☆问题解决策略：特殊化（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦七年级下册第四章三角形，核心讲解“特殊化”解题策略，通过从一般问题（如角平分线交点、等边三角形内点的垂线关系）入手，借助特殊情形（如AB∥CD、点P与D重合）搭建学习支架，衔接三角形内角和、面积计算等知识，引导学生从特殊到一般理解问题。 其亮点是以“特殊化”为核心，结合具体实例（角关系推导中从特殊角到α、β的符号表达，等边三角形面积法应用，整数之和归纳结论），培养学生的抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）和模型意识（数学语言）。学生能提升问题探究能力，教师可借助结构化案例优化教学，提高课堂效率。

初中数学 七年级下册·（BS版） 第四章　三角形 ☆问题解决策略：特殊化 解题策略　 当面对某些因素（如形状、位置或数值等）不确定，使得问 题有多种情形的一般性问题时，可以限制这个引起变化的因 素，考虑最为特殊的情形，从特殊情形入手并借助特殊情形 下获得的结论或方法解决一般情形下的问题. 上一页 下一页 例 [数学模型] 如图1，AD，BC交于点O，根据“三角形内角和是180°”， 不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①∠DOC＝∠AOB； ②∠D＋∠C＝∠A＋∠B. [提出问题] 如图2，分别作出∠BAD和∠BCD的平分线，两条角平分线交 于点E，∠E与∠D，∠B之间是否存在某种数量关系呢？ 上一页 下一页 [解决问题]——特殊化处理 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究.已知 ∠BAD与∠BCD的平分线交于点E. （1）如图3，若AB∥CD，∠D＝30°，∠B＝40°，则∠E ＝ ⁠. 35°　 上一页 下一页 （2）如图4，AB与CD不平行，∠D＝30°，∠B＝50°.求 ∠E的度数. 易证∠D＋∠1＝∠E＋∠3，∠B＋∠4＝∠E＋∠2. 所以∠D＋∠1＋∠B＋∠4＝ ⁠. 因为CE，AE分别是∠BCD，∠BAD的平分线， 所以∠1＝∠2，∠3＝∠4， 所以2∠E＝ ⁠. 因为∠D＝30°，∠B＝50°，所以∠E＝ ⁠. 请你将上述推理过程补充完整. 2∠E＋∠3＋∠2　 ∠D＋∠B　 40°　 上一页 下一页 （3）在总结前两问的基础上，直接写出图2中∠E与∠D， ∠B之间的数量关系是 ⁠. ∠E＝ （∠D＋∠B）　 上一页 下一页 [类比应用] （4）如图5，∠BAD与∠BCD的平分线交于点E. 若∠D＝ α，∠B＝β（α＜β），则∠E＝ （用含α，β的 式子表示）. （β－α）　 上一页 下一页 跟踪训练 1. [提出问题] 已知在等边三角形ABC中，AD为边BC上的高，P为等边三角 形ABC内任意一点，过点P作PH⊥BC，PE⊥AB， PF⊥AC，垂足分别为H，E，F，探究PH＋PE＋PF和AD 之间的数量关系，并说明理由. 上一页 下一页 [解决问题]——特殊化处理 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究. （1）如图1，当点P与点D重合时，则DE＋DF和AD之间的 数量关系为 ⁠； （2）如图2，若P为AD上任意一点（不与点A，D重合），则 PD＋PE＋PF和AD之间的数量关系为 ⁠； DE＋DF＝AD　 PD＋PE＋PF＝AD 上一页 下一页 （3）如图3，在总结前两问的基础上，请解决刚开始提出的问题. 解：（3）PH＋PE＋PF＝AD. 理由如下： 如图3，连接PA，PB，PC. 因为△ABC为等边三角形，所以BC＝AB＝AC. 因为AD为边BC上的高，所以S△ABC＝ BC·AD. 因为PH⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为H，E，F， 所以S△ABC＝S△ABP＋S△APC＋S△BCP＝ AB·PE＋ AC·PF＋ BC·PH＝ BC·（PE＋PF＋PH）， 所以 BC·AD＝ BC·（PE＋PF＋PH）， 所以PH＋PE＋PF＝AD. 上一页 下一页 2. [问题引入]从1，2，3，…，n（n为整数，且n＞5）这n个 整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？ [特殊化研究]从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数 之和共有多少种不同的结果？ 将所有可能列表如下： 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整 数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果. 上一页 下一页 仿照上述过程，类比探索下列问题： （1）从1，2，3，4，5，这5个整数中任取2个整数，这2个整 数之和共有 种不同的结果. （2）从1，2，3，…，10，这10个整数中任取3个整数，这3个 整数之和共有 种不同的结果. 7　 22　 上一页 下一页 [归纳结论]（3）从1，2，3，…，n（n为整数，且n＞5）， 这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的 结果？（结果用含n的式子表示） 解：（3）从1，2，3，…，n（n为整数，且n＞5），这n个 整数中任取5个整数，其中它们和的最小值为1＋2＋3＋4＋ 5＝15，最大值为n－4＋n－3＋n－2＋n－1＋n＝5n－10， 所以这5个整数之和共有5n－10－15＋1＝（5n－24）种不 同的结果. 上一页 下一页 [问题解决]（4）从60张面值分别为1元、2元、3元、…、60元 的奖券（面值为整数）中，一次任意抽取5张奖券并把面值相 加，共有 种不同的金额. 276　 上一页 下一页 谢谢观看 $