5.2 第1课时等腰三角形的性质（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

(2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立. (3)(1)中的结论EF=BE+FD不成立，应当是 EF=BE-FD,理由略 第五章 图形的轴对称 1轴对称及其性质 1.D2.A'A'B′∠B' 3.4①无数4.A5.D 6.一定不一定7.D8.D9.A 10.(1)D∠C(2)3 11.解：如图所示. 12.B13.1014.415.(1)120°(2)4 16.解：操作一：(1)12cm(2)36 操作二：由翻折的性质可知，DCAB. 因为SAc=2AC·BC- AB.CD. 所以10CD=6×8,所以CD=4.8cm, 2简单的轴对称图形 第1课时等腰三角形的性质 1.D【变式1】100°【变式2】80°或20°2.B 3.80 4.解：DE∥BC.理由如下： 因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD. 因为BE=DE,所以∠ABD=∠EDB, 所以∠EDB=∠CBD,所以DE∥BC. 5.B【变式1】5【变式2】70°6.55 7.D8.3120°9.A10.B 11.25°或40°【变式】50°或130° 12.解：(1)因为AD为△ABC的角平分线， 所以∠BAD=∠CAD. 由题意，得AE=AF. 在△ADE和△ADF中，因为AE=AF,∠BAD= ∠CAD,AD=AD, 所以△ADE≌△ADF(SAS). (2)20 13.50°【解析】解法1：如图，延长DB至点E,使 BE=AB,连接AE. ·答等 E5-----B 因为AB+BD=CD, 所以BE+BD=CD, 所以DE=CD. 因为AD⊥BC, 所以∠ADE=∠ADC=90°. 又因为AD=AD, 所以△ADE≌ADC(SAS), 所以∠C=∠E. 因为BE=AB, 所以∠E=∠BAE. 因为∠E+∠C+∠EAC=3∠C+∠BAC=180°， ∠BAC=105°， 所以∠C=25°， 所以∠ABC=180°-∠C-∠BAC=50°. 解法2：如图，在线段DC上截取DM=BD,连 接AM. D M 因为AB+BD=CD,DM+CM=CD,DM=BD, 所以AB=CM. 因为AD⊥BC, 所以∠ADB=∠ADM=90°. 又因为AD=AD,BD=DM, 所以△ADB≌ADM(SAS), 所以AB=AM,∠B=∠AMD,所以AM=CM, 所以∠MAC=∠C. 因为∠AMD+∠AMC=180°， ∠C+∠MAC+∠AMC=180°， 所以∠AMD=∠C+∠MAC=2∠C, 所以∠B=∠AMD=2∠C. 因为∠B+∠C+∠BAC=3∠C+∠BAC=180°， ∠BAC=105°， 所以∠C=25°，所以∠B=50°. 14.解：(1)因为∠BEC+∠BDE+∠EBA=180°， ∠BAC+∠ADC+∠DCA=180°， 所以∠BEC十∠BDE+∠EBA=∠BAC十 ∠ADC+∠DCA. 因为∠BEC=∠BAC,∠BDE=∠ADC, 所以∠EBA=∠DCA. 11· (2)如图，在线段CE上取一点H,使 得CH=BE,连接AH. 因为AB=AC, 所以∠ABC=∠ACB=2 (180° ∠BAC). 由(1)可知，∠EBA=∠DCA. 在△ABE和△ACH中， 因为AB=AC,∠EBA=∠DCA,BE=CH, 所以△ABE≌△ACH(SAS), 所以AE=AH,∠BAE=∠CAH, 所以∠BAE+∠DAH=∠CAH十∠DAH, 即∠EAH=∠BAC. 因为AE=AH, 所以∠ABC=∠AHD=号(180°-∠EAH) 2(180°-∠BAC), 所以∠AEC=∠ABC. 第2课时线段的垂直平分线 1.C2.C【变式】12 3.40°4.8cm5.(1)30°(2)45°6.D 7.解：(1)如图，点O即为所求. B PO (2)如图，点P即为所求 8.c 9.100° 10.解：解法1：如图，等腰直角三角形ABC即为所求. 解法2：如图，等腰直角三角形ABC即为所求. B 11.(1)29(2)23° ·答 12.解：(1)2010 (2)4020 (3)因为DE垂直平分边AB,MN垂直平分边AC, 所以AE=BE,AN=CN, 所以∠B=∠EAB,∠C=∠CAN. 如题图1，当90°<∠BAC<180°时， ∠BAC=∠EAB+∠EAN+∠CAN=∠B+∠C+ ∠EAN=(180°-∠BAC)+∠EAN, 所以2∠BAC=180°+∠EAN, 即2∠BAC-∠EAN=180°. △EAN的周长C△EAN=AE+AN+EN=BE+ CN+EN-BC. 如题图2，当0°<∠BAC<90°时， ∠BAC=∠EAB+∠CAE=∠EAB+(∠NAC ∠EAN)=∠B+∠C-∠EAN=180°- ∠BAC-∠EAN, 所以2∠BAC=180°-∠EAN, 即2∠BAC+∠EAN=180°. △EAN的周长CAEAN=AE+AN+EN=BE+ CN+EN=BN+NE+CN+NE=(CN+BN)+ 2NE=BC+2NE. 综上所述，当90°<∠BAC<180°时，2∠BAC- ∠EAN=180°，CAFAN=BC; 当0°<∠BAC<90°时，2∠BAC+∠EAN=180°， CAEAN =BC+2NE. 第3课时角平分线 1.B2.C3.B4.15【变式】4 5.解：因为BD是∠ABC的平分线， 所以∠ABD=∠CBD. 在△ABD和△CBD中， 因为AB=CB,∠ABD=∠CBD,BD=BD, 所以△ABD≌△CBD(SAS), 所以∠ADB=∠CDB, 所以DB平分∠ADC. 因为点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD, 所以PM=PN. 6.①0@MN号MN③0csSs(边边边) 7解：如图所示. A M ON B A M O N B 图1 图2 案12·2简单的轴对称图形 第1课时等腰三角形的性质 A知识分点练 夯基础一 知识点1等腰三角形的两个底角相等 1.已知等腰三角形顶角的度数是30°，则底角的 度数是 () A.60° B.65° C.70° D.75° A.∠B=∠C B.AB=2BD [变式1](2024·湖南)若等腰三角形的一个底 C.AD平分∠BAC D,AD⊥BC 角的度数为40°，则它的顶角的度数为 [变式1]在第5题图中，若AB=AC,BC=10, [变式2]若等腰三角形有一个内角的度数为 AD是∠BAC的平分线，则BD= 80°，则它的顶角的度数为 [变式2]在第5题图中，若AB=AC,AD是 2.如图，AB∥CD,点E在线段BC上，BA=BE. BC边上的中线，∠BAD=20°，则∠C= 若∠C=32°，则∠A的度数为 6.如图，在△ABC中，AB=AC,AD为BC边上 的中线，CE平分∠ACB,交AD于点O.若 ∠CAB=40°，求∠AOE的度数 A.72° B.74° C.76 D.78 3.(教材P127例1变式)在等腰三角形ABC中， ∠A=4∠B.若∠A为底角，则∠C= 4.如图，BD平分∠ABC,E是AB上一点，连接 DE,使得BE=DE,DE与BC平行吗？为 什么？ 知识点3等边三角形的性质 7.下列关于等边三角形的性质不正确的是( A.是轴对称图形 B.三个角都是601 C.三条边都相等 D.有1条对称轴 8.如图，已知△ABC为等边三 知识点2等腰三角形的“三线合一” 角形，BD为△ABC的高， 5.(2025·成都高新区月考)如图，在△ABC中， 延长BC至点E,使CE= AB=AC,D是BC的中点，下列结论不一定正 CD=1,连接DE,则BE= 确的是 () ,∠BDE= 68数学7年级下册BS版 B能力综合练 练思维、 C拓展探究练 提素养、 9.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC,垂足 13.【一题多解】如图，在△ABC中，∠BAC= 为D,点E在线段AD上，∠EBC=45°，则 105°，AD⊥BC,垂足为D.若AB+BD= ∠ACE的度数为 CD,则∠B的度数为 A.15° B.30° C.45° D.60° 14.如图，已知等腰三角形ABC,AB=AC,D是 边AB上一点（不与点A,B重合），E是线段 D 第9题图 第10题图 CD延长线上一点，∠BEC=∠BAC. 10.如图，在△ABC中，AB=AC,AD=BD, (1)试说明∠EBA=∠DCA. DE⊥AB于点E.若BC=4,△BDC的周长 (2)小华在研究这个问题时，提出了一个新的 为10，则AE的长为 ( 猜想：点D在运动的过程中（不与点A,B重 A.2.5 B.3 C.3.5 D.4 合)，∠AEC与∠ABC是否会相等？小丽思 11.等腰三角形的一个角的度数是50°，则一腰上 考片刻后，提出了自己的想法：可以在线段 的高与底边的夹角的度数是 CE上取一点H,使得CH=BE,连接AH, [变式]等腰三角形一腰上的高与另一腰的 然后通过学过的知识就能得到∠AEC与 夹角的度数为40°，则顶角的度数为 ∠ABC相等.请根据小丽同学的想法，说明 12.如图，在△ABC中，AB=AC,AD为△ABC ∠AEC=∠ABC. 的角平分线.以点A为圆心，AD的长为半径 画弧，与AB,AC分别交于点E,F,连接 DE,DF. (1)试说明△ADE≌△ADF; (2)若∠BAC=80°，求∠BDE的度数. 第五章图形的轴对称69