专题07 解三角形中中线、角平分线、垂线条件问题（专项训练3大重点题型）高一数学人教A版必修第二册

专题07 解三角形中中线、角平分线、垂线条件问题 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、中线（类比中线）（常考点） 1 题型二、角平分线（重点） 2 题型三、垂线 3 B综合攻坚・能力跃升 4 题型一、中线（类比中线）（常考点） 1．（24-25高一下·山东聊城·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 2．在中，，边上的中线，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·重庆渝北·期中）在中，角所对的边为，若，则BD长为（    ） A． B． C． D． 6．在中，内角A，，所对的边分别为，，，，为上一点，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一上·江苏南通·专题练习）如图，在中，，，取边中点，连接，设为中点，连接并延长与交于点，则的长为__________. 8．（24-25高一下·湖北武汉·月考）已知，，其中的内角的对边分别是，则线段长度的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 题型二、角平分线（重点） 1．（23-24高一下·重庆·期中）在中，的角平分线交于点，若，，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东·月考）在中，在线段上，为的角平分线，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·福建福州·期中）在中，的对边分别为，的角平分线交边于点．若，，，则（    ） A．1 B． C． D． 4．在△中，为的角平分线（在线段上），，当取最小值时，（    ）. A． B． C． D． 5．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，内角所对的边分别为，，的角平分线交边于点，且长为定值．若面积的最小值为，则的长为_____． 6．（23-24高一下·吉林·期末）在中，角，，的对边分别是，，，，，是内角的角平分线，和的面积分别是，，且，则__________． 题型三、垂线 1．（24-25高一下·广东·月考）记的内角的对边分别为，已知，边上的高为1，，则的周长为（    ） A．4 B． C． D． 2．在中，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边上的高（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）在△中，，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 5．在锐角中，，是的中点，，过点做的垂线，垂足是，，则（   ） A． B． C． D．1 6．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，的平分线AD的长为，则BC边上的高AH的长为（    ） A． B． C． D． 1．的内角的对边分别为，若边上的高为，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏连云港·月考）在中，点，在边上，为边上中线，为平分线，若，，的面积等于，则（） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏南京·期中）在斜中，设角、、的对边分别为、、，已知，若是的角平分线，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽亳州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 5．（24-25高一下·河北·期末）在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则角的最大值为（ ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线、高线、角平分线长分别是，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·河南安阳·期末）已知的内角所对的边分别为，记边上的高为，若为锐角，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知在中，角，边.点在线段上满足，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·山东泰安·期末）在中，内角A，，的对边分别为，，，S为的面积，为的中点，且，，则的最大值为______． 10．（24-25高一下·广东广州·期中）在中，已知，，，点为边的中点，______． 11．已知的内角，，对应的边分别为，，，为边上的高，若，则____. 12．设中角所对的边分别为，，，为边上的中线；已知且，．则______． 13．已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 14．在中，. (1)求角的值； (2)若边上的高等于，求. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 解三角形中中线、角平分线、垂线条件问题 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、中线（类比中线）（常考点） 1 题型二、角平分线（重点） 7 题型三、垂线 11 B综合攻坚・能力跃升 15 题型一、中线（类比中线）（常考点） 1．（24-25高一下·山东聊城·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据平行条件结合正弦定理得出，再根据即可求出. 【详解】由题意得，，结合正弦定理得， 因，则，则， 若，则，与上式矛盾，故，则， 因，则， 因为AC边上的中线，则， 则 ， 则. 故选：C 2．在中，，边上的中线，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用，可得，进而可求的最大值. 【详解】为中线，则，两边平方得， 所以， 所以，所以， 当且仅当时取等号， 则. 故选：B. 3．已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角互补余弦值之和等于0，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程求出，然后利用基本不等式求出最值即可. 【详解】由题意得， 所以， 又，且D是的中点，所以， 在中，， 在中，， 所以， 即，得，当且仅当取等号， 故选：A 4．已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理角化边得到，结合基本不等式得到，再由中线长公式求解. 【详解】，由正弦定理可得， 即，则， 又，所以，因为，当且仅当时等号成立， 所以，则． 设边上中线的长度为，则， 所以边上中线长度的最大值为． 故选：C 5．（24-25高一下·重庆渝北·期中）在中，角所对的边为，若，则BD长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理结合条件可得，结合图形推得，再利用向量数量积的运算律求模长即可. 【详解】由，可得，由余弦定理，， 由， 因，则， 所以. 故选：C. 6．在中，内角A，，所对的边分别为，，，，为上一点，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的基本定理得，同时平方化简得，再由余弦定理得，两式联立化简可得，由三角形面积公式计算即可. 【详解】    如图所示，在中，由，得． 又，即， 所以， 化简得．①   在中，由余弦定理得，，②   由①②式，解得．由，得， 将其代入②式，得，解得， 故的面积． 故选：D 7．（2025高一上·江苏南通·专题练习）如图，在中，，，取边中点，连接，设为中点，连接并延长与交于点，则的长为__________. 【答案】 【分析】作交于点，通过几何关系证明，求得，利用求出，即可得到答案. 【详解】如图： 作交于点， 因为点为中点，所以点为中点，即， 因为为中点，所以，因此， 在中，因为，，， 所以由余弦定理可得， 因为为中点，所以， 因此， 又因为， 所以， 所以，因此 故答案为： 8．（24-25高一下·湖北武汉·月考）已知，，其中的内角的对边分别是，则线段长度的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】先利用正弦定理进行边角互化，再由余弦定理求出角，再把变形然后平方，转化成边的关系，再利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】因为， 所以由正弦定理可得，即， 由余弦定理可知，因为，所以. 因为，所以， 将上式两边平方可得， 即 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以线段长度的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题有两个关键点： 关键一：把变形为然后再平方，转化成边的关系； 关键二： 把转化成. 题型二、角平分线（重点） 1．（23-24高一下·重庆·期中）在中，的角平分线交于点，若，，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得，由基本不等式可得，然后可得面积最小值. 【详解】在中，记所对的边为， 因为， 所以， 即 ，所以，即， 当且仅当时等号成立， 所以. 故选：D 2．（24-25高一下·山东·月考）在中，在线段上，为的角平分线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用三角形面积可得，再利用向量的线性运算求解判断. 【详解】在中，为的角平分线，， ，即， 因此，所以. 故选：C 3．（24-25高一下·福建福州·期中）在中，的对边分别为，的角平分线交边于点．若，，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，利用正弦定理边化角求得，再利用，可得到，利用余弦定理求得答案. 【详解】因为， 由正弦定理得，则， 所以， 因为，所以 且，所以． 由题意可知：， 因为， 则， 即，可得． 在中，. 故选：C. 4．在△中，为的角平分线（在线段上），，当取最小值时，（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先在中由余弦定理可得，再由角平分线定理可得，即可得到的函数关系式，然后求导，即可得到其极小值，从而得到结果. 【详解】设，，则， 则在中由余弦定理可得， 即，所以， 由角平分线定理可得，所以. 又， 故， 化简得①， 而在△中由余弦定理， 代入①得.又因为，所以，所以， 故. 所以， 所以， 令或（舍去）， 所以当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以时，取得最小值，即取得最小值. 所以取得最小值时，. 故选：C. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键点1是先设，，则，依据已知条件由余弦定理结合三角形角平分线性质求得得和，关键点2是构建函数，利用导数工具研究其最值，从而得解. 5．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，内角所对的边分别为，，的角平分线交边于点，且长为定值．若面积的最小值为，则的长为_____． 【答案】1 【分析】由可得，借助基本不等式可求，由题意列式即可求. 【详解】由题意，， 即， 因为，为的角平分线， 所以，即， 因为， 解得，当且仅当时，等号成立，此时， 因为面积的最小值为， 所以，，解得. 故答案为：1 6．（23-24高一下·吉林·期末）在中，角，，的对边分别是，，，，，是内角的角平分线，和的面积分别是，，且，则__________． 【答案】/ 【分析】根据正弦定理进行边角互化，再根据角分线的性质可将面积比转化为边之比，再根据余弦定理可得边长与面积. 【详解】如图所示，    分别作，，垂足分别为， 因为是内角的角平分线，所以，所以和的面积之比为， 又因为，所以，即， 因为，， 所以，所以，所以， 又，所以， 由余弦定理可得，则，即， 故， 故答案为：. 题型三、垂线 1．（24-25高一下·广东·月考）记的内角的对边分别为，已知，边上的高为1，，则的周长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理得，由余弦定理得，结合平方关系可得，进而求得，得解. 【详解】由边上的高为1知，故， 由正弦定理得，，所以． 由余弦定理可得， 因为，解得，故， 解得，故的周长为． 故选：D． 2．在中，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数，结合图形，即可求解. 【详解】如图，边上的高为，，且， 所以，则， 则，， 所以，则. 故选：B 3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边上的高（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理求得边，利用三角形面积公式，可得答案. 【详解】∵，，， ∴由余弦定理得，即， 解得或（舍去），又，∴， 由三角形的面积公式可得，即. 故答案为：. 4．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）在△中，，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可求得，利用余弦定理可求得，由余弦定理可求得. 【详解】设，由，边上高，且，可得． 设，代入、， 由余弦定理可是得，即． 所以． 故选：A. 5．在锐角中，，是的中点，，过点做的垂线，垂足是，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】令，且，根据已知得、，再由列方程求边长即可. 【详解】令，则， 由题设，有，， 所以，则， 所以，可得（负值舍）. 故选：B 6．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，的平分线AD的长为，则BC边上的高AH的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用面积法得，结合二倍角的正弦公式求出，从而计算出，再利用余弦定理求出，最后利用三角形面积公式和等面积法即可得到答案. 【详解】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即， 又因为，所以， 所以，因为， 所以， 在中，由余弦定理得，所以， 则的面积为， 边上的高. 故选：D. 1．的内角的对边分别为，若边上的高为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形的余弦定理求解即可 【详解】如图： 设边上的高为．因为，所以， 所以． 由勾股定理可得， 由余弦定理可得． 故选：D 2．（24-25高一下·江苏连云港·月考）在中，点，在边上，为边上中线，为平分线，若，，的面积等于，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量可建立起的关系式，再结合面积即可求得，再利用面积相等即可求角平分线的长. 【详解】为边上的中线，， 即，即， 即，. 因为，， ， ， 为平分线，，故， 又，所以， 即，解得， 故选：D 3．（23-24高一下·江苏南京·期中）在斜中，设角、、的对边分别为、、，已知，若是的角平分线，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正余弦定理可得，即可根据等面积法可得，利用余弦定理可得，由二倍角公式即可求解. 【详解】解：由正弦定理可得得，    由余弦定理可得， 由于所以， ， 由于，所以， 由于，， 由余弦定理可得， ， ，， ，， ， 故选：B 4．（24-25高一下·安徽亳州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】在中，由余弦定理求得，根据是的平分线，得，所以，在中应用余弦定理求得b，即可求得. 【详解】在中，， 即，， 因为是的平分线，所以即，所以 在中， 即即，解得. 在中，， 所以 故选：A. 5．（24-25高一下·河北·期末）在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则角的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理得，结合三角形面积公式得，由余弦定理结合基本不等式可得，进一步可得，进而求出范围得解. 【详解】因为边上的高为， 所以，即， ，当且仅当取等号， ，即，即， ，则， ，故角的最大值为. 故选：B. 6．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线、高线、角平分线长分别是，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A中，由正弦定理可得中线的表达式，判断出A的真假；B中，由三角形等面积法求出角平分线的表达式，判断出B的真假；C中，由三角形等面积法求出高的表达式，判断出C的真假；D中，由选项的分析，可得三角形的面积的表达式，判断出D的真假． 【详解】A：设为的中线，由可得,可得， 即，所以A正确； B中，设，设为的角平分线，所以， 由三角形等面积法可得， 可得， 所以，即，所以B正确； 设为边上的高，由等面积法可得， 所以，因为，由余弦定理可得， 所以， 所以， 即，所以C正确； D中，由C可得，所以D不正确． 故选：D． 7．（24-25高一下·河南安阳·期末）已知的内角所对的边分别为，记边上的高为，若为锐角，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理求得，由余弦定理得到，由面积公式得到，联立二式，利用均值不等式得到答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 又，则，因为为锐角，所以， 由余弦定理可知． 由等面积法可知，即，即． 将代入，则 ，当且仅当时取等号， 则的最大值为． 故选：B. 8．已知在中，角，边.点在线段上满足，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理与余弦定理，结合平面向量求长度得出线段的表达式，再由三角函数值域求解即可. 【详解】因为，故， 而，则，； 因为角， 设，， 代入正弦定理化简得：， 则 由， 两边平方得展开计算得： ， ； 由，则有，，则 ， 则， 因为，， ，故， 所以，即 当且仅当，等号成立. 故选：C. 9．（24-25高一下·山东泰安·期末）在中，内角A，，的对边分别为，，，S为的面积，为的中点，且，，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】利用面积公式得到，然后利用余弦定理，以及中线得向量表示可得，利用不等式计算判断. 【详解】由题可知：， 又，所以. 又为的中点，所以，两边平方得：，所以， 又，所以， 由（当且仅当时，取等号），所以， 所以， 所以的最大值为. 故答案为： 10．（24-25高一下·广东广州·期中）在中，已知，，，点为边的中点，______． 【答案】/ 【分析】在中，利用余弦定理求，在，中分别利用余弦定理求，，由此列方程求；在中由余弦定理求，再由同角关系求. 【详解】由余弦定理，得， 即，则． 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 由与互补，则， 所以，解得． 在中，由余弦定理，得， 因为，所以，     所以． 故答案为： 11．已知的内角，，对应的边分别为，，，为边上的高，若，则____. 【答案】 【分析】借助同角三角函数基本关系及三角恒等变换公式化简后，利用等面积法与正弦定理将边化为角计算即可得解. 【详解】，同理， 故 ， 又，则， 由正弦定理可得， 化简得，故. 故答案为：. 12．设中角所对的边分别为，，，为边上的中线；已知且，．则______． 【答案】/ 【分析】根据题意利用正、余弦定理分析可得，由结合数量积相关运算整理得关于的方程，运算求解即可. 【详解】因为，且， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得：，整理得， 又因为D为中点，所以，设的夹角为θ， 则 ， 即， 且， 因为，则为锐角，可知， 可得，解得或（舍去） 所以， 整理得，解得或， 且，即，所以， 所以. 故答案为：.    【点睛】关键点睛：对于等分点问题，常利用向量的线性运算以及数量积建立关系，运算求解即可. 13．已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式转化为关于角的三角函数关系，进而求解. （2）利用正弦定理和三角形内角和定理，将高表示为角的函数，再利用三角函数性质求其范围． 【详解】（1）由， 用正弦定理得， 化简得：， 又, 从而，， 得又. （2）由正弦定理得: , 所以 , 在 中， 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ． 14．在中，. (1)求角的值； (2)若边上的高等于，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形内角和与两角和的正切公式得到，再结合已知条件求出，根据角的范围求解； （2）根据等面积法得到，利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式求出，最后利用同角三角函数的平方关系求出. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 由已知得， 因为，所以，，所以. （2）设角所对应的边分别为， 因为的面积，则， 由正弦定理得， 因为，所以， 即，由，得， 所以， 所以，因为，解得. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $