第三章 圆 单元测试卷2025-2026学年北师大版数学九年级下册

第三章《 圆》单元测试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，AB、CD为⊙O的两条直径，点E为弧AD的中点，连接AD、BE，若∠ADC＝26°，则∠ABE的度数为（　　） A．36° B．34° C．32° D．30° 2．（3分）如图，四边形ACBD内接于⊙O，连接AB，CD，AB是⊙O的直径，若∠ADC＝28°，则∠BAC的度数为（　　） A．82° B．72° C．62° D．52° 3．（3分）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，则下列结论不一定正确的是（　　） A．AE＝BE B．OE＝DE C．AO＝CO D．AD＝BD 4．（3分）若⊙O半径为6，圆心O到直线l的距离为d，且d＝6，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 5．（3分）如图，⊙M和⊙N都经过A，B两点，且点N在⊙M上．点C是优弧上的一点（点C不与A，B重合），AC的延长线交⊙N于点P，连接AB，BC，BP．若∠APB＝30°，AB＝3，则MN长为（　　） A． B．3 C． D． 6．（3分）下列说法正确的是（　　） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的两条弧是等弧 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是同一圆中最长的弦 7．（3分）如图，半圆O的直径AB＝10，两弦AC，BD相交于点E，弦CD＝5，且BD＝8，则DE等于（　　） A．3 B． C． D． 8．（3分）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若∠BDC＝125°，则∠ABC的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．45° 9．（3分）如图，⊙O与矩形ABCD的边相切于点E，F，G，点P是上一点，则∠P的度数是（　　） A．45° B．60° C．30° D．无法确定 10．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，∠AOD＝70°，则∠ACD的度数是（　　） A．50° B．45° C．40° D．35° 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11．（4分）如图，过A、C、D三点的圆的圆心为点E，过B、F、E三点的圆的圆心为点D．如果∠A＝63°，那么∠ABC＝　 　 °． 12．（4分）中国高铁是中国在21世纪的一张亮丽的名片，也是中国与世界交流合作的一座桥梁．如图是高铁线路在转向处设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车从A到B行驶的过程中转角α为60°，若圆曲线的半径OA＝1.6km，则的长为 　 　 km．（结果保留π） 13．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠ABC的度数是 　 　 ． 14．（4分）今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，则该直角三角形的内心与外心的距离是 　 　 步（注：“步”为长度单位）． 15．（4分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝60°，PA＝6，则⊙O的半径为 　 　 ． 16．（4分）如图，AB、CD是⊙O中的两条弦，相交于点E，且AB⊥CD，AE＝DE，点H为劣弧AD上一动点，G为HE中点，若CE＝1，DE＝7，连结AG，则AG最小值为 　 　 ． 17．（4分）在直角坐标系xOy中，对于直线l：y＝kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．如图，点M的坐标为（﹣1，0），若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值为，则b的值为 　 　 ． 18．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝4，将沿着弦AB翻折后，恰好经过弦AC的中点D，则弦BC的长为　 　 ． 三．解答题（共5小题，满分38分） 19．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形． （1）尺规作图：在图①中，求作BC的中点D．（保留作图痕迹） （2）用无刻度的直尺：在图②中，画一个与∠B互补的圆周角； （3）用无刻度的直尺：在图③中，画一个与∠B互余的圆周角．并说明理由． 20．（5分）如图，点P是∠BAC的AB边上的一定点． （1）请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．在图1中作一个⊙O，使它满足以下条件： ①圆心O在AB上；②经过点P；③与边AC相切，切点为F； （2）在（1）的条件下，若∠BAC＝45°，，则所作的⊙O的劣弧PF与AP、AF所围成图形的周长 　 　 ． 21．（8分）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，连接AC，AD． （1）证明：∠ACD＝∠ADC； （2）当AE＝9，CD＝6时，求⊙O的半径． 22．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦．过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG． （1）证明：CG是⊙O的切线； （2）连接CD，当∠DCA＝2∠F，CE＝3时，求CF的长． 23．（9分）对于∠MAN与角两边上的点P，Q（不与A重合）给出如下定义：若∠MAN＝30°且经过A，P，Q三点的圆的圆心在∠MAN的内部，则称P，Q是关于∠MAN的一组“角内点”．如图，点P，Q是关于∠MAN的一组角内点． （1）已知∠MAN＝30°， ①点P在射线AM上，AP＝2，点Q1，Q2，Q3均在射线AN上，且AQ1＝1，AQ2＝2，AQ3＝3．在点Q1，Q2，Q3中，能与点P构成关于∠MAN的一组角内点的是 　 　 ； ②点S，T分别在射线AM，AN上，且ST＝1，若点S，T是关于∠MAN的一组角内点，直接写出线段AT长的取值范围； （2）在平面直角坐标系xOy中，点，C（1，0），⊙O的半径为r，若线段BC上存在点D，⊙O上存在点E，使得点B，D是关于∠BED的一组角内点，直接写出r的取值范围． 第三章《 圆》单元测试卷答案 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B C D B C A D 1．【分析】根据圆周角定理求出∠CAD＝90°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠C＝64°，再根据圆周角、弧的关系求解即可． 【解答】解：如图，连接AC， ∵CD为⊙O的两条直径， ∴∠CAD＝90°， ∴∠C+∠ADC＝90°， ∵∠ADC＝26°， ∴∠C＝64°， ∵点E为弧AD的中点， ∴∠ABE∠C＝32°， 故选：C． 2．【分析】根据圆周角定理得到∠ABC＝∠ADC＝28°，∠ACB＝90°，再根据直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：∵∠ADC＝28°， ∴∠ABC＝∠ADC＝28°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣28°＝62°， 故选：C． 3．【分析】由CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，根据垂径定理得AE＝BE，可判断A不符合题意；连接AD、BD，因为OD垂直平分AB，而AB⊥OD但不一定平分OD，所以AD＝BD，而OE与DE不一定相等，可判断B符合题意，D不符合题意；由AO、CO都是⊙O的半径，得AO＝CO，可判断C不符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB， ∴AE＝BE， 故A不符合题意； 连接AD、BD， ∵OD垂直平分AB，而AB⊥OD但不一定平分OD， ∴AD＝BD，而OE与DE不一定相等， 故B符合题意，D不符合题意； ∵AO、CO都是⊙O的半径， ∴AO＝CO， 故C不符合题意， 故选：B． 4．【分析】设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r，②直线l和⊙O相切⇔d＝r，③直线l和⊙O相离⇔d＞r．据此即可判断． 【解答】解：∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为6， ∴r＝d＝6， ∴直线与圆相切， 故选：B． 5．【分析】连接MN，AN，BN，过点M作MD⊥AN于D，根据圆心角和圆周角之间的关系得∠ANB＝2∠P＝60°，则△ABN为等边三角形，点M为等边△ABN的外心，由此的∠MND＝30°，DNAN＝1.5，然后在Rt△MND中利用锐角三角函数即可求出MN的长． 【解答】解：连接MN，AN，BN，过点M作MD⊥AN于D，如图所示： ∵⊙M和⊙N都经过A，B两点，∠APB＝30°，AB＝3， ∴∠ANB＝2∠P＝60°， 又∵AN＝BN， ∴△ABN为等边三角形， ∴AN＝AB＝3， ∴△ABN内接于⊙M， ∴点M为等边△ABN的外心， ∴MN平分∠ANB，MD垂直平分AN， ∴∠MND＝30°，DNAN＝1.5， ∴cos∠MND＝DN/MN， ∴MN． 故选：C． 6．【分析】根据垂径定理、等弧的定义及圆的有关性质判断求解即可． 【解答】解：半圆是弧，弧不一定是半圆，故A不符合题意； 同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故B不符合题意； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，C不符合题意； 直径是同一圆中最长的弦，故D符合题意； 故选：D． 7．【分析】连接AD，得到∠ADB＝90°，根据勾股定理求出根据圆周角定理得到∠CDE＝∠BAE，可证明△CDE∽△BAE，得到，得出AE＝2DE，得到AD2+DE2＝AE2，即62+DE2＝4DE2，计算即可得到答案． 【解答】解：如图，连接AD， ， ∵AB为半圆O的直径， ∴∠ADB＝90°（圆周角）， ∵AB＝10，BD＝8， ∴AD， ∵（在同一个圆中，弧相等对应的圆周角也相等）， ∴∠CDE＝∠BAE（在同一个圆中，弧相等对应的圆周角也相等）， ∵∠CED＝∠BEA， ∴△CDE∽△BAE， ∵CD＝5， ∴， ∴AE＝2DE， ∵AD2+DE2＝AE2， ∴62+DE2＝4DE2， ∴或（舍去）， 故选：B． 8．【分析】连接AD，由圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠ABC＝∠ADC，求出∠ADC＝35°，即可得到∠ABC的度数． 【解答】解：连接AD， ∵AB是圆的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BDC＝125°， ∴∠ADC＝∠BDC﹣∠ADB＝35°， ∴∠ABC＝∠ADC＝35°． 故选：C． 9．【分析】连接OE，OG．求出∠EOG的度数即可解决问题． 【解答】解：如图，连接OE，OG， ∵⊙O与矩形ABCD的边相切于点E，F，G， ∴OE⊥AB，OG⊥AD，∠A＝90°， ∴∠A＝∠AEO＝∠AGO＝90°， ∴四边形AEOG是矩形， ∴∠EOG＝90°， ∴∠P∠EOG＝45°， 故选：A． 10．【分析】根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半”求出∠ACD的度数． 【解答】解：∵∠AOD是所对的圆心角，∠ACD是所对的圆周角，∠AOD＝70°， ∴， 故选：D． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11．【分析】连接EC、ED，因为过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，所以EA＝EC＝ED，则∠A＝∠ECA＝63°，∠ECD＝∠EDC＝2∠ABC，由∠A+∠ECA+∠ECD+∠ABC＝180°，得63°+63°+2∠ABC+∠ABC＝180°，求得∠ABC＝18°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接EC、ED， ∵过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，∴EA＝EC＝ED， ∴∠A＝∠ECA＝63°，∠ECD＝∠EDC＝2∠ABC， ∵∠A+∠ECA+∠ECD+∠ABC＝∠A+∠ACB+∠ABC＝180°， ∴63°+63°+2∠ABC+∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝18°， 故答案为：18． 12．【分析】结合切线的性质、四边形内角和定理求出∠AOB＝60°，再利用弧长公式求解． 【解答】解：∵CA，CB是⊙O的切线， ∴AC⊥OA，BC⊥OB， ∴∠CAO＝∠CBO＝90°， ∴∠ACB+∠AOB＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∵α+∠ACB＝180°， ∴∠AOB＝α＝60°， ∴弧AB的长π（km）． 故答案为：π． 13．【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∵∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠ADC＝140°， ∴∠ABC＝180°﹣140°＝40°， 故答案为：40°． 14．【分析】利用在Rt△ABC，可求得AB＝17步，根据内切圆的性质可判定四边形OECE是正方形，所以用r分别表示：CE＝CD＝r步，AE＝AN＝（8﹣r）步，BD＝BN＝（15﹣r）步；再利用AB作为相等关系求出r＝3，则可得AN＝5步，N为圆与AB的切点，M为AB的中点，根据直角三角形中外接圆的圆心是斜边的中点，即M为外接圆的圆心；在Rt△OMN中，先求得MN＝AM﹣AN＝3.5步，由勾股定理可求得OM即可． 【解答】解：如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝8步，BC＝15步，⊙O与△ABC的三边切于D、E、N，M为AB的中点， ∴AB＝17步， ∴AM步， 设Rt△ABC的内切圆的半径为r步，则OD＝OE＝r步， ∵∠C＝90°， ∴CE＝CD＝r步，AE＝AN＝（8﹣r）步，BD＝BN＝（15﹣r）步， ∴8﹣r+15﹣r＝17， 解得r＝3， ∴AN＝5步， 设点M为直角三角形ABC的外心， 在Rt△OMN中，MN＝AM﹣AN＝3.5步， ∴OM步． 故答案为：． 15．【分析】连接OB，OP，由切线的性质定理得到OB⊥PB，由切线长定理推出PO平分∠APB，得到∠OPB∠APB＝30°，由锐角的正切求出OB＝PB•tan30°＝2，得到⊙O的半径是2． 【解答】解：连接OB，OP， ∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点， ∴OB⊥PB，PO平分∠APB， ∵∠APB＝60°， ∴∠OPB∠APB＝30°， ∵tanOPB＝tan30°， ∴OB＝PB•tan30°＝62． ∴⊙O的半径是2． 故答案为：2． 16．【分析】连接AO，DO，过点O作OK⊥AE，交AE于点K，OF⊥CD，交DE于点F，构造正方形，计算圆的半径，然后作OE的中点M，连接MG，连接OH，推导出点G的运动轨迹是以M为圆心的圆，连接AM与圆M的交点就是AG的最小值． 【解答】解：如图所示，连接AO，DO，过点O作OK⊥AE，交AE于点K，OF⊥CD，交DE于点F， ∵CE＝1，DE＝7，∴CD＝CE+DE＝1+7＝8， ∵OF⊥CD， ∴， ∴EF＝CF﹣CE＝4﹣1＝3， ∵AE＝DE，OA＝OD，OE＝OE， ∴△AOE≌△DOE（SSS）， ∴， ∵OK⊥AE，OF⊥CD， ∴OK＝OF， ∵∠AED＝90°， ∴四边形OKEF是正方形， ∴OK＝KE＝EF＝OF＝3， ∴，， 如图所示，作OE的中点M，连接MG，连接OH， ∵点M是OE的中点，G为HE中点， ∴， ∴点G在以点M为圆心，以 为半径的圆上运动， 连接AM交⊙M于点G’，过点M作MN⊥AE， ∴当点A，G，M三点共线时，即点G和点G'重合时，AG的值最小， ∵点M是OE的中点，， ∵MN⊥AE，∠NEM＝45°， ∴∠NME＝45°， ∴△NME是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ， ∴ACG的最小值为 ， 故答案为：． 17．【分析】如图所示，设直线l与⊙M交于B、C，与y轴交于D，过点M作MD⊥BC于E，连接MB，先证明当点E与点D重合时，ME最小，即此时BC最小，再由BC最小＝2，求出MD，可得1+b2＝2，解得b＝±1． 【解答】解：如图所示，设直线l与⊙M交于B、C，与y轴交于D，过点M作MD⊥BC于E，连接MB， ∵MA＝MB， ∴BC＝2BE， 在Rt△MBE中，由勾股定理得BE， ∴当ME最小时，BE最大，即此时BC最小， ∵ME≤MD， ∴当点E与点D重合时，ME最大，即此时BC最小， ∵直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值为2，即BC最小＝2， ∴BDBC， ∴MD， ∵D（0，b）， ∴1+b2＝2， 解得b＝±1． 故答案为：±1． 18．【分析】连接BD，作BE⊥AC于点E，因为将沿着弦AB翻折后，恰好经过弦AC的中点D，所以∠BAD＝∠BAC，根据圆周角定理得，所以BD＝BC，则DE＝CE，由AB＝AC＝4，得AD＝CD＝2，则DE＝CE＝1，所以AE＝3，求得BE，则BC2，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接BD，作BE⊥AC于点E，则∠AEB＝∠BEC＝90°， ∵将沿着弦AB翻折后，恰好经过弦AC的中点D， ∴∠BAD＝∠BAC， ∵与所对的圆周角相等， ∴， ∴BD＝BC， ∴DE＝CE， ∵AB＝AC＝4， ∴AD＝CDAC＝2， ∴DE＝CECD＝1， ∴AE＝AD+DE＝3， ∴BE， ∴BC2， 故答案为：2． 三．解答题（共5小题，满分38分） 19．【分析】（1）过点O作BC的垂直平分线交BC于点D，则点D即为所求； （2）在劣弧上任取一点E，连接AE，EC，则∠E即为所求； （3）连接AO，CO，并延长CO交⊙O于点F，则∠ACF即为所求． 【解答】解：（1）点D即为所求，如图所示， （2）∠E即为所求，如图所示， ∵四边形ABCE是圆内接四边形， ∴∠B+∠E＝180°； （3）连接AO，CO，并延长CO交⊙O于点F，则∠ACF即为所求，如图所示， 理由如下， ∵△ABC是⊙O的内接三角形． ∴OA＝OC， ∴， 又∵， ∴， ∴∠B+∠OCA＝90°，有∠OCA＝∠ACF，则∠ACF即为所求． 20．【分析】（1）过点P作AB的垂线，交AC于点E，在AC上取EF＝EP，作∠AEP的角平分线，交AB于点O，以O为圆心，OP长为半径即可作⊙O，由作法可得△EOF≌△EOP，则∠EFO＝∠EPO＝90°，OF＝OP，满足条件； （2）连接OF，由（1）可得△AOF是等腰直角三角形，得到AF＝OF，∠AOF＝45°，设OP＝x，利用勾股定理得出，进而求出OP＝1，再利用弧长公式求出，即可求解． 【解答】（1）解：如图所示； （2）解：如图，连接OF， 由（1）可知，OF＝OP，OF⊥AC， ∵∠BAC＝45°， ∴△AOF是等腰直角三角形， ∴AF＝OF，∠AOF＝45°， ∴∠FOP＝135°， 设OP＝x，则OF＝AF＝x， 在Rt△AOF中，， ∵， ∴， ∴OP＝1， ∴AF＝1，， ∴所作的⊙O的劣弧PF与AP、AF所围成图形的周长． 故答案为：． 22．【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得OC⊥CG即可； （2）根据圆周角定理以及三角形内角和定理可求出∠CDE＝67.5°＝∠DEC，进而得出CD＝CE＝3，再根据等腰直角三角形的性质求出DH＝HC，再根据相似三角形的性质，列方程即可求出FC． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦． ∴∠ACB＝90°， ∴∠ECF＝180°﹣90°＝90°， 在Rt△ECF中，点G是EF的中点， ∴CG＝EG＝FG， ∴∠GCE＝∠GEC， ∵OF⊥AB， ∴∠AOE＝90°， ∴∠AEO+∠A＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA， ∵∠AEO＝∠GEC＝∠GCE， ∴∠GCE+∠OCA＝90°， 即OC⊥CG， ∵OC是半径， ∴CG是⊙O的切线； （2）解：连接CD，过点D作DH⊥FC，垂足为H， ∵OF⊥AB， ∴∠AOF＝90°， ∴∠DCA∠AOD＝45°， 又∵∠DCA＝2∠F， ∴∠F＝22.5°， ∴∠FEC＝90°﹣∠F＝67.5°， ∴∠CDE＝180°﹣45°﹣67.5°＝∠DEC， ∴CD＝CE＝3， 在Rt△CDH中，CD＝3，∠DCH＝90°﹣45°＝45°， ∴DH＝CHCD， ∵∠FHD＝∠FCE＝90°，∠F＝∠F， ∴△FHD∽△FCE， ∴， 即， 解得FC＝33， 经检验，FC＝33是方程的解， 答：FC＝33． 23．【分析】（1）①若∠AQP＝90°，由∠PAQ＝30°，PQAP＝1，故AQPQ．若∠APQ＝90°，同理PQ，AQ．而2，故AQ2＝2满足． ②当∠AST＝90°时，由∠SAT＝30°，得AT＝2ST＝2．当∠ATS＝90°时，ATST．故AT＜2． （2）由OB，OC＝1，得BC＝2OC＝2．当∠EDB＝90°时，若D与C重合时，计算得OM，OE．故r．当∠EBD＝90°时，若D与C重合时，计算得OE＝3，OM，故r≤3．综上所述，r． 【解答】解：（1）①若∠AQP＝90°，如图： ∵∠PAQ＝30°， ∴PQAP＝1， ∴AQPQ． 若∠APQ＝90°，如图： ∵∠PAQ＝30°， ∴PQ， ∴AQ＝2PQ． 而2， ∴AQ2＝2满足， 故答案为：Q2． ②当∠AST＝90°时，如图： ∵∠SAT＝30°， ∴AT＝2ST＝2． 当∠ATS＝90°时，如图： ∵∠SAT＝30°， ∴ATST． ∴AT＜2． （2）∵OB，OC＝1， ∴tan∠OBC， ∴∠OBC＝30°， ∴∠OCB＝60°． ∴BC＝2OC＝2． 当∠EDB＝90°时，若D与C重合时，如图： ∵∠BED＝30°， ∴∠EBD＝60°， ∴∠MBO＝30°， ∴OMBD， ∴BMBM． ∵BE＝2BC＝4， ∴EM＝EB﹣BM， ∴OE． ∵OM≤r≤OE， ∴r． 当∠EBD＝90°时，若D与C重合时，如图： ∴E在x轴上． ∵∠BED＝30°， ∴OEOB＝3，OMOE， ∵OM≤r≤OE， ∴r≤3． 综上所述，r． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/3 11:11:55；用户：喝柠檬水的先生；邮箱：zdmzj@sohu.com；学号：11074411 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $