数与形（教学设计）-2025-2026学年人教版数学六年级上册

数与形 教材分析： （1）本节课的主要教学内容是探索数与形的相互联系，通过观察图形中的数的规律，以及利用图形辅助理解抽象的数的计算，建立数形结合的思维方式。 （2）本节课主要介绍了两个核心知识点：一是数与形的对应规律，如 1 个正方形对应 1²，1+3 个正方形对应 2²，1+3+5 个正方形对应 3²，发现 “从 1 开始的连续奇数和等于项数的平方”；二是利用图形直观解决无限求和问题，如通过线段图或圆的面积表示分数相加的过程，体会 “无限接近 1” 的极限思想。 （3）通过学习，我（学生视角）能从图形中快速找到数的规律，比如看到正方形层数就能写出对应的平方数；遇到复杂的分数加法时，会主动想到画图辅助理解，像计算 “1/2 + 1/4 + 1/8 + …” 这样的无限和，通过画图能直观看到总和接近 1。同时，我还发现数形结合能让抽象的数学变得有趣，比如用 “正方形的层数” 对应 “平方数”，用 “线段的分割” 对应 “分数的累加”，这些规律和方法不仅能帮我快速解题，还让我对数学的严谨性和趣味性有了新的认识。 教学目标： （1）数学眼光：通过观察数与形的对应关系（如正方形图与算式），发现 “数” 与 “形” 之间的规律，初步建立 “以形观数、以数解形” 的数学观察意识。 （2）数学思维：借助数形结合的思想，分析规律并验证规律（如通过图形验证分数加法的极限思想），发展逻辑推理与抽象思维能力。 （3）数学语言：能运用数学语言（算式、图形描述）表达数与形的关系，清晰说明规律的应用过程，提升数学表达与问题解决能力。 教学重点： （1）通过观察图形与算式的对应关系，发现数的规律（如平方数规律、分数求和极限规律），并能运用规律进行计算。 （2）借助数形结合思想，利用图形直观理解数的规律，体验数学思想方法在解决问题中的作用，培养直观想象与逻辑推理能力。 教学难点： （1）学生难以从 “形的结构” 抽象出 “数的运算规律”，并验证规律的普适性。如通过观察图形发现 “1=1²，1+3=2²” 后，难以归纳出 “连续奇数和为平方数” 的一般性结论（1+3+5+…+(2n-1)=n²），且易停留在记忆具体算式，缺乏对 “形的层次与数的平方” 内在联系的逻辑推理。 （2）学生对 “无限项分数和等于 1” 的极限思想理解存在障碍。如在 1/2+1/4+1/8+… 的学习中，学生通过画图能感知 “和逐渐接近 1”，但难以突破 “有限累加” 到 “无限和等于 1” 的思维边界，易误将 “无限接近” 等同于 “无法达到”，对 “极限结果等于 1” 的数学抽象认知不足。 教学资源准备： （1）多媒体设备（含课件，用于展示教材例题、动态呈现画图过程及规律推导内容）。 （2）人教版数学六年级上册教材（对应第 105～106 页例 1、例 2 及相关内容，辅助教学过程中的数与形规律观察与推导）。 （3）画图工具（如方格纸、彩笔、小正方形纸片等，供学生自主画图探索数与形的关系，辅助理解规律）。 教学过程： 一、复习导入 师：同学们，我们生活的世界充满了规律与秩序，比如新年装饰的灯笼会按 “红、黄、红、黄” 重复悬挂，学校走廊的地砖排列会有固定的几何图案。今天，我们就从一个熟悉的生活场景入手，回顾找规律的知识，看看如何用数学方法描述这些规律。 （课件动态展示“中心广场彩灯序列”：第 1 盏红、第 2 盏黄、第 3 盏蓝、第 4 盏绿、第 5 盏红、第 6 盏黄……） 师：请大家观察屏幕上的彩灯排列，思考两个问题： （1）彩灯是按什么顺序重复出现的？（引导学生发现 “红、黄、蓝、绿”为一个循环周期 ，周期长度是 4） （2）如果用数字 1、2、3、4 分别代表 “红、黄、蓝、绿”，你能快速说出第 10 盏灯的数字吗？第 2023 盏灯呢？ （学生独立思考后，教师请学生代表回答） 生 1：第 10 盏灯，因为周期是 4，10÷4=2 余 2，所以第 10 盏是第 2 个周期的第 2 盏，对应数字 2（黄色）。 生 2：第 2023 盏灯，2023÷4=505 余 3，所以是第 3 个数字，对应蓝色。 师：非常好！用除法计算周期余数，就能快速定位第 n 盏灯的颜色。其实，这种 “数（数字序号）” 与 “形（颜色循环）”的对应关系，正是数学中“数与形”思想的雏形 —— 图形能帮助我们直观理解数字的规律，数字也能精确描述图形的特征。今天，我们就深入探索“数与形” 如何相互配合解决更复杂的问题。（板书：数与形） 二、探究新知 （一）数与形结合的认识 —— 例 1 师：请同学们打开课本第 105 页，观察 “正方形分层图”（课件出示：图一：1 层小正方形，图二：2 层，图三：3 层）。请大家带着两个问题小组讨论 ： （1）每层小正方形的数量有什么规律？第 n 层有多少个小正方形？ （2）如果用算式表示每幅图的总个数，能否找到数与形的对应关系？ （学生分组讨论，教师巡视时引导学生用不同颜色标记层数，或用不同形状画出每层的小正方形） 师：请各小组分享发现！哪个小组先来说说图一到图三的小正方形数量？ 生 1：图一有 1 层，只有 1 个小正方形；图二有 2 层，底层是 3 个，上层是 1 个，总共有1+3=4 个；图三有 3 层，底层 5 个，中层 3 个，上层 1 个，总共有1+3+5=9 个。 师：大家注意到了吗？每层的小正方形数量（1，3，5）之间有什么关系？ 生 2：后一层比前一层多 2 个！1+2=3，3+2=5，所以下一层应该是7 个…… 师：非常敏锐！那如果用 “数” 的角度，总个数分别是多少呢？ 生 3：图一总个数1=1×1；图二总个数4=2×2；图三总个数9=3×3，所以总个数其实是层数的平方！ 师：两种角度都很棒！（板书：1=1²，1+3=2²，1+3+5=3²）那我们继续思考：算式左边的加数（1，1+3，1+3+5）为什么会等于右边的平方数？ （学生观察算式后，教师引导：“1 是第 1 个奇数，1+3 是前 2 个连续奇数的和，1+3+5 是前 3 个连续奇数的和……”） 师：现在我们验证猜想：如果有 4 层，第 4 层应该有多少个小正方形？总个数是多少？ （学生独立思考后，小组汇报） 生 4：第 4 层有 7 个小正方形（因为每层依次多 2），总个数 =1+3+5+7=16=4²！ 师：（课件动态展示第 4 幅图：4 层小正方形，从下到上依次标 7、5、3、1，总和 16）完全正确！ 师：谁能用一句话总结这个规律？ 生 5：从 1 开始的连续 n 个奇数相加的和，等于n²！ 师：（板书：1+3+5+…+(2n-1)=n²，其中 n 是正整数）这里的 “2n-1” 表示第 n 个奇数，比如 n=1 时，2×1-1=1；n=2 时，2×2-1=3，以此类推。 （二）运用数与形的知识解决问题 —— 例 2 师：刚才我们用图形直观理解了 “奇数和 = 平方数”的规律，那如果遇到“无限相加”的情况，如何用图形验证这个“无限接近”的过程？请大家拿出课前准备的圆形纸片 （直径 10 厘米左右），我们一起动手操作！ （教师演示：将圆形纸片对折，涂一半表示1/2，此时未涂色部分1/2；再对折，涂剩下的一半即1/4，未涂色部分1/4；继续对折，涂1/8…… 每次涂色部分都是前一次未涂色部分的一半） 师：现在请同学们观察涂色与未涂色的关系： （1）第 1 次涂色：1/2，未涂色：1/2； （2）第 2 次涂色：1/4，累计涂色：3/4，未涂色：1/4； （3）第 n 次涂色：1/2ⁿ，累计涂色：1 - 1/2ⁿ。 师：当 n 趋近于无穷大时，1/2ⁿ会发生什么变化？ 生 3：1/2ⁿ会越来越小，无限接近于 0！ 师：所以累计涂色的总和就是1 - 0=1！（板书：1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1） 师：我们再用线段图验证（课件出示线段图：一条长度为 1 的线段，从左到右依次标记1/2、1/4、1/8……）：每次涂色后，剩余线段的长度都是前一次剩余长度的1/2，最终剩余部分无限接近 0，因此总和无限接近 1。 师：这里蕴含了 “极限思想”—— 虽然每次剩下的部分永远存在，但它的大小会无限趋近于 0，因此总和会无限趋近于 1。这种“以形助数” 的方法，能帮助我们突破有限计算的局限，理解无限的数学概念。 三、巩固运用 1. 基础练习（教材第 107 页第 1 题） 师：请完成课本107 页第 1 题：找规律填数。 （课件出示：“1=1²，1+3=2²，1+3+5=3²，1+3+5+7=（ ）²，1+3+5+7+9=（ ）²”） （学生独立完成后，小组内核对答案） 师：第 1 题的规律是 “连续 n 个奇数和 = n²”，请大家说说括号里的数。 生 1：1+3+5+7 是4 个奇数相加，所以 =4²=16； 师：如果是 “1+3+5+7+9+11” 呢？（学生抢答：6²=36） 2. 图形规律题（教材第 107 页第 2 题） 师：课本第 107 页第 2 题是点阵图规律题（课件出示：第 1 个图：1 个点；第 2 个图：1+5=6 个点；第 3 个图：6+10=16 个点）。请大家思考：第 n 个图有多少个点？ （学生分组讨论，教师引导：“相邻两个图的点数差是多少？第 2 个图比第 1 个图多 5 个，第 3 个图比第 2 个图多 10 个，第 4 个图应该多 15 个……”） 生 3：第 n 个图的点数 =1+5×(1+2+…+(n-1))=1+5×n(n-1)/2。 师：当 n=4 时，第 4 个图有多少个点？ 生 4：1+5×4×3/2=1+30=31！ 3. 综合拓展题（教材第 108 页第 4 题） 师：第 108 页第 4 题是 “第 10 个点阵的点数”，请用今天学的数与形 方法解决。 （学生尝试用公式计算：n=10 时，点数 =1+5×10×9/2=1+225=226） 师：验证一下！第 1 个图1=1+5×0，第 2 个图6=1+5×1，第 3 个图16=1+5×(1+2)，确实符合公式！ 四、课堂小结 师：回顾今天的学习，“数与形” 的配合给你带来了哪些启发？ 生 1：用图形能直观看到规律，比如正方形分层图中，1+3+5=3²，图形上就是 3 层的正方形； 生 2：用数字能精确描述图形特征，比如分数求和的极限，用 “1 - 1/2ⁿ” 的公式就能表示无限接近 1 的过程； 师：非常到位！（板书：以形助数 —— 用图形直观化抽象规律；以数解形 —— 用数字精确描述图形本质） 师：生活中还有很多 “数与形”的例子：比如植树问题中，树的棵数（数）对应间隔数 （形）；建筑中的楼梯台阶（形）对应步数（数）。希望大家今后遇到复杂问题时，能主动想到用 “数” 和 “形” 两种工具，互相验证，找到答案！ （学生举手分享课后作业：用“数与形”思想解决“1+3+5+…+19”的和，或画出“1/2 + 1/4 + 1/8 + …”的线段图并标注剩余长度） 课后作业： （1）数与形规律计算：根据 “数与形” 的规律填空或计算。 ① 1+3+5+7+…+（2n-1）=（ ）²（用 n 表示规律）； ② 观察图形规律：第 5 个图形有多少个小正方形？（提示：画图或根据数的规律推导，如第 1 个图形 1=1²，第 2 个图形 1+3=2²，第 3 个图形 1+3+5=3²，依此类推）。 （2）极限思想应用：用画图（或线段图）的方法解决分数加法问题： 计算：/（假设一直加下去，结果接近多少？尝试用圆或线段图表示并验证）。 学科网（北京）股份有限公司 $