问题解决策略：转化（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

8.A9.33 10.解：如图，点P即为所求 8 11.(1)30° (2)3 12.【探究】DB=DC.理由略 【应用】成立理由略 ☆问题解决策略：转化 【例1】解：问题一：如图，连接AB,与直线1交于点 P,点P即为所求 P B 问题二：如图，首先作点B关于直线1的对称点B' 连接AB',与直线l交于点P,连接AP,BP,点P即 为所求 PB 问题三：如图，作点A关于OM的对称点D,再作点 A关于ON的对称点E,连接DE,分别与OM,ON 交于B,C两，点，连接AB,AC.此时三角形ABC的周 长最小. 问题四：如图，作点A关于OM的对称点E,再作点 B关于ON的对称点F,连接EF,分别与OM,DN 交于C,D两，点，连接AC,BD.此时四边形ABDC的 周长最小. E D N 问题五：如图，过点C作CM⊥AB,交AB于点M,交 AD于点P,过点P作PQ⊥AC于点Q. ·答等 因为AD是∠BAC的平分线， 所以PQ=PM,所以PC+PQ=PC+PM,这时 PC+PQ取得最小值，即CM的长度. 因为AC=6,BC=8,AB=10,∠ACB=90°， 5w-2AB CM-2AC BC. 所以CM=AC·BC24 AB 5 即PC+PQ的最小值为 24 【例2】24 【跟踪训练】 1.C2.83.44.6【变式】68°5.86.80 8.5 章末复习 1.C2.D3.A 4.16°【解析】解法1：所以由折叠的性质可得， ∠C'=∠C=46°，∠CBD=∠C'BD. 因为C'D∥AB,所以∠C'BA=∠C'=46° 因为∠A+∠C+∠C'BA+2∠CBD=180°， 所以∠CBD=2180-56°-46-46D=16 解法2：因为C'D∥AB, 所以∠C'DA=∠A=56°， 所以∠C'DC=180°-∠C'DA=124°. 由折叠的性质可得，∠CDB=∠C'DB= 360°-∠C'DC 2 =118°， 所以∠CBD=180°-∠CDB-∠C=180°-118° 46°=16°. 解法3：因为CD∥AB, 所以∠C'DA=∠A=56°. 由折叠的性质可得，∠CDB=∠C'DB=∠ADB十 56°，∠CBD=∠CBD. 因为∠ADB+∠CDB=2∠CDB-56°=180°. 所以∠CDB=118°. 又因为∠C=46°，∠C+∠CBD+∠CDB=180°， 所以∠CBD=180°-118°-46°=16. 5.解：(1)如图，△A1BC1即为所求. M B 13·☆问题解决策略：转化 类型1利用转化策略求最小值 问题五：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 例1李老师在上“问题解决策略：转化”这一堂课 AC=6,BC=8,AB=10,AD是∠BAC的平 时，探究了以下几个问题，请你完成解答过程： 分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点，求 问题一：如图，A,B两点在直线1的两侧，在1 PC+PQ的最小值. 上求作一点P,使得PA十PB最小. °B 问题二：如图，A,B两点在直线1的同一侧，在 I上求作一点P,使得PA十PB最小. B ·解题策略对称、翻折→化同为异、化折为直. 例如，“将军饮马”问题可以通过翻折、对称等轴对称 性质把两条线段的和转化到一条线段上，然后根据两 问题三：如图，A是锐角∠MON内部的任意 ,点之间线段最短、点到直线的垂直距离最短去解决. 一点，在∠MON的两边OM,ON上各取一 类型2利用转化策略求图形面积 点B,C组成三角形，使三角形的周长最小. 例2如图，在△ACD中，∠CAD=90°，AC=6, AD=8,AB∥CD,E是CD上一点，BE交 M AD于点F.当AB十CE=CD时，求图中阴影 部分的面积. 问题四：如图，AB是锐角∠MON内部的一条 线段，在∠MON的两边OM,ON上各取一点 C,D组成四边形，使四边形的周长最小. ·解题策略 求图形面积时，可以将不规则图形的面积转化为规 则图形的面积，也可以利用相关性质将分散的图形 转化为整体图形，再进行求解。 74数学7年级下册BS版 跟踪训练 [变式]在第4题中，若∠ABC=68°，则当 1.如图，军官从军营C出发先到河 CE十EF的值最小时，∠CEF的度数 边（河流用AB表示）饮马，再去 为 B 同侧的D地开会，应该怎样走 5.(2025·沈阳一二O中月考)如图，在面积为12的 才能使路程最短？下列给出的四个图形中，符 △ABC中，AB=AC,BC=4,AD⊥BC于点 D,直线EF垂直平分AB,交AB于点E,交 合要求的是 ( BC的延长线于点F,P为直线EF上一动点， 0 则△PBD周长的最小值为 E B E B D C 6.(2024·抚顺新抚区期末)如图，在四边形ABCD D 中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E,F分别为 2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8, BC,DC上的点，当△AEF的周长最小时， AC=6,EF垂直平分BC,M是直线EF上的 ∠EAF的度数为 任意一点，则AM+CM的最小值是 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4, BC=3,AB=5,P,D分别为边AC,AB上的 第2题图 第3题图 动点，则PB十PD的最小值为 3.如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC, BD交于点O,E为边AD上一动点，连接OE, OF⊥OE交CD于点F,则图中两个阴影部分 的面积之和为 4.(2024·沈阳康平期末)如图，在锐角三角形ABC 8.如图，在△ABC中，AB=13,BC=10,D是BC 的中点，EF垂直平分AB,交边AB于点E,交 中，AB=6,△ABC的面积为18，BD平分 边AC于点F,在EF上确定一点P,使|PB ∠ABC.若E,F分别是BD,BC上的动点，则 PD|最大，则这个最大值为 CE+EF的最小值为 第五章图形的轴对称75