法． 11．【问题发现】 （1）如图1，在矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，则： ①______，______，______，______； ②______填“”“”或“； 【类比探究】 （2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，的反向延长线于点，，②中的结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，是外一点，，，，请求出的最小值． 【答案】（1）①5，，，；②；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）由矩形的性质得，，则得，则四边形和四边形都是矩形，所以，，，则，因为，，即可根据勾股定理求得问题的答案； 由，，得，于是得到问题的答案； （2）先证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，求得；再由，，求得，所以，则，所以中结论成立； （3）作交的延长线于点，则，所以，，作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、，可证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，则，求得，则，所以，求得的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：如图， 四边形是矩形，，， ，， 过点作，分别交，于点，， ， 四边形和四边形都是矩形， ，，， ， ， ，， ， ，， 故答案为：，，，． ，， ， 故答案为：． （2）解：成立，理由如下： 如图， 四边形是矩形， ， ， 过点作，分别交，反向延长线于点，， ， 四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ； ，， ， ， ． （3）解：如图，作交的延长线于点，则， ，， 作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、， ， ， ， 四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 的最小值为． 【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查矩形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短、类比及数形结合数学思想的运用等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题． 12．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒（）．过点作于点，连接，．    (1)当为何值时，四边形是菱形？请说明理由； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)时，四边形是菱形，理由见解析． (2)或，理由见解析． 【分析】本题考查了含有角的直角三角形的性质，菱形的判定，四边形中的动点问题，根据题目中信息和菱形性质找到边长的等量关系列方程是解题关键． （1）由题可得四边形为平行四边形，令列方程求解即可． （2）分类讨论：①，②，利用角所对直角边等于斜边一般的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题得，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， ， 解得． 故时，四边形是菱形． （2）①当时，， ，， ， 即， 解得． ②当时， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 即， 解得． 综上所述，当或时，为直角三角形． 13．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点，运动的时间为． (1)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． (2)从运动开始，当取何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是正方形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，使为菱形 (2) (3)不存在，使为正方形 【分析】本题考查四边形中的动点问题，解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定和性质，确定动点的位置 （）利用菱形的判定和性质进行求解即可； （）利用矩形的判定和性质进行求解即可； （）利用正方形的判定和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：不存在，理由： ∵，，过作于，则四边形是矩形， ∴，.， 又∵， ∴， 根据勾股定理，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 此时，， 而， ∴四边形不可能是菱形； （2）如图，∵，； ∴当时，四边形是矩形， 即， 解得：， 当时，四边形是矩形； （3）由当时，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形不能是正方形， 即不存在时间，使四边形是正方形 14．如图，已知平行四边形的对角线、相交于点，、，两动点、同时分别以的速度从点、出发在线段相对运动． (1)求证：当、运动过程中不与点重合时，四边形一定为平行四边形； (2)当、运动时间为何值时，四边形为矩形？ 【答案】(1)证明见解析； (2)当、运动时间或时，四边形为矩形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质． 根据点、的时间和速度，可知，根据平行四边形的性质可知，，根据线段的和与差可知，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证结论成立； 根据对角线相等的平行四边形是矩形可知，当时，四边形为矩形，此时应分两种情况，一种情况是当点在上，点在上时，另一种情况是当点在上，点在上时．分情况求出运动时间即可． 【详解】（1）解：连接，，，， 两动点、同时分别以的速度从点、出发在线段相对上运动， ， 平行四边形的对角线、相交于点， ，（平行四边形的对角线互相平分）， 或， 即， 四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）； （2）解：当点在上，点在上时，，四边形为矩形， 运动时间为， ， ， ； 当点在上，点在上时，， ， ； 综上所述，当、运动时间或时，四边形为矩形． 15．已知：如图，在矩形中，，．在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上．          (1)当四边形是正方形时，求的长； (2)当四边形是菱形时，求证：； (3)面积的最大值为________；此时的长为________； (4)在点运动的过程中，请直接写出点运动的路线长为________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)； (4) 【分析】本题考查矩形、正方形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明即可解决问题； （2）连接，理由平行线的性质证明即可； （3）当点与重合时，的值最小，的面积最大，由勾股定理及三角形面积可得出答案； （4）由（3）可得到的距离为，证明点的运动轨迹是平行的线段，点运动的路线长的长． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ．， ， ． （2）证明：连接，如图2， 四边形为矩形， ， ， 四边形为菱形， ， ， ， 即； （3）解：如图，过点作于点 ∴ 由（2）可得，又 到的距离为 如图，设， 当点与重合时，则的值最小，最大，此时的面积最大， ，， ， 在中， 故答案为：；． （4）如图，当时，过点，则四边形是矩形， ∴， 由（3）可得到的距离为，又点落在矩形内或其边上 点的运动轨迹是平行的线段， ，， 点运动的路线长 故答案为：． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $