7.2 平行线（讲义）数学新教材人教版七年级下册

第七章 相交线与平行线 7.2 平行线 知识点一 平行线的概念及其表示方法 ◆1、平行线的概念：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 记作：AB∥CD； 记作：a∥b； 读作：直线AB平行于直线CD． 读作：直线a平行于直线b． 【注意】 1、在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行．(重合的直线视为一条直线) 2、.线段或射线平行是指它们所在的直线平行． 即学即练 如图所示，能相交的是 　 　，平行的是 　 　．（填序号） 知识点二 平行线的画法 ◆过直线外一点画已知直线的平行线的方法： 一“落”把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；四“画”沿三角尺过已知点的边画直线． 【注意】 1．经过直线上一点不能作已知直线的平行线． 2．画线段或射线的平行线是指画它们所在直线的平行线． 3．借助三角尺画平行线时，必须保持紧靠，否则画出的直线不平行. 即学即练 已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点三 平行线的基本事实及其推论 ◆1、平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. ◆2、平行线的基本事实的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 也就是说：如图，如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 几何语言：∵ b∥a，c∥a，∴ b∥c. 【注意】 1、平行线的基本事实的推论中，三条直线可以不在同一个平面内． 2、平行线的基本事实中强调“直线外一点”，因为若点在直线上，不可能有平行线；“有且只有”强调这样的直线是存在的，也是唯一的． 即学即练 如果，，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．同位角相等，两直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一直线的两条直线平行 知识点四 平行线的判定方法 ◆1、平行线的判定： 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠2＝∠3(已知)， ∴a∥b(同位角相等，两直线平行)． 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠2＝∠4(已知)， ∴a∥b.(内错角相等，两直线平行)． 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单说成：同旁内角互补，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠1＋∠2＝180°(已知)， ∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)． ◆2、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直． 几何语言表示： 直线a，b，c在同一平面内， ∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b． 【注意】三条直线在“同一平面内”是前提，没有这个条件结论不一定成立. ◆3、判定两直线平行的方法 （1）平行线的定义； （2）平行线的基本事实（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； （3利用同位角相等说明两直线平行； （4）利用内错角相等说明两直线平行； （5）利用同旁内角互补说明两直线平行； （6）同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行. 复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 即学即练 （25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 知识点五 平行线的性质 ◆1、平行线性质定理 性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 几何语言表示： ∵a∥b(已知)， ∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)． 性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 几何语言表示： ∵a∥b(已知)， ∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)． 性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 几何语言表示： ∵a∥b(已知)， ∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)． ◆2、平行线的判定与性质 （1） 平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系． 平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别： 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． （4） 辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 即学即练 1．如图，直线分别与直线、交于点、，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，则图中与相等的角（不含）的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型01 平行线的相关概念 / 解题的关键是准确把握平行线的概念，牢记平行线的三个条件：①在同一平面内；②不相交；③都是直线，通过与定义进行对比来进行判断. 典｜例｜精｜析 【例题1】（25-26八年级上·广东深圳·月考）在同一平面内，不重合的两直线的位置关系必是（    ） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图片中，不包含平行线的是（   ） A．双杠 B．电梯扶手 C．彩虹 D．拉直的电线 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，若，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．延长后才平行 C．垂直 D．无法确定 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）在如图的几何体中，上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与平行的线段有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 4．（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图1为一长方体水果箱，图2为其模型，则模型中与平行的棱共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型02 画已知直线的平行线 / 利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，是几何画图的基本技能之一.注意“移”时经过的边是三角尺落在已知直线上的那一边，而不是任意一边. 典｜例｜精｜析 【例题2】如图，直线a，点B，点C． （1）过点B画直线a的平行线，能画几条？ （2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？ 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，已知点，，都在格点上．利用网格画出下列各图． (1)在图中标出格点，使得，并画出； (2)在图中标出格点，使得，并画出标出垂足． 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，点在 的边上．按下列要求画出相应的图形． ①过点画直线 ②过点分别画 垂足分别为点、， 交于点； 3．如图，已知直线a和直线a外一点A． （1）完成下列画图：过点A画AB⊥a，垂足为点B，画AC∥a； （2）过点A你能画几条直线和a垂直？为什么？过点A你能画几条直线和a平行？为什么？（3）说出直线AC与直线AB的位置关系． 4．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)___________；（填“>”“<”或“=”） 题型03 平行线的基本事实及其推论 / 1、平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2、平行线的基本事实的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 典｜例｜精｜析 【例题3】已知直线AB和一点P，过点P画直线与AB平行，可以画（    ） A．1条 B．0条 C．0条或1条 D．无数条 变｜式｜巩｜固 1．如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 2．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是 ． 3．（25-26七年级下·全国·周测）如图，，，则点，， （填“在”或“不在”）同一条直线上．理由： ． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ． 题型04 两直线平行判定的条件 / 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行。 典｜例｜精｜析 【例题4】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，要得到，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东梅州·月考），其中能判定的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，已知直线相交于点O，，下面判定两条直线平行的条件正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 题型05 平行线判定的证明 / 1、 由两角相等或互补关系，判定两条直线平行，其关键是找出两个角是哪两条直线被第三条直线所截而成的角. 2、选用两角相等，还是选用互补关系说明两条直线平行，应根据所给的图形，灵活运用其中一种方法说明即可. 典｜例｜精｜析 【例题5】（25-26六年级下·全国·单元测试）如图，已知直线与直线，分别相交于点E，F，于点F，若，，直线与平行吗？请说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，再添加什么条件可使？请就你添加的条件说明的理由． 2．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，已知平分，且，，判断和是否平行，并说明理由． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，AB与CD相交于点O，OA平分，．判断CB与EO的位置关系，并说明理由． 4．（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，已知，求证：． （2）如图，平分，平分，，，求证：． 题型06 利用平行线的性质求角的度数 / 两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数. 典｜例｜精｜析 【例题6】（2026·广东中山·模拟预测）如图，直线，直线与相交于点，平分线交于点Q．若，则度数为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，，垂足为，交于点，交于点，已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，，分别交、于点，，，平分交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，，且平分，若，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，点在CB的延长线上，，则的度数为 ． 题型07 利用平行线的性质判断结论 / 先根据平行线性质，把角转化为相等或互补，再用转化后的角去推导、验证题目要证明的结论. 典｜例｜精｜析 【例题7】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，若，则下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山西长治·期末）如图，下列推理不正确的有（   ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，对于下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型08 借助三角尺求角的度数 / 借助三角尺求角的度数主要是利用三角尺的特征，结合平行线的性质一般解决求角的度数问题. 典｜例｜精｜析 【例题8】（25-26七年级上·山西长治·期末）将一把直尺和一块三角板按如图所示的方式放置，直尺与三角板的两边分别交于点D，E，F，G，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山东临沂·模拟预测）将一个含角的三角板按照如图所示的方式放置在直尺上，此时，直尺边正好是三角板的角平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2026七年级下·北京·专题练习）将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，含角的直角三角尺按图所示的方式放置．若，则的度数为 ． 题型09 利用平行线的性质解决实际问题 / 给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质. 典｜例｜精｜析 【例题9】（25-26九年级上·广西玉林·期末）如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，则的度数为 A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·广东深圳·期末）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川乐山·期末）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从空气射入水中时，会发生折射，已知在空气中平行的光线射入水中时也是平行的，如图，，则 ． 4．（24-25七年级下·北京海淀·期中）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为 ． 题型10 利用平行线的性质探究两角的数量关系 / 先找平行线，再借中间角转化，利用同位角、内错角相等，同旁内角互补，判断两角是相等、互补或其他固定数量关系. 典｜例｜精｜析 【例题10】（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知、分别平分、，若要使，则与应满足的关系是 ． 变｜式｜巩｜固 1．如图，若，则角，，的关系为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线，点和点在两直线之间，且，则，与之间的数量关系为 ． 题型11 利用平行线解决折叠问题 / 结合长方形的性质，对边是互相平行的，从而综合折叠的特征和平行线的性质求解即可.折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化. 典｜例｜精｜析 【例题11】（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图．将上、下边缘平行的一张纸条折叠．则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）将一个长方形纸片折叠成图所示的图形，若，则的度数为 °． 4．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图所示，长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（　　） A． B． C． D． 题型12 通过阅读推理过程填空 / 题中会给出一个平行线判定问题的求解过程，要求填写理由，此时要认真分析题意，然后联系上下文求. 典｜例｜精｜析 【例题12】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如图，已知，吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式） 解：∵（      ） ∴（      ） 同理可得（      ） ∴（      ） 又∵（       ） ∴（      ） 即（      ）（      ） ∴（      ）（      ）（             ） 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·福建龙岩·月考）如图，如果，求证：；． 观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论． 证明：∵（ 已 知 ）， （______________）， ∴（_______________）， 又∵（已知）， ∴_________（____________）， ∴（_______________）， 又∵（_____________）， ∴（___________________________）， ∵（已知）， ∴， ∴（________________）． 2．（25-26七年级下·全国·期中）如图，，，，以下是小明同学说明的推理过程及理由．请你在横线上补充完整其推理过程或理由． 解：因为，（已知）， 所以（____________）， 所以， 所以∥____________（__________________________________）． 因为（已知）， 所以∥____________（__________________________________）， 所以（__________________________________）． 3．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）请填空，完成下面的证明． 如图，平分平分．求证：． 证明：，（已知） ___________，（邻补角互补） ___________（___________）． 平分平分， ______________________（___________） （___________）． （___________）． 4．如图，在四边形中，点E在的延长线上，连接、，交于点 F． 已知，，．求证． 通过填空完成下列证明： ∵（已知）， ∴（                ）． ∵（已知）， ∴__________ （等量代换）． ∵（已知）， ∴（等式的性质）．即． ∴__________．∴（                ）． 题型13 根据平行线的判定与性质求角度 / 先利用平行线的判定得出两直线平行，然后利用平行线的性质求角的度数. 典｜例｜精｜析 【例题13】如图，已知直线、被直线，所截，若，，则的度数为 ． 变｜式｜巩｜固 1．如图，已知，， ，，点为内一点， ，则 ． 2．（2024七年级下·浙江衢州·竞赛）如图，直线，平分，平分，点，，在同一直线上，若，则 ． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，与相交于点，且，平分，且． (1)若，求的度数； (2)画的平分线，与有怎样的位置关系？为什么？ 4．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数学活动课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，，且和直角三角形，， (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，在探究过程中组同学把图1中的直线向上移动，始终保持．并把的位置改变，发现，请说明理由； (3)如图3，组同学改变三角板的位置，将直角三角板的一边放在直线上，另一边在直线的下方．过点作射线，使，将图3中三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（，为常数），求的值． 题型14 根据平行线的判定与性质证明 / 由已知角的关系判定平行，再用平行线的性质推出新的角关系，从而完成证明. 典｜例｜精｜析 【例题14】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，于点，于点． (1)若，求的度数； (2)若与互补，判断与是否平行，并说明理由． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，，，． (1)探究与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 3．（25-26七年级上·北京海淀·期末）已知，如图，为直线上一点，于点．点为射线上一点，从点引两条射线分别交直线于点，（点在点左侧，点在点右侧），过点作交于点，为线段上一点，过作于点． (1)①依题意补全图形； ②若，求的度数； (2) 写出表示与的数量关系的等式，并说明理由． 4．（25-26七年级上·江苏南京·期末）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 相交线与平行线 7.2 平行线 知识点一 平行线的概念及其表示方法 ◆1、平行线的概念：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 记作：AB∥CD； 记作：a∥b； 读作：直线AB平行于直线CD． 读作：直线a平行于直线b． 【注意】 1、在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行．(重合的直线视为一条直线) 2、.线段或射线平行是指它们所在的直线平行． 即学即练 如图所示，能相交的是 　 　，平行的是 　 　．（填序号） 【答案】③，⑤． 【分析】根据平行线、相交线的定义，逐项进行判断，即可正确得出结果． 【详解】解：①中一条直线，一条射线，不可相交，也不会平行； ②中一条直线，一条线段，不可相交，也不会平行； ③中一条直线，一条线段，可相交； ④中都是线段，不可延长，不可相交，也不平行， ⑤中都是直线，延长后不相交，是平行． 故答案为：③，⑤． 【点睛】本题考查平行线和相交线，解题的关键是掌握直线可以沿两个方向延伸，射线可以沿一个方向延伸，线段不能延伸． 知识点二 平行线的画法 ◆过直线外一点画已知直线的平行线的方法： 一“落”把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”沿三角尺过已知点的边画直线． 【注意】 1．经过直线上一点不能作已知直线的平行线． 2．画线段或射线的平行线是指画它们所在直线的平行线． 3．借助三角尺画平行线时，必须保持紧靠，否则画出的直线不平行. 即学即练 已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可． 【详解】解：过AC的中点D作AB的平行线， 正确的图形是选项B， 故选：B． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 知识点三 平行线的基本事实及其推论 ◆1、平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. ◆2、平行线的基本事实的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 也就是说：如图，如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 几何语言：∵ b∥a，c∥a，∴ b∥c. 【注意】 1、平行线的基本事实的推论中，三条直线可以不在同一个平面内． 2、平行线的基本事实中强调“直线外一点”，因为若点在直线上，不可能有平行线；“有且只有”强调这样的直线是存在的，也是唯一的． 即学即练 如果，，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．同位角相等，两直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定公理，明确各选项对应的知识点是解题关键． 【详解】解：∵已知，， ∴根据“平行于同一直线的两条直线平行”这一公理，可推出， ∴这个推理的依据是：平行于同一直线的两条直线平行， 故选：D． 知识点四 平行线的判定方法 ◆1、平行线的判定： 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠2＝∠3(已知)， ∴a∥b(同位角相等，两直线平行)． 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠2＝∠4(已知)， ∴a∥b.(内错角相等，两直线平行)． 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单说成：同旁内角互补，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠1＋∠2＝180°(已知)， ∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)． ◆2、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直． 几何语言表示： 直线a，b，c在同一平面内， ∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b． 【注意】三条直线在“同一平面内”是前提，没有这个条件结论不一定成立. ◆3、判定两直线平行的方法 （1）平行线的定义； （2）平行线的基本事实（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； （3利用同位角相等说明两直线平行； （4）利用内错角相等说明两直线平行； （5）利用同旁内角互补说明两直线平行； （6）同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行. 复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 即学即练 （25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， 该选项符合题意； B. ∵， ∴， 该选项不符合题意； C. ∵， ∴， 该选项不符合题意； D. ∵， ∴， 该选项不符合题意； 故选：A． 知识点五 平行线的性质 ◆1、平行线性质定理 性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 几何语言表示： ∵a∥b(已知)， ∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)． 性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 几何语言表示： ∵a∥b(已知)， ∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)． 性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 几何语言表示： ∵a∥b(已知)， ∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)． ◆2、平行线的判定与性质 （1） 平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系． 平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别： 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． （4） 辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 即学即练 1．如图，直线分别与直线、交于点、，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过平行线的性质找到与相关的角，再利用邻补角的互补关系计算的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 2．如图，已知，，则图中与相等的角（不含）的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，利用两直线平行同位角相等和内错角相等找出与相等的角，再计算个数即可，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，，，，， ∴， ∴与相等的角（不含）有，，，，，共个， 故选：． 题型01 平行线的相关概念 / 解题的关键是准确把握平行线的概念，牢记平行线的三个条件：①在同一平面内；②不相交；③都是直线，通过与定义进行对比来进行判断. 典｜例｜精｜析 【例题1】（25-26八年级上·广东深圳·月考）在同一平面内，不重合的两直线的位置关系必是（    ） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系的基本概念． 【详解】解：∵在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种． ∴两直线的位置关系必是相交或平行， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图片中，不包含平行线的是（   ） A．双杠 B．电梯扶手 C．彩虹 D．拉直的电线 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线，解题关键是熟练掌握平行线的定义． 根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，观察各个选项中的图形，进行判断即可． 【详解】解：A、双杠的两根横杠在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； B、电梯扶手在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； C、彩虹是弧形的，并不是直线，不满足平行线是直线的条件，所以不包含平行线，符合题意； D、拉直的电线在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，若，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．延长后才平行 C．垂直 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了平行公理的推论，根据平行于同一条直线的两直线平行解答即可． 【详解】解：∵， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）． 故选A． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）在如图的几何体中，上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与平行的线段有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，梯形的性质，平行公理的推理，根据平行四边形和梯形的性质可得，，，进而由平行公理的推理可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵几何体的上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴图形中与平行的线段有，，，共条， 故选：． 4．（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图1为一长方体水果箱，图2为其模型，则模型中与平行的棱共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查平行公理，根据平行线的定义和平行公理的推论，进行判断即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， 故模型中与平行的棱共有3条； 故选C． 题型02 画已知直线的平行线 / 利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，是几何画图的基本技能之一.注意“移”时经过的边是三角尺落在已知直线上的那一边，而不是任意一边. 典｜例｜精｜析 【例题2】如图，直线a，点B，点C． （1）过点B画直线a的平行线，能画几条？ （2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？ 【答案】见详解 【分析】根据平行公理及推论进行解答． 【详解】解：（1）如图，过直线a外的一点画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线a平行； （2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行．理由如下： 如图，∵b∥a，c∥a， ∴c∥b． 【点睛】本题考查了平行公理及推论．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思）； 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，已知点，，都在格点上．利用网格画出下列各图． (1)在图中标出格点，使得，并画出； (2)在图中标出格点，使得，并画出标出垂足． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析 【分析】（1）在图中找到格点，使得的走向与一致(从向右1格、向上3格的格点)，连接即可； （2）在图中找到格点，使得的走向与垂直(从向右3格、向上1格的格点)，连接交于点，即为垂足． 【详解】（1）解：如图，点即为所求： （2）解：如图，点即为所求： 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，点在 的边上．按下列要求画出相应的图形． ①过点画直线 ②过点分别画 垂足分别为点、， 交于点； 【答案】见解析 【分析】本题考查了画平行线，画垂线，根据要求画出图形即可． 【详解】解：如图所示 3．如图，已知直线a和直线a外一点A． （1）完成下列画图：过点A画AB⊥a，垂足为点B，画AC∥a； （2）过点A你能画几条直线和a垂直？为什么？过点A你能画几条直线和a平行？为什么？（3）说出直线AC与直线AB的位置关系． 【分析】（1）根据要求画出图形即可； （2）过点A有一条直线和直线a垂直，过点A可以画一条直线和a平行． （3）结论：AC⊥AB． 【详解】解：（1）直线AB、AC如图所示； （2）过点A有一条直线和直线a垂直， 理由：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直． 过点A可以画一条直线和a平行． 理由：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行． （3）结论：AC⊥AB． 【点睛】本题考查复杂作图、垂线、平行线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 4．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)___________；（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解； (4)> 【分析】（1）根据平行线的定义画出图形即可； （2）根据垂直的定义画图即可 （3）根据垂直定义画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，平行线的定义，垂线的定义． 【详解】（1）解：根据平行线的定义，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，画图如下， 则即为所求． （3）解：根据题意画图如下： 则直线即为所求． （4）解：∵， ∴根据垂线段最短，得． 故 答案为：>． 题型03 平行线的基本事实及其推论 / 1、平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2、平行线的基本事实的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 典｜例｜精｜析 【例题3】已知直线AB和一点P，过点P画直线与AB平行，可以画（    ） A．1条 B．0条 C．0条或1条 D．无数条 【答案】C 【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行可得答案．过直线上的一点，不能做直线与已知直线平行（互相重合）． 【详解】解：如果点P在直线上，过点P画直线与AB的平行线可画0条，如果点P在直线外，过点P画直线与AB的平行线可画1条， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行线公理，注意点P的位置分两种情况表现． 变｜式｜巩｜固 1．如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】先过B，C两点画直线BC，再根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行可求解． 【详解】解：如图， 根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行， 故选：B． 【点睛】本题主要考查直线，射线，线段，平行线，掌握过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行的性质是解题的关键． 2．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是 ． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵， ∴点、、在同一直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 3．（25-26七年级下·全国·周测）如图，，，则点，， （填“在”或“不在”）同一条直线上．理由： ． 【答案】 在 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，由此即可判断． 【详解】解：∵点是直线外一点，，，且经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴点在一条直线上． 故答案为：在，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ． 【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 题型04 两直线平行判定的条件 / 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行。 典｜例｜精｜析 【例题4】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，要得到，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定，内错角相等两直线平行，明确内错角的定义是解题的关键． 根据内错角相等两直线平行，确定是的内错角即可． 【详解】由图可知，是的内错角， 若，则． 故答案为：C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、不能判定，该选项不符合题意； 、能够判定，但不能判定，该选项不符合题意； 、∵，， ∴， ∴根据同位角相等，两直线平行，能够判定，该选项符合题意； 、，不能判定，该选项不符合题意． 故选：C． 2．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A、内错角相等，两直线平行，能判定，不符合题意； B、同旁内角互补，两直线平行，能判定，不符合题意； C、不能判定，符合题意； D、，，故，同旁内角互补，两直线平行，能判定，不符合题意； 故选C． 3．（25-26八年级上·广东梅州·月考），其中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据角之间的关系判定两直线平行，首先这两个角一定是两条直线被第三条直线所截形成的，解决本题的关键是判断和是否直线、被直线第三条直线所截形成的． 【详解】解：A选项：和不是直线、被直线所截形成的角，不能判定，故A选项不符合题意； B选项：和不是直线、被第三条直线所截形成的角，不能判定，故B选项不符合题意； C选项：和不是直线、被第三条直线所截形成的角，不能判定，故C选项不符合题意； D选项：和是直线、被直线所截形成的同位角，根据可以判定，故D选项符合题意 故选D． 4．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，已知直线相交于点O，，下面判定两条直线平行的条件正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，结合内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意； B、∵与不是同位角，也不是内错角，∴无法证明，故该选项不符合题意； C、∵，∴，无法证明，也无法证明，故该选项不符合题意； D、∵，，∴，∴，故该选项符合题意； 故选：D 题型05 平行线判定的证明 / 1、 由两角相等或互补关系，判定两条直线平行，其关键是找出两个角是哪两条直线被第三条直线所截而成的角. 2、选用两角相等，还是选用互补关系说明两条直线平行，应根据所给的图形，灵活运用其中一种方法说明即可. 典｜例｜精｜析 【例题5】（25-26六年级下·全国·单元测试）如图，已知直线与直线，分别相交于点E，F，于点F，若，，直线与平行吗？请说明理由． 【答案】直线与平行，理由见详解 【分析】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，平角的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 由垂直的定义得到，由平角的定义求出，由对顶角的性质得到，因此，推出． 【详解】解：直线与平行，理由如下： ∵于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，再添加什么条件可使？请就你添加的条件说明的理由． 【答案】（补充的条件不唯一），见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】解：添加的条件是（补充的条件不唯一），这样有． 理由：，， ，即， （同位角相等，两直线平行）． 2．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，已知平分，且，，判断和是否平行，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 求出，根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：， 理由：平分，， ， ， ， ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，AB与CD相交于点O，OA平分，．判断CB与EO的位置关系，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行是解题的关键． 由角平分线的定义得，结合对顶角的性质可证，从而可得． 【详解】解：． 理由：平分， ． ， ． 又， ， ． 4．（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，已知，求证：． （2）如图，平分，平分，，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定、垂线的定义、角的和差、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定定理证明平行线是解题的关键． （1）由垂直的定义可得，再结合已知条件运用角的和差可得，然后运用同位角相等、两直线平行即可证明结论； （2）根据角平分线的定义可得，即，然后运用同旁内角互补、两直线平行即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平分，平分，，， ∴， ∴， ∴． 题型06 利用平行线的性质求角的度数 / 两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数. 典｜例｜精｜析 【例题6】（2026·广东中山·模拟预测）如图，直线，直线与相交于点，平分线交于点Q．若，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质可知的度数，根据角平分线的性质可知，最后由平行线的性质可求解． 本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解： ， ∴， ∵， ， 平分， ∴， ， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，，垂足为，交于点，交于点，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质．利用平行线的内错角相等，结合直角的角度关系，求出对应角的度数． 【详解】解：∵， ∴，即． ∵， ∴． ∵， ∴， 故选：C． 2．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，，分别交、于点，，，平分交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与角平分线的定义是解题的关键． 由平分可得，再由可得即可得结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 3．（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，，且平分，若，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质和角平分线的定义．熟悉平行线的性质：两直线平行，内错角相等，角平分线的定义：角平分线将一个角分成两个相等的角，是解题的关键． 根据平行线的性质，得到角之间的等量关系，再结合角平分线的定义求出的度数． 【详解】解： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故选：． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，点在CB的延长线上，，则的度数为 ． 【答案】130 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据平行线的性质求出，根据，得出，最后根据平行线的性质，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型07 利用平行线的性质判断结论 / 先根据平行线性质，把角转化为相等或互补，再用转化后的角去推导、验证题目要证明的结论. 典｜例｜精｜析 【例题7】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据可得，无法判断，，． 【详解】解：∵， ∴，故选项B正确， 无法判断，，．故选项A，C，D不正确， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，若，则下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．根据平行线的性质与判定定理逐项分析即可． 【详解】解：， ， ，， 故A、B、C选项结论正确，D选项结论不一定正确． 故选：D． 2．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理．根据两直线平行，同位角相等即可判定． 【详解】解：， ，故选项D符合题意， 、、均不符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级上·山西长治·期末）如图，下列推理不正确的有（   ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】此题考查平行线的判定与性质，解题关键在于掌握其定义． 根据平行线的判定（内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行）和平行线的性质（两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补）判断即可． 【详解】解：若，则，故①正确； 若，则，故②错误； 若，则，故③正确； 若，不能得到，故④错误， 故推理不正确的有②④，共2个， 故选：C． 4．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，对于下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，平角等于，邻补角的定义，熟记性质与概念并准确识图是解题的关键．根据平行线的性质，平角等于对各小题进行验证即可得解． 【详解】解：∵纸条的两边互相平行， ∴，，．故①②④正确： ∵三角板是直角三角板， ∴．故③正确； 综上所述，正确的个数是4． 故选：D． 题型08 借助三角尺求角的度数 / 借助三角尺求角的度数主要是利用三角尺的特征，结合平行线的性质一般解决求角的度数问题. 典｜例｜精｜析 【例题8】（25-26七年级上·山西长治·期末）将一把直尺和一块三角板按如图所示的方式放置，直尺与三角板的两边分别交于点D，E，F，G，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．利用平行线的性质求出，即可解答． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山东临沂·模拟预测）将一个含角的三角板按照如图所示的方式放置在直尺上，此时，直尺边正好是三角板的角平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内角和、对顶角、角平分线与平行线的性质．准确识图，熟练利用角平分线和三角形内角和，平行线的性质是解题的关键． 根据三角板的特性及角平分线与三角形的内角和求出的大小，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：在含角的三角板中，， ∵为平分线， ∴， 由三角形的内角和可得，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．（2026七年级下·北京·专题练习）将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是利用平行线的性质找到角之间的等量关系，再结合三角形外角定理进行计算． 先根据平行线的性质得到内错角相等，再利用三角形外角等于不相邻两内角之和，计算出的度数． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质得出，由平角定义得到，即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴； 故选：B ． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，含角的直角三角尺按图所示的方式放置．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 如图，过点作的平行线，根据平角的定义结合可求出的度数，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，通过角度的和差关系求出的度数；最后根据平行于同一直线的两直线平行，以及两直线平行，内错角相等可求出的度数． 【一题多解法】如图，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，结合角度的和差关系求出的度数；最后根据平行于同一直线的两直线平行，以及两直线平行，内错角相等可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作的平行线． ，， ． ， ． ， ． ，， ， ． 故答案为：． 题型09 利用平行线的性质解决实际问题 / 给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质. 典｜例｜精｜析 【例题9】（25-26九年级上·广西玉林·期末）如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，则的度数为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，由平行线的性质结合等边对等角可得即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·广东深圳·期末）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，求出，根据两直线平行，内错角相等，求出，根据角之间的位置关系求出结果即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：A． 2．（25-26七年级上·四川乐山·期末）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，掌握平行线的性质是解题的关键． 由平面镜反射光线的规律和，可得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由平面镜反射光线的规律和，可得，， ∴， ∵反射光线与平行， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从空气射入水中时，会发生折射，已知在空气中平行的光线射入水中时也是平行的，如图，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质．根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案． 【详解】解：如图所示， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·北京海淀·期中）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，能熟练运用平行线的判定及性质是解题的关键． 过E作，由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，即可求解． 【详解】解：过E作， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 题型10 利用平行线的性质探究两角的数量关系 / 先找平行线，再借中间角转化，利用同位角、内错角相等，同旁内角互补，判断两角是相等、互补或其他固定数量关系. 典｜例｜精｜析 【例题10】（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知、分别平分、，若要使，则与应满足的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据角平分线的定义求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．如图，若，则角，，的关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先过点作，由平行线的传递性可得，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，即可求得角，，的关系； 本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行的性质、过拐点作辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，过作，得，则，，由三角形外角的性质得，根据得，再代入计算可得结论． 【详解】解：过点作，过作， ∵， ∴ ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点作，根据平行线的性质分别表示出、，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴ 又∵射线平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线，点和点在两直线之间，且，则，与之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质探究角的关系，过点作，过点作，则，由平行线的性质可得出，，，再得出，，用再结合即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ， ， ，，， ，， ， ， ． 故答案为：． 题型11 利用平行线解决折叠问题 / 结合长方形的性质，对边是互相平行的，从而综合折叠的特征和平行线的性质求解即可.折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化. 典｜例｜精｜析 【例题11】（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图．将上、下边缘平行的一张纸条折叠．则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴，，， ∴选项一定成立， 由折叠可得，，由条件无法判断和相等，故无法确定， ∴不一定成立， 故选：． 变｜式｜巩｜固 1．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 【答案】C． 【分析】首先利用平行线的性质得出∠ADE＝50°，再利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF，从而求出∠BDF的度数． 【详解】解：∵BC∥DE，若∠B＝50°， ∴∠ADE＝50°， 又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处， ∴∠ADE＝∠EDF＝50°， ∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了折叠问题与平行线的性质，利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF是解决问题的关键． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键． 由折叠可得，，，可得，根据可得，过点作，则，可得，则可得． 【详解】解：如图，过点作， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）将一个长方形纸片折叠成图所示的图形，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质； 先利用平行线的性质得出，再根据折叠的性质和平角的定义计算即可． 【详解】解：如图， 由长方形纸片可得，， ， 由折叠得， ∴ 故答案为：． 4．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图所示，长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】长方形纸带隐含的条件，通过平行得到和的度数，再通过折叠前后，角的度数不变，得到折叠后对应角的度数，计算即可． 【详解】解：由题意，得， ∴，， ∴，， 图2中，由折叠，可知， ∴， 图3中，由折叠，可知， ∴， 故选：A． 题型12 通过阅读推理过程填空 / 题中会给出一个平行线判定问题的求解过程，要求填写理由，此时要认真分析题意，然后联系上下文求. 典｜例｜精｜析 【例题12】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如图，已知，吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式） 解：∵（      ） ∴（      ） 同理可得（      ） ∴（      ） 又∵（       ） ∴（      ） 即（      ）（      ） ∴（      ）（      ）（             ） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定，根据题干信息逐一完善推理过程与推理依据即可． 【详解】解：∵（ 已知）， ∴（垂直的定义）， 同理可得（垂直的定义）， ∴（等量代换）， 又∵（ 已知）， ∴（等式的性质）， 即， ∴（）（ ）（同位角相等，两直线平行）． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·福建龙岩·月考）如图，如果，求证：；． 观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论． 证明：∵（ 已 知 ）， （______________）， ∴（_______________）， 又∵（已知）， ∴_________（____________）， ∴（_______________）， 又∵（_____________）， ∴（___________________________）， ∵（已知）， ∴， ∴（________________）． 【答案】对顶角相等；等量代换；；等式的性质；同旁内角互补，两直线平行；邻补角的定义；等式的性质；内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是对平行线的判定与性质的掌握与运用．由题意可求得，则有，即可判定，由邻补角的定义可得，可得，即可判定． 【详解】证明：∵（ 已 知 ）， （对顶角相等）， ∴（等量代换）， 又∵（已知）， ∴ （等式的性质）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵（邻补角的定义）， ∴（等式的性质）， ∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；等量代换；；等式的性质；同旁内角互补，两直线平行；邻补角的定义；等式的性质；内错角相等，两直线平行． 2．（25-26七年级下·全国·期中）如图，，，，以下是小明同学说明的推理过程及理由．请你在横线上补充完整其推理过程或理由． 解：因为，（已知）， 所以（____________）， 所以， 所以∥____________（__________________________________）． 因为（已知）， 所以∥____________（__________________________________）， 所以（__________________________________）． 【答案】垂直定义；；同旁内角互补，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行． 【分析】根据平行线的判定推出，即可推出． 【详解】解：因为，（已知）， 所以（__垂直定义__）， 所以， 所以∥（同旁内角互补，两直线平行）． 因为（已知）， 所以∥（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：垂直定义；；同旁内角互补，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【点睛】本题考查了平行线判定的应用，解决本题的关键是掌握同旁内角互补，两直线平行． 3．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）请填空，完成下面的证明． 如图，平分平分．求证：． 证明：，（已知） ___________，（邻补角互补） ___________（___________）． 平分平分， ______________________（___________） （___________）． （___________）． 【答案】；；同角的补角相等；；；角平分线的定义；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】观察证明部分可知，本题的证明思路为通过先证明，再利用角平分线的定义，通过等量代换得到，最后通过内错角相等，两直线平行证明结论，根据证明思路补全过程即可． 【详解】证明：（已知）， （邻补角互补）， （同角的补角相等）． 平分平分， ，（角平分线的定义）． （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． 4．如图，在四边形中，点E在的延长线上，连接、，交于点 F． 已知，，．求证． 通过填空完成下列证明： ∵（已知）， ∴（                ）． ∵（已知）， ∴__________ （等量代换）． ∵（已知）， ∴（等式的性质）．即． ∴__________．∴（                ）． 【答案】两直线平行，内错角相等；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用等式的性质可得，从而可得，再利用同位角相等，两直线平行可得，即可解答． 【详解】 ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等式的性质）．即． ∴． ∴（同位角相等， 两直线平行）． 题型13 根据平行线的判定与性质求角度 / 先利用平行线的判定得出两直线平行，然后利用平行线的性质求角的度数. 典｜例｜精｜析 【例题13】如图，已知直线、被直线，所截，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定：同位角相等，两直线平行；平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．由，得出，、为同位角，所以.由，，得出，所以 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 变｜式｜巩｜固 1．如图，已知，， ，，点为内一点， ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得出和的值，求出，再根据 求出， 进而即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴． ∵ ， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2024七年级下·浙江衢州·竞赛）如图，直线，平分，平分，点，，在同一直线上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键．作，，根据平行公理的推论，平行线的性质，对顶角的性质和角平分线的性质表示出和，再结合即可求出． 【详解】如图，作，， 则， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， 设， ∵， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，与相交于点，且，平分，且． (1)若，求的度数； (2)画的平分线，与有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】(1) (2)见解析；；见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、垂直的定义、角平分线的性质，关键是灵活应用知识点解题； （1）先求出，再根据平行线的性质求出，最后根据角平分线的定义可得的度数； （2）综合应用平行线的性质及判定论证即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）答：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数学活动课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，，且和直角三角形，， (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，在探究过程中组同学把图1中的直线向上移动，始终保持．并把的位置改变，发现，请说明理由； (3)如图3，组同学改变三角板的位置，将直角三角板的一边放在直线上，另一边在直线的下方．过点作射线，使，将图3中三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（，为常数），求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，根据平行线判定与性质证明，根据旋转的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先利用平角的意义求得，再利用平行线的性质求得角的度数； （2）先利用平行线的性质得出，再根据两角的和得出，再证明，根据平行线的性质可得出，从而可得，再结合，得出； （3）先说明当时，在内部，再求得，从而可得，再根据，又，可得出，整理得：，根据等式与的大小无关，求得，再求得，从而可得出 【详解】（1）解：如图1， ∵，，， ∴ ∵， ∴； （2）解：如图2，过点作， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解：如图： ∵，， ∴， 当时，旋转了，此时与重合， 当时，旋转了，此时与重合， ∴当时，在内部. ∵， ∴， ∵， 又∵ ∴， 整理得：， ∵等式与的大小无关， ∴， ∴， ∴， ∴ 题型14 根据平行线的判定与性质证明 / 由已知角的关系判定平行，再用平行线的性质推出新的角关系，从而完成证明. 典｜例｜精｜析 【例题14】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质； （1）根据平角的定义可得，等量代换求出，然后根据平行线的判定定理得出结论； （2）先根据平行线的性质得出两组角相等，等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，于点，于点． (1)若，求的度数； (2)若与互补，判断与是否平行，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质， （1）先通过垂直条件证明，再根据平行线的同旁内角互补性质，结合的度数计算的度数； （2）先由与互补的条件，结合推出的与互补，得到，最后根据内错角相等判定． 【详解】（1）解：，， ， ， ，且， ； （2）解：，理由如下： 与互补， ， 由（1）知， ， ， ． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，，，． (1)探究与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查了邻补角、平行线的判定与性质等知识， （1）根据题意易得，根据“同位角相等，两直线平行”可得，进而可得，再证明，根据“内错角相等，两直线平行”可得，然后根据平行线的性质即可证明结论； （2）根据，可得，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可知，， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·北京海淀·期末）已知，如图，为直线上一点，于点．点为射线上一点，从点引两条射线分别交直线于点，（点在点左侧，点在点右侧），过点作交于点，为线段上一点，过作于点． (1)①依题意补全图形； ②若，求的度数； (2)写出表示与的数量关系的等式，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定、角的计算及垂线，熟知平行线的性质是解题的关键． （1）①根据题意，补全图形即可； ②根据平行线的性质进行计算即可； （2）根据平行线的性质和判定进行分析计算即可． 【详解】（1）解：①图形如图所示， ； ②，， ． ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ． ， ． ， ， ， ， 则， ． 4．（25-26七年级上·江苏南京·期末）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】解：（1）如图，过P作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：82； （3），，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （4）∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：131． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $