第七章 相交线与平行线（单元自测·提升卷）数学新教材冀教版七年级下册

命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第七章平行线与相交线能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 D D B D B C B C B B C 二、 填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13.∠A=∠ACE（答案不唯一) 14.60°/60度 15.②③④ 16.6 1或8.5 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(7分) 【详解】(1)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等： 命题的条件是：两个数的绝对值相等；结论：这两个数也相等；…4分 (2)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；是假命题， 反例：6=-6，但6≠-6，假命题.…7分 18.(8分) 【详解】(1)解：：∠B0D=28°， ∴∠A0C=∠B0D=28°， .MO⊥CD, ∴.∠C0M=90°， .∠A0M=∠C0M-∠A0C=90°-28°=62°；…4分 (2):0C平分∠A0E,∠A0C=28°， .∠A0C=∠E0C=28°， ∴.∠A0E=∠A0C+∠E0C=56°， .∠B0E=180°-∠A0E=180°-56°=124°.…8分 19.(8分) 【详解】(I)解：三角形DEF如图所示： 1/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 …2分 (2)解：①现将三角形ABC平移，使点A与点D重合，点E,F分别是点B,C的对应点. 得出三角形DEF 则AD与CF的关系是AD‖CF,AD=CF…4分 ②连接AD,CF,BE 则∠BAD与∠ABC互为同旁内角；∠CAD与∠ACB互为内错角8分 20.(8分) 【详解】解：如图，过点B作BF∥AE, :CD∥AE(已知) ·.BF∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行) ∴LBCD+∠CBF=180°，（两直线平行，同旁内角互补） AB⊥AE, ·.∠EAB=90°，（垂直的定义） ·BF∥AE(辅助线作法)， ∠ABF+∠EAB=180°， .∠ABF=180°-90°=90°， ∴LABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD=270°.-8分 21.(9分) 【详解】(1)解：①如图， E B M ∠EMF=LAEM+∠MFC; E B >M ,∠EMF+∠AEM+∠MFC=360°；…4分 C 一D F ②证明：如图，过点M作MP∥AB, 2/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B -P, C F 则∠1=∠2， :AB I CD, :MP∥CD ∠3=∠4， :∠EMF=∠2+∠3， .∠EMF=∠1+∠4， :∠EMF=LAEM+∠MFC; 如图，过点M作MQ∥AB, E A B O----- M C 则∠AEM+∠2=180°， :AB‖CD, .MQ∥CD, .∠CFM+∠1=180°， :∠EMF=∠1+∠2， ∠EMF+LAEM+∠MFC=360;…4分 (2)解：如图，过点M作MP∥AB,过点N作NQ∥AB, E -B M P 则∠AEM=∠I, AB I CD .AB∥CD∥MP∥NQ, :∠CFN=L4,∠2+∠3=180°， :∠2=∠EMN-∠1=∠EMN-∠AEM,∠3=∠MNF-∠4=∠MNF-∠CFN, :∠EMN-∠AEM+∠MNF-∠CFN=180°； 3/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如图，过点M作MP∥AB,过点N作NQ∥AB, M -D 则∠1+∠EMP=180°， :AB CD, .AB∥CD∥MP∥Ng, ∠CFN=∠4，∠2=∠3， :∠2=∠EMN-∠1=∠EMN-(I80°-∠AEM）=∠EMN+∠AEM-180°， ∠3=∠MNF-L4=LMNF-∠CFN, :∠EMN+∠AEM-180°=∠MNF-∠CFN, ∠EMN+∠AEM-∠MNF+∠CFN=180°..9分 22.(9分) 【详解】(1)解：：AB∥CD,FH∥AB, .FH∥CD, .LEFH=∠AEF=120°，∠FGD+∠HFG=180°，2分 :∠DGF=100°， ∠HFG=80°；…4分 (2)结论：FM⊥CD 理由：：∠EFM=30°，∠FHE=120°， ∴∠MFH=∠HFE-∠EFM=90°， :AB∥FH, ·∠AMF=LMFH=90°， ∴FM⊥AB, :AB∥CD, .FM⊥CD;6分 (3)①应将射线FG绕点F逆时针旋转10°， 如图，：∠EFG=360°-∠EFH-∠HFG=360°-120°-80°=160°， .将∠EFG的度数调整为150°，应将射线FG绕点F顺时针旋转10°到FG',∠EFG'=150°，…8 4/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 分 E —B GG D ②应将射线FG绕点F逆时针旋转50°，到FG',可得∠EFG'=150°， 理由：：∠EFG=160°，∠GFG'=50°， ∠EFG'=360°-∠EFG-∠GFG'=360°-160°-50°=150°. E A B H G GD 综上，将射线FG绕点F顺时针旋转10°或逆时针旋转旋转50°，∠EFG的度数调整为150°…9分 23.(11分) 【详解】(I)(1)①：BD平分∠ABC,∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G. :∠ADB=∠CBD+∠C=号∠ABC+∠C,∠ADB=∠BGE+∠DEG=∠DEF+∠BGE, 2 EF∥BC, .LDEF=∠C, ∠ABC+∠C=∠DEF+∠BGE, 2 ∠ABC+∠C=∠C+∠BGB, 2 ∠BGE=2ABc+2q. :∠ABC=40°，∠C=60°， E∠BGE=760+401=50 故答案为：50.…2分 ②解：根据O得∠BGE=∠ABC+∠C, :∠A+∠ABC+∠C=180°， ∠BGE=l80-∠A=90-A, 5/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 当∠A=70°， 则∠BGE=90° 2×70=550, 故答案为：55.…4分 ③解：根据①得∠BGE=(∠ABC+∠C, :∠A+∠ABC+∠C=180°， ÷∠8G6=180-∠A=90-3A, 2 敌∠8GE与∠A之间的数量关系∠BGE=0A.6分 (2)解：当点E在线段DC上运动时，如图， :BD平分∠ABC,∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G. 设直线EG与BC的交点为M, 2CD-ABc,∠FEM-FEC. :EF∥BC, ∴∠FEC+∠C=180°，∠GFE=∠CBD, 2FEM=ls0-2C1=90<c. :∠FEM=∠BGE+∠GFE, ∴∠BGE=∠FEM-∠GFE, ∠BGE=90-C-4Bc=90-<C+A8c)=4, 2 2 ∠BGE=5∠A, G D M 当点E在射线DC上运动时，如图， 设BC,GC的交点为K, 6/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :BD平分∠ABC,∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G. :∠CBD=∠ABC,∠GEF= ∠DEF, 2 EF∥BC, 1 :.LGKB=LGEF,∠GEF=5∠C, 2 :∠BGE+∠GBK+∠GKB=180°， :∠BGE=180°-LGBK+LGKB), a∠BGE=180-2c+∠ABC, ∠A+LABC+∠C=180°， ∠BGE=180-l0-∠A=90+A.1分 24.(12分) 【详解】(1)解：过点P作PH∥AB,如图所示， M A- 一B P------ H AB I CD, 一D N 图1 :AB//PH /ICD .∠1=∠MHP,∠2=∠NHP, .∠HMB=60°，∠HND=50°， ∴.∠MHN=∠MHP+∠NHP=∠1+∠2=60°+50°=110°， 故答案为：110°.…2分 (2)解：①过点H,作PH/1AB,如图所示， 7/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 M B :AB‖CD, D 图2 :AB//PH,//CD, ∠H,MB=∠MH,E,∠PHN=∠HND, '∠H1=∠MHR+∠PHN, .∠H1=∠HMB+∠HND, MH,平分∠HMB,NH1平分∠HMD, .ZHMB2之MB，ZH ND-ZHND ∠H=awB+号ND, ∠HMB=x°，∠HND=y°， 2H=+以，5分 ②解：按照上述方法可知， :MH,平分∠H,MB,NH,平分∠H,ND,LH,=('(x+y), 同理可商<，：方+ ∠H,=(分r(r+), 故答案为：（宁）(x+y)八.8分 (3)解：∠AHB=∠C+60° 理由：过点P作HG∥AC交BC于点G,如图所示， 8/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 H C.∠AHP=∠A,LC=LHGB, B :∠AHB=∠AHP+∠PHG,∠PHG=∠HGB+∠B, ∠AHB=LA+∠B+LC, ∠HAC=38°，∠HBC=22°， .∠AHB=22°+38°+∠C=∠C+60°， 故∠AHB与∠C之间的数量关系为：∠AHB=∠C+60.…12分 9/9 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第七章 相交线与平行线·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了举反例判断命题的真假，把选项代入逐一排除即可求解，正确记忆相关知识点是解题关键． 【详解】解：、当，时，，不是反例，不符合题意； 、当，时，，不是反例，不符合题意； 、当，时，，不是反例，不符合题意； 、当，时，，是反例，符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级下·河北保定·月考）如图，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定， 根据“同旁内角互补两直线平行”得，再根据“两直线平行内错角相等”可得答案. 【详解】解：因为， 所以， 所以. 不能确定之间的关系. 故选：D. 3．（2024·河北·模拟预测）有一段长为的铁丝，现计划将铁丝围成不同的几何图形，则图中①~③符合条件的是（   ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了平移性质的应用，经过平移可分别求得各图形的周长，据此可判断． 【详解】解：图①经过平移，图形的周长为，符合题意； 图②，图形的周长为，符合题意； 图③，图形是平行四边形，一边长为，另一边长大于，其周长大于，不符合题意； 故选：B． 4．（2025·河北·一模）老师在黑板上出了一道题目，让学生解答．如图1，，，，求的度数．以下是两位同学提供的作辅助线的方案．方案Ⅰ：如图2，过点C作．方案Ⅱ：如图3，延长交于点F．对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（　　） A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行 B．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行 C．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都可行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，关键是掌握两直线平行内错角相等．方案Ⅰ：过点C作，得到，由平行线的性质推出；方案Ⅱ：延长交于点F，由平行线的性质推出，由三角形的外角性质得到，于是得到答案． 【详解】解：方案Ⅰ：如图2，过点C作， ∵， ∴， ， ， ∴； 方案Ⅱ：如图3，延长交于点F， ∵， ， ， ∴， ∴方案Ⅰ、Ⅱ都可行． 故选D． 5．（24-25七年级下·河北沧州·期中）如图，一块直角三角板角的顶点与直角顶点分别在两平行线、上，斜边平分，交直线于点，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，先根据角平分线的定义求出的度数，再结合平行线的性质求出的度数，然后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 故选：B． 6．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短．根据垂线段最短，得到当时，的值最小，利用等积法进行计算即可. 【详解】解：∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 在中， ∵，，，， ∴，即：， ∴， ∴线段的最小值是. 故选：C． 7．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图，，，，将三角形沿射线方向平移，平移距离为，得到三角形，连接，则阴影部分的周长为（　　） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平移的性质，掌握相关知识是解答本题的关键．根据平移的性质得到，，，根据周长公式计算，得到答案． 【详解】解：将沿着方向平移，得到， ，，， 由平移的性质可知：， ， 阴影部分周长． 故选：C． 8．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线性质（互补角）、三角形外角性质，解题关键是利用平行线求出．根据平行线先求出，再借助三角形外角与内角的关系计算即可． 【详解】解：如图，， ， ， ， 故选：B． 9．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，分别平分与，且．证明．下面是不完整的推理过程， 证明：分别平分与（已知）， ___________（角平分线的定义）， （已知）， _________（等量代换）， （已知）， _________， ． 下列说法错误的是（    ） A．☆表示 B．表示 C．表示 D．表示内错角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的判定，角平分线的定义，根据题干信息的提示逐步完善推理过程与依据即可得到答案. 【详解】解：分别平分与（已知）， ，A不符合题意； （已知）， ，B不符合题意； （已知）， ，C符合题意； （内错角相等，两直线平行），D不符合题意； 故选：C 10．（24-25七年级下·河北秦皇岛·月考）如图，，，点E是边上一点，连接交的延长线于点H．点F是边上一点．使得，作的角平分线交于点G，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的判定和性质求出，并表示出，再由三角形外角的性质求出，然后在中，根据三角形内角和定理列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴，即， 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质和判定，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，本题的关键是根据三角形内角和为列式计算． 11．（24-25七年级下·河北唐山·月考）综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线．为的平分线，和相交于点．若，，请写出和间的数量关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，过点作，过点作，可得，设，，根据平行线的性质及角平分线的定义可得，，，进而可得，即可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作，过点作， 设，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， 即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 12．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，根据内错角相等，两直线平行，可得，故正确；根据同旁内角互补，两直线平行，可得，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为，等量代换可得：，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为是的余角的倍，可以求出，从而可得：，故正确；根据角平分线的定义可得：，，从而可得：，故错误． 【详解】解：和是、被直线所截形成的内错角，且， ， 故正确； ， ， 又， ， ， 故正确； ， ， ， ， 平分， 故正确； ， ， ， ， 设， 是的余角的倍， ， 解得：， ， 在中，， ， ， 故正确； 平分， ， 由可知平分， ， ， 故错误； 综上所述，结论正确的个数是. 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，请添加一个条件，使．则添加的条件可以为______．（写一个即可） 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定．根据内错角相等，两直线平行作答即可． 【详解】解：添加的条件是，理由如下： ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）； 或添加的条件是，理由如下： ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； 或添加的条件是，理由如下： ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； 故答案为：（答案不唯一）． 14．（24-25七年级下·山东临沂·期中）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为________ 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线判定和性质，平行公理的推论．过点作，可得，即得，，根据求出即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与所成锐角的度数为， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，下面是某学习小组出给的四个结论：①与是内错角；②；③若，则；④．其中正确的结论是______．（填序号即可） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用． 根据内错角的定义，平行线的性质与判定逐项求解判断即可． 【详解】解：由图形可知，与不是内错角，故①错误； 由图可知， ，故②正确； 如图，过点G作， ， ， ， ， ， ，故③正确； ， ，故④正确． 故答案为：②③④． 16．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）某市在两条笔直且互相平行的景观道、上分别放置、两盏激光灯，如图所示．灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动． （1）当灯光束先转动秒后便停止不再转动，灯才开始转动，两束光线第一次互相垂直时，灯转动的时间是________． （2）灯先转动秒，灯才开始转动，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是________． 【答案】 或 【分析】（1）设灯转动的时间为秒时，两束光线第一次互相垂直，设交点为，过点作，如图，得，推出，，构建方程求解解即可； （2）设灯旋转时间为秒，灯光束第一次到达需要8（秒），推出，即，利用平行线的判定，分两种情况：①如图，当到达前；②如图，当到达后，分别构建方程求解解即可． 【详解】解：（1）设灯转动的时间为秒时，两束光线第一次互相垂直，设交点为，过点作，如图， ∴， 设灯发出的光束自逆时针旋转秒后得到，灯发出的光束自逆时针旋转秒后得到，灯每秒转动，灯每秒转动， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴两束光线第一次互相垂直时，灯转动的时间是， 故答案为：； （2）设灯转动的时间为秒时，灯光束第一次到达需要（秒）， ∴， 即， 设灯发出的光束自逆时针旋转秒后得到，灯发出的光束自逆时针旋转秒后得到，灯每秒转动，灯每秒转动， ∴，， 由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行， ①如图，当到达前，设交于点， ∵， ∴， 当时，， 此时， 解得：； ②如图，当到达后，设交于点， ∵， ∴， ∵， 当时，， 此时， 解得：； 综上所述，，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，旋转的性质，一元一次方程的应用等知识点，解题的关键是正确理解题意，掌握平行线的判定和性质． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25七年级下·河北邢台·月考）命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题． 【答案】(1)见解析； (2)假命题． 【分析】（）根据命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论解答； （）根据有关性质与定理，对命题的真假进行判断，如果是假命题，再举出反例即可； 【详解】（1）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； 命题的条件是：两个数的绝对值相等；结论：这两个数也相等； （2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；是假命题， 反例：，但，假命题． 18．（8分）（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，直线，相交于点，，垂足为，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度计算，理解题意，弄清各角之间的关系是解题关键． （1）首先根据“对顶角相等”可知，结合垂直的定义可得，然后由求解即可； （2）首先根据角平分的定义确定的值，然后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵平分，， ∴， ∴， ∴． 19．（8分）（24-25七年级下·河北唐山·月考）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点与点重合，点，分别是点，的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)连接，． ①则与的关系是________； ②与互为________；与互为________．（填“内错角”“同位角”或“同旁内角”） 【答案】(1)见详解 (2)①②同旁内角，内错角 【分析】本题考查了平移作图，同旁内角的定义，内错角的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平移的性质，先分别找出点，再依次连接，得平移后的三角形，即可作答． （2）①结合平移的性质得，即可作答． ②观察图形，结合同旁内角的定义，内错角的定义进行作答即可． 【详解】（1）解：三角形如图所示： （2）解：①现将三角形平移，使点与点重合，点，分别是点，的对应点． 得出三角形 则与的关系是 ②连接 则与互为同旁内角；与互为内错角 20．（8分）（24-25七年级下·河北唐山·月考）补全下面推理过程： 生活中常见的一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于A，平行于地面；求的度数． 解：如图，过点B作， （______）， （______）（平行于同一条直线的两条直线平行）， （______）（____________） （______）（____________） （辅助线作法）， （______） ， （____________） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论． 【详解】解：如图，过点作， ∵（已知） ∴（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∵， ∴，（垂直的定义） ∵（辅助线作法）， ∴， ∴， ∴． 21．（9分）（24-25七年级下·河北沧州·月考）已知：如图1，，点E，F分别为上一点． (1)在之间有一点M（点M不在线段上），连接，试探究之间有怎样的数量关系．请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明． (2)如图2，在之间有两点M，N，连接，请选择一个图形写出存在的数量关系（不需证明）． 【答案】(1)图形见解析，．．证明见解析 (2)，． 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可得出答案，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）①根据题意画出图形即可；②过点作，过点作，根据平行线的性质即可得出结论； （2）根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：①如图， ，； ，； ②证明：如图，过点作， ， 则， ， ， ， ， ； 如图，过点作， ， 则， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作，过点作， ， 则， ， ， ，， ，， ； 如图，过点作，过点作， 则， ， ， ，， ，， ， ． 22．（9分）（24-25七年级下·河北廊坊·月考）在大型商场的建筑设计中，有一个不规则形状的中庭；为了优化空间利用，设计师在中庭内规划了一些辅助设施．如图1，地面上有两条直线通道和，它们被一条折线通道所截，其中点在上，点在上，为折线的转折点，已知，，，过点作． (1)求和的度数； (2)如图2，在上取一点，连接，并延长交于点，使得，判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)现要将的度数调整为，应将射线绕点进行怎样的旋转？直接写出旋转方向和度数． 【答案】(1)， (2)，见解析 (3)将射线绕点F顺时针旋转或逆时针旋转 【分析】本题考查作图-旋转变换，平行线的性质和判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）先证明，再利用平行线的性质求解； （2）先证明，再根据，推出； （3）先求出，比较后求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）结论：. 理由：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）应将射线绕点F逆时针旋转， 如图，∵， ∴将的度数调整为，应将射线绕点F顺时针旋转到，， ②应将射线绕点F逆时针旋转，到，可得， 理由：∵，， ∴． 综上，将射线绕点顺时针旋转或逆时针旋转旋转，的度数调整为 23．（11分）（24-25七年级下·河北石家庄·月考）在中，平分交于点，点是射线上的动点（不与点重合），过点作交直线于点，的角平分线所在直线与射线交于点． (1)如图1，点在线段上运动． ①若，，则_______； ②若，则________； ③探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点在射线上运动时，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①；②；③，理由见解析 (2)或 【分析】（1）①根据题意，得，，根据，得，结合已知解答即可； ②根据①得，结合，等量代换解答即可； ③根据①得，结合，等量代换解答即可； （2）分点在线段上和射线上运动，两种情况解答即可． 本题考查了三角形外角性质，角的平分线，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，分类思想的应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）（1）①∵平分，的角平分线所在直线与射线交于点． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：50． ②解：根据①得， ∵， ∴， 当， 则； 故答案为：55． ③解：根据①得， ∵， ∴， 故与之间的数量关系． （2）解：当点在线段上运动时，如图， ∵平分，的角平分线所在直线与射线交于点． 设直线与的交点为M， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在射线上运动时，如图， 设的交点为， ∵平分，的角平分线所在直线与射线交于点． ∴，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．（12分）（24-25七年级下·河北石家庄·月考）综合与实践 在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“平行线的拐点问题”进行研究． 如图1，直线，点M，N分别在直线，上，点H是直线与外一点，连接，． (1)【问题初探】若，，则的度数为______． (2)【问题拓展】①如图2，作平分，平分，若设，，求出的度数用含x，y的式子表示 ②在①的条件下，如图3，若平分，平分，可得，平分，平分，可得依次平分下去，则的度数为______用含x，y的式子表示 (3)【问题应用】智慧组制作了一个如图4所示的“燕子镖”，经测量发现，，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)① ；② (3)理由见解析 【分析】过点H作，利用两直线平行，内错角相等，推出，，利用角的和，通过等量代换即可求出的度数． 利用第一问的方法推出，结合角平分线的定义即可推出，从而求出的度数；利用相同的方法，求出和的度数，发现之间规律，从而求出度数． 过点H作，利用两直线平行，内错角和同位角相等，推出，，结合外角定义，利用已知条件，通过等量代换即可求出与的数量关系． 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，外角定义，解题的关键在于学会掌握过拐点作平行线以及通过求角度，发现角度之间的规律问题． 【详解】（1）解：过点P作，如图所示， ， ， ，， ，， ， 故答案为： （2）解：① 过点作，如图所示， ， ， ，， ， ， 平分，平分， ，， ， ，， ， ② 解：按照上述方法可知， 平分，平分，， ， 同理可得， ， 故答案为： （3）解： 理由：过点P作交于点G，如图所示， ，， ，， ， ，， ， 故与之间的数量关系为： 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第七章 相交线与平行线·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25七年级下·河北保定·月考）如图，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·河北·模拟预测）有一段长为的铁丝，现计划将铁丝围成不同的几何图形，则图中①~③符合条件的是（   ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 4．（2025·河北·一模）老师在黑板上出了一道题目，让学生解答．如图1，，，，求的度数．以下是两位同学提供的作辅助线的方案．方案Ⅰ：如图2，过点C作．方案Ⅱ：如图3，延长交于点F．对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（　　） A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行 B．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行 C．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都可行 5．（24-25七年级下·河北沧州·期中）如图，一块直角三角板角的顶点与直角顶点分别在两平行线、上，斜边平分，交直线于点，则的大小为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 7．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图，，，，将三角形沿射线方向平移，平移距离为，得到三角形，连接，则阴影部分的周长为（　　） A．9 B． C． D． 8．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，分别平分与，且．证明．下面是不完整的推理过程， 证明：分别平分与（已知）， ___________（角平分线的定义）， （已知）， _________（等量代换）， （已知）， _________， ． 下列说法错误的是（    ） A．☆表示 B．表示 C．表示 D．表示内错角相等，两直线平行 10．（24-25七年级下·河北秦皇岛·月考）如图，，，点E是边上一点，连接交的延长线于点H．点F是边上一点．使得，作的角平分线交于点G，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·河北唐山·月考）综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线．为的平分线，和相交于点．若，，请写出和间的数量关系（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，请添加一个条件，使．则添加的条件可以为______．（写一个即可） 14．（24-25七年级下·山东临沂·期中）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为________ 15．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，下面是某学习小组出给的四个结论：①与是内错角；②；③若，则；④．其中正确的结论是______．（填序号即可） 16．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）某市在两条笔直且互相平行的景观道、上分别放置、两盏激光灯，如图所示．灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动． （1）当灯光束先转动秒后便停止不再转动，灯才开始转动，两束光线第一次互相垂直时，灯转动的时间是________． （2）灯先转动秒，灯才开始转动，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25七年级下·河北邢台·月考）命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题． 18．（8分）（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，直线，相交于点，，垂足为，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 19．（8分）（24-25七年级下·河北唐山·月考）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点与点重合，点，分别是点，的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)连接，． ①则与的关系是________； ②与互为________；与互为________．（填“内错角”“同位角”或“同旁内角”） 20．（8分）（24-25七年级下·河北唐山·月考）补全下面推理过程： 生活中常见的一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于A，平行于地面；求的度数． 解：如图，过点B作， （______）， （______）（平行于同一条直线的两条直线平行）， （______）（____________） （______）（____________） （辅助线作法）， （______） ， （____________） 21．（9分）（24-25七年级下·河北沧州·月考）已知：如图1，，点E，F分别为上一点． (1)在之间有一点M（点M不在线段上），连接，试探究之间有怎样的数量关系．请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明． (2)如图2，在之间有两点M，N，连接，请选择一个图形写出存在的数量关系（不需证明）． 22．（9分）（24-25七年级下·河北廊坊·月考）在大型商场的建筑设计中，有一个不规则形状的中庭；为了优化空间利用，设计师在中庭内规划了一些辅助设施．如图1，地面上有两条直线通道和，它们被一条折线通道所截，其中点在上，点在上，为折线的转折点，已知，，，过点作． (1)求和的度数； (2)如图2，在上取一点，连接，并延长交于点，使得，判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)现要将的度数调整为，应将射线绕点进行怎样的旋转？直接写出旋转方向和度数． 23．（11分）（24-25七年级下·河北石家庄·月考）在中，平分交于点，点是射线上的动点（不与点重合），过点作交直线于点，的角平分线所在直线与射线交于点． (1)如图1，点在线段上运动． ①若，，则_______； ②若，则________； ③探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点在射线上运动时，请直接写出与之间的数量关系． 24．（12分）（24-25七年级下·河北石家庄·月考）综合与实践 在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“平行线的拐点问题”进行研究． 如图1，直线，点M，N分别在直线，上，点H是直线与外一点，连接，． (1)【问题初探】若，，则的度数为______． (2)【问题拓展】①如图2，作平分，平分，若设，，求出的度数用含x，y的式子表示 ②在①的条件下，如图3，若平分，平分，可得，平分，平分，可得依次平分下去，则的度数为______用含x，y的式子表示 (3)【问题应用】智慧组制作了一个如图4所示的“燕子镖”，经测量发现，，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第七章 相交线与平行线·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25七年级下·河北保定·月考）如图，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·河北·模拟预测）有一段长为的铁丝，现计划将铁丝围成不同的几何图形，则图中①~③符合条件的是（   ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 4．（2025·河北·一模）老师在黑板上出了一道题目，让学生解答．如图1，，，，求的度数．以下是两位同学提供的作辅助线的方案．方案Ⅰ：如图2，过点C作．方案Ⅱ：如图3，延长交于点F．对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（　　） A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行 B．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行 C．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都可行 5．（24-25七年级下·河北沧州·期中）如图，一块直角三角板角的顶点与直角顶点分别在两平行线、上，斜边平分，交直线于点，则的大小为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 7．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图，，，，将三角形沿射线方向平移，平移距离为，得到三角形，连接，则阴影部分的周长为（　　） A．9 B． C． D． 8．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，分别平分与，且．证明．下面是不完整的推理过程， 证明：分别平分与（已知）， ___________（角平分线的定义）， （已知）， _________（等量代换）， （已知）， _________， ． 下列说法错误的是（    ） A．☆表示 B．表示 C．表示 D．表示内错角相等，两直线平行 10．（24-25七年级下·河北秦皇岛·月考）如图，，，点E是边上一点，连接交的延长线于点H．点F是边上一点．使得，作的角平分线交于点G，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·河北唐山·月考）综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线．为的平分线，和相交于点．若，，请写出和间的数量关系（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，请添加一个条件，使．则添加的条件可以为______．（写一个即可） 14．（24-25七年级下·山东临沂·期中）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为________ 15．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，下面是某学习小组出给的四个结论：①与是内错角；②；③若，则；④．其中正确的结论是______．（填序号即可） 16．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）某市在两条笔直且互相平行的景观道、上分别放置、两盏激光灯，如图所示．灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动． （1）当灯光束先转动秒后便停止不再转动，灯才开始转动，两束光线第一次互相垂直时，灯转动的时间是________． （2）灯先转动秒，灯才开始转动，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25七年级下·河北邢台·月考）命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题． 18．（8分）（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，直线，相交于点，，垂足为，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 19．（8分）（24-25七年级下·河北唐山·月考）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点与点重合，点，分别是点，的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)连接，． ①则与的关系是________； ②与互为________；与互为________．（填“内错角”“同位角”或“同旁内角”） 20．（8分）（24-25七年级下·河北唐山·月考）补全下面推理过程： 生活中常见的一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于A，平行于地面；求的度数． 解：如图，过点B作， （______）， （______）（平行于同一条直线的两条直线平行）， （______）（____________） （______）（____________） （辅助线作法）， （______） ， （____________） 21．（9分）（24-25七年级下·河北沧州·月考）已知：如图1，，点E，F分别为上一点． (1)在之间有一点M（点M不在线段上），连接，试探究之间有怎样的数量关系．请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明． (2)如图2，在之间有两点M，N，连接，请选择一个图形写出存在的数量关系（不需证明）． 22．（9分）（24-25七年级下·河北廊坊·月考）在大型商场的建筑设计中，有一个不规则形状的中庭；为了优化空间利用，设计师在中庭内规划了一些辅助设施．如图1，地面上有两条直线通道和，它们被一条折线通道所截，其中点在上，点在上，为折线的转折点，已知，，，过点作． (1)求和的度数； (2)如图2，在上取一点，连接，并延长交于点，使得，判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)现要将的度数调整为，应将射线绕点进行怎样的旋转？直接写出旋转方向和度数． 23．（11分）（24-25七年级下·河北石家庄·月考）在中，平分交于点，点是射线上的动点（不与点重合），过点作交直线于点，的角平分线所在直线与射线交于点． (1)如图1，点在线段上运动． ①若，，则_______； ②若，则________； ③探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点在射线上运动时，请直接写出与之间的数量关系． 24．（12分）（24-25七年级下·河北石家庄·月考）综合与实践 在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“平行线的拐点问题”进行研究． 如图1，直线，点M，N分别在直线，上，点H是直线与外一点，连接，． (1)【问题初探】若，，则的度数为______． (2)【问题拓展】①如图2，作平分，平分，若设，，求出的度数用含x，y的式子表示 ②在①的条件下，如图3，若平分，平分，可得，平分，平分，可得依次平分下去，则的度数为______用含x，y的式子表示 (3)【问题应用】智慧组制作了一个如图4所示的“燕子镖”，经测量发现，，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $