6.2.3 组合+6.2.4 组合数 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.3组合;6.2.4组合数（2课时）P21-25 陶新军 1（1） 学习目标 核心素养 1.通过实例理解组合的概念，并区别组合与排列. 数学抽象 2.通过实例理解组合数概念与公式、公式应用． 数学运算 3.简单的排列、组合应用 数学运算 4.解决复杂的排列、组合问题. 逻辑推理 1分钟（读） 4（5） 联系：从n个不同元素中取出m(m≤n)个 一.新课引入 第一组 第二组 1.从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法? 1.从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法? 2.平面内有A、B、C、D四个不同的点，可以连出几条有向线段? 2.平面内有A、B、C、D四个不同的点，可以连出几条线段? 问题1 请同学们阅读下列两组问题，比较两组问题的联系与区别。 区别：第一组与顺序有关；第二组与顺序无关。 4（5） 联系：从n个不同元素中取出m(m≤n)个 二.概念形成 问题2 类比排列的概念，给组合定义。 区别：第一组与顺序有关；第二组与顺序无关。 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement). 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination). 4（9） 例1 判断下列各事件是组合问题有（ ）． (1) 10支球队进行单循环赛(每两队比赛一次),共需进行多少场次的比赛？ (2) 10支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情况共有多少种？ (3) 已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出 以其中任意3个点为顶点的所有三角形. (4) 现有1，3，7，13这4个数，从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个 不相等的和? (5)现有1，3，7，13这4个数，从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个 不相等的差? (6)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种， 共有多少种不同的选法? 解：组合是：（1）（3）（4）；排列是：（2）（5）； 二.概念形成 1（10） 二.概念形成 判断一个具体问题是否为组合问题的方法 1（10） 二.概念形成 练习1 判断下列问题是排列问题还是组合问题． (1)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位 数共有多少个？ (2)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一 个和，这样的和共有多少个？ (3)从a，b，c，d四名学生中选两名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？ 解：排列有：（1）；组合有：（2）（3）。 6（16） 二.概念形成 问题3 类比排列数的概念，给组合数定义。 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示. 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示. 组合的第一个字母 元素总数 取出元素数 m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 3个不同元素a, b, c中取出2个的组合数记为： 4个不同元素a, b, c,d中取出3个的组合数记为： 6（16） 二.概念形成 思考： 探究 前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数 来求组合数 呢? (1).写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的组合数. (2).写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的排列数. 由此可得 6（16） 二.概念形成 组合数公式： 另外，我们规定 解： 例2 计算： 思考此关系是否具有一般性？ 性质1 性质2 三.概念深化 6（28） 性质2 三.概念深化 解： 练习2. 计算： 课本P25 三.概念深化 证明： 练习3. 求证： 课本P25 三.概念深化 解： 练习4. 计算： 例3 在100件产品中, 有98件合格品, 2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件. (1) 有多少种不同的抽法? (2) 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3) 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 解： (1) 所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为 (2) 从2件次品中抽出1件的抽法有 种，从98件合格品中抽出2件的抽法有 种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为 四.应用探究 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为 例3 在100件产品中, 有98件合格品, 2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件. (1) 有多少种不同的抽法? (2) 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3) 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 解1(直接法)： 解2(间接法)： 抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即 四.应用探究 6（28） 四.应用探究 练习5. 有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩. (1) 共有多少种不同的选法? (2) 如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法? (3) 如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法? 解： 练习6 从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？ (1) A、B必须当选； (2) A、B都不当选； (3) A、B不全当选； (4) 至少有2名女生当选； (5) 选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任． 解：(1) 除A、B当选外，再从其它10个人中选3人，不同的选法种数有 (2) A、B 都不当选的选法种数有 四.应用探究 解： (3) A、B不全当选的选法种数有 练习6 从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？ (3) A、B不全当选； (4) 至少有2名女生当选； (4) 至少有2名女生当选的选法种数有 四.应用探究 (5) 选出一个男生担任体育班委，再选出1名女生担任文娱班委，剩下的10人中任取3人担任其它3个班委． 由分步计数原理可得到所有方法总数为 解： 练习6 从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？ (5) 选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任． 四.应用探究 五.总结归纳 知识点： 题型： 方法： 作业：学科网搜：6.2.3组合1;6.2.4组合数 同步练习 解答 细目表 1（40） 1组合； 2组合数 1组合数计算； 2复查排列组合问题 1. 组合数公式： 规定 性质1 性质2 2. 组合数的性质： 板书设计 $