第十五章 四边形（单元自测·基础卷）数学新教材北京版八年级下册

2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十五章 四边形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026九年级·北京·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·北京顺义·期末）下列说法中，错误的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．正方形的对角线互相垂直平分 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 3．（24-25八年级下·北京东城·期末）如图，矩形的顶点，B的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·北京海淀·期末）从十边形的一个顶点出发，分别用线段连接与它不相邻的其他顶点，可将这个十边形分成三角形的个数是（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 5．（24-25八年级下·北京顺义·期末）如图，矩形的对角线与相交于点，点，分别为，的中点，若，则的长为（　　） A．3 B．6 C． D．9 6．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，作直线，分别交边，于点、，连接，若的周长为12，则的周长为（   ） A．12 B．20 C．24 D．28 7．（24-25八年级下·北京·期末）如图，在中，分别为边的中点，连接为上一点，连接，若，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，是对角线上的动点，若，，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（23-24八年级下·北京·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，若，则 ． 10．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，、两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取的中点，测得两点间的距离为，则两点间的距离为 m． 11．（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是 ．（写一个即可） 12．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）如图，是五边形的4个外角，若，则 ． 13．（24-25八年级下·吉林长春·期末）E、F为边上的点，与相交于点P，、相交于点Q，若，则阴影部分的面积为 ． 14．24-25八年级下·北京怀柔·期末）如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：（1）分别以A、B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于P、Q两点；（2）连接分别交于F、E两点；（3）连接，若，，则的面积为 ． 15．（24-25八年级下·北京石景山·期末）如图，在中，已知，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B与点D对应，点C与点E对应，且C，D，E三点恰好在同一条直线上，则的长为 ． 16．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，边长为的正方形内有一动点，满足，为边上的动点，连接，． （1）当点为边的中点时，长的最小值为 ； （2）的最小值为 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（2025·湖北随州·模拟预测）如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足，求证：． 18．（5分）（24-25八年级下·北京密云·期末）已知： (1)若将绕点按逆时针方向旋转后得到，画出； (2)写出点对应点的坐标． 19．（6分）（2025九年级上·全国·专题练习）如图1，将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形．请在如图2所示的网格中用这四个直角三角形按要求拼出对应的四边形（注：网格中每个小正方形的边长均为1；所拼四边形不得与原正方形相同；四边形的各顶点都在格点上．） ①是轴对称图形，但不是中心对称图形； ②既是轴对称图形，又是中心对称图形． 20．（6分）（24-25八年级上·北京·期末）如图，在中，，为边上中线，点E为的中点，点F在的延长线上，且，连接、． (1)依题意补全图形； (2)求证四边形是菱形． 21．（6分）（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当 时，四边形是正方形． 22．（8分）（24-25八年级下·北京通州·期末）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点O成中心对称的，再把向上平移4个单位长度得到． (1)画出和； (2)与关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是___________． (3)已知为轴上一点．若的面积为6，直接写出点P的坐标___________． 23．（8分）（24-25八年级下·北京延庆·期末）如图，分别是的中点． (1)证明：； (2)若，，求的长． 24．（8分）（24-25八年级下·北京·期中）在中，，锐角所对的直角边与相邻的直角边的比值称为的坡度，记为“（）”，即，同样地，．对于锐角的每一个确定的值，（）都有唯一确定的值与它对应． 请回答以下问题： (1)在中，，，则__________； (2)在中，，，则__________； (3)在中，，，则__________； (4)如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，，则__________； (5)如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点在同一直线上，点分别为两个正六边形的中心，则__________； 25．（10分）（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，点在边上（不与点重合），作点关于直线的对称点，连接，交边于点，连接，取线段的中点，在边上取点，使得，连接． (1)求证：； (2)直接写出的大小，并证明． 26．（10分）（25-26九年级上·北京·期末）如图，在等边三角形中，点P为内一点，连接，，，将线段绕点A 顺时针旋转得到，连接，． (1)用等式表示与的数量关系，并证明； (2)当时， ①直接写出的度数为______； ②若M为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十五章 四边形·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B C A C B C B D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9． 10．40 11．（答案不唯一） 12． 13． 14．30 15．4 16．/ / 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ．···········································5分 18．（5分） 【详解】（1）解：如图：即为所求； ··········································3分 （2）解：由图知：．··········································5分 19．（6分） 【详解】解：①拼出对应的四边形如图所示答案不唯一 ··········································3分 ②拼出对应的四边形如图所示答案不唯一 ··········································6分 20．（6分） 【详解】（1）解：如图： ··········································2分 （2）证明：∵为边上中线， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴为菱形．··········································6分 21．（6分） 【详解】（1）证明：∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形．··········································3分 （2）解：当时，四边形是正方形，证明如下： 由（1）可得，且四边形是矩形， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形．··········································6分 22．（8分） 【详解】（1）解：如图，和所作；··········································4分 （2）解：如图，与关于点成中心对称， ∴点的坐标为； 故答案为．··········································6分 （3）解：设点坐标为， 的面积为6， ， 解得，， 点坐标为或． 故答案为或．··········································8分 23．（8分） 【详解】（1）证明：连接、， ，为的中点， ， 是中点， ．··········································3分 （2）解：由（1）可得， ， ， 是的外角， ， 同理可得， ， 是的外角， ， ， ， ， 是中点， ， ∴， ． 答：的长为．··········································8分 24．（8分） 【详解】（1）解：如图所示，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 故答案为：；··········································1分 （2）解：如图所示，，， ∴，， ∴， 故答案为：··········································2分； （3）解：如图所示，，， ∴，是等腰三角形， 过点作于点，在上取点，连接，使得， ∴， ∴， 设，则， 由（2）的计算得到， ∴， ∴， 故答案为：；··········································4分 （4）解：在中，， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：；··········································6分 （5）解：正六边形的每个内角为，每条边对应的圆心角的度数为， 如图所示，连接，过点作于点，设正六边形的边长为， ， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．··········································8分 25．（10分） 【详解】（1）解：如图，连接， ∵点关于直线的对称点为，连接， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴．··········································4分 （2）解：如图，取中点，连接、，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴点在直线上，即点共线，， ∴， ∵作点关于直线的对称点， ∴， ∵取线段的中点， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴．··········································10分 26．（10分） 【详解】（1）解：． 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵将线段绕点A 顺时针旋转得到， ∴，， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴；··········································3分 （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；即． 故答案为：；··········································5分 ②． 证明：如图，延长到N，使得，连接． ∵M为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴．··········································10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十五章 四边形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026九年级·北京·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·北京顺义·期末）下列说法中，错误的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．正方形的对角线互相垂直平分 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】本题考查特殊四边形的性质和判定，根据矩形的性质，正方形，菱形和平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，原说法正确，不符合题意； B、正方形的对角线互相垂直平分，原说法正确，不符合题意； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级下·北京东城·期末）如图，矩形的顶点，B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，平面直角坐标系，由已知点坐标可得，，进而可解． 【详解】解：矩形的顶点， ，，轴， B的坐标为． 故选：A． 4．（24-25八年级下·北京海淀·期末）从十边形的一个顶点出发，分别用线段连接与它不相邻的其他顶点，可将这个十边形分成三角形的个数是（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的性质，熟练掌握多边形的性质是解题关键．从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形，据此解答即可得． 【详解】解：∵十边形的边数为10， ∴分成三角形的个数是（个）． 故选：C． 5．（24-25八年级下·北京顺义·期末）如图，矩形的对角线与相交于点，点，分别为，的中点，若，则的长为（　　） A．3 B．6 C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理等知识，掌握它们是解题的关键；P，Q分别为的中点，得；再由矩形的性质得，即求解． 【详解】解：∵P，Q分别为的中点， ∴是的中位线， ∴； ∵四边形是矩形， ∴． 故选：B． 6．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，作直线，分别交边，于点、，连接，若的周长为12，则的周长为（   ） A．12 B．20 C．24 D．28 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质. 根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可证得结论． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长为， ， 四边形是平行四边形， ，， 的周长为． 故选：C． 7．（24-25八年级下·北京·期末）如图，在中，分别为边的中点，连接为上一点，连接，若，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及三角形中位线判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟记三角形中位线判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键． 先由三角形中位线的判定与性质得到，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，最后数形结合表示出即可得到答案． 【详解】解：在中，分别为边的中点，， ， 在中，，为边的中点，， ， ， 故选：B． 8．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，是对角线上的动点，若，，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、利用轴对称求最短路径问题、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，关键是利用轴对称将折线段转化为直线段，再结合垂线段最短的性质确定最小值的位置，通过构造直角三角形求解线段长度． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴平分，，． 作点关于的对称点， ∵是的角平分线， ∴点落在上，连接，则由轴对称的性质得， ∴， ∴当点、、三点共线时，取得最小值为， 而当时，的长度为最小的线段长，即此时取得最小值． 过点作于点， ∵， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 由勾股定理得， ∴(舍去负根)， ∴，即的最小值为． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（23-24八年级下·北京·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得，即可求解． 【详解】解：∵矩形的对角线与相交于点，， ∴ 10．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，、两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取的中点，测得两点间的距离为，则两点间的距离为 m． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形的中位线性质，根据三角形的中位线性质解答即可求解，掌握三角形的中位线性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：40． 11．（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定方法，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形解答即可． 【详解】解：添加条件，那么为菱形．理由： ∵四边形是平行四边形，， ∴根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知为菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 12．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）如图，是五边形的4个外角，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的外角和，先求出相邻的外角为，由多边形的外角和为，即可求解． 【详解】解：， 与相邻的外角为， ， 故答案为． 13．（24-25八年级下·吉林长春·期末）E、F为边上的点，与相交于点P，、相交于点Q，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题综合性较强，考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，构造同底等高的三角形．作出辅助线，因为与同底等高，所以面积相等，所以阴影图形的面积可解． 【详解】解：如图：连接， 与同底等高， ， 即， 即， 同理可得， 阴影部分的面积为 故答案为： 14．24-25八年级下·北京怀柔·期末）如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：（1）分别以A、B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于P、Q两点；（2）连接分别交于F、E两点；（3）连接，若，，则的面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了作图-基本作图，平行四边形的性质．利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，然后利用三角形面积公式计算． 【详解】解：由作图得垂直平分， 即， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴的面积． 故答案为：30． 15．（24-25八年级下·北京石景山·期末）如图，在中，已知，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B与点D对应，点C与点E对应，且C，D，E三点恰好在同一条直线上，则的长为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和勾股定理等知识，首先根据旋转的性质得到，然后根据全等三角形的性质得到是等腰直角三角形，进而可求出，然后根据勾股定理求出的长度，即可求出的长度．解题的关键是根据旋转的性质得到是等腰直角三角形进而求出的长度． 【详解】解：连接， ∵将绕点A逆时针旋转得到，则， ∴，， ∴，， ∵，，三点恰好在同一条直线上，， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ， ∴， ∴． 故答案为：4． 16．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，边长为的正方形内有一动点，满足，为边上的动点，连接，． （1）当点为边的中点时，长的最小值为 ； （2）的最小值为 ． 【答案】 / / 【分析】（1）取的中点，连接，，根据直角三角形的性质可得，为定值．由线段公理可得，，用勾股定理计算出即可； （2）作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为，根据轴对称的性质，，因此．由线段公理可得，，用勾股定理计算出即可． 【详解】解：（1）如图，取的中点，连接，， 在正方形中，，， ∵， ∴是直角三角形， 又∵点是的中点， ∴为定值， ∵点为边的中点， ∴， 在直角中，， 由线段公理可得，， ∴，当点、、三点共线时，取到最小值； （2）如图，作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为， 在正方形中，，， 由轴对称的性质可得，，，， ∴点、 、三点共线， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在直角中，， 由线段公理可得，， ∴，当点、、、四点共线时，取到最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：；． 【点睛】本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，线段最值问题，轴对称的性质以及勾股定理，根据动点的特征判断运动轨迹是解题关键． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（2025·湖北随州·模拟预测）如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质．根据平行四边形的性质证明，即可得出结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 18．（5分）（24-25八年级下·北京密云·期末）已知： (1)若将绕点按逆时针方向旋转后得到，画出； (2)写出点对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转变换的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据点的位置直接写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求； （2）解：由图知：． 19．（6分）（2025九年级上·全国·专题练习）如图1，将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形．请在如图2所示的网格中用这四个直角三角形按要求拼出对应的四边形（注：网格中每个小正方形的边长均为1；所拼四边形不得与原正方形相同；四边形的各顶点都在格点上．） ①是轴对称图形，但不是中心对称图形； ②既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】①见解析，②见解析 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据定义拼出符合条件的图形即可． 【详解】解：①拼出对应的四边形如图所示答案不唯一 ②拼出对应的四边形如图所示答案不唯一 20．（6分）（24-25八年级上·北京·期末）如图，在中，，为边上中线，点E为的中点，点F在的延长线上，且，连接、． (1)依题意补全图形； (2)求证四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定定理，是解题的关键． （1）根据题意作； （2）根据直角三角形的性质得出，根据三角形中位线的性质得出，再根据邻边相等的平行四边形是菱形进行证明即可． 【详解】（1）解：如图： （2）证明：∵为边上中线， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴为菱形． 21．（6分）（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当 时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)45 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，三线合一定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟知矩形和正方形的判定定理是解题的关键． （1）可证明，则可证明四边形是平行四边形，由三线合一定理得到，据此可证明结论； （2）当时，可证明是等腰直角三角形，得到，则可证明矩形是正方形． 【详解】（1）证明：∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：当时，四边形是正方形，证明如下： 由（1）可得，且四边形是矩形， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形． 22．（8分）（24-25八年级下·北京通州·期末）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点O成中心对称的，再把向上平移4个单位长度得到． (1)画出和； (2)与关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是___________． (3)已知为轴上一点．若的面积为6，直接写出点P的坐标___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】题考查了画中心对称图形，平移作图找出对称中心坐标，利用网格求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据中心对称的性质，分别找到点，再依次连接得，然后根据平移的性质得点，再依次连接得，即可作答． （2）分别连接，它们经过点，则该点即为对称中心； （3）设点坐标为，再根据面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图，和所作； （2）解：如图，与关于点成中心对称， ∴点的坐标为； 故答案为． （3）解：设点坐标为， 的面积为6， ， 解得，， 点坐标为或． 故答案为或． 23．（8分）（24-25八年级下·北京延庆·期末）如图，分别是的中点． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，以及勾股定理，掌握直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，利用中点的性质证明； （2）根据等腰三角形的性质及三角形的外角的性质得到，利用30度角的直角三角形的性质得到，进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接、， ，为的中点， ， 是中点， ． （2）解：由（1）可得， ， ， 是的外角， ， 同理可得， ， 是的外角， ， ， ， ， 是中点， ， ∴， ． 答：的长为． 24．（8分）（24-25八年级下·北京·期中）在中，，锐角所对的直角边与相邻的直角边的比值称为的坡度，记为“（）”，即，同样地，．对于锐角的每一个确定的值，（）都有唯一确定的值与它对应． 请回答以下问题： (1)在中，，，则__________； (2)在中，，，则__________； (3)在中，，，则__________； (4)如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，，则__________； (5)如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点在同一直线上，点分别为两个正六边形的中心，则__________； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查新定义运算，含特殊角的直角三角形的性质，正多边形的性质的综合运用，理解新定义，掌握其计算方法是关键． （1）根据题意得到是等腰直角三角形，，结合坡度的计算方法即可求解； （2）根据题意得到，结合坡度的计算方法即可求解； （3）根据题意得到是等腰三角形，过点作于点，在上取点，连接，使得，设,结合（2）的结算得到，则，根据坡度的计算方法即可求解； （4）根据题意，得到，由垂直平分线得到，根据，由此即可求解； （5）根据题意，正六边形的每个内角为，每条边对应的圆心角的度数为，如图所示，连接，过点作于点，设正六边形的边长为，由此得到，结合坡度的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，，， ∴，， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示，，， ∴，是等腰三角形， 过点作于点，在上取点，连接，使得， ∴， ∴， 设，则， 由（2）的计算得到， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：在中，， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （5）解：正六边形的每个内角为，每条边对应的圆心角的度数为， 如图所示，连接，过点作于点，设正六边形的边长为， ， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（10分）（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，点在边上（不与点重合），作点关于直线的对称点，连接，交边于点，连接，取线段的中点，在边上取点，使得，连接． (1)求证：； (2)直接写出的大小，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）连接，根据轴对称的性质得出，根据等腰直角三角形的性质得出是等腰直角三角形，即可得出，根据即可得； （2）取中点，连接、，，根据三角形中位线的性质得出，即可证明垂直平分，可证明点在直线上，根据中位线性质得出，根据平行线的性质结合等腰直角三角形的性质得出是等腰直角三角形，得出，利用证明，可得，利用角的和差关系即可求出． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵点关于直线的对称点为，连接， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，取中点，连接、，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴点在直线上，即点共线，， ∴， ∵作点关于直线的对称点， ∴， ∵取线段的中点， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查轴对称的性质、三角形中位线的性质、等腰直角三角形的性质全等三角形的判定与性质、平行线的性质及垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 26．（10分）（25-26九年级上·北京·期末）如图，在等边三角形中，点P为内一点，连接，，，将线段绕点A 顺时针旋转得到，连接，． (1)用等式表示与的数量关系，并证明； (2)当时， ①直接写出的度数为______； ②若M为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)．证明见解析 (2)①；②．证明见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质和旋转的性质可得，即可得出结论； （2）①根据等边三角形的性质可得，从而得到，由，可得．进而得到．再由可得，即可求解； ②延长到N，使得，连接．通过证明，从而得到，，进而得到，则可得到 即可求解． 【详解】（1）解：． 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵将线段绕点A 顺时针旋转得到， ∴，， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；即． 故答案为：； ②． 证明：如图，延长到N，使得，连接． ∵M为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十五章 四边形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026九年级·北京·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·北京顺义·期末）下列说法中，错误的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．正方形的对角线互相垂直平分 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 3．（24-25八年级下·北京东城·期末）如图，矩形的顶点，B的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·北京海淀·期末）从十边形的一个顶点出发，分别用线段连接与它不相邻的其他顶点，可将这个十边形分成三角形的个数是（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 5．（24-25八年级下·北京顺义·期末）如图，矩形的对角线与相交于点，点，分别为，的中点，若，则的长为（　　） A．3 B．6 C． D．9 6．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，作直线，分别交边，于点、，连接，若的周长为12，则的周长为（   ） A．12 B．20 C．24 D．28 7．（24-25八年级下·北京·期末）如图，在中，分别为边的中点，连接为上一点，连接，若，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，是对角线上的动点，若，，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（23-24八年级下·北京·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，若，则 ． 10．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，、两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取的中点，测得两点间的距离为，则两点间的距离为 m． 11．（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是 ．（写一个即可） 12．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）如图，是五边形的4个外角，若，则 ． 13．（24-25八年级下·吉林长春·期末）E、F为边上的点，与相交于点P，、相交于点Q，若，则阴影部分的面积为 ． 14．24-25八年级下·北京怀柔·期末）如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：（1）分别以A、B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于P、Q两点；（2）连接分别交于F、E两点；（3）连接，若，，则的面积为 ． 15．（24-25八年级下·北京石景山·期末）如图，在中，已知，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B与点D对应，点C与点E对应，且C，D，E三点恰好在同一条直线上，则的长为 ． 16．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，边长为的正方形内有一动点，满足，为边上的动点，连接，． （1）当点为边的中点时，长的最小值为 ； （2）的最小值为 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（2025·湖北随州·模拟预测）如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足，求证：． 18．（5分）（24-25八年级下·北京密云·期末）已知： (1)若将绕点按逆时针方向旋转后得到，画出； (2)写出点对应点的坐标． 19．（6分）（2025九年级上·全国·专题练习）如图1，将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形．请在如图2所示的网格中用这四个直角三角形按要求拼出对应的四边形（注：网格中每个小正方形的边长均为1；所拼四边形不得与原正方形相同；四边形的各顶点都在格点上．） ①是轴对称图形，但不是中心对称图形； ②既是轴对称图形，又是中心对称图形． 20．（6分）（24-25八年级上·北京·期末）如图，在中，，为边上中线，点E为的中点，点F在的延长线上，且，连接、． (1)依题意补全图形； (2)求证四边形是菱形． 21．（6分）（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当 时，四边形是正方形． 22．（8分）（24-25八年级下·北京通州·期末）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点O成中心对称的，再把向上平移4个单位长度得到． (1)画出和； (2)与关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是___________． (3)已知为轴上一点．若的面积为6，直接写出点P的坐标___________． 23．（8分）（24-25八年级下·北京延庆·期末）如图，分别是的中点． (1)证明：； (2)若，，求的长． 24．（8分）（24-25八年级下·北京·期中）在中，，锐角所对的直角边与相邻的直角边的比值称为的坡度，记为“（）”，即，同样地，．对于锐角的每一个确定的值，（）都有唯一确定的值与它对应． 请回答以下问题： (1)在中，，，则__________； (2)在中，，，则__________； (3)在中，，，则__________； (4)如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，，则__________； (5)如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点在同一直线上，点分别为两个正六边形的中心，则__________； 25．（10分）（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，点在边上（不与点重合），作点关于直线的对称点，连接，交边于点，连接，取线段的中点，在边上取点，使得，连接． (1)求证：； (2)直接写出的大小，并证明． 26．（10分）（25-26九年级上·北京·期末）如图，在等边三角形中，点P为内一点，连接，，，将线段绕点A 顺时针旋转得到，连接，． (1)用等式表示与的数量关系，并证明； (2)当时， ①直接写出的度数为______； ②若M为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $